Application of the theory of bifurcations to the analysis of the stability of impulse voltage stabilizers of a rising type

Full Text

Слово «бифуркация» означает «раздвоение» и употребляется как название любого скачкообразного изменения, происходящего при плавном изменении параметров в любой системе описываемой системой дифференциальных уравнений. В данной статье изучаются бифуркации фазовых портретов систем дифференциальных уравнений на примере импульсного стабилизатора напряжения (ИСН) повышающего типа. Дифференциальные уравнения, описывающие любые реальные физические системы, всегда содержат параметры, точные значения которых, как правило неизвестны. В нашем случае, ИСН может иметь основные собственные параметры системы, такие, как например сопротивление нагрузки значение которых с течением времени может меняться по неизвестным законам. Это не говоря уже о том значения сопротивления резисторов, емкости конденсаторов и индуктивности дросселей не имеют точных значений, и на практике даются в виде диапазонов. Тем более, что при изменении внешних факторов, таких как температура и т. д. реальные значения этих параметров также изменяются. А поскольку, если уравнение, моделирующее физическую систему, оказывается структурно неустойчивым, то есть поведение его решений может качественно изменится при сколь угодно малом изменении правой части, то необходимо понять, какие бифуркации фазового портрета происходят при изменении параметров, и какие соответственно качественные изменения в системе произойдут в связи с этим. При изучении таких систем, часть переменных, мало меняющихся в ходе процесса, как правило, полагают постоянными. В результате получается система с меньшим количеством переменных, которая и исследуется [1]. 1. Решение уравнения состояния В качестве примера применения теории бифуркации к ИСН, рассмотрим поведение системы повышающего преобразователя, и проанализируем условия устойчивости при варьировании разных параметров системы. Для этого возьмем уравнение состояния для исследуемого повышающего ИСН, упрощенная эквивалентно-функциональная схема которого представлена на рис. 1, с учетом активного сопротивления дросселя [2]: (1) где - переменные состояния; - индуктивность дросселя, а - его активное сопротивление; - емкость конденсатора; - величина входного напряжения; - коэффициент заполнения; - величина смежная коэффициенту заполнения. Если учитывать наличие обратных связей по току дросселя и напряжению нагрузки (или же конденсатора выходного фильтра), то данная система будет нелинейной, т. к. (2) где - напряжение опорного источника питания; и - коэффициенты обратной связи по току дросселя и напряжению конденсатора соответственно; - коэффициент ШИМ. Отсюда получим (3) и подставляем полученное выражение в (1), получаем (4) Устойчивость подобных систем удобно рассматривать относительно точки расположенной в начале координат. Для этого произведем стандартную в таких случаях замену переменных, которая сместит точку равновесия данной системы в начало координат. Данная замена переменных будет выглядеть следующим образом (5) где - точка равновесия; а - отклонение от нее. Далее запишем уравнение состояния в точке равновесия (6) Здесь и далее будем считать, что в точке равновесия коэффициент заполнения равен своему рабочему значению [3]: (7) Таким образом система (6) запишется в более упрощенном виде (8) Решив эту систему, получим точку равновесия для установившихся значений тока дросселя и выходного напряжения: (9) Далее произведем замену (5) в уравнении (4). Теперь учтем, что в точке вся система (6) обращается в ноль. В этом случае, вычтем систему (6) из полученной системы т. к. обе части системы уравнений (6) равны нулю. В результате получим систему уравнений относительно приращений переменных. (10) Данная система имеет нелинейный характер в связи с наличием членов и в правой части. Однако, в следствии того, что они имеют более высший порядок малости, чем остальные члены, временно линеаризуем систему (10), путем отбрасывания нелинейных членов. Линеаризованная система в упрощенном виде будет выглядеть в следующем виде (11) где - матрица Якоби системы (10) со следующими значениями членов: (12) Согласно критерию Ляпунова, неустойчивость возникает, если хотя бы одно из собственных значений матрицы Якоби находится в правых квадрантах комплексной плоскости. Далее выведем уравнение для нахождения собственных значений матрицы Якоби исходя из соотношения где Тогда искомое уравнение будет иметь корни в следующем виде (13) где Для качественного анализа устойчивости системы, рассмотрим все случаи для значений коэффициентов и • В этом случае, при условии очевидно будет выполнятся неравенство и собственные значения матрицы Якоби будут отрицательные, а следовательно система будет устойчивой. В таком случае и вся система будет устойчивой. • В этом случае при любых значениях и будет выполнятся неравенство и одно из собственных значений всегда будет всегда положительным, а система неустойчивой. • Здесь собственные значения будут и очевидно, что при система будет на границе устойчивости. • В этих случаях одно из собственных значений матрицы Якоби всегда будет положительным, вне зависимости от знака а система соответственно неустойчивой. • В этом случае система будет находится на границе устойчивости и малейшее изменение значений или будет приводить к качественному изменению в системе. • В этом случае собственные значения матрицы Якоби будут иметь чисто мнимый характер, т. е. а система будет находится на границе устойчивости. Из всех вышеперечисленных случаев особо следует выделить только два: и каждый из которых выражает собственную границу неустойчивости. Случай же, когда данные границы условий неустойчивости пересекаются (т. е.) особого рассмотрения не требует, по причине невозможности определения его точного расположения. Но даже если и предположить возможность определения его точного расположения, то его анализ по сути сведется к одному из двух основных случаев. 2. Поведения системы на границе устойчивости Рассмотрим поведение системы при условии Собственные значения матрицы Якоби будут иметь следующие значения а решение системы будет иметь следующий вид: Как видно из формы решений, на границе устойчивости система экспоненциально устремляется к какому-то значению, отличному от нуля, что будет проиллюстрировано ниже. Это говорит том, что происходит быстрый переход тока дросселя и напряжения конденсатора на другое значение, отличного от рабочего установившегося. Будем называть это качественное изменение в системе динамической бифуркацией. Теперь рассмотрим поведение системы на границе устойчивости, определяемой условием В этом случае корни характеристического уравнения будут иметь чисто мнимый характер, т. е. Общее решение системы д. у. описывающее работу системы будет иметь следующий вид: Таким образом мы видим, что решение системы имеет чисто гармонический характер, а значит представляет собой колебания с неизменной амплитудой. Как будет проиллюстрировано далее, фазовые портреты системы на данной границе устойчивости представляют собой замкнутые кривые овального характера (предельные циклы). Будем называть это качественное изменение в системе статической бифуркацией. 3. Условия устойчивости для статической и динамической бифуркаций Для получения условия устойчивости относительно величины коэффициента обратной связи по напряжению для динамической бифуркации, выразим из условия и получим: (14) Теперь отсюда составим уравнение для границы устойчивости (15) где - величина активной проводимости нагрузки. Для получения условия устойчивости относительно величины коэффициента обратной связи по напряжению для статической бифуркации выразим из условия и получим: (16) Теперь отсюда составим уравнение для границы устойчивости (17) Таким образом, получены границы устойчивости для статической и динамической бифуркаций относительно многих параметров системы, в том числе и относительно величины проводимости нагрузки 4. Численные результаты Для получения численных результатов, была использована система со следующими основными параметрами: В, мкФ, м Гн, Ом, Ом [4]. Как видно из (15) и (17) граница устойчивости для динамической бифуркации зависит от величин и а точнее от их соотношения а для статической бифуркации нет. Как показал анализ, при варьировании соотношения поверхность устойчивости поднимается или опускается целиком, вне зависимости от изменения других параметров системы. На рис. 2 и рис. 3 изображены поверхности статической и динамических неустойчивостей при варьировании коэффициента заполнения и коэффициента обратной связи по току соответственно и величины проводимости нагрузки Из рис. 2 видно, что для системы с данными параметрами пересечение поверхностей статической и динамической бифуркаций происходит при величине коэффициента заполнения Из рис. 3 видно, что при достаточно больших величинах коэффициента обратной связи по току наблюдается двукратное пересечение поверхностей бифуркаций. В связи с этим рассмотрим поведение системы при фиксированных коэффициентах заполнения и обратной связи по току дросселя более подробно (рис. 4). Здесь кривая 1 это граница статической бифуркации, а кривые 2, 2’ и 2’’ это границы динамических бифуркаций при варьировании соотношения (2 - при мкФ, 2’ - при мкФ и 2’’ - при мкФ). Из рисунка видно, что при увеличении соотношения граница динамической бифуркации поднимается по всей ширине равномерно, а при уменьшении опускается также равномерно по всей ширине. Наибольший интерес в данном случае будет представлять система со следующими параметрами: В, мкФ, мГн, Ом, Граница устойчивости для данной системы будет описываться динамической бифуркаций (кривой 2) за исключением участка а-б, где устойчивость будет определятся статической бифуркацией (кривая 1). Теперь изучим поведение системы при нарушении границы устойчивости на разных участках (при Ом Сим) для статической, и при Ом Сим) для динамической бифуркаций). На рис. 5, а-в изображены фазовые траектории для тока дросселя при прохождении границы устойчивости для Сим (статическая бифуркация). На рис. 5, а изображена фазовая траектория на границе устойчивости, на рис. 5, б для неустойчивой, а на рис. 5, в для устойчивой систем. Поведение тока дросселя на границе устойчивости для данных параметров отображено на рис. 5, г. На рис. 6, а-в изображены фазовые траектории для тока дросселя при прохождении границы устойчивости для Сим (динамическая бифуркация). На рис. 6, а изображена фазовая траектория на границе устойчивости, на рис. 6, б для неустойчивой, а на рис. 6, в для устойчивой систем. Поведение тока дросселя на границе устойчивости для данных параметров отображено на рис. 6, г. Из вышеприведенных рисунков видно, что при прохождении границы устойчивости для статической бифуркации наблюдается явление скачка тока дросселя, а при прохождении границы устойчивости для статической бифуркации наблюдаются незатухающие колебания тока дросселя. Отсюда можно сделать вывод, что при проектировании системы следует рассчитать статические и динамические бифуркации, дабы в последующем скорректировать значение соотношения т. о. чтобы граница устойчивости определялась статической или динамической бифуркацией однозначно. Тогда можно однозначно предсказать поведение системы при нарушении ее устойчивости.

About the authors

A. A Voronoi

R. M Zakirov

D. V Mishin

References

Supplementary files