The numerical analysis of E-polarizied electromagnetic wave reflections from inhomogeneous dielectric layer

Full Text

Введение В настоящее время в технике СВЧ- и оптического диапазонов широкое применение находят диэлектрические материалы, на основе которых изготавливаются такие устройства, как диэлектрические резонаторы, фазовращатели, фильтры, согласующие устройства [1-3]. Кроме того, диэлектрики в линиях передачи используются в качестве среды для передачи СВЧ-сигналов и их преобразования. Диэлектрические материалы применяются в СВЧ-технике в качестве антенных обтекателей, теплозащитных радиопрозрачных антенных окон спускаемых космических аппаратов, защитных радиопоглощающих покрытий. Диэлектрические материалы в большинстве случаев являются неоднородными. Существуют два типа неоднородных диэлектриков: среды, в которых диэлектрическая проницаемость является непрерывной функцией пространственных координат и материалы, состоящие из разделенных резкими границами однородных частей, каждая из которых обладает свои значением диэлектрической проницаемости. На сегодняшний день остается актуальным вопрос о взаимодействии электромагнитной волны со слоистыми неоднородными структурами [4-7]. С другой стороны, в настоящее время в СВЧ- и оптическом диапазонах значительный интерес представляет исследование метаматериалов, обладающих нетипичными для естественных сред электромагнитными свойствами [8-12]. Неоднородные диэлектрические слои могут использоваться как составная часть метаматериала. К сожалению, строгие решения задачи отражения электромагнитных волн от неоднородного слоя диэлектрика конечной толщины с вещественной диэлектрической проницаемостью известно лишь для нескольких случаев. В данной статье приведен вариант численного решения задачи для монотонных профилей диэлектрической проницаемости: линейного и параболического. Для нахождения решения использовалось дифференциальное уравнение для коэффициента отражения волны Е-поляризации, полученное методом дифференциальной прогонки. 1. Наклонное падение электромагнитной волны с Е-поляризацией на неоднородный диэлектрический слой Рассмотрим электродинамическую систему (рис. 1). В области 1 (вакуума) на границу слоя под углом падает плоская волна с Е-поляризацией с векторами напряженности электрического и магнитного полей. Составляющие векторов напряженностей поля падающей волны описываемыми следующими выражениями: (1) где - амплитуда напряженности электрического поля падающей волны; - волновое число для плоской электромагнитной волны в вакууме; - круговая частота; - скорость света; - характеристическое сопротивление вакуума; - мнимая единица; и - относительные диэлектрическая и магнитная проницаемости вакуума. Кроме падающей волны в области 1, в общем случае существует также отраженная волна, выражения для составляющих векторов напряженностей электрического и магнитного полей имеют вид: (2) где - коэффициент отражения (по полю) для случая падения волны Е-поляризации. (3) где - коэффициент прохождения (по полю) для случая падения волны Е-поляризации - характеристическое сопротивление области 2; - толщина диэлектрического поля; - волновое число для плоской электромагнитной волны в области 2; и - относительные диэлектрическая и магнитная проницаемости области 2, соответственно. Выражения (1)-(3) определяют электромагнитные поля в областях 1 и 2. В неоднородном диэлектрическом слое пространственные зависимости y-составляющей напряженности электрического поля и z-составляющей напряженности магнитного поля в предположении отсутствия зависимости векторов от координаты y и при гармонической зависимости от координаты z, описываются двумя уравнениями Максвелла в дифференциальной форме, которые для гармонических полей с временной зависимостью имеют вид: (4) где функция задает профиль вещественной части относительной диэлектрической проницаемости слоя. Введем в выражениях (4) нормированные параметры: (5) - нормированная напряженность электрического поля; (6) - нормированная напряженность магнитного поля. В выражениях (5) и (6): - нормированная координата. С использованием нормировочных соотношений (5) и (6) дифференциальные уравнения (4) можно записать следующим образом: (7) где - волновое число, нормированное на толщину слоя. Для компактной записи уравнений (7) введем следующие обозначения: (8) С учетом этих соотношений (8) уравнения Максвелла (7) в нормированном виде можно представить как (9) Определим граничные условия для системы уравнений (9), исходя из непрерывности тангенциальных составляющих напряженностей электрического и магнитного полей на границе раздела двух сред: (10) Подставляя в граничные условия (10) выражения для составляющих векторов напряженностей электрического и магнитного полей (1)-(3), получаем: (11) С учетом (5) и (6) запишем граничные условия (11) в нормированном виде: (12) Система уравнений (9) и граничные условия (12) составляют двухточечную граничную задачу. 2. Дифференциальное уравнение для коэффициента отражения в случае падения волны Е-поляризации Будем считать, что в общем виде: (13) Находя производную в формуле (13) и с использованием второго соотношения из системы (9), получаем: (14) Используя соотношения (9) и (14), получаем следующее дифференциальное уравнение: (15) Очевидно, что С учетом граничных условий (12) получаем: (16) Коэффициент отражения в случае падения плоской электромагнитной волны Е-поляризации можно определить как (17) Соотношение (17) можно применять и для частичного коэффициента отражения: (18) Найдем производную по нормированной координате в выражении (18): (19) Из выражения (18) следует, что коэффициент определяется через частичные коэффициенты отражения: (20) Из соотношений (19) и (20) получаем дифференциальное уравнение для частичного коэффициента отражения в случае падения волны Е-поляризации: (21) Интегрируя уравнение (21) по координате можно получить значение коэффициента отражения в любом сечении неоднородного диэлектрического слоя. При интегрировании достаточно только задать начальное условие Для нахождения воспользуемся уравнением (18) и после некоторых преобразований получим следующее соотношение для задания начального условия: (22) В случае, когда область 1 на рис. 1 представляет собой диэлектрик с материальными параметрами и то в выражении (22) необходимо провести замену: 3. Результаты расчетов Представим результаты численного расчета модулей коэффициентов отражения от слоев диэлектрика с различными профилями изменения вещественной части комплексной диэлектрической проницаемости при наклонном падении электромагнитной волны Е-поляризации. Проведены вычисления при различных углах падения электромагнитной волны. При моделировании использовались следующие профили распределения диэлектрической проницаемости слоя вдоль нормированной координаты - однородный слой с - линейный слой с - параболический слой с где При расчете значение относительной комплексной диэлектрической проницаемости диэлектрического слоя выбиралось следующим: На рис. 2-4 представлены результаты расчетов частотных характеристик модулей коэффициентов отражения от диэлектрического слоя с однородным (кривая 1), линейным (кривая 2) и параболическим (кривая 3) профилями вещественной части комплексной диэлектрической проницаемости при нормальном (рис. 2), наклонном под углами (рис. 3) и (рис. 4) падениях плоской электромагнитной волны Е-поляризации. Видно, что отражения от параболического профиля меньше, чем от линейного и однородного. На рис. 5 и 6. представлены частотные характеристики модулей коэффициентов отражения от слоя диэлектрика с линейным и параболическим профилями изменениями диэлектрической проницаемости при различных углах падения электромагнитной волны. Видно, что при возрастании угла падения отражения становятся больше. Заключение Проведено численное моделирование взаимодействия электромагнитной волны линейной поляризации с неоднородными диэлектрическими слоями. На основе дифференциального уравнения для частичного коэффициента отражения от слоя неоднородного диэлектрика рассчитаны модули коэффициентов отражения. Показано, что диэлектрики с неоднородным профилем проницаемости обеспечивают меньшие отражения. Это обстоятельство делает возможным использовать их при проектировании малоотражающих покрытий. Также, полученные в работе результаты могут найти широкое применение в области диагностики параметров СВЧ-диэлектриков, в частности степени их неоднородности.

About the authors

D. N Panin

O. V Osipov

D. V Mishin

Ya. M Kuznetsov

References

Supplementary files