High temperature limit for ceramics on the copper for transport systems based on magnetic levitation

Full Text

Введение

Научные и практические разработки   технологии создания грузового магнитолевитационного транспорта [5-14] ведутся с применением высокотемпературной керамики на меди.  Свойства данных соединений еще не достаточно изучены. В настоящей работе проводится их теоретическое изучение в высокотемпературном пределе, когда задача может быть решена точно. Для достижения поставленной цели использовался метод вторичного квантования в диаграмной технике [1] для четырехфермионного взаимодействия с потенциалом с твердым керном вида [2-3]. Удвоенная величина керна отождествлена с параметром решетки для ряда соединений на меди. Параметры решетки и др. взяты из книги [4]. Переход к высокотемпературному пределу произведен  непосредственно в основном уравнении сверхпроводимости для щели, что приводит данное уравнение к виду линейного интегрального уравнения. Последнее решено точно.  Определение энергетической выгодности образования такого конденсата производится путем расчета корреляционного термодинамического потенциала.

Базовая модель

Рассмотрим систему электронов с четырех- фермионным взаимодействием вида экранированного кулоновского взаимодействия потенциал с твердым керном

$\phi =-\frac{g}{a}\ln \left(\frac{1}{1+\frac{a}{r}}\right)$ . (1)

 При малом радиусе r < |а| сила (2) –

$F=-\frac{g}{ar}$ (2)

эквивалентна силе притяжения протяженной массивной нити.

Потенциал  (1) интересен тем, что именно потенциалы такого вида способны обеспечить конденсацию газа  по уравнению Ван-Дер-Ваальса [1]. Модель твердых шаров, как известно далека от реальности трехмерного пространства.

Цель данного раздела состоит в определении природы экранирования на основе применения формализма функций Грина [1] к фазовому переходу к сверхпроводимости (SQ) при высоких температурах.

1.1. Метод функций Грина при нулевой температуре в приближении Хартри-Фока Гамильтониан

$\begin{array}{l}H=\int d^{3}x{\Psi }_{\alpha }^{+}\left(x\right)H^{\left(1\right)}{\Psi }_{\alpha }\left(x\right)+\\ +\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{\left(1+2s\right)}\iint d^{3}x{d}^{3}y{\Psi }_{\alpha }^{+}\left(x\right){\Psi }_{\beta }^{+}\left(y\right)V_{\alpha {\alpha }^{\text{'}}\beta {\beta }^{\text{'}}}{\Psi }_{{\alpha }^{\text{'}}}\left(y\right){\Psi }_{{\beta }^{\text{'}}}\left(x\right),\end{array}$ (3)

α, β… – спинорные индексы, там где их нет они подразумеваются, по повторяющимся спиновым индексам производится суммирование с учетом спинового нормировочного множителя (1 + 2s) по спину фермионов s = 1/2,

коммутационные соотношения $\left\{\Psi \left(x\right){\Psi }^{+}\left(x^{\text{'}}\right)\right\}={\delta }^3\left(x-x^{\text{'}}\right),$

оператор числа частиц – $N=\int d^{3}x{\Psi }^{+}\left(x\right)\Psi \left(x\right).$

При приведении гамильтониана (3) к нормальному виду мы применим каноническое преобразование [1] «частица – дырка», при котором множество всех уровней α разбивается на две группы 1, 2 и вводятся операторы b_α,b_α⁺ [1, дополнительная литература]

$\begin{array}{l}{b}_{\alpha }=a_{\alpha },{b_{\alpha }}^{+}={a_{\alpha }}^{+},\alpha \in 1,{\epsilon }_{\alpha }\ge {\epsilon }_F;\\ b_{\alpha }={a_{\alpha }}^{+},{b_{\alpha }}^{+}=a_{\alpha },\alpha \in 2,{\epsilon }_{\alpha }<{\epsilon }_F.\end{array}$

Тогда разложение по полной ортонормированной системе φ_kα(x) собственных функций оператора одночастичной энергии (3) записывается  в следующем виде:

$\begin{array}{l}{\Psi }_{\alpha }\left(x\right)=\sum _{\alpha }\left({\chi }_1\left(\alpha \right)b_{\alpha }+{\chi }_2\left(\alpha \right){b_{\alpha }}^{+}\right){\varphi }_{\alpha }\left(x\right),\\ {{\Psi }_{\alpha }}^{+}\left(x\right)=\sum _{\alpha }\left({\chi }_1\left(\alpha \right){b_{\alpha }}^{+}+{\chi }_2\left(\alpha \right)b_{\alpha }\right){{\varphi }_{\alpha }}^{\ast }\left(x\right),\end{array}$ (4)

где χ_1,2 –характеристические функции множеств 1, 2 соответственно:

$\begin{array}{l}{\chi }_1\left(\alpha \right)=1,\alpha \in 1;\\ {\chi }_1\left(\alpha \right)=0,\alpha \in 2;\\ {\chi }_2\left(\alpha \right)=1,\alpha \in 2;\\ {\chi }_2\left(\alpha \right)=0,\alpha \in 1;\end{array}$

для коэффициентов разложения (4) при квантовании получаются стандартные перестановочные соотношения операторов рождения – уничтожения:

$\left\{a_n,{a_{n^{\text{'}}}}^{+}\right\}={\delta }_{n{n}^{\text{'}}},\left\{a_n,a_{n^{\text{'}}}\right\}=0,\left\{{a_n}^{+},{a_{n^{\text{'}}}}^{+}\right\}=0$

и аналогично для операторов рождения и уничтожения b_k, b_k⁺ в фоковском пространстве.

Основное состояние при отсутствии дискретных уровней с ε = ε_F  - внутри сферы Ферми, а если есть дискретные уровни с ε = ε_F, тогда основное состояние вырождено с кратностью 2ⁿ, n – число состояний с ε = ε_F.

${\Psi }_0^{\left(0\right)}:a_{\alpha }{\Psi }_0^{\left(0\right)}=0.$     

Поскольку взаимодействие (2) в (3) мало, то рассматриваемая система сходна с идеальным газом, в котором есть определенные уровни, заполненные до уровня Ферми   (μ – химический потенциал).

Приведение гамильтониана (3) к нормальному виду производится согласно общему выражению для нормального произведения операторов [1]

$\begin{array}{l}{A}_1...A_{n+1}=A_1{A}_2 A_n{a}_{n+1}+(-1{)}^n+b_{n+1}{A}_1...A_n+\sum _{k=1}^n{{(-1)}^{n-k}{n_{21}}^b(x_k,x_{n+1})\left[A_1...A_n\right]}_k,\\ A_i=a\left(x_i\right)+b\left(x_i\right),\\ {n_{21}}^b(x_k,x_{n+1})=a\left(x_k\right)b\left(x_{n+1}\right)+b\left(x_{n+1}\right)a\left(x_n\right),\end{array}$

роль операторов здесь играют операторы рождения и уничтожения (индекс k справа у квадратной скобки в обозначении проф. А.Н. Васильева означает отсутствие оператора A_k), путем последовательного применения формулы N_b – произведения для пары операторов-

${{\Psi }_{\beta }}^{+}\left(x\right){\Psi }_{{\beta }^{\text{'}}}\left(y\right)=N_b\left({{\Psi }_{\beta }}^{+}\left(x\right){\Psi }_{{\beta }^{\text{'}}}\left(y\right)\right)+{{\rho }^b}_{\beta {\beta }^{\text{'}}}(x,y),$

свертки

${\Psi }_{\alpha }^{+}\left(x\right){\Psi }_{\beta }\left(y\right)$=${{\rho }^b}_{\beta \alpha }(y,x)$                          

└─────┘

определяют матрицу плотности (с индексом 21, который здесь и далее опущен)

${{\rho }^b}_{\beta \alpha }\left(x,y\right)={\delta }_{\beta }^{\alpha }\sum _{{\alpha }^{\text{'}}}{\chi }_2\left({\alpha }^{\text{'}}\right){\varphi }_{{\alpha }^{\text{'}}}\left(y\right){\varphi }_{{\alpha }^{\text{'}}}^{\ast }\left(x\right)={\delta }_{\beta }^{\alpha }{n}^b\left(x,y\right),$ – волновые функции в формализме чисел заполнения;

В энергетическом представлении $\begin{array}{l}{{\rho }^b}_{\beta \alpha }\left(x,t,y,t^{\text{'}}\right)=\frac{-i}{2\pi }{\delta }_{\beta }^{\alpha }\int dE\sum _{{\alpha }^{\text{'}}}\left[\frac{{\chi }_2}{E+{\epsilon }_{{\alpha }^{\text{'}}}-\mu +i0}+\frac{{\chi }_1}{E+{\epsilon }_{{\alpha }^{\text{'}}}-\mu -i0}\right]\\ {{\varphi }_{{\alpha }^{\text{'}}}}^{\ast }\left(x\right){\varphi }_{{\alpha }^{\text{'}}}\left(y\right)\exp iE(t^{\text{'}}-t).\end{array}$

В результате приведения гамильтониана (3) к нормальному виду (5): 

Е₁ – это С – число.

$E_1=\int d^{3}x{d}^{3}yV\left(x-y\right)\left[n^b\left(y,y\right)n^b\left(x,x\right)-\frac{1}{2}{n}^b\left(x,y\right)n^b\left(y,x\right)\right],$ $\begin{array}{l}{\vartheta }_{HF}{\varphi }_{\alpha }\left(\overrightarrow{x}\right)=\int d^{3}yV(\overrightarrow{x}-\overrightarrow{y})\left(2\left({\left({\chi }_1\right(\alpha \left)\right)}^2-{\left({\chi }_2\right(\alpha \left)\right)}^2\right)n^b(\overrightarrow{y},\overrightarrow{y}){\varphi }_{\alpha }\left(\overrightarrow{x}\right)-\right.\\ +\left(x_2\right(\alpha ){)}^4\left.n^b(\overrightarrow{y},\overrightarrow{x},){\varphi }_{\alpha }\left(\overrightarrow{y}\right)\right),\end{array}$ (5)

для случая газа с парным взаимодействием с потенциалом (2):

$V_{\alpha {\alpha }^{\text{'}}\beta {\beta }^{\text{'}}}\left(\overrightarrow{x}-\overrightarrow{y}\right)=V\left(\overrightarrow{x}-\overrightarrow{y}\right){\delta }_{\alpha {\alpha }^{\text{'}}}{\delta }_{\beta {\beta }^{\text{'}}},V\left(\overrightarrow{x}\right)=\phi \left(\overrightarrow{x}\right).$ (6)

Постоянная взаимодействия g будет определена ниже.

Корреляционное взаимодействие $\begin{array}{l}N{H}_I=\iint d^{3}x{d}^{3}yV(\overrightarrow{x}-\overrightarrow{y})\sum _{\alpha ,\beta }\left[{b_{\alpha }}^{+}{b_{\beta }}^{+}{b}_{\beta }\right.b_{\alpha }\left({\left({\chi }_1\left(\alpha \right)\right)}^2\left({\left({\chi }_1\left(\beta \right)\right)}^2-{\left({\chi }_2\left(\beta \right)\right)}^2\right)\right)\\ \cdot {{\varphi }_{\alpha }}^{\ast }\left(\overrightarrow{x}\right){{\varphi }_{\beta }}^{\ast }\left(\overrightarrow{y}\right){\varphi }_{\alpha }\left(\overrightarrow{x}\right){\varphi }_{\beta }\left(\overrightarrow{y}\right)-\\ -{b_{\beta }}^{+}{b_{\alpha }}^{+}{b}_{\alpha }{b}_{\beta }{\left({\chi }_2\left(\alpha \right)\right)}^2\left({\left({\chi }_1\left(\beta \right)\right)}^2+{\left({\chi }_2\left(\beta \right)\right)}^2\right)\left.{{\varphi }_{\alpha }}^{\ast }\left(\overrightarrow{x}\right){{\varphi }_{\beta }}^{\ast }\left(\overrightarrow{y}\right){\varphi }_{\alpha }\left(\overrightarrow{x}\right){\varphi }_{\beta }\left(\overrightarrow{y}\right)\right],\\ {\left({\chi }_1\left(\beta \right)\right)}^2+{\left({\chi }_2\left(\beta \right)\right)}^2=1.\end{array}$

Суммирование по поляризациям здесь произведено. Вклады всех других членов зануляются независимо от поляризации за счет множителя вида ${\chi }_1\left(\beta \right){\chi }_2\left(\beta \right)\equiv 0.$

После перестановки коммутирующих операторов все выражение приводится к симметричному виду:

$\begin{array}{l}N{H}_I=\iint d^{3}x{d}^{3}yV(\overrightarrow{x}-\overrightarrow{y})\sum _{\alpha ,\beta }{b_{\alpha }}^{+}{b_{\beta }}^{+}{b}_{\beta }{b}_{\alpha }\\ \left({\left({\chi }_1\left(\alpha \right)\right)}^2\left({\left({\chi }_1\left(\beta \right)\right)}^2-{\left({\chi }_2\left(\beta \right)\right)}^2\right)-{\left({\chi }_2\left(\alpha \right)\right)}^2\left({\left({\chi }_1\left(\beta \right)\right)}^2+{\left({\chi }_2\left(\beta \right)\right)}^2\right)\right)\cdot \\ \cdot {{\varphi }_{\alpha }}^{\ast }\left(\overrightarrow{x}\right){{\varphi }_{\beta }}^{\ast }\left(\overrightarrow{y}\right){\varphi }_{\alpha }\left(\overrightarrow{x}\right){\varphi }_{\beta }\left(\overrightarrow{y}\right),\\ {\left({\chi }_1\left(\beta \right)\right)}^2+{\left({\chi }_2\left(\beta \right)\right)}^2=1.\end{array}$

Химический потенциал Ферми – газа:

$\mu =\frac{1}{2m}{\left(3{\pi }^2\frac{N}{\Omega }\right)}^{\raisebox{1ex}{$2$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$3$}\right.}.$  (7)

${\rho }_{\alpha \beta }(x,y)={\delta }_{\alpha \beta }{n}^b\left(\overrightarrow{x}-\overrightarrow{y}\right),$ (8)

хартри – фоковский потенциал (6) для дырок из группы 2

${\vartheta }_{HF}{\varphi }_{\alpha }\left(\overrightarrow{x}\right)=\int d^{3}yV(\overrightarrow{x}-\overrightarrow{y})\left(2n^b\left(0\right){\varphi }_{\alpha }\left(\overrightarrow{x}\right)-n^b(\overrightarrow{x}-\overrightarrow{y}){\varphi }_{\alpha }\left(\overrightarrow{y}\right)\right).$ (9)                                                               $2n^b\left(0\right)=\frac{2}{{\left(2\pi \right)}^3}\int d^{3}p\Theta \left({\overrightarrow{p}}_F-\overrightarrow{p}\right)=\nu =\frac{N}{\Omega },$ (10)    

N – число частиц, Ω – объём. В однородной системе волновые функции определены через спиноры

${\varphi }_{\sigma }\left(\overrightarrow{x}\right)=\frac{1}{\sqrt{\Omega }}{e}^{i\overrightarrow{p}\cdot \overrightarrow{x}}{u}_{\sigma }.$

 В случае кулоновского взаимодействия первый член (9)                                                ${\epsilon }_{HF}=2\int d^{3}yV(\overrightarrow{x}-\overrightarrow{y})n^b\left(0\right)$ (11)

расходится и относится к бесконечному сдвигу основного уровня энергии. Однако, для потенциала (2) в случае  a < 0  область интегрирования в (12) разбивается на две несвязные части r < a и r > a. Внутри сферы радиуса а интеграл (12) сходится к 

${\epsilon }_{HF}^1=\nu \underset{\left|\overrightarrow{x}-\overrightarrow{y}\right|\le a}{\int }{d}^{3}y\frac{g}{a}\ln \left(\frac{1}{\left|\frac{a}{\left|\overrightarrow{x}-\overrightarrow{y}\right|}-1\right|}\right)=2\pi a^2\nu g.$ (12)      

Эту часть энергии Хартри–Фока естественно включить в одночастичный гамильтониан, а остаток интегрирования отнести к сдвигу основного уровня энергии как обычно. Такого рода добавка появляется в собственно–энергетической части Σ.

Учет обменного интеграла в (9) дает спектр одночастичного взаимодействия

$\epsilon \left(p\right)=\frac{{\overrightarrow{p}}^2}{2m}+{\epsilon }_{HF}^{\left(1\right)}+{\vartheta }_1\left(p\right).$ (13)     

Поскольку  есть оператор умножения, то решение уравнения Хартри–Фока есть плоская волна

${\varphi }_{\overrightarrow{p},\sigma }\left(\overrightarrow{k}\right)~{\delta }^3(\overrightarrow{p}-\overrightarrow{k})u_{\sigma .}$

Таким образом, волновая функция системы фермионов со взаимодействием (2) есть плоская волна с законом дисперсии (14), рассматриваемым как чисто квантовый эффект обменного взаимодействия.

Химический потенциал 

${\mu }_0=\frac{p_F^2}{2m}+{\epsilon }_{HF}^{\left(1\right)}+{\vartheta }_1\left(p_F\right).$ (14)                          

Вычисление ${\vartheta }_1\left(p\right)$:

${\vartheta }_1\left(p\right)=\frac{1}{{\left(2\pi \right)}^3}\int e^{i\overrightarrow{p}\overrightarrow{x}}\frac{g}{a}\ln \frac{1}{\left|1-\frac{a}{\left|\overrightarrow{x}\right|}\right|}\frac{1}{{\left(2\pi \right)}^3}{e}^{i\overrightarrow{k}\overrightarrow{x}}\Theta ({\overrightarrow{p}}_F-\overrightarrow{k})d^{3}k{d}^{3}x=\frac{g}{{\left(2\pi \right)}^3}\int F(\overrightarrow{p}-\overrightarrow{k})\Theta ({\overrightarrow{p}}_F-\overrightarrow{k})d^{3}k,$ (15)

где F – фурье–образ потенциала (2):

$\begin{array}{l}F\left(\overrightarrow{k}\right)=\frac{4\pi }{{\left(2\pi \right)}^3}\underset{0}{\overset{\infty }{\int }}dx\cdot x\cdot \frac{\sin kx}{k}\frac{1}{a}\ln \left(\frac{1}{\left|1-\frac{a}{x}\right|}\right)=\\ =\frac{4\pi }{{\left(2\pi \right)}^3}\frac{a^2}{\overline{k}\sqrt{2\pi }}\frac{d}{d\overline{k}}I\left(\overline{k}\right),\end{array}$   $\overline{k}=ka.$ (15А)

Интеграл (15А)  определяется через табличный интеграл:

$\begin{array}{l}I\left(k\right)=-\underset{\epsilon \to 0}{\lim }\underset{0}{\overset{\infty }{\int }}dx\cos kx\ln \left|\frac{x+\epsilon }{x-1}\right|=\\ =\frac{1}{k}\left\{\frac{\pi }{2}(1-\cos k)-\cos kSi\left(k\right)+\sin kCi\left(k\right)\right\},\\ Ci\left(k\right)=-\underset{k}{\overset{\infty }{\int }}dx\frac{\cos x}{x},Si\left(k\right)=\underset{0}{\overset{k}{\int }}dx\frac{\sin x}{x}-\end{array}$

– интегральный косинус и синус соответственно.

При малых импульсах и при учете малости а –                                                                        $F\left(k\right)\cong \frac{4g\pi }{k^2}\left[1+\frac{\pi }{4}ka+\frac{a^2{k}^2}{3}\left(\frac{4}{3}-C-\ln \left(ak\right)\right)+...\right]$ (16)

С = 0.577… – постоянная Эйлера.

${\vartheta }_{HF}=2\pi a^{2}g\nu +{\vartheta }_{1.}$ (17)

Точное соотношение между импульсом Ферми и длиной экранирования в критической точке (см. ниже):

$a=\frac{{\pi }^2\sqrt{12}}{p_F}.$ (18)

Постоянная взаимодействия g определяется через импульс Ферми с помощью расчетного соотношения типа (17), в котором параметр экранирования а отождествлен с параметром длины кристаллической ячейки, например, для сверхпроводящей керамики на меди типа 1 : 2 : 3 а ≡ 0.38 нм. Тогда по формуле (17) можно оценить величину константы взаимодействия порядка 10^-5 в системе единиц с = ħ = m_p = 1 (m_p - масса протона. В эту формулу следует подставлять эффективную массу электрона в решетке, определенную как обычно с учетом перенормировки через обменный интеграл. В этом случае отрицательных а, введение добавки (12) к энергии Ферми по «а» от вакуумного сдвига оказывается очень существенным, поскольку без этого импульс Ферми в соотношении типа  (18)  для (17) падает в 3 раза по сравнению со случаем положительных а, и возможно энергия Ферми вообще положительна.

 В любом случае сверхпроводящая система при высоких температурах характеризуется как плотная, поскольку пространственный Фурье – образ точного решения (см. ниже) основного уравнения сверхпроводимости в высокотемпературном пределе для энергетической щели оказался сосредоточенным на двумерной поверхности сферы. Переход к пределу высоких температур произведен непосредственно в основном уравнении для щели, так что все выполнено в самом общем виде.

1.2. Сжатые системы

Сумма связных диаграмм порядка n  характеризуется двумя параметрами: β = 4πgm/p_F= π²/224.18 = 0.0440 – сила взаимодействия, и η = a·p_F =34.2 – характеристика плотности состояний в критической точке при нулевой энергии Ферми. 1/η = 0.0292 – малый параметр. Это позволяет использование теории возмущений после проведения суммирования и перенормировки с учетом среды.

Вычисление эффективного взаимодействия с учетом влияния среды приводит к потенциалу    

$V_{eff}(\overrightarrow{k},\omega )=\frac{V\left(\overrightarrow{k}\right)}{1-V\left(\overrightarrow{k}\right)\Pi (\overrightarrow{k},\omega )}=$ $\frac{4\pi \cdot g\left(1+\frac{\pi }{4}kasign\left(a\right)+\frac{k^2{a}^2}{3}\left(\frac{4}{3}-C-\ln \left(ka\right)\right)\right)}{\left[1+\xi \frac{16mg}{\pi \cdot p_F}\left(\frac{4}{3}-C-\ln \left(ka\right)\right)\right]\cdot \left[k^2+\xi \frac{4mg{p}_F(1+\pi \frac{ka}{4}sign(a\left)\right)}{1+\xi \cdot \frac{16mg}{\pi \cdot p_F}\left(\frac{4}{3}-C-\ln \left(ka\right)\right)}\right]}$ (19)

вида экранированного кулоновского потенциала (31) (ξ ~ -1), характеризуемого «дебаевским радиусом» а/2 и перенормировкой постоянной связи g. ξ = +1 для вакуумного состояния, ξ ~ –1 для заполненного состояния.

1.3. Высокотемпературная сверхпроводимость

Возникновение сверхпроводимости по методу функций Грина обусловлено образованием нового основного состояния при включении взаимодействия, что характеризуется меньшей симметрией. Отличие нового вакуума от старого после фазового перехода характеризуют аномальной функцией Грина. Для них строят уравнение, зависящее от них самих, и если после включения взаимодействия будет нетривиальное решение, то это позволит определить принципиальную возможность фазового перехода.

Основное уравнение сверхпроводимости для энергетической щели Ξ

$\Xi \left(p^2\right)=-\frac{1}{{\left(2\pi \right)}^3}\int \frac{d^3{p}^{\text{'}}\Xi \left(p^{\text{'}}\right)V\left(p^{\text{'}}\right)}{2\sqrt{{\zeta }^2+{\Xi }^2}}th\left(\frac{\beta }{2}\sqrt{{\zeta }^2+{\Xi }^2}\right)$ 

$\beta =\frac{\hslash }{kT},\zeta \left(\overrightarrow{p}\right)=\epsilon \left(\overrightarrow{p}\right)-\mu -\Sigma \left(\overrightarrow{p}\right),$ (20)

$F=\frac{\Xi }{{\zeta }^2-{\epsilon }^2-{\Xi }^2}$ - аномальная функция Грина

В пределе высоких температур β→0

$th\left(\frac{\beta }{2}\sqrt{{\zeta }^2+{\Xi }^2}\right)\approx \frac{\beta }{2}\sqrt{{\zeta }^2+{\Xi }^2}$

происходит сокращение этого множителя с корнем в знаменателе (20). В результате основное уравнение сверхпроводимости приводится к виду линейного уравнения

$\Xi \left(p^2\right)=-\frac{2\pi \beta }{{\left(2\pi \right)}^3}\underset{0}{\overset{\infty }{\int }}{p^{\text{'}}}^{2}d{p}^{\text{'}}\Xi \left(p^{\text{'}}\right)V(p-p^{\text{'}})\underset{-1}{\overset{1}{\int }}d\left(\cos \Theta \right).$ (21)

Так как $k=\sqrt{p^2+{p^{\text{'}}}^2-2p{p}^{\text{'}}\cos \Theta }$, то

$\Xi \left(y\right)=-\frac{2\pi \cdot g\beta f}{4\cdot {\left(2\pi \right)}^3}\underset{0}{\overset{8}{\int }}{x}^{2}dx\Xi \left(x\right)\cdot \underset{a\left|y-x\right|}{\overset{a\left|y+x\right|}{\int }}\frac{\overline{k}d\overline{k}}{xy}\cdot \frac{1}{\overline{k}\sqrt{2\pi }}\cdot \frac{d}{d\overline{k}}I\left(\overline{k}\right)=$ $=-\frac{\sqrt{2\pi }\cdot g\beta f}{4\cdot {\left(2\pi \right)}^3}\underset{0}{\overset{8}{\int }}\begin{array}{l}\frac{xdx}{y}\Xi \left(x\right)\cdot \\ {\left.\left(\frac{\frac{\pi }{2}(1-\cos \overline{k})+\sin \overline{k}Ci\left(\overline{k}\right)-\cos \left(\overline{k}\right)Si\left(\overline{k}\right)}{\overline{k}}\right)\right|}_{a\left|y-x\right|}^{a\left|y+x\right|}\end{array}$ (22)

f – численный нормировочный коэффициент. Наиболее сингулярная часть (22) дает:

$\Xi \left(y\right)=-\frac{2\pi \cdot g\beta }{{\left(2\pi \right)}^3}\cdot 4\pi \underset{0}{\overset{\infty }{\int }}\frac{x}{y}dx\Xi \left(x\right)\ln \left|\frac{y+x}{y-x}\right|$ (23)

Точное решение уравнения (23):

$\Xi \left(y\right)=\frac{\sin by}{y}$,  где $b=\frac{\beta \cdot g}{4}=\frac{\beta \cdot e^2}{4}$. (24)

Критическая температура Т_с перехода к сверхпроводимости определяется условием обращения в нуль энергетической щели Ξ = 0:$T_{к}=\frac{e^2{p}_F}{4\pi \cdot l}=\frac{e^2}{4\pi {\xi }_{c}l},l=1,2,...$ (25)

Подстановка в эту формулу значения корреляционной длины ~ 6 нм дает Тк ~ 190 ˚К. Дискретные зависимости вида (25) известны (см.[4]).

Пространственный фурье-образ щели (24) в действительности локализован на двумерной поверхности сферы r = const. Это можно показать с помощью теоремы Котельникова. Таким образом, сверхпроводящая энергетическая щель при высоких температурах сосредоточена на двумерной (квазидвумерной) пленке, как это и наблюдается в эксперименте. Приведение задачи к двумерной существенно облегчает анализ проявления сверхпроводимости, поскольку все известные модели высокотемпературной сверхпроводимости двумерные.

 1.4.     Расчет термодинамического потенциала ферми – газа с экранированным взаимодействием.

При вычислении добавки к термодинамическому потенциалу в данном случае достаточно учесть [1-2] вклады диаграмм третьего порядка от малых импульсов k при w_n = 0:

$\begin{array}{l}\Delta {\Phi }_c=\Phi -{\Phi }_0=-\frac{\Omega }{{\left(2\pi \right)}^{3}2\beta }\sum _n\int d^{3}k\left\{\ln \left(1-Q\left(k,w_n\right)\right)+Q\left(k,w_n\right)\right\}=\\ =-\frac{4\pi \Omega }{{\left(2\pi \right)}^{3}2\beta }\underset{0}{\overset{\infty }{\int }}dk{k}^2\left\{\ln \left[1+\frac{\overline{a}\left(1-\frac{\pi }{4}ak\right)}{k^2}\right]-\left[\frac{\overline{a}\left(1-\frac{\pi }{4}ak\right)}{k^2}\right]\right\}+O\left(\frac{g^2\Omega }{T^4}\right)\end{array}$$\begin{array}{l}=\frac{4\pi \Omega }{{\left(2\pi \right)}^{3}2\beta }\frac{2{\overline{a}}^2}{3}\underset{0}{\overset{\infty }{\int }}dk\frac{1}{\left[k^2+\overline{a}\left(1-\frac{\pi }{4}ak\right)\right]}=\frac{\Omega }{12\pi \beta }\frac{{\overline{a}}^2}{\left|x\right|}\ln \left|\frac{\left|x\right|-\frac{\pi }{8}\left|\overline{a}\right|a}{\left|x\right|+\frac{\pi }{8}\left|\overline{a}\right|a}\right|<0,\\ x^2=\frac{{\pi }^2{a}^2{\overline{a}}^2}{64}.\\ \Delta \Phi =\sqrt{\beta }\ln \left|\beta -{{\beta }^{\text{'}}}_c\right|.\\ \overline{a}=4\pi g\beta \nu -длина рассеяния,{{\beta }^{\text{'}}}_c={\beta }_c\frac{1}{{\pi }^2}.\end{array}$

Где ${{\beta }^{\text{'}}}_c=\frac{4\pi l}{\left|g\right|p_F}=\frac{4\pi la}{\left|g\right|{\pi }^2\sqrt{12}}\left(l=1,2,...\right),$ что приводит к определению импульса ферми согласно (18) в согласии с (25).

Данное выражение в силу отрицательности сдвига свободной энергии (как в случае бозе – газа) означает, что образование конденсата фермионов энергетически выгодно, причем выражение для теплоемкости данной трехмерной системы содержит логарифм Онзагера двумерной модели Изинга.

Результаты

В развитие методов квантовой теории [1] поля по методу вторичного квантования рассмотрена задача о фазовом переходе при высоких температурах для четырехфермионного взаимодействия с потенциалом вида [2-3] с твердым керном. Удвоенная величина керна отождествлена с параметром решетки для ряда соединений на меди. Суммирование диаграмм теории возмущений произведено в самом общем виде. Переход к высокотемпературному пределу произведен  непосредственно в основном уравнении сверхпроводимости для щели, что приводит данное уравнение к виду линейного интегрального уравнения. Последнее решено точно, причем кроме нулевого нормального решения имеется нетривиальное решение в объёме, распределенное (сосредоточенное) на сфере некоторого радиуса обратно пропорционально критической температуре. Произведен расчет корреляционного термодинамического потенциала. Что показало энергетическую выгодность  образования такого конденсата. Данное точное решение основного уравнения  сверхпроводимости для щели допускает дополнительно целую серию решений с меньшими температурами в целое число раз как в табл. 18 книги [4] (это имеет место также в аналогичном подходе для мировой структуры энергетических щелей гравитационного сверхпроводящего конденсата, устанавливающей наблюдаемые границы спектра масс частиц и резонансов [15]). Ниже в табл. 1 приведены результаты детального расчета параметров для четырех видов сверхпроводящей керамики на меди при различных критических температурах.  Параметры решетки и др. взяты из книги [4]. Постоянная эффективного взаимодействия имеет порядок постоянной Ферми слабого взаимодействия на три порядка слабее электромагнитного.

Таким образом, получено точное решение основного уравнения сверхпроводимости для энергетической щели в высокотемпературном пределе в объёме, распределенное (сосредоточенное) на сфере некоторого радиуса обратно пропорционального критической температуре; расчет корреляционного термодинамического потенциала показал энергетическую выгодность  образования такого конденсата.

Данное точное решение основного уравнения  сверхпроводимости для энергетической щели допускает дополнительно целую серию решений с меньшими в целое число раз температурами как в табл. 18 книги [4].

Приведены результаты детального расчета параметров для четырех видов высокотемпературной керамики на меди при различных критических температурах;  постоянная эффективного взаимодействия g_э имеет порядок постоянной Ферми слабого взаимодействия на три порядка слабее электромагнитного.

Таблица 1. Высокотемпературный предел сверхпроводимости

Заключение

В результате проведенных исследований была разработана теория высокотемпературной керамики на меди для транспортных систем на магнитолевитационной основе. Сверхпроводящий конденсат локализован на поверхности сфер дискретного радиуса обратно пропорционально критической температуре. Установлено, что отношение глубины ямы U = g_э/R_э к критической температуре во всех случаях унифицируется к постоянной величине, равной 0.880 в пределах допустимого разброса 0.11.

About the authors

Alexandr G. Syromyatnikov

Author for correspondence.
Email: alsyromyatnikov@mail.ru

Lead sci. collaborator

References

Supplementary files