Surface impedance of electromagnetic field excited by a grounded horizontal antenna in the Earth–ionosphere waveguide

Full Text

ВВЕДЕНИЕ

Электромагнитные методы наряду с сейсмическими играют значительную роль как в исследованиях литосферы, так и в геологоразведке [Жданов, 2012]. Наиболее часто в экспериментальных работах в качестве источника электромагнитного поля используются естественные магнитосферно-ионосферные электромагнитные шумы. В то же время, в связи с развитием в последнее время технических средств излучения и приема, в практику исследований начинают внедряться активные эксперименты с применением сигналов от мощных низкочастотных передающих устройств [Велихов, 1997]. Использование волн крайне низкочастотного (3$–$30 Гц) $–$ КНЧ, и более низкого диапазона, глубоко проникающих в исследуемую среду, позволяет надеяться на получение новой важной информации о структуре Земли и происходящих в ней процессах. Основным при работе с естественными полями является импедансный подход, использующий отношение тангенциальных составляющих электрического поля к магнитным [Тихонов, 1950; Cagniard, 1953; Ковтун, 2009]. Такой путь удобен при регистрации естественных полей, так как не требует информации как об источнике, так и о трассе распространения поля от источника к точке приема. Естественно, в методе используется ряд предположений, в частности, что поверхностный импеданс на границе раздела определяется электромагнитными параметрами среды под границей раздела и расстоянием от источника до точки наблюдения и совпадает с импедансом плоской волны [Бреховских, 1957] на расстояниях, превышающих величину скин-слоя. Кроме того, в литературе, посвященной анализу полей в волноводе Земля$–$ионосфера [Wait, 1970], сложилось физическое представление, что на расстояниях меньше двух высот ионосферного волновода для длинных волн можно пренебречь влиянием ионосферы на поле, а, соответственно, и на величину импеданса. Такой вывод неявно предполагает, что величина скин-слоя значительно меньше двойной высоты ионосферного волновода. Однако при использовании волн КНЧ и более низкого диапазонов при работе на кристаллических щитах при зондированиях полями искусственных возбудителей (типа длинных электрических линий) величина скин-слоя может превышать двойную высоту волновода, и вопрос о влиянии ионосферы не очевиден. Это показали эксперименты с длинным, заземленным на концах электрическим кабелем в качестве источника поля [Терещенко, 2007], в которых было установлено влияние ионосферы на амплитуду низкочастотного магнитного поля, регистрируемую на расстоянии, сопоставимом с высотой ионосферного волновода.

Ниже на примере плоского волновода Земля$–$ионосфера оценим влияние ионосферы на поверхностный импеданс при низкой проводимости подстилающей поверхности.

ПОЛЕ ЗАЗЕМЛЕННОЙ ГОРИЗОНТАЛЬНОЙ АНТЕННЫ В ВОЛНОВОДЕ ЗЕМЛЯ$–$ИОНОСФЕРА

Рассмотрим возбуждение плоского волновода горизонтальной заземленной антенной. Определим поле в трехслойной среде (рис. 1), формируемое заземленной на концах горизонтальной линией длиной 2L, питаемой током с гармонической зависимостью от времени exp($–$iωt) и находящейся на границе раздела z = 0.

При этом будем считать проводимость Земли σ_g и ионосферы σ_i постоянными и изотропными. Систему координат выбрали следующим образом. Центр декартовых координат поместили в середину антенны, ось z направили вверх, ось x $–$ вдоль антенны, а y $–$ поперек антенны. Расстояние от центра антенны до произвольной точки наблюдения (x, y, z) обозначили R, а расстояние на плоскости (x, y, 0) от центра антенны обозначили ρ и ρ_η $–$ расстояние от произвольной точки антенны.

Среду в области 0≤z≤h считаем практически непроводящей (σ=+0, при этом наличие + у нуля указывает на небольшое поглощение) с диэлектрической проницаемостью ε₀$\simeq$10^-9/36π Ф/м и магнитной проницаемостью μ0=4π10^-7 Г/м. Предполагаем, что в области z<0 имеем электромагнитные параметры ε_g, μ₀, σ_g, а при z>h $–$ ε_i, μ₀, σ_i.

Задача возбуждения электромагнитного поля сторонним током J сводится к решению уравнений Гельмгольца для электрического вектор-потенциала A с соответствующими граничными условиями [Wait, 1970; Вешев, 1980]. В дальнейшем удобно использовать уравнения для комплексных амплитуд соответствующих монохроматических компонент (A→Aexp($–$iωt), E→Eexp($–$iωt), H→Hexp($–$iωt), где E и H $–$ электрическое и магнитное поле, соответственно).

 

Рис. 1. Геометрия задачи.

 

Принимая во внимание, что источник направлен вдоль оси x (рис. 1), представим A в виде двух составляющих:

$A^{\left(j\right)}=A_x^{\left(j\right)}{e}_x+A_z^{\left(j\right)}{e}_z,$

где j=g, 0, i указывает на среду, e_x и e_z $–$ единичные орты, направленные вдоль осей x и z $–$ соответственно.

Дальнейшие шаги аналогичны сделанным в работе [Терещенко, 2017]. Это решение уравнения Гельмгольца для компонент вектора-потенциала с соответствующими граничными условиями, но в отличие от работы [Терещенко, 2017] с добавлением дополнительных условий на потенциал на границе ионосферы.

В результате, опуская промежуточные преобразования и вычисления, можем представить $A_x^{\left(j\right)}$ и $A_z^{\left(j\right)}$ для точечного заземленного горизонтального источника с дипольным моментом jΔ_x в следующем виде:

$\begin{array}{l}{A}_x^{\left(i\right)}\text{}=\frac{J{\Delta }_x}{4\pi }\underset{0}{\overset{\infty }{{\displaystyle \int }}}{\alpha }_i\text{exp }(-{\nu }_{i}z)J_0\left(\lambda \rho \right)d\lambda ,\\ A_x^{\left(0\right)}\text{}=\frac{J{\Delta }_x}{4\pi }\underset{0}{\overset{\infty }{{\displaystyle \int }}}\left[\left(\frac{\lambda }{{\nu }_0}+{\alpha }_0\right)\text{}\text{exp }(-{\nu }_{0}z)+{\beta }_0\text{exp }({\nu }_{0}z)\right]J_0\text{}\left(\lambda \rho \right)d\lambda ,\\ A_x^{\left(g\right)}\text{}=\frac{J{\Delta }_x}{4\pi }\underset{0}{\overset{\infty }{{\displaystyle \int }}}\left(\frac{\lambda }{{\nu }_g}+{\beta }_g\right)\text{exp }({\nu }_{g}z)J_0\left(\lambda \rho \right)d\lambda .\end{array}$

(1)

Подобные выражения имеем и для $A_z^{\left(j\right)}:$

$\begin{array}{l}{A}_z^{\left(i\right)}=-\frac{J{\Delta }_x}{4\pi }\frac{\partial }{\partial x}\underset{0}{\overset{\infty }{{\displaystyle \int }}}{\eta }_i\text{exp }(-{\nu }_{i}z)\frac{J_0\left(\lambda \rho \right)}{\lambda }d\lambda ,\\ A_z^{\left(0\right)}=\text{}-\frac{J{\Delta }_x}{4\pi }\frac{\partial }{\partial x}\underset{0}{\overset{\infty }{{\displaystyle \int }}}\left({\eta }_0\text{exp }(-{\nu }_{0}z)+{\gamma }_0\text{exp }({\nu }_{0}z)\right)\frac{J_0\text{}\left(\lambda \rho \right)}{\lambda }d\lambda ,\\ A_z^{\left(g\right)}=-\frac{J{\Delta }_x}{4\pi }\frac{\partial }{\partial x}\underset{0}{\overset{\infty }{{\displaystyle \int }}}{\gamma }_g\text{exp }({\nu }_{g}z)\frac{J_0\left(\lambda \rho \right)}{\lambda }d\lambda ,\end{array}$

(2)

где:

$\begin{array}{l}\sqrt{k_j^2-{\lambda }^2}=i\sqrt{{\varkappa }_j^2+{\lambda }^2}\equiv i{\nu }_j, {\varkappa }_j=-i{k}_j, \\ k_j=\frac{\omega }{c}\sqrt{\frac{{\epsilon }_j}{{\epsilon }_0}+i\frac{{\sigma }_j}{\omega {\epsilon }_0}}=\frac{\omega }{c}\sqrt{{{\tilde{\epsilon }}^{\prime }}_j},\end{array}$

$j=\left[g\mathrm{,0,}i\right],$ c $–$ скорость света.

Так как в процессе вычислений фиксировали ветвь корня таким образом, что $\text{I}m\sqrt{k_j^2-{\lambda }^2}>\mathrm{0,}$ то $\text{Re}{\nu }_j>0.$ Система уравнений для неизвестных α_i, α₀, β₀, β_g, η₀, η_i, γ₀, γ_g получается в результате использования граничных условий.

Граничные условия при z = h дают следующую систему уравнений:

$\begin{array}{c}{\alpha }_i\text{exp }(-{\nu }_{i}h)-{\alpha }_0\text{exp }(-{\nu }_{0}h)-{\beta }_0\text{exp }({\nu }_{0}h)=\frac{\lambda }{{\nu }_0}\text{exp }(-{\nu }_{0}h),\\ {\eta }_i\text{exp }(-{\nu }_{i}h)-{\eta }_0\text{exp }(-{\nu }_{0}h)-{\gamma }_0\text{exp }({\nu }_{0}h)=\mathrm{0,}\\ -{\alpha }_i{\nu }_i\text{exp }(-{\nu }_{i}h)+{\alpha }_0{\nu }_0\text{exp }(-{\nu }_{0}h)-{\beta }_0{\nu }_0\text{exp }({\nu }_{0}h)=\\ =-\lambda \text{exp }(-{\nu }_{0}h),\\ {\eta }_i{\nu }_i{k}_0^2\text{exp }(-{\nu }_{i}h)-{\eta }_0{\nu }_0{k}_i^2\text{exp }(-{\nu }_{0}h)+{\gamma }_0{\nu }_0{k}_i^2\text{exp }({\nu }_{0}h)=\\ =\lambda \text{}\left[k_i^2\text{}\left(\left(\frac{\lambda }{{\nu }_0}+{\alpha }_0\right)\text{}\text{exp }(-{\nu }_{0}h)+{\beta }_0\text{}\text{exp }(\text{}{\nu }_{0}h)\right)-{\alpha }_i{k}_0^2\text{exp }(-{\nu }_{i}h)\right],\end{array}$

(3)

а при z = 0:

$\begin{array}{c}{\alpha }_0\text{}+{\beta }_0-{\beta }_g=\lambda \frac{{\nu }_0-{\nu }_g}{{\nu }_0{\nu }_g},{\alpha }_0\text{}-{\beta }_0+{\beta }_g\frac{{\nu }_g}{{\nu }_0}=\mathrm{0,}\\ {\eta }_0+{\gamma }_0-{\gamma }_g=\mathrm{0,}\\ {\eta }_0{\nu }_0{k}_g^2+{\gamma }_g{\nu }_g{k}_0^2=\lambda \left[k_0^2\left(\frac{\lambda }{{\nu }_g}+{\beta }_g\right)-k_g^2\left(\frac{\lambda }{{\nu }_0}+{\alpha }_0\right)\right].\end{array}$

(4)

В дальнейшем нам понадобятся коэффициенты α0 и β0, поэтому ниже приведем их явные выражения:

$\begin{array}{c}{\alpha }_0=\frac{\lambda \left({\nu }_0-{\nu }_g\right)}{{\nu }_0}\times \\ \times \frac{\left({\nu }_0+{\nu }_i\right)+\left({\nu }_0-{\nu }_i\right)\exp (-2{\nu }_{0}h)}{\left({\nu }_0+{\nu }_g\right)\left({\nu }_0+{\nu }_i\right)-\left({\nu }_0-{\nu }_g\right)\left({\nu }_0-{\nu }_i\right)\exp (-2{\nu }_{0}h)},\\ {\beta }_0=\frac{2\lambda \left({\nu }_0-{\nu }_i\right)\exp (-2{\nu }_{0}h)}{\left({\nu }_0+{\nu }_g\right)\left({\nu }_0+{\nu }_i\right)-\left({\nu }_0-{\nu }_g\right)\left({\nu }_0-{\nu }_i\right)\exp (-2{\nu }_{0}h)}.\end{array}$

(5)

Имея результат вычисления для вектора-потенциала, можно определить электромагнитное поле и, соответственно, импеданс. Чтобы не усложнять расчетов, будем рассматривать составляющую импеданса $Z_{yx}=E_y/H_x.$ Она имеет более простой вид по сравнению с другими, но в то же время отражает основные закономерности в поведении импеданса. Рассмотрим величину импеданса в нижней среде. Отметим, что в силу непрерывности горизонтальных составляющих полей импеданс на границе при подходе к ней снизу будет равен импедансу при подходе сверху.

Используя связь полей с вектором-потенциалом:

$H^{\left(g\right)}=\text{rot }{A}^{\left(g\right)},E^{\left(g\right)}=i\omega {\mu }_0{A}^{\left(g\right)}-\frac{i\omega {\mu }_0}{{\varkappa }_g^2}\text{grad div }{A}^{\left(g\right)}.$

можно получить

$H_x^{\left(g\right)}=\frac{\partial }{\partial y}{A}_z^{\left(g\right)},E_y^{\left(g\right)}=-\frac{i\omega {\mu }_0}{{\varkappa }_g^2}\frac{\partial }{\partial y}\left[\frac{\partial A_x^{\left(g\right)}}{\partial x}+\frac{\partial A_z^{\left(g\right)}}{\partial z}\right].$

Подставляя выражения для $A_x^{\left(g\right)}$ и $A_z^{\left(g\right)}$ из (1) и (2), находим:

$\begin{array}{c}{E}_y^{\left(g\right)}=\\ =-\frac{J{\Delta }_x}{4\pi }i\frac{\omega {\mu }_0}{{\varkappa }_g^2}\frac{\partial }{\partial x}\frac{\partial }{\partial y}\underset{0}{\overset{\infty }{{\displaystyle \int }}}\left(\frac{\lambda }{{\nu }_g}+\beta -{\nu }_g\frac{{\gamma }_g}{\lambda }\right)\text{exp }({\nu }_{g}z)J_0\left(\lambda \rho \right)d\lambda ,\\ H_x^{\left(g\right)}=-\frac{J{\Delta }_x}{4\pi }\frac{\partial }{\partial x}\frac{\partial }{\partial y}\underset{0}{\overset{\infty }{{\displaystyle \int }}}\frac{{\gamma }_g}{\lambda }\text{exp }({\nu }_{g}z)J_0\left(\lambda \rho \right)d\lambda .\end{array}$

Выразив коэффициенты β_g, γ_g через α₀, β₀, η₀ и γ₀ с помощью (3) и (4) получим:

$$\begin{array}{c}{E}_y^{\left(g\right)}=-\frac{J{\Delta }_x}{4\pi }i\frac{\omega {\mu }_0}{{\varkappa }_g^2}\frac{\partial }{\partial x}\frac{\partial }{\partial y}\underset{0}{\overset{\infty }{{\displaystyle \int }}}\left[\frac{\lambda }{{\nu }_0}+{\alpha }_0+{\beta }_0\text{}-\frac{{\nu }_g}{\lambda }\left({\eta }_0+{\gamma }_0\right)\right]\text{exp }({\nu }_{g}z)J_0\left(\alpha \rho \right)d\lambda ,\\ H_x^{\left(g\right)}=-\frac{J{\Delta }_x}{4\pi }\frac{\partial }{\partial x}\frac{\partial }{\partial y}\underset{0}{\overset{\infty }{{\displaystyle \int }}}\frac{\left({\eta }_0+{\gamma }_0\right)}{\lambda }\text{exp }({\nu }_{g}z)J_0\left(\lambda \rho \right)d\lambda .\end{array}$$

(6)

При возбуждении волн низкочастотного диапазона (КНЧ и СНЧ, частоты менее 300 Гц) хорошим приближением при рассмотрении поля является квазистационарное приближение [Терещенко, 2017], в рамках которого полагают ${\varkappa }_0\to 0.$ Воспользуемся условием ${\varkappa }_0=0.$ Тогда из систем уравнений (3) и (4) получаем следующие соотношения:

${\eta }_0{|}_{{\varkappa }_0\to 0}=-\left(1+{\alpha }_0{|}_{{\varkappa }_0\to 0}\right), {\gamma }_0{|}_{{\varkappa }_0\to 0}={\beta }_0{|}_{{\varkappa }_0\to 0}.$

Подставляя эти выражения в (6) с учетом (5) имеем:

$$\begin{array}{c}{E}_y^{\left(g\right)}{|}_{{\varkappa }_0\to 0}=-\frac{J{\Delta }_{x}i\omega {\mu }_0}{2\pi {\varkappa }_g^2}\frac{\partial }{\partial x}\frac{\partial }{\partial y}\left[\underset{0}{\overset{\infty }{{\displaystyle \int }}}\text{exp }({\nu }_{g}z)J_0\left(\lambda \rho \right)d\lambda +\underset{0}{\overset{\infty }{{\displaystyle \int }}}f\left(\lambda ,{\varkappa }_g,{\varkappa }_i,h\right)\text{exp }({\nu }_{g}z)J_0\left(\lambda \rho \right)d\lambda \right],\\ H_x^{\left(g\right)}{|}_{{\varkappa }_0\to 0}=\frac{J{\Delta }_x}{2\pi }\frac{\partial }{\partial x}\frac{\partial }{\partial y}\left[\underset{0}{\overset{\infty }{{\displaystyle \int }}}\frac{1}{\lambda +{\nu }_g}\text{exp }({\nu }_{g}z)J_0\left(\lambda \rho \right)d\lambda +\underset{0}{\overset{\infty }{{\displaystyle \int }}}\frac{{\nu }_g}{{\varkappa }_g^2}f\left(\lambda ,{\varkappa }_g,{\varkappa }_i,h\right)\text{exp }({\nu }_{g}z)J_0\left(\lambda \rho \right)d\lambda \right],\end{array}$$

(7)

где

$f\left(\lambda ,{\varkappa }_g,{\varkappa }_i,h\right)=\frac{2\left(\lambda -{\nu }_g\right)\left(\lambda -{\nu }_i\right)\exp (-2\lambda h)}{\left(\lambda +{\nu }_g\right)\left(\lambda +{\nu }_i\right)-\left(\lambda -{\nu }_g\right)\left(\lambda -{\nu }_i\right)\exp (-2\lambda h)}.$

Формула (7) $–$ это представление полей в виде суммы поля в двухслойной среде и дополнения, отражающего влияние ионосферы. При h→∞, т.е. в отсутствие ионосферы, второе слагаемое в квадратных скобках стремится к нулю. Первые слагаемые в квадратных скобках несложно вычислить, используя два интеграла Ватсона [Терещенко, 2017]:

$\begin{array}{c}\underset{0}{\overset{\infty }{{\displaystyle \int }}}\frac{\exp ({\nu }_{g}z)}{{\nu }_g}{J}_0\left(\lambda \rho \right)\lambda d\lambda =\frac{\exp (-{\varkappa }_g)R}{R}, \\ \underset{0}{\overset{\infty }{{\displaystyle \int }}}\frac{\exp ({\nu }_{g}z)}{{\nu }_g}{J}_0\left(\lambda \rho \right)d\lambda =I_0\left(r_{+}\right)K_0\left(r_{-}\right),\end{array}$

где

$R=\sqrt{{\rho }^2+z^2},r_{+}=\frac{{\varkappa }_g\left(R+z\right)}{2},r_{-}=\frac{{\varkappa }_g\left(R-z\right)}{2},$

I0, K0 $–$ модифицированные функции Бесселя. В результате получим

$E_y^{\left(g\right)}{|}_{{\varkappa }_0\to 0}=-\frac{J{\Delta }_{x}i\omega {\mu }_0}{2\pi {\varkappa }_g^2}\frac{\partial }{\partial x}\frac{\partial }{\partial y}\left[\frac{\partial }{\partial z}{I}_0\left(r_{+}\right)K_0\left(r_{-}\right)+\underset{0}{\overset{\infty }{{\displaystyle \int }}}f\left(\lambda ,{\varkappa }_g,{\varkappa }_i,h\right)\text{exp }({\nu }_{g}z)J_0\left(\lambda \rho \right)d\lambda \right],$

$$\begin{array}{c}{H}_x^{\left(g\right)}{|}_{{\varkappa }_0\to 0}=-\frac{J{\Delta }_x}{2\pi {\varkappa }_g}\frac{\partial }{\partial x}\frac{\partial }{\partial y}\left[\frac{1}{{\varkappa }_g}\frac{\partial }{\partial z}\frac{\exp ({\varkappa }_{g}R)}{R}-\frac{1}{{\varkappa }_g}\frac{{\partial }^2}{\partial z^2}{I}_0\left(r_{+}\right)K_0\left(r_{-}\right)\right.-\\ -\left.\underset{0}{\overset{\infty }{{\displaystyle \int }}}\frac{{\nu }_g}{{\varkappa }_g}f\left(\lambda ,{\varkappa }_g,{\varkappa }_i,h\right)\text{exp }({\nu }_{g}z)J_0\left(\lambda \rho \right)d\lambda \right].\end{array}$$

(8)

После того, как получили выражения для полей горизонтального заземленного вибратора (8), можно перейти к рассмотрению импеданса.

ПОВЕРХНОСТНЫЙ ИМПЕДАНС ПОЛЯ ЗАЗЕМЛЕННОЙ ГОРИЗОНТАЛЬНОЙ АНТЕННЫ

Прежде чем преобразовать формулы (8), рассмотрим падение плоской монохроматической волны на границу раздела двух сред [Бреховских, 1957]. Ее импеданс Zg равен:

 

$Z_g=\frac{E_{\tau }}{H_{\tau }}=\sqrt{\frac{{\mu }_0}{{\tilde{\epsilon }}^{\prime }{\epsilon }_0}}=\sqrt{\frac{{\mu }_0}{{\epsilon }_0}\frac{1}{1+i{\sigma }_g/\left(\omega {\epsilon }_0\right)}},$

где E_τ и H_τ $–$ тангенциальные составляющие электрического и магнитного полей, соответственно. При $\sigma /\left(\omega {\epsilon }_0\right)\gg 1$ импеданс будет равен

 

$$Z_g=\sqrt{-\frac{i\omega {\mu }_0}{{\sigma }_g}}.$$

(9)

Рассмотрим поведение поля и, соответственно, импеданса при z, стремящемся к нулю, т.е. на поверхности Земли. Из (8), учитывая (9), получаем при z→0:

 

$\begin{array}{c}{E}_y^{\left(g\right)}\text{}{|}_{{\varkappa }_0\to \mathrm{0,}z\to 0}=\frac{J{\Delta }_x}{2\pi {\varkappa }_g}{Z}_g\frac{\partial }{\partial x}\frac{\partial }{\partial y}\times \\ \times \left[\frac{1}{\rho }+\underset{0}{\overset{\infty }{{\displaystyle \int }}}f\left(\lambda ,{\varkappa }_g,{\varkappa }_i,h\right)\text{exp }({\nu }_{g}z)J_0\left(\lambda \rho \right)d\lambda {|}_{z\to 0}\right],\end{array}$

$\begin{array}{c}{H}_x^{\left(g\right)}{|}_{{\varkappa }_0\to \mathrm{0,}z\to 0}=\frac{J{\Delta }_x}{2\pi {\varkappa }_g}\frac{\partial }{\partial x}\frac{\partial }{\partial y}\times \\ \times \left[\frac{{\varkappa }_g}{2}\left[I_0\left(\frac{\rho {\varkappa }_g}{2}\right)K_0\left(\frac{\rho {\varkappa }_g}{2}\right)+I_1\left(\frac{\rho {\varkappa }_g}{2}\right)K_1\left(\frac{\rho {\varkappa }_g}{2}\right)\right]\right.+\end{array}$

$+\left.\underset{0}{\overset{\infty }{{\displaystyle \int }}}\frac{{\nu }_g}{{\varkappa }_g}f\left(\lambda ,{\varkappa }_g,{\varkappa }_i,h\right)\text{exp }({\nu }_{g}z)J_0\left(\lambda \rho \right)d\lambda {|}_{z\to 0}\right].$

Если воспользоваться асимптотическими разложениями модифицированных функций Бесселя при $\left|\rho {\varkappa }_g/2\right|\gg 1$ [Градштейн, 1962], то несложно заметить, что внеинтегральный член в $H_x^{\left(g\right)}{|}_{{\varkappa }_0\to \mathrm{0,}z\to 0}$ стремится к $1\text{}/\text{}\rho$ и совпадет с аналогичным в $E_y^{\left(g\right)}{|}_{{\varkappa }_0\to \mathrm{0,}z\to 0}.$ Следующий шаг преобразования формул для полей $–$ дифференцирование по y. Учтем, что

$\frac{\partial }{\partial y}=\frac{\partial \rho }{\partial y}\frac{\partial }{\partial \rho }=\frac{y}{\rho }\frac{\partial }{\partial \rho },$

и после дифференцирования по ρ получим:

 

$\begin{array}{c}{E}_y^{\left(g\right)}{|}_{{\varkappa }_0\to \mathrm{0,}z\to 0}=-\frac{J{\Delta }_x}{2\pi {\varkappa }_g}{Z}_g\frac{\partial }{\partial x}\frac{y}{\rho }\times \\ \times \left[\frac{1}{{\rho }^2}+\underset{0}{\overset{\infty }{{\displaystyle \int }}}f\left(\lambda ,{\varkappa }_g,{\varkappa }_i,h\right)\text{exp }({\nu }_{g}z)J_1\left(\lambda \rho \right)d\lambda {|}_{z\to 0}\right],\\ H_x^{\left(g\right)}{|}_{{\varkappa }_0\to \mathrm{0,}z\to 0}=-\frac{J{\Delta }_x}{2\pi {\varkappa }_g}\frac{\partial }{\partial x}\frac{y}{\rho }\left[\frac{{\varkappa }_g}{\rho }{I}_1\left(\frac{\rho {\varkappa }_g}{2}\right)K_1\left(\frac{\rho {\varkappa }_g}{2}\right)\right.+\\ +\left.\underset{0}{\overset{\infty }{{\displaystyle \int }}}\frac{{\nu }_g}{{\varkappa }_g}f\left(\lambda ,{\varkappa }_g,{\varkappa }_i,h\right)\text{exp (}{\nu }_{g}z)J_1\left(\lambda \rho \right)d\lambda {|}_{z\to 0}\right].\end{array}$

(10)

От переменной интегрирования λ в формуле (10) перейдем к безразмерной переменной $\zeta =\lambda \rho$ и введем новые обозначения:

 

$$\begin{array}{c}\rho {\varkappa }_j=\left(1-i\right)\rho \sqrt{\pi f{\mu }_0{\sigma }_j}\equiv \left(1-i\right)D_j,\\ {\chi }_j=\rho {\nu }_j=\sqrt{{\zeta }^2+D_j^2},j=\left[g,i\right].\end{array}$$

(11)

Нетрудно заметить, что D_j $–$ это отношение расстояния от антенны до точки наблюдения к толщине скин-слоя среды. В новых переменных получаем следующее выражение для поля:

 

$$\begin{array}{c}{E}_y^{\left(g\right)}{|}_{{\varkappa }_0\to \mathrm{0,}z\to 0}=-\frac{J{\Delta }_x}{2\pi {\varkappa }_g}{Z}_g\frac{\partial }{\partial x}\frac{y}{{\rho }^3}{F}_E,\\ H_x^{\left(g\right)}{|}_{{\varkappa }_0\to \mathrm{0,}z\to 0}=-\frac{J{\Delta }_x}{2\pi {\varkappa }_g}\frac{\partial }{\partial x}\frac{y}{{\rho }^3}{F}_H,\end{array}$$

(12)

где:

$F_E=1+\underset{0}{\overset{\infty }{{\displaystyle \int }}}\Phi \left(\zeta \right)\text{exp }(-2\zeta h/\rho )d\zeta ,$

$$\begin{array}{c}{F}_H=\left(1-i\right)D_g{I}_1\left(\frac{D_g}{1+i}\right)K_1\left(\frac{D_g}{1+i}\right)+\\ +\underset{0}{\overset{\infty }{{\displaystyle \int }}}\sqrt{1+i\frac{{\zeta }^2}{2D_g^2}}\Phi \left(\zeta \right)\text{exp }(-2\zeta h/\rho )d\zeta ,\end{array}$$

(13)

 

$\Phi \left(\zeta \right)=\frac{2\zeta \left(\zeta -{\chi }_g\right)\left(\zeta -{\chi }_i\right)}{\left(\zeta +{\chi }_g\right)\left(\zeta +{\chi }_i\right)-\left(\zeta -{\chi }_g\right)\left(\zeta -{\chi }_i\right)\exp (-2\zeta h/\rho )}{J}_1\left(\zeta \right).$

 

Формулы (12) и (13) описывают поле горизонтального заземленного диполя. Поле линейной антенны определяется суммой полей, излучаемых источниками, относящимися к антенне. В частности, если обозначим ${\mathcal{H}}^{\left(g\right)}\left(\rho ,z\right)$ магнитное поле, возбуждаемое линейной заземленной антенной в нижнем полупространстве, то $\mathcal{H}\left(\rho ,z=0\right)=\sum H^{\left(g\right)}\left(\rho ,z\to 0\right),$ то есть равно сумме полей источников, находящихся в точке η на антенне (рис. 1). Устремляя Δ_x к нулю, можно суммирование заменить на интегрирование по η:

$J{\Delta }_x\to Jd\eta ,$

после чего получим:

 

$\mathcal{H}\left(\rho ,z=0\right)=\underset{-L}{\overset{L}{{\displaystyle \int }}}{H}_x^{\left(g\right)}\left({\rho }_{\eta },z\to 0\right){|}_{J{\Delta }_x\to J}d\eta ,$

где ${\rho }_{\eta }=\sqrt{{(x-\eta )}^2+y^2}.$

При интегрировании необходимо подставить под интеграл выражение для поля диполя, находящегося не в центре координат, а в точке $x=\eta ,y=0.$ Произведем замену в выражении (12) для магнитного поля $x\to x-\eta ,\rho \to {\rho }_{\eta }$ и $\partial /\partial x\to -\partial /\partial \eta .$ Выполняя интегрирование по η, получим:

 

$\mathcal{H}\left(\rho \mathrm{,0}\right)=\frac{J}{2\pi {\varkappa }_g}\frac{y}{{\rho }_{\eta }^3}{F}_H{|}_{\eta =-L}^{\eta =L}.$

Аналогичные преобразования можно выполнить и для электрического поля. Опуская их, можно написать для электрического поля линейной заземленной антенны ${\mathcal{E}}_y\left(\rho \mathrm{,0}\right)$ следующее выражение:

 

${\mathcal{E}}_y\left(\rho \mathrm{,0}\right)=\frac{J}{2\pi {\varkappa }_g}{Z}_g\frac{y}{{\rho }_{\eta }^3}{F}_E{|}_{\eta =-L}^{\eta =L}.$

Таким образом, поверхностный импеданс зависит от импеданса плоской волны и отношения функций F_E и F_H и только при F_E = F_H равен Zg. Функция F_H имеет более сложный вид по сравнению с F_E, и ее поведение меняется в зависимости от D_g. Рассмотрим поведение F_H при $D_g\gg 1.$ Воспользовавшись асимптотическими представлениями для модифицированных функций Бесселя [Градштейн, 1962], получим:

 

$I_1\left(\frac{D_g}{1+i}\right)K_1\left(\frac{D_g}{1+i}\right)\sim \frac{1+i}{2D_g}$

и, соответственно,

 

$F_H\simeq 1+\underset{0}{\overset{\infty }{{\displaystyle \int }}}\sqrt{1+i\frac{{\zeta }^2}{D_g^2}}\Phi \left(\zeta \right)\text{exp }(-2\zeta h/\rho )d\zeta .$ (14)

Так как $D_g\gg \mathrm{1,}$ то выражение (14) будет отличаться от выражения (12) для F_E лишь при больших $\zeta \gg D_g.$ Выражение, стоящее под знаком интеграла, представляет собой произведение медленно меняющейся и экспоненциальной функции. В зависимости от показателя экспоненты будет изменяться вклад интегрального члена в функцию F_H. Чтобы оценить вклад в интеграл области с $\zeta \gg D_g$ рассмотрим экспоненту, входящую в интеграл $\text{exp }(-2\zeta h/\rho ).$ Учитывая, что $\zeta \gg D_g,$ то $\text{exp }(-2\zeta h/\rho )<\text{exp }(-2D_{g}h/\rho ).$ Из (11) следует, что $D_g/\rho$ $–$ это величина, обратная толщине скин-слоя. Следовательно, при отношении удвоенной высоты волновода к толщине скин-слоя много больше единицы имеем экспоненциально малую величину и, соответственно, вклад в интеграл, которым можно пренебречь. Таким образом, $F_E\approx F_H$ при $D_g\gg 1$ и удвоенной высоте волновода, превышающей длину скин-слоя, и, соответственно, при выполнении этих условий поверхностный импеданс будет равен импедансу плоской волны.

Перейдем теперь к случаю, когда $D_g<1.$ Здесь даже в отсутствии ионосферы поверхностный импеданс не совпадает с импедансом плоской волны. Рассмотрим H_x, имеющую более сложную структуру, чем E_y. Из формулы (13) при $D_g<1$ следует, что:

 

$\begin{array}{c}{F}_H=\frac{1-i}{2}{D}_g\times \\ \times \left[1+\frac{2}{\left(1-i\right)D_g}\underset{0}{\overset{\infty }{{\displaystyle \int }}}\sqrt{1+i\frac{{\zeta }^2}{D_g^2}}\Phi \left(\zeta \right)\text{exp }(-2\zeta h/\rho )d\zeta \right].\end{array}$

Наличие множителя, превышающего единицу, перед интегралом по ζ, показывает, что относительные изменения в магнитном поле, обусловленные влиянием ионосферы, могут быть более значительными, по сравнению с изменениями в F_E. На рис. 2 приведены результаты расчетов функции $\left|F_H\right|/D_g$ как функции параметра (частоты) для ряда значений электродинамических параметров волновода и отношения высоты волновода к расстоянию от источника. При этом проводимость Земли, используемая в расчетах ${\sigma }_g=5\cdot {10}^{-5}$ См/м, соответствует проводимости Земли для Кольского полуострова. Из графиков следует, что для КНЧ и более низких частот, соответствующих $D_g<1$ имеется заметное влияние ионосферы на величину магнитного поля. В область $D_g>1$ при рассматриваемых отношениях высоты к расстоянию до антенны зависимость от проводимости ионосферы отсутствует, что совпадает с классическими представлениями о влиянии ионосферы лишь на расстояниях, превышающих двойную высоту ионосферного волновода.

 

Рис. 2. Зависимость FHDg как функции параметра Dg для ряда значений электродинамических параметров волновода и отношения высоты волновода к расстоянию от источника: (a) – h/p = 0.8, (б) – h/p = 1.1.

 

Как уже указано выше, подобное явление наблюдается и в экспериментальных исследованиях [Терещенко, 2007]. Однако малая мощность используемого генератора низкочастотного электромагнитного поля не позволила получить хорошее отношение сигнала к шуму и сделать точные количественные оценки.

Хорошие экспериментальные данные были получены при проведении на Кольском полуострове измерений во время эксперимента FENICS-2014 в августе$–$сентябре 2014 г. [Колобов, 2015], где использовался более мощный передатчик, чем ранее применявшийся, а также более протяженная антенна. Это позволило пренебречь влиянием на принимаемый сигнал как внешних, так и внутренних шумов. В процессе измерений сигнал превышал шум на два порядка и измерялся с точностью многократно превышающей суточные вариации. На рис. 3 представлены результаты измерения магнитного поля H_x 23$–$29 августа 2014 г. в обсерватории Ловозеро, находящейся на расстоянии около 100 км от излучающей антенны. Геомагнитные условия были спокойными в первой половине эксперимента, а 27$–$29 августа наблюдалось повышение магнитной активности, и соответственно изменения в ионосфере. Для сопоставления рис. 2 и рис. 3 оценим величину D_g для эксперимента, проведенного на Кольском полуострове. Подставив в (17), определяющую D_g, параметры, соответствующие эксперименту: h = 80 км $–$ высоту волновода, ρ = 100 км $–$ расстояние от одного из концов антенны и ${\sigma }_g=5\cdot {10}^{-5}$ См/м, получим, что f = 1 Гц соответствует $D_g\approx \mathrm{1.4.}$

 

Рис. 3. Зависимость амплитуды магнитного поля от частоты при силе тока в передающей антенне 1 А в сеансах 23–29 августа 2014 г. (обс. Ловозеро) – компоненты Hx. Обозначения кривых: 1 – измерения 23–27.08.2014 г.; 2 – 28.08.2014 г.; 3 – 29.08.2014 г.

 

Поэтому сравнивая рис. 3 с теоретическим поведением функции F_H (рис. 2), видим, что они подобны. Таким образом, при низкой проводимости подстилающей поверхности наблюдается влияние ионосферы на магнитное поле и соответственно поверхностный импеданс КНЧ и более низком диапазоне.

ВЫВОДЫ

Полученное в работе решение задачи о поле заземленной линейной антенны в трехслойной среде позволяет оценить как поведение электромагнитного поля, так и поверхностного импеданса на Земле в зависимости от электродинамических параметров и высоты плоского волновода Земля$–$ионосфера. Показано, что при отношении расстояния от точки наблюдения до излучающей антенны, превышающего величину скин-слоя Земли, необходимым условием для совпадения поверхностного импеданса электромагнитной волны и импеданса плоской волны является малость скин-слоя по сравнению с высотой волновода.

Теоретически показано и экспериментально подтверждено влияние ионосферы на расстояниях, меньших скин-слоя, при низкой проводимости подстилающей поверхности на магнитное поле и поверхностный импеданс волн КНЧ и более низкого диапазона.

Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект $№$ 19-05-00823)

About the authors

E. D. Tereshchenko

Polar Geophysical Institute

Author for correspondence.
Email: tereshchenko@gmail.com
Russian Federation, 26a, Akademgorodok street, Apatity,Murmansk region, 184209

P. E. Tereshchenko

Pushkov Institute of Terrestrial Magnetism, Ionosphere and Radio Waves Propagation of the Russian Academy of Sciences; Polar Geophysical Institute

Email: tereshchenko@gmail.com
Russian Federation, IZMIRAN, Kaluzhskoye hwy, 4, Troitsk, Moscow, 108840 ;26a, Akademgorodok street, Apatity,Murmansk region, 184209 

References

Supplementary files