Uniqueness of solution of problem of synthesis of wave impedance two-link stepped transformer with Chebyshev frequency characteristic

Abstract

Uniqueness of solution of problem of synthesis of wave impedance two-link stepped transformer with Chebyshev frequency characteristic is proved.

Full Text

Эквивалентная схема волноводного тракта, содержащего двухзвенный ступенчатый трансформатор волнового сопротивления (ТВС), изображена на рис. 1. Здесь участки 0 и 3 с волновыми сопротивлениями соответствуют согласуемым отрезкам линии передачи участки 1 и 2 представляют собой звенья трансформатора, имеющие одинаковую длину Решение задачи синтеза ТВС сводится к определению параметров трансформатора при заданных значениях волновых сопротивлений согласуемых отрезков линии передачи а также ширины полосы согласования или максимального значения рабочего затухания в полосе согласования. Матрица передачи ТВС [1], связывающая комплексные амплитуды суммарных напряжений и токов на его входе и выходе равна произведению матриц передачи звеньев где (1) При записи (1) предполагается, что на отрезках 1 и 2, образующих ТВС, постоянная распространения волны имеет одинаковые значения. Тем самым, элементы матрицы имеют вид: (2) (3) (4) (5) Рабочее затухание трансформатора определяется как отношение мощностей прямых волн напряжения на его входе и выходе. Параметр выражается через элементы матрицы передачи ТВС следующим образом [1]: (6) Исходя из соотношений (2)-(6) можно представить рабочее затухание трансформатора в виде многочлена второго порядка по степеням (7) Коэффициенты определяются равенствами (8) (9) (10) где (11) Выражение (7) задает частотную характеристику ТВС. Согласно определению рабочего затухания трансформатора, а также формуле (6), параметр является действительной величиной. Поэтому соотношения (7)-(11) справедливы только при условии отсутствия затухания на любом из участков волноводного тракта, изображенного на рис. 1. В этом случае мнимые части волновых сопротивлений звеньев а также постоянной распространения волны равны нулю. Если волновые сопротивления звеньев трансформатора и согласуемых отрезков линии передачи не зависят от частоты, то можно подобрать параметры и таким образом, что многочлен (7) будет иметь вид (12) Здесь - многочлен Чебышева 1-го рода 2-го порядка; величины и называются, соответственно, амплитудным и масштабным множителями. Будем предполагать, что в волноводном тракте отсутствует дисперсия. При этом постоянная распространения волны пропорциональна частоте. Например, для основной волны коаксиальной линии передачи справедливо соотношение (13) где и - относительные диэлектрическая и магнитная проницаемости заполнения; - волновое число свободного пространства; - круговая частота колебаний; - скорость света в вакууме. Постоянная распространения основной волны полосковой линии передачи с высокой степенью точности также определяется равенством (13), в котором и следует рассматривать как проницаемости подложки. Частотная характеристика двухзвенного ступенчатого чебышевского ТВС приведена на рис. 2. Полосе согласования трансформатора соответствует диапазон значений волнового числа на границах которого, как и на средней частоте, рабочее затухание принимает значение Тем самым, амплитудный множитель в соотношении (12) определяется максимальным значением рабочего затухания в полосе согласования (14) Из рис. 2 и формулы (12) следуют равенства на основании которых получаем Среднее значение волнового числа в полосе согласования (15) Здесь - соответствующее значение длины волны в линии передачи. Поэтому (16) где Таким образом, масштабный множитель определяется шириной полосы согласования трансформатора Из равенства (15) также следует, что на средней частоте полосы согласования длина звена трансформатора равна четверти длины волны в линии передачи Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях в выражениях (7), (12) получаем систему уравнений: (17) (18) (19) В качестве неизвестных в этих уравнениях выступают волновые сопротивления звеньев трансформатора Если задача синтеза ТВС решается при заданной ширине полосы согласования то из (16) можно определить масштабный множитель В этом случае третьей неизвестной в системе (17)-(19) является амплитудный множитель Другой вариант постановки задачи синтеза ТВС предполагает известным максимальное значение рабочего затухания в полосе согласования При этом, в соответствии с (14), амплитудный множитель является исходным параметром задачи синтеза, а масштабный множитель - неизвестной величиной. Согласно (10), сумма коэффициентов определяется только известными волновыми сопротивлениями согласуемых отрезков линии передачи На основании (10), (17)-(19) имеем Данная формула позволяет выразить амплитудный множитель через масштабный (20) либо получить обратное соотношение Тем самым, дальнейшие наши рассуждения будут справедливы для обоих вариантов постановки задачи синтеза ТВС. На основании (8), (17) можно получить квадратное уравнение относительно величины Его решения: (21) При помощи формулы (11) можно выразить одно из неизвестных волновых сопротивлений звеньев трансформатора через другое (22) С учетом соотношений (9), (22) можно привести уравнение (18) к виду (23) Здесь (24) (25) (26) В результате имеем (27) где (28) В соответствии с (24), (26) (29) Выразим все величины, присутствующие в (25), (29) через амплитудный и масштабный множители Согласно (8), (17) Подстановка (21) дает (30) Введем обозначения: С учетом этого, равенство (20) можно записать в виде квадратного уравнения относительно или Положительные решения этих уравнений имеют вид: (31) (32) Подставляя выражения (21), (30)-(32) в (25), (29) находим (33) (34) или (35) Из (33), (34) также следует, что Записав данное соотношение в виде легко убедиться в справедливости неравенства (36) Если волновые сопротивления согласуемых отрезков линии передачи удовлетворяют условию то, в соответствии с (35) При этом, согласно (28), (36) В случае имеем Таким образом, вне зависимости от того, как соотносятся величины одно из решений (27) уравнений (23) является действительным положительным (37) оставшиеся два решения имеют отличные от нуля мнимые части, являясь комплексно сопряженными. Обратимся теперь к определениям, связывающим волновое сопротивление и постоянную распространения волны с погонными параметрами линии передачи [2]: (38) (39) Здесь и - погонные индуктивность и емкость; - погонное сопротивление проводников линии передачи; - погонная проводимость изолятора, разделяющего проводники. Как следует из (38), для того, чтобы мнимая часть величины была отлична от нуля, необходимо наличие потерь в линии передачи и (или) При этом, согласно (39) Отсюда получаем или Тем самым, комплексным значениям величин соответствует комплексная постоянная распространения Как было отмечено выше, в этом случае неуместно представление рабочего затухания трансформатора в виде многочлена (7) с коэффициентами, задаваемыми формулами (8)-(10). Таким образом, как бы ни соотносились волновые сопротивления согласуемых отрезков линии передачи и существует единственное решение задачи синтеза двухзвенного ступенчатого ТВС с чебышевской частотной характеристикой. На основании (24), (26), (37) имеем или Принимая во внимание соотношения (21), (22) получаем следующие выражения для волновых сопротивлений звеньев трансформатора (40) (41) где Легко убедиться в том, что величины и удовлетворяют условию Формулы (40), (41) отличаются от аналогичных соотношений, полученных в [1], множителем Следует также отметить, что использованный в [1] подход оставляет открытым вопрос о существовании иных решений задачи синтеза двухзвенного ступенчатого ТВС с чебышевской частотной характеристикой.