Forecasting aftershock activity: 4. Estimating the maximum magnitude of future aftershocks

Cover Page

Abstract


In this paper, we consider the problem of forecasting the magnitude of the future, starting from a certain instant of time, strongest aftershock. This problem is topical since the later strong aftershocks occur against the background of the less frequently repeating shocks, are less expected and thus pose an independent hazard. At the same time, the magnitudes of the strongest aftershocks decrease with time after the main shock. The purpose of accurate forecasting is to minimize the underestimation or overestimation of the magnitude of future risks. In this study, the aftershock process is represented by the superposition of the Gutenberg–Richter and Omori–Utsu laws whose parameters are estimated by the Bayess method using the data on the aftershocks that have already occurred to a given time point and the a priori information about the probable values of the parameters. This significantly improves the forecast compared to the estimates that are based on the magnitude of the main shock alone. The quality of forecasting is estimated relative to the Båth’s dynamic law with the use of two independent criteria. The first criterion is based on the similarity estimates, and the second, on the error diagram.


ВВЕДЕНИЕ

В этой статье, продолжая серию по проблеме прогнозирования опасности повторных толчков после сильных землетрясений, мы разрабатываем метод оценивания для произвольного момента времени максимальной магнитуды афтершоков, которые произойдут после этого момента, с использованием данных об афтершоках, которые произошли до этого момента.

Задача оценки магнитуды сильнейшего афтершока, на первый взгляд, аналогична хорошо известной задаче оценки максимальной возможной магнитуды землетрясения [Holschneider et al., 2014; Kijko, 2004; Knopoff, Kagan, 1977; Pisarenko et al., 1996; Писаренко и др., 2017]. Эти две задачи, тем не менее, имеют принципиальное отличие. Количество афтершоков конечно, поэтому для задачи оценки магнитуды сильнейшего афтершока отклонение графика повторяемости от прямолинейной формы в области больших магнитуд не является определяющим, в отличие от задачи оценки максимально возможной магнитуды землетрясений, в которой основные усилия исследователей направлены именно на исследование и моделирование этого отклонения.

Рассмотрение проблемы, зависящей от времени оценки магнитуды сильнейшего афтершока, было начато в предыдущей статье [Баранов, Шебалин, 2018]. Мы получили теоретическую зависимость от времени для аналогичных оценок, но без использования информации об уже произошедших афтершоках. Теоретические распределения для разных моментов времени хорошо совпали с наблюденными. Эта модель необходима, прежде всего, как «нулевое приближение», относительно которого можно оценивать любую другую методику зависящих от времени оценок максимальной магнитуды афтершоков, в том числе разработанную в рамках данной работы. Кроме того, когда данных недостаточно, модель может быть непосредственно использована для прогноза. Необходимость «нулевого приближения» возникла на этапе тестирования и окончательной отладки предлагаемой здесь методики во времени, близком к реальному, в рамках разрабатываемой автоматизированной системы прогнозирования опасности афтершоков AFCAST (www.afcast.org).

В данной работе мы опираемся на важные результаты, полученные в указанной и других недавних работах. Во-первых, мы продолжаем следовать гипотезе Ризенберга MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSn0BKvguHDwzZbqefauqYLwySbsvUL 2yVrwzG00uaeXatLxBI9gBamXvP5wqSXMqHnxAJn0BKvguHDwzZbqe gm0B1jxALjhiov2DaeHbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaebbnrfifHhDYf gasaacH8srps0lbbf9q8WrFfeuY=Hhbbf9v8qqaqFr0xc9pk0xbba9 q8WqFfea0=yr0RYxir=Jbba9q8aq0=yq=He9q8qqQ8frFve9Fve9Ff 0dmeaabaqaciGacaGaaeqabaWaaqaafaaakeaaryqqYLwySbacgaqc LbwaqaaaaaaaaaWdbiaa=nbiaaa@4556@ Джонс [Reasenberg, Jones, 1989] о возможности использования прямой суперпозиции законов Гутенберха MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSn0BKvguHDwzZbqefauqYLwySbsvUL 2yVrwzG00uaeXatLxBI9gBamXvP5wqSXMqHnxAJn0BKvguHDwzZbqe gm0B1jxALjhiov2DaeHbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaebbnrfifHhDYf gasaacH8srps0lbbf9q8WrFfeuY=Hhbbf9v8qqaqFr0xc9pk0xbba9 q8WqFfea0=yr0RYxir=Jbba9q8aq0=yq=He9q8qqQ8frFve9Fve9Ff 0dmeaabaqaciGacaGaaeqabaWaaqaafaaakeaaryqqYLwySbacgaqc LbwaqaaaaaaaaaWdbiaa=nbiaaa@4556@ Рихтера [Gutenberg, Richter, 1954] и Омори MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSn0BKvguHDwzZbqefauqYLwySbsvUL 2yVrwzG00uaeXatLxBI9gBamXvP5wqSXMqHnxAJn0BKvguHDwzZbqe gm0B1jxALjhiov2DaeHbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaebbnrfifHhDYf gasaacH8srps0lbbf9q8WrFfeuY=Hhbbf9v8qqaqFr0xc9pk0xbba9 q8WqFfea0=yr0RYxir=Jbba9q8aq0=yq=He9q8qqQ8frFve9Fve9Ff 0dmeaabaqaciGacaGaaeqabaWaaqaafaaakeaaryqqYLwySbacgaqc LbwaqaaaaaaaaaWdbiaa=nbiaaa@4556@ Утсу [Utsu, 1961] для моделирования афтершоковых процессов [Баранов, Шебалин, 2016]. Во-вторых, мы используем подход Д. Вере-Джонса [Vere-Jones, 1969; 2008] для расчетов распределения вероятности магнитуды сильнейшего афтершока в форме двойной экспоненты. В этом подходе распределение вероятности магнитуды сильнейшего афтершока зависит только от ожидаемого числа афтершоков магнитуды выше заданного порога и распределения магнитуд (закон Гутенберга MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSn0BKvguHDwzZbqefauqYLwySbsvUL 2yVrwzG00uaeXatLxBI9gBamXvP5wqSXMqHnxAJn0BKvguHDwzZbqe gm0B1jxALjhiov2DaeHbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaebbnrfifHhDYf gasaacH8srps0lbbf9q8WrFfeuY=Hhbbf9v8qqaqFr0xc9pk0xbba9 q8WqFfea0=yr0RYxir=Jbba9q8aq0=yq=He9q8qqQ8frFve9Fve9Ff 0dmeaabaqaciGacaGaaeqabaWaaqaafaaakeaaryqqYLwySbacgaqc LbwaqaaaaaaaaaWdbiaa=nbiaaa@4556@ Рихтера). В предыдущих работах нам удалось получить важные подтверждения применимости обоих подходов. В работе [Баранов, Шебалин, 2019] было показано, что магнитуды сильных афтершоков не зависят от времени, поскольку времена сильнейших, а также вторых по силе, третьих и т.д. афтершоков следуют тому же распределению, что и все афтершоки представительной магнитуды. Комбинация формулы Д. Вере-Джонса с обнаруженным нами в глобальной статистике экспоненциальным распределением числа афтершоков с магнитудой выше относительного порога (по отношению к магнитуде основного толчка) дает хорошее совпадение теоретического и эмпирического распределений относительной магнитуды сильнейшего афтершока [Шебалин и др., 2018]. Это дало возможность не только обосновать закон Бота [Bath, 1965], то есть величину среднего значения относительной магнитуды сильнейшего афтершока, но и впервые объяснить форму соответствующего распределения. В работе [Баранов, Шебалин, 2018] спадание магнитуды сильнейшего афтершока с течением времени (динамический закон Бота) хорошо моделируется комбинацией формулы Вере-Джонса и закона Омори MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSn0BKvguHDwzZbqefauqYLwySbsvUL 2yVrwzG00uaeXatLxBI9gBamXvP5wqSXMqHnxAJn0BKvguHDwzZbqe gm0B1jxALjhiov2DaeHbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaebbnrfifHhDYf gasaacH8srps0lbbf9q8WrFfeuY=Hhbbf9v8qqaqFr0xc9pk0xbba9 q8WqFfea0=yr0RYxir=Jbba9q8aq0=yq=He9q8qqQ8frFve9Fve9Ff 0dmeaabaqaciGacaGaaeqabaWaaqaafaaakeaaryqqYLwySbacgaqc LbwaqaaaaaaaaaWdbiaa=nbiaaa@4556@ Утсу. Показано, что форма распределения магнитуды сильнейшего, начиная с некоторого момента времени t, афтершока не меняется со временем t, а сдвиг этого распределения в сторону от магнитуды основного толчка определяется только параметрами законов Омори MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSn0BKvguHDwzZbqefauqYLwySbsvUL 2yVrwzG00uaeXatLxBI9gBamXvP5wqSXMqHnxAJn0BKvguHDwzZbqe gm0B1jxALjhiov2DaeHbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaebbnrfifHhDYf gasaacH8srps0lbbf9q8WrFfeuY=Hhbbf9v8qqaqFr0xc9pk0xbba9 q8WqFfea0=yr0RYxir=Jbba9q8aq0=yq=He9q8qqQ8frFve9Fve9Ff 0dmeaabaqaciGacaGaaeqabaWaaqaafaaakeaaryqqYLwySbacgaqc LbwaqaaaaaaaaaWdbiaa=nbiaaa@4556@ Утсу и Гутенберга MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSn0BKvguHDwzZbqefauqYLwySbsvUL 2yVrwzG00uaeXatLxBI9gBamXvP5wqSXMqHnxAJn0BKvguHDwzZbqe gm0B1jxALjhiov2DaeHbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaebbnrfifHhDYf gasaacH8srps0lbbf9q8WrFfeuY=Hhbbf9v8qqaqFr0xc9pk0xbba9 q8WqFfea0=yr0RYxir=Jbba9q8aq0=yq=He9q8qqQ8frFve9Fve9Ff 0dmeaabaqaciGacaGaaeqabaWaaqaafaaakeaaryqqYLwySbacgaqc LbwaqaaaaaaaaaWdbiaa=nbiaaa@4556@ Рихтера, что также подтверждает справедливость подхода Д. Вере-Джонса.

Полученные результаты позволяют в данной работе обоснованно опираться на подход Вере-Джонса, в котором распределение вероятности магнитуды сильнейшего афтершока определяется тремя величинами: ожидаемым числом афтершоков представительной магнитуды, значением представительной магнитуды и параметром b закона Гутенберга MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSn0BKvguHDwzZbqefauqYLwySbsvUL 2yVrwzG00uaeXatLxBI9gBamXvP5wqSXMqHnxAJn0BKvguHDwzZbqe gm0B1jxALjhiov2DaeHbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaebbnrfifHhDYf gasaacH8srps0lbbf9q8WrFfeuY=Hhbbf9v8qqaqFr0xc9pk0xbba9 q8WqFfea0=yr0RYxir=Jbba9q8aq0=yq=He9q8qqQ8frFve9Fve9Ff 0dmeaabaqaciGacaGaaeqabaWaaqaafaaakeaaryqqYLwySbacgaqc LbwaqaaaaaaaaaWdbiaa=nbiaaa@4556@ Рихтера. Ожидаемое число афтершоков представительной магнитуды оценивается на основании закона Омори MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSn0BKvguHDwzZbqefauqYLwySbsvUL 2yVrwzG00uaeXatLxBI9gBamXvP5wqSXMqHnxAJn0BKvguHDwzZbqe gm0B1jxALjhiov2DaeHbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaebbnrfifHhDYf gasaacH8srps0lbbf9q8WrFfeuY=Hhbbf9v8qqaqFr0xc9pk0xbba9 q8WqFfea0=yr0RYxir=Jbba9q8aq0=yq=He9q8qqQ8frFve9Fve9Ff 0dmeaabaqaciGacaGaaeqabaWaaqaafaaakeaaryqqYLwySbacgaqc LbwaqaaaaaaaaaWdbiaa=nbiaaa@4556@ Утсу с учетом числа афтершоков, которые уже произошли. Таким образом, задача сводится к оценке по данным об уже состоявшихся афтершоков параметров законов Омори MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSn0BKvguHDwzZbqefauqYLwySbsvUL 2yVrwzG00uaeXatLxBI9gBamXvP5wqSXMqHnxAJn0BKvguHDwzZbqe gm0B1jxALjhiov2DaeHbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaebbnrfifHhDYf gasaacH8srps0lbbf9q8WrFfeuY=Hhbbf9v8qqaqFr0xc9pk0xbba9 q8WqFfea0=yr0RYxir=Jbba9q8aq0=yq=He9q8qqQ8frFve9Fve9Ff 0dmeaabaqaciGacaGaaeqabaWaaqaafaaakeaaryqqYLwySbacgaqc LbwaqaaaaaaaaaWdbiaa=nbiaaa@4556@ Утсу и Гутенберга MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSn0BKvguHDwzZbqefauqYLwySbsvUL 2yVrwzG00uaeXatLxBI9gBamXvP5wqSXMqHnxAJn0BKvguHDwzZbqe gm0B1jxALjhiov2DaeHbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaebbnrfifHhDYf gasaacH8srps0lbbf9q8WrFfeuY=Hhbbf9v8qqaqFr0xc9pk0xbba9 q8WqFfea0=yr0RYxir=Jbba9q8aq0=yq=He9q8qqQ8frFve9Fve9Ff 0dmeaabaqaciGacaGaaeqabaWaaqaafaaakeaaryqqYLwySbacgaqc LbwaqaaaaaaaaaWdbiaa=nbiaaa@4556@ Рихтера. В данной работе для этого мы совершенствуем подход работы [Баранов, Шебалин, 2016].

Важным элементом данной работы является использование Байесовского подхода для получения оценок параметров. Работа над данной статьей была начата еще до начала подготовки предыдущей публикации серии [Баранов, Шебалин, 2018]. На первом этапе использовались точечные оценки максимального правдоподобия параметров, что позволяло напрямую использовать полученные аналитически квантильные функции для магнитуды сильнейшего афтершока. Однако тесты показали, что такой подход может приводить к значительным ошибкам из-за существенно нелинейной зависимости оценок от значений параметров. При значительном отклонении оценки какого-либо параметра от истинного значения это приводит к сильному искажению оценки искомой величины. Использование Байесовского подхода на следующем этапе исследования позволило преодолеть это препятствие благодаря использованию распределений оценок параметров, а не их наиболее вероятных значений. Однако этот подход оказался намного более трудоемким и потребовал проведения значительного количества тестов. Одновременно встал вопрос, как оценивать результаты прогнозов магнитуды сильнейшего афтершока, как сравнивать разные варианты оценок. Прежде всего, была необходима простая модель, подтверждаемая эмпирическими данными, относительно которой можно было бы проводить оценивание. Такой моделью и стал динамический закон Бота, обоснованный в работе [Баранов, Шебалин, 2019].

Для оценивания прогнозов магнитуды будущего сильнейшего афтершока здесь мы предлагаем два критерия. Один критерий основан на отношении функций правдоподобия анализируемой оценки и оценки по динамическому закону Бота при фактических значениях максимальной магнитуды [Schorlemmer et al., 2007]. Другой критерий использует диаграмму ошибок [Molchan, 1991] относительно динамического закона Бота.

Ретроспективное тестирование различных вариантов оценок с помощью разработанных критериев и динамического закона Бота в качестве референц-модели дало возможность поэтапно оптимизировать разные элементы алгоритма. Существенный скачок в качестве оценок произошел в результате нахождения оптимальной схемы учета неполноты каталога афтершоков сразу после основного толчка. Другое качественное улучшение произошло в результате регуляризации оценок параметров при использования информативных априорных распределений на основе глобальной статистики значений параметров Омори MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSn0BKvguHDwzZbqefauqYLwySbsvUL 2yVrwzG00uaeXatLxBI9gBamXvP5wqSXMqHnxAJn0BKvguHDwzZbqe gm0B1jxALjhiov2DaeHbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaebbnrfifHhDYf gasaacH8srps0lbbf9q8WrFfeuY=Hhbbf9v8qqaqFr0xc9pk0xbba9 q8WqFfea0=yr0RYxir=Jbba9q8aq0=yq=He9q8qqQ8frFve9Fve9Ff 0dmeaabaqaciGacaGaaeqabaWaaqaafaaakeaaryqqYLwySbacgaqc LbwaqaaaaaaaaaWdbiaa=nbiaaa@4556@ Утсу и Гутенберга MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSn0BKvguHDwzZbqefauqYLwySbsvUL 2yVrwzG00uaeXatLxBI9gBamXvP5wqSXMqHnxAJn0BKvguHDwzZbqe gm0B1jxALjhiov2DaeHbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaebbnrfifHhDYf gasaacH8srps0lbbf9q8WrFfeuY=Hhbbf9v8qqaqFr0xc9pk0xbba9 q8WqFfea0=yr0RYxir=Jbba9q8aq0=yq=He9q8qqQ8frFve9Fve9Ff 0dmeaabaqaciGacaGaaeqabaWaaqaafaaakeaaryqqYLwySbacgaqc LbwaqaaaaaaaaaWdbiaa=nbiaaa@4556@ Рихтера. Дальнейшие тесты показали, что в таком варианте вариации параметра b, заложенные в Байесовские оценки максимальной магнитуды, значительно сильнее влияют на результат, чем фактические ошибки оценки этого параметра, и в окончательном варианте нашего подхода мы вернулись к использованию точечных оценок параметров, получаемых, тем не менее, с помощью Байесовского подхода.

Одновременно с нами методика оценки максимальной магнитуды будущих афтершоков, по данным об уже произошедших, разрабатывалась объединенной группой специалистов из Канады и Японии [Scherbakov et al., 2017], которые также использовали формулу Вере-Джонса, законы Гутенберга MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSn0BKvguHDwzZbqefauqYLwySbsvUL 2yVrwzG00uaeXatLxBI9gBamXvP5wqSXMqHnxAJn0BKvguHDwzZbqe gm0B1jxALjhiov2DaeHbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaebbnrfifHhDYf gasaacH8srps0lbbf9q8WrFfeuY=Hhbbf9v8qqaqFr0xc9pk0xbba9 q8WqFfea0=yr0RYxir=Jbba9q8aq0=yq=He9q8qqQ8frFve9Fve9Ff 0dmeaabaqaciGacaGaaeqabaWaaqaafaaakeaaryqqYLwySbacgaqc LbwaqaaaaaaaaaWdbiaa=nbiaaa@4556@ Рихтера и Омори MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSn0BKvguHDwzZbqefauqYLwySbsvUL 2yVrwzG00uaeXatLxBI9gBamXvP5wqSXMqHnxAJn0BKvguHDwzZbqe gm0B1jxALjhiov2DaeHbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaebbnrfifHhDYf gasaacH8srps0lbbf9q8WrFfeuY=Hhbbf9v8qqaqFr0xc9pk0xbba9 q8WqFfea0=yr0RYxir=Jbba9q8aq0=yq=He9q8qqQ8frFve9Fve9Ff 0dmeaabaqaciGacaGaaeqabaWaaqaafaaakeaaryqqYLwySbacgaqc LbwaqaaaaaaaaaWdbiaa=nbiaaa@4556@ Утсу и Байесовский подход. Главные отличия нашего подхода состоят в следующем. Во-первых, мы оцениваем параметры с учетом неполноты каталога в начале серии, для чего оцениваем не только представительную магнитуду, но и время после основного толчка, начиная с которого эта магнитуда действительно является представительной. Во-вторых, для регуляризации оценок параметров мы используем распределения этих параметров на основе глобальной статистики. В-третьих, Байесовский подход мы используем только для регуляризации оценок параметров законов Гутенберга MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSn0BKvguHDwzZbqefauqYLwySbsvUL 2yVrwzG00uaeXatLxBI9gBamXvP5wqSXMqHnxAJn0BKvguHDwzZbqe gm0B1jxALjhiov2DaeHbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaebbnrfifHhDYf gasaacH8srps0lbbf9q8WrFfeuY=Hhbbf9v8qqaqFr0xc9pk0xbba9 q8WqFfea0=yr0RYxir=Jbba9q8aq0=yq=He9q8qqQ8frFve9Fve9Ff 0dmeaabaqaciGacaGaaeqabaWaaqaafaaakeaaryqqYLwySbacgaqc LbwaqaaaaaaaaaWdbiaa=nbiaaa@4556@ Рихтера и Омори MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSn0BKvguHDwzZbqefauqYLwySbsvUL 2yVrwzG00uaeXatLxBI9gBamXvP5wqSXMqHnxAJn0BKvguHDwzZbqe gm0B1jxALjhiov2DaeHbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaebbnrfifHhDYf gasaacH8srps0lbbf9q8WrFfeuY=Hhbbf9v8qqaqFr0xc9pk0xbba9 q8WqFfea0=yr0RYxir=Jbba9q8aq0=yq=He9q8qqQ8frFve9Fve9Ff 0dmeaabaqaciGacaGaaeqabaWaaqaafaaakeaaryqqYLwySbacgaqc LbwaqaaaaaaaaaWdbiaa=nbiaaa@4556@ Утсу, но не для оценки распределения магнитуды сильнейшего афтершока. В работе мы проводим сравнение наших оценок и оценок по работе [Scherbakov et al., 2017].

Данная работа имеет, главным образом, практическую направленность, и ее результаты напрямую могут быть использованы для оценки сейсмической опасности после сильных землетрясений. Вместе с тем, полученные результаты расширяют физические представления о сейсмогенезисе.

ИСХОДНЫЕ ДАННЫЕ

Для ретроспективной проверки разработанной здесь методики оценки максимальной магнитуды последующих афтершоков мы используем каталог землетрясений ANSS ComCat геологической службы США (USGS) [ANSS…]. Для построения эмпирических закономерностей в работе рассматривается 777 серий афтершоков от землетрясений мира с магнитудой 6.5 и выше за период с 1980 по 2016 гг. Выделение основных толчков и их афтершоков проводилось по алгоритму из работы [Молчан, Дмитриева, 1991] с помощью программы В.Б. Смирнова [2009].

ОСНОВНОЙ МЕТОД ОЦЕНКИ

Мы предполагаем [Баранов, Шебалин, 2018], что в афтершоковой последовательности времена и магнитуды независимы и распределены, соответственно, по закону Омори MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSn0BKvguHDwzZbqefauqYLwySbsvUL 2yVrwzG00uaeXatLxBI9gBamXvP5wqSXMqHnxAJn0BKvguHDwzZbqe gm0B1jxALjhiov2DaeHbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaebbnrfifHhDYf gasaacH8srps0lbbf9q8WrFfeuY=Hhbbf9v8qqaqFr0xc9pk0xbba9 q8WqFfea0=yr0RYxir=Jbba9q8aq0=yq=He9q8qqQ8frFve9Fve9Ff 0dmeaabaqaciGacaGaaeqabaWaaqaafaaakeaaryqqYLwySbacgaqc LbwaqaaaaaaaaaWdbiaa=nbiaaa@4556@ Утсу [Utsu, 1961]:

 

λ(t) = K/(t + c)p (1)

и закону Гутенберга MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSn0BKvguHDwzZbqefauqYLwySbsvUL 2yVrwzG00uaeXatLxBI9gBamXvP5wqSXMqHnxAJn0BKvguHDwzZbqe gm0B1jxALjhiov2DaeHbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaebbnrfifHhDYf gasaacH8srps0lbbf9q8WrFfeuY=Hhbbf9v8qqaqFr0xc9pk0xbba9 q8WqFfea0=yr0RYxir=Jbba9q8aq0=yq=He9q8qqQ8frFve9Fve9Ff 0dmeaabaqaciGacaGaaeqabaWaaqaafaaakeaaryqqYLwySbacgaqc LbwaqaaaaaaaaaWdbiaa=nbiaaa@4556@ Рихтера [Gutenberg, Richter, 1954]:

 

F M =1 10 b M M c , M M c , MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaaeaaaaaaaaa8qacaWGgbWaaeWaa8aabaWdbiaad2ea aiaawIcacaGLPaaacqGH9aqpcaaIXaGaeyOeI0IaaGymaiaaicdapa WaaWbaaSqabeaapeGaeyOeI0IaamOyamaabmaapaqaa8qacaWGnbGa eyOeI0Iaamyta8aadaWgaaadbaWdbiaadogaa8aabeaaaSWdbiaawI cacaGLPaaaaaGccaGGSaGaaiiOaiaaywW7caWGnbGaeyyzImRaamyt a8aadaWgaaWcbaWdbiaadogaa8aabeaak8qacaGGSaaaaa@55E3@

(2)

где: t MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSn0BKvguHDwzZbqefauqYLwySbsvUL 2yVrwzG00uaeXatLxBI9gBamXvP5wqSXMqHnxAJn0BKvguHDwzZbqe gm0B1jxALjhiov2DaeHbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaebbnrfifHhDYf gasaacH8srps0lbbf9q8WrFfeuY=Hhbbf9v8qqaqFr0xc9pk0xbba9 q8WqFfea0=yr0RYxir=Jbba9q8aq0=yq=He9q8qqQ8frFve9Fve9Ff 0dmeaabaqaciGacaGaaeqabaWaaqaafaaakeaaryqqYLwySbacgaqc LbwaqaaaaaaaaaWdbiaa=nbiaaa@4556@ время от основного толчка, сут.; λ(t) MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSn0BKvguHDwzZbqefauqYLwySbsvUL 2yVrwzG00uaeXatLxBI9gBamXvP5wqSXMqHnxAJn0BKvguHDwzZbqe gm0B1jxALjhiov2DaeHbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaebbnrfifHhDYf gasaacH8srps0lbbf9q8WrFfeuY=Hhbbf9v8qqaqFr0xc9pk0xbba9 q8WqFfea0=yr0RYxir=Jbba9q8aq0=yq=He9q8qqQ8frFve9Fve9Ff 0dmeaabaqaciGacaGaaeqabaWaaqaafaaakeaaryqqYLwySbacgaqc LbwaqaaaaaaaaaWdbiaa=nbiaaa@4556@ число афтершоков c магнитудой M M c MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaaeaaaaaaaaa8qacaWGnbGaeyyzImRaamyta8aadaWg aaWcbaWdbiaadogaa8aabeaaaaa@428E@ в единицу времени; Mc MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSn0BKvguHDwzZbqefauqYLwySbsvUL 2yVrwzG00uaeXatLxBI9gBamXvP5wqSXMqHnxAJn0BKvguHDwzZbqe gm0B1jxALjhiov2DaeHbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaebbnrfifHhDYf gasaacH8srps0lbbf9q8WrFfeuY=Hhbbf9v8qqaqFr0xc9pk0xbba9 q8WqFfea0=yr0RYxir=Jbba9q8aq0=yq=He9q8qqQ8frFve9Fve9Ff 0dmeaabaqaciGacaGaaeqabaWaaqaafaaakeaaryqqYLwySbacgaqc LbwaqaaaaaaaaaWdbiaa=nbiaaa@4556@ уровень представительной магнитуды; с, p, b MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSn0BKvguHDwzZbqefauqYLwySbsvUL 2yVrwzG00uaeXatLxBI9gBamXvP5wqSXMqHnxAJn0BKvguHDwzZbqe gm0B1jxALjhiov2DaeHbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaebbnrfifHhDYf gasaacH8srps0lbbf9q8WrFfeuY=Hhbbf9v8qqaqFr0xc9pk0xbba9 q8WqFfea0=yr0RYxir=Jbba9q8aq0=yq=He9q8qqQ8frFve9Fve9Ff 0dmeaabaqaciGacaGaaeqabaWaaqaafaaakeaaryqqYLwySbacgaqc LbwaqaaaaaaaaaWdbiaa=nbiaaa@4556@ параметры; F(M) MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSn0BKvguHDwzZbqefauqYLwySbsvUL 2yVrwzG00uaeXatLxBI9gBamXvP5wqSXMqHnxAJn0BKvguHDwzZbqe gm0B1jxALjhiov2DaeHbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaebbnrfifHhDYf gasaacH8srps0lbbf9q8WrFfeuY=Hhbbf9v8qqaqFr0xc9pk0xbba9 q8WqFfea0=yr0RYxir=Jbba9q8aq0=yq=He9q8qqQ8frFve9Fve9Ff 0dmeaabaqaciGacaGaaeqabaWaaqaafaaakeaaryqqYLwySbacgaqc LbwaqaaaaaaaaaWdbiaa=nbiaaa@4556@ функция распределения вероятности магнитуды. Введем также дополнительные обозначения: Mm MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSn0BKvguHDwzZbqefauqYLwySbsvUL 2yVrwzG00uaeXatLxBI9gBamXvP5wqSXMqHnxAJn0BKvguHDwzZbqe gm0B1jxALjhiov2DaeHbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaebbnrfifHhDYf gasaacH8srps0lbbf9q8WrFfeuY=Hhbbf9v8qqaqFr0xc9pk0xbba9 q8WqFfea0=yr0RYxir=Jbba9q8aq0=yq=He9q8qqQ8frFve9Fve9Ff 0dmeaabaqaciGacaGaaeqabaWaaqaafaaakeaaryqqYLwySbacgaqc LbwaqaaaaaaaaaWdbiaa=nbiaaa@4556@ магнитуда основного толчка в серии афтершоков; T MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSn0BKvguHDwzZbqefauqYLwySbsvUL 2yVrwzG00uaeXatLxBI9gBamXvP5wqSXMqHnxAJn0BKvguHDwzZbqe gm0B1jxALjhiov2DaeHbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaebbnrfifHhDYf gasaacH8srps0lbbf9q8WrFfeuY=Hhbbf9v8qqaqFr0xc9pk0xbba9 q8WqFfea0=yr0RYxir=Jbba9q8aq0=yq=He9q8qqQ8frFve9Fve9Ff 0dmeaabaqaciGacaGaaeqabaWaaqaafaaakeaaryqqYLwySbacgaqc LbwaqaaaaaaaaaWdbiaa=nbiaaa@4556@ период рассмотрения, также от момента основного толчка, сут.; везде в этой работе мы принимаем значение T = 365 сут.; M1(t, T) MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSn0BKvguHDwzZbqefauqYLwySbsvUL 2yVrwzG00uaeXatLxBI9gBamXvP5wqSXMqHnxAJn0BKvguHDwzZbqe gm0B1jxALjhiov2DaeHbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaebbnrfifHhDYf gasaacH8srps0lbbf9q8WrFfeuY=Hhbbf9v8qqaqFr0xc9pk0xbba9 q8WqFfea0=yr0RYxir=Jbba9q8aq0=yq=He9q8qqQ8frFve9Fve9Ff 0dmeaabaqaciGacaGaaeqabaWaaqaafaaakeaaryqqYLwySbacgaqc LbwaqaaaaaaaaaWdbiaa=nbiaaa@4556@ магнитуда сильнейшего на интервале (t, T) афтершока.

Для прогноза значения M1(t, T) мы используем информацию о временах и магнитудах афтершоков, которые произошли на интервале (tstart, t). Задержка tstart > 0 необходима, поскольку каталог землетрясений сразу после основного толчка неполон; ввиду важности данного обстоятельства мы рассмотрим проблему выбора параметра tstart в отдельном разделе. Проинтегрировав выражение (1) на интервалах (tstart, t) и (t, T) и проведя преобразования, получим [Holschneider et al., 2012]:

 

Λ t,T = D t,T;c,p D t start ,t;c,p Λ t start ,t , MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaaeaaaaaaaaa8qacqqHBoatdaqadaWdaeaapeGaamiD aiaacYcacaWGubaacaGLOaGaayzkaaGaeyypa0ZaaSaaa8aabaWdbi aadseadaqadaWdaeaapeGaamiDaiaacYcacaaMe8UaamivaiaacUda caaMe8Uaam4yaiaacYcacaWGWbaacaGLOaGaayzkaaaapaqaa8qaca WGebWaaeWaa8aabaWdbiaadshadaWgaaWcbaGaam4CaiaadshacaWG HbGaamOCaiaadshaaeqaaOGaaiilaiaaysW7caWG0bGaai4oaiaays W7caWGJbGaaiilaiaadchaaiaawIcacaGLPaaaaaGaeu4MdW0aaeWa a8aabaWdbiaadshapaWaaSbaaSqaa8qacaWGZbGaamiDaiaadggaca WGYbGaamiDaaWdaeqaaOWdbiaacYcacaWG0baacaGLOaGaayzkaaGa aiilaaaa@6C4E@

(3)

где Λ t,T MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaaeaaaaaaaaa8qacqqHBoatdaqadaWdaeaapeGaamiD aiaacYcacaWGubaacaGLOaGaayzkaaaaaa@4381@ и Λ t start ,t MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaaeaaaaaaaaa8qacqqHBoatdaqadaWdaeaapeGaamiD a8aadaWgaaWcbaWdbiaadohacaWG0bGaamyyaiaadkhacaWG0baapa qabaGcpeGaaiilaiaadshaaiaawIcacaGLPaaaaaa@48DC@ MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSn0BKvguHDwzZbqefauqYLwySbsvUL 2yVrwzG00uaeXatLxBI9gBamXvP5wqSXMqHnxAJn0BKvguHDwzZbqe gm0B1jxALjhiov2DaeHbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaebbnrfifHhDYf gasaacH8srps0lbbf9q8WrFfeuY=Hhbbf9v8qqaqFr0xc9pk0xbba9 q8WqFfea0=yr0RYxir=Jbba9q8aq0=yq=He9q8qqQ8frFve9Fve9Ff 0dmeaabaqaciGacaGaaeqabaWaaqaafaaakeaaryqqYLwySbacgaqc LbwaqaaaaaaaaaWdbiaa=nbiaaa@4556@ ожидаемое число афтершоков с M M c MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaaeaaaaaaaaa8qacaWGnbGaeyyzImRaamyta8aadaWg aaWcbaWdbiaadogaa8aabeaaaaa@428E@ на соответствующих интервалах:

 

D t 1 , t 2 ;c,p = 1p /c 1+ t 2 c 1p 1+ t 1 c 1p , p1 1/c ln 1+ t 2 c ln 1+ t 1 c , p=1. MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaaeaaaaaaaaa8qacaWGebWaaeWaa8aabaWdbiaadsha paWaaSbaaSqaa8qacaaIXaaapaqabaGcpeGaaiilaiaadshapaWaaS baaSqaa8qacaaIYaaapaqabaGcpeGaai4oaiaadogacaGGSaGaamiC aaGaayjkaiaawMcaaiabg2da9maaceaapaqaauaabeqaceaaaeaape WaaSaaa8aabaWdbmaabmaapaqaa8qacaaIXaGaeyOeI0IaamiCaaGa ayjkaiaawMcaaiaac+cacaWGJbaapaqaa8qadaqadaWdaeaapeGaaG ymaiabgUcaRmaalaaapaqaa8qacaWG0bWdamaaBaaaleaapeGaaGOm aaWdaeqaaaGcbaWdbiaadogaaaaacaGLOaGaayzkaaWdamaaCaaale qabaWdbiaaigdacqGHsislcaWGWbaaaOGaeyOeI0YaaeWaa8aabaWd biaaigdacqGHRaWkdaWcaaWdaeaapeGaamiDa8aadaWgaaWcbaWdbi aaigdaa8aabeaaaOqaa8qacaWGJbaaaaGaayjkaiaawMcaa8aadaah aaWcbeqaa8qacaaIXaGaeyOeI0IaamiCaaaaaaGccaGGSaGaaiiOai aadchacqGHGjsUcaaIXaaapaqaa8qadaWcaaWdaeaapeGaaGymaiaa c+cacaWGJbaapaqaa8qacaWGSbGaamOBamaabmaapaqaa8qacaaIXa Gaey4kaSYaaSaaa8aabaWdbiaadshapaWaaSbaaSqaa8qacaaIYaaa paqabaaakeaapeGaam4yaaaaaiaawIcacaGLPaaacqGHsislcaWGSb GaamOBamaabmaapaqaa8qacaaIXaGaey4kaSYaaSaaa8aabaWdbiaa dshapaWaaSbaaSqaa8qacaaIXaaapaqabaaakeaapeGaam4yaaaaai aawIcacaGLPaaaaaGaaiilaiaacckacaWGWbGaeyypa0JaaGymaiaa c6caaaaacaGL7baaaaa@83FE@

(4)

Оценкой величины Λ t start ,t MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaaeaaaaaaaaa8qacqqHBoatdaqadaWdaeaapeGaamiD a8aadaWgaaWcbaWdbiaadohacaWG0bGaamyyaiaadkhacaWG0baapa qabaGcpeGaaiilaiaadshaaiaawIcacaGLPaaaaaa@48DC@ является фактическое зарегистрированное на интервале t start ,t MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaaeaaaaaaaaa8qadaqadaWdaeaapeGaamiDa8aadaWg aaWcbaWdbiaadohacaWG0bGaamyyaiaadkhacaWG0baapaqabaGcpe GaaiilaiaadshaaiaawIcacaGLPaaaaaa@4767@ количество афтершоков. Если параметры с и p известны, то выражения (3) и (4) позволяют рассчитать оценку ожидаемого на интервале t,T MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaaeaaaaaaaaa8qadaqadaWdaeaapeGaamiDaiaacYca caWGubaacaGLOaGaayzkaaaaaa@420C@ количества афтершоков Λ t,T . MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaaeaaaaaaaaa8qacqqHBoatdaqadaWdaeaapeGaamiD aiaacYcacaWGubaacaGLOaGaayzkaaGaaiOlaaaa@4433@ В сделанных предположениях вероятность того, что магнитуда произвольного афтершока в серии меньше значения M, определена формулой (2); вероятность того, что k афтершоков имеют магнитуду меньше M, равна F M k . MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaaeaaaaaaaaa8qacaWGgbWaaeWaa8aabaWdbiaad2ea aiaawIcacaGLPaaapaWaaWbaaSqabeaapeGaiaiSdUgaaaGcpaGaiq eGc6caaaa@4532@ Предположив, что число афтершоков на интервале имеет распределение Пуассона, и просуммировав по формуле полной вероятности все варианты значения k, получим распределение вероятности магнитуды M1(t, T) [Vere-Jones, 2003]:

 

 P M 1 t,T M = G M;t,T = = k=0 Λ t,T k k! e Λ t,T F M k = e Λ t,T 1F M MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGceaGabeaaqaaaaaaaaaWdbiaacckacaWGqbWaaeWaa8aa baWdbiaad2eapaWaaSbaaSqaa8qacaaIXaaapaqabaGcpeWaaeWaa8 aabaWdbiaadshacaGGSaGaamivaaGaayjkaiaawMcaaiabgsMiJkaa d2eaaiaawIcacaGLPaaacqGH9aqpcaGGGcGaam4ramaabmaapaqaa8 qacaWGnbGaai4oaiaadshacaGGSaGaamivaaGaayjkaiaawMcaaiab g2da9aqaaiabg2da9maawahabeWcpaqaa8qacaWGRbGaeyypa0JaaG imaaWdaeaapeGaeyOhIukan8aabaWdbiabggHiLdaakmaalaaapaqa a8qadaWadaWdaeaapeGaeu4MdW0aaeWaa8aabaWdbiaadshacaGGSa GaamivaaGaayjkaiaawMcaaaGaay5waiaaw2faa8aadaahaaWcbeqa a8qacaWGRbaaaaGcpaqaa8qacaWGRbGaaiyiaaaacaWGLbWdamaaCa aaleqabaWdbiabgkHiTiabfU5amnaabmaapaqaa8qacaWG0bGaaiil aiaadsfaaiaawIcacaGLPaaaaaGcdaWadaWdaeaapeGaamOramaabm aapaqaa8qacaWGnbaacaGLOaGaayzkaaaacaGLBbGaayzxaaWdamaa CaaaleqabaWdbiaadUgaaaGccqGH9aqpcaWGLbWdamaaCaaaleqaba WdbiabgkHiTiabfU5amnaabmaapaqaa8qacaWG0bGaaiilaiaadsfa aiaawIcacaGLPaaadaWadaWdaeaapeGaaGymaiabgkHiTiaadAeada qadaWdaeaapeGaamytaaGaayjkaiaawMcaaaGaay5waiaaw2faaaaa aaaa@84D3@ (5)

Объединив (5) и (2) имеем распределение в виде двойной экспоненты:

 

G M;t,T = e Λ t,T 10 b M M c . MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaaeaaaaaaaaa8qacaWGhbWaaeWaa8aabaWdbiaad2ea caGG7aGaaGjbVlaadshacaGGSaGaaGjbVlaadsfaaiaawIcacaGLPa aacqGH9aqpcaWGLbWdamaaCaaaleqabaWdbiabgkHiTiabfU5amnaa bmaapaqaa8qacaWG0bGaaiilaiaadsfaaiaawIcacaGLPaaacaaIXa GaaGima8aadaahaaadbeqaa8qacqGHsislcaWGIbWaaeWaa8aabaWd biaad2eacqGHsislcaWGnbWdamaaBaaabaWdbiaadogaa8aabeaaa8 qacaGLOaGaayzkaaaaaaaak8aacaGGUaaaaa@5A2B@

(6)

Искомое оценочное распределение величины M 1 t,T MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaaeaaaaaaaaa8qacaWGnbWdamaaBaaaleaapeGaiaiu igdaa8aabeaak8qadaqadaWdaeaapeGaamiDaiaacYcacaWGubaaca GLOaGaayzkaaaaaa@44E5@ можно получить, подставив в (6) оценку Λ t,T MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbiqaaGzdqaaaaaaaaaWdbiabfU5amnacObyadaWdaeac Ob4dbiacOb4G0bGaiGgGcYcacGaAaoivaaGaiGgGwIcacGaAaAzkaa aaaa@4AB9@ по формулам (3) и (4), используя точечные оценки параметров c, p и b и фактическое число афтершоков представительной магнитуды на интервале t start ,t MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaaeaaaaaaaaa8qadaqadaWdaeaapeGaamiDa8aadaWg aaWcbaWdbiaadohacaWG0bGaamyyaiaadkhacaWG0baapaqabaGcpe GaaiilaiaaysW7caWG0baacaGLOaGaayzkaaaaaa@48F4@ в качестве оценки величины Λ t start ,t . MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaaeaaaaaaaaa8qacqqHBoatdaqadaWdaeaapeGaamiD a8aadaWgaaWcbaWdbiaadohacaWG0bGaamyyaiaadkhacaWG0baapa qabaGcpeGaaiilaiaaysW7caWG0baacaGLOaGaayzkaaGaaiOlaaaa @4B1B@

Обратная функция распределения (6) имеет явное выражение, которое удобно использовать для нахождения квантилей распределения:

 

Q α = M c 1 ln10b ln 1 Λ t,T ln α . MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaaeaaaaaaaaa8qacaWGrbWaaeWaa8aabaWdbiabeg7a HbGaayjkaiaawMcaaiabg2da9iaad2eapaWaaSbaaSqaa8qacaWGJb aapaqabaGcpeGaeyOeI0YaaSaaa8aabaWdbiaaigdaa8aabaWdbiaa bYgacaqGUbGaaGymaiaaicdacqGHflY1caWGIbaaaGqaaiaa=Xgaca WFUbWaamWaa8aabaWdbiabgkHiTmaalaaapaqaa8qacaaIXaaapaqa a8qacqqHBoatdaqadaWdaeaapeGaamiDaiaacYcacaWGubaacaGLOa GaayzkaaaaaiaabYgacaqGUbWaaeWaa8aabaWdbiabeg7aHbGaayjk aiaawMcaaaGaay5waiaaw2faaiaac6caaaa@5F12@

(6a)

С учетом сильно нелинейной зависимости (6) от параметров и опасаясь из-за этого значительного смещения оценок в случае больших фактических ошибок оценки параметров, первоначально мы усложнили процедуру. Вместо точечных оценок параметров c, p и b, мы стали использовать апостериорные Байесовские распределения оценок (c, p) по работе [Holschneider et al., 2012] и оценки b по работе [Bender, 1983], многократно генерируя методом Монте-Карло, в соответствии с этими распределениями, значения параметров и усредняя распределение (6). Фактически этот подход эквивалентен подходу работы [Scherbakov et al., 2017], в которой этапы получения Байесовских оценок параметров встроены в многократное интегрирование по формуле Байеса для получения апостериорного распределения оценки величины M 1 t,T . MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaaeaaaaaaaaa8qacaWGnbWdamaaBaaaleaapeGaaGym aaWdaeqaaOWdbmaabmaapaqaa8qacaWG0bGaaiilaiaaysW7caWGub aacaGLOaGaayzkaaGaaiOlaaaa@464C@ В нашем подходе затратное по времени численное многократное интегрирование заменялось без потери точности расчетами методом Монте-Карло с генерацией случайных значений параметров в соответствии с их апостериорными распределениями. Преимущество нашего подхода состоит также в возможности контроля оценок параметров c, p и b. Также как в работе [Scherbakov et al., 2017] мы на этом этапе использовали неинформативные априорные распределения параметров, то есть равномерные на заданных отрезках распределения.

Тестирование метода с помощью разработанных для этого критериев (см. следующий раздел) показало, что получаемые оценки параметров неустойчивы и часто приводят к нереалистичным оценкам величины M 1 t,T . MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaaeaaaaaaaaa8qacaWGnbWdamaaBaaaleaapeGaaGym aaWdaeqaaOWdbmaabmaapaqaa8qacaWG0bGaaiilaiaaysW7caWGub aacaGLOaGaayzkaaGaaiOlaaaa@464C@ Для регуляризации оценок мы стали использовать более подробную априорную информацию о параметрах, построив распределения оценок параметров по глобальным данным (см. ниже). Дальнейшее тестирование показало, что в слишком сложной схеме Байесовских оценок нет необходимости. Использование точечных оценок параметров (но с их регуляризацией с помощью Байесовского подхода с информативными априорными распределениями) оказалось предпочтительным.

ОЦЕНИВАНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ

Результаты прогнозов всегда целесообразно оценивать относительно простой модели, отражающей текущее на данный момент знание о прогнозируемом процессе, не вызывающей сомнения. Хорошо известен закон Бота [Bath, 1965], в соответствии которым средняя разность значений магнитуды основного толчка и сильнейшего афтершока составляет в среднем 1.2. В работе [Баранов, Шебалин, 2019] на основе глобальной статистики афтершоковых последовательностей исследована зависимость магнитуды сильнейшего афтершока от времени. Полученные результаты авторы охарактеризовали как динамический закон Бота. Показано, что с течением времени после основного толчка магнитуда сильнейших афтершоков в среднем уменьшается, но при этом форма распределения этой величины (сходная с распределением Гаусса) со временем не меняется и среднеквадратическое отклонение сохраняет значение примерно 0.65.

В работе [Шебалин и др., 2018] установлено, что количество k непосредственных афтершоков магнитуды выше порога ΔM, MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaaeaaaaaaaaa8qacqGHuoarcaWGnbGaaiilaaaa@40CB@ определяемого относительно магнитуды основного толчка Mm, при глобальном и региональном рассмотрении подчиняется экспоненциальному закону c плотностью p k = Λ 0 e k / 0 . MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaaeaaaaaaaaa8qacaWGWbWaaeWaa8aabaWdbiaadUga aiaawIcacaGLPaaacqGH9aqpcqqHBoatpaWaaSbaaSqaa8qacaaIWa aapaqabaGcpeGaamyza8aadaahaaWcbeqaa8qacqGHsislcaWGRbGa ai4la8aadaWgaaadbaWdbiaaicdaa8aabeaaaaGccaGGUaaaaa@4AAF@ Это дает объяснение форме распределения магнитуд сильнейших афтершоков, похожего на распределение Гаусса и теоретически определяемого соотношением:

P M 1 M m <m = 1 e 1 Λ 0 1 e 1 Λ 0 1 10 b mΔM , MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaaeaaaaaaaaa8qacaWGqbWaaeWaa8aabaWdbiaad2ea paWaaSbaaSqaa8qacaaIXaaapaqabaGcpeGaeyOeI0Iaamyta8aada WgaaWcbaWdbiaad2gaa8aabeaak8qacqGH8aapcaWGTbaacaGLOaGa ayzkaaGaeyypa0ZaaSaaa8aabaWdbiaaigdacqGHsislcaWGLbWdam aaCaaaleqabaWdbiabgkHiTmaalaaapaqaa8qacaaIXaaapaqaa8qa cqqHBoatpaWaaSbaaWqaa8qacaaIWaaapaqabaaaaaaaaOqaa8qaca aIXaGaeyOeI0Iaamyza8aadaahaaWcbeqaa8qacqGHsisldaWcaaWd aeaapeGaaGymaaWdaeaapeGaeu4MdW0damaaBaaameaapeGaaGimaa WdaeqaaaaaaaGcpeWaamWaa8aabaWdbiaaigdacqGHsislcaaIXaGa aGima8aadaahaaWcbeqaa8qacqGHsislcaWGIbWaaeWaa8aabaWdbi aad2gacqGHsislcqGHuoarcaWGnbaacaGLOaGaayzkaaaaaaGccaGL BbGaayzxaaaaaiaacYcaaaa@6568@ (7а)

где Λ 0 MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaGaeu4MdW0aaSbaaSqaaabaaaaaaaaapeGaaGimaaWd aeqaaaaa@404C@ MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSn0BKvguHDwzZbqefauqYLwySbsvUL 2yVrwzG00uaeXatLxBI9gBamXvP5wqSXMqHnxAJn0BKvguHDwzZbqe gm0B1jxALjhiov2DaeHbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaebbnrfifHhDYf gasaacH8srps0lbbf9q8WrFfeuY=Hhbbf9v8qqaqFr0xc9pk0xbba9 q8WqFfea0=yr0RYxir=Jbba9q8aq0=yq=He9q8qqQ8frFve9Fve9Ff 0dmeaabaqaciGacaGaaeqabaWaaqaafaaakeaaryqqYLwySbacgaqc LbwaqaaaaaaaaaWdbiaa=nbiaaa@4556@ параметр экспоненциального распределения при относительном пороге магнитуды ΔM. MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaaeaaaaaaaaa8qacqGHuoarcaWGnbGaaiOlaaaa@40CD@ При ΔM MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaaeaaaaaaaaa8qacqGHuoarcaWGnbaaaa@401B@   MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSn0BKvguHDwzZbqefauqYLwySbsvUL 2yVrwzG00uaeXatLxBI9gBamXvP5wqSXMqHnxAJn0BKvguHDwzZbqe gm0B1jxALjhiov2DaeHbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaebbnrfifHhDYf gasaacH8srps0lbbf9q8WrFfeuY=Hhbbf9v8qqaqFr0xc9pk0xbba9 q8WqFfea0=yr0RYxir=Jbba9q8aq0=yq=He9q8qqQ8frFve9Fve9Ff 0dmeaabaqaciGacaGaaeqabaWaaqaafaaakeaaryqqYLwySbacgaqc LbwaqaaaaaaaaaWdbiaa=nbiaaa@4556@ 2 для глобальной статистики афтершоков в течение года после землетрясений с M m 6.5 MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaaeaaaaaaaaa8qacaWGnbWdamaaBaaaleaapeGaamyB aaWdaeqaaOWdbiabgwMiZkaaiAdacaGGUaGaaGynaaaa@4411@ получена оценка Λ 0 =6.7. MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaaeaaaaaaaaa8qacqqHBoatpaWaaSbaaSqaa8qacaaI WaaapaqabaGcpeGaeyypa0JaaGOnaiaac6cacaaI3aGaaiOlaaaa@446F@ Как оказалось, формула (7а) может быть упрощена. Комбинация формулы Вере-Джонса (6) и экспоненциального распределения дает простое и красивое соотношение, численно мало отличающееся от (7а):

 

P M 1 M m <m = 1 1+ Λ 0 10 b mΔM . MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaaeaaaaaaaaa8qacaWGqbWaaeWaa8aabaWdbiaad2ea paWaaSbaaSqaa8qacaaIXaaapaqabaGcpeGaeyOeI0Iaamyta8aada WgaaWcbaWdbiaad2gaa8aabeaak8qacqGH8aapcaWGTbaacaGLOaGa ayzkaaGaeyypa0ZaaSaaa8aabaWdbiaaigdaa8aabaWdbiaaigdacq GHRaWkcqqHBoatpaWaaSbaaSqaa8qacaaIWaaapaqabaGcpeGaaGym aiaaicdapaWaaWbaaSqabeaapeGaeyOeI0IaamOyamaabmaapaqaa8 qacaWGTbGaeyOeI0IaeyiLdqKaamytaaGaayjkaiaawMcaaaaaaaGc caGGUaaaaa@57DB@

(7б)

Распределение (7б) справедливо и для произвольного интервала времени (t, T). В этом случае величина Λ 0 MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaaccaaeaaaaaaaaa8qacqWFBoatpaWaaSbaaSqaa8qa caaIWaaapaqabaaaaa@406E@ в (7б) должна быть заменена на зависимое от времени значение Λ 0 t,T . MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaaeaaaaaaaaa8qacqqHBoatpaWaaSbaaSqaa8qacaaI WaaapaqabaGcpeWaaeWaa8aabaWdbiaadshacaGGSaGaaGjbVlaads faaiaawIcacaGLPaaacaGGUaaaaa@46EE@ Зависимость от времени этой величины определяется законом Омори MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSn0BKvguHDwzZbqefauqYLwySbsvUL 2yVrwzG00uaeXatLxBI9gBamXvP5wqSXMqHnxAJn0BKvguHDwzZbqe gm0B1jxALjhiov2DaeHbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaebbnrfifHhDYf gasaacH8srps0lbbf9q8WrFfeuY=Hhbbf9v8qqaqFr0xc9pk0xbba9 q8WqFfea0=yr0RYxir=Jbba9q8aq0=yq=He9q8qqQ8frFve9Fve9Ff 0dmeaabaqaciGacaGaaeqabaWaaqaafaaakeaaryqqYLwySbacgaqc LbwaqaaaaaaaaaWdbiaa=nbiaaa@4556@ Утсу:

Λ 0 t,T = Λ 0 t T t+c p dt 0 T t+c p dt = Λ 0 D t,T;c,p D 0,T;c,p , MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaGaeu4MdW0aaSbaaSqaaabaaaaaaaaapeGaaGimaaWd aeqaaOWdbmaabmaapaqaa8qacaWG0bGaaiilaiaaysW7caWGubaaca GLOaGaayzkaaGaeyypa0Jaeu4MdW0damaaBaaaleaapeGaaGimaaWd aeqaaOWdbmaalaaapaqaa8qadaqfWaqabSWdaeaapeGaamiDaaWdae aapeGaamivaaqdpaqaa8qacqGHRiI8aaGcdaqadaWdaeaapeGaamiD aiabgUcaRiaadogaaiaawIcacaGLPaaapaWaaWbaaSqabeaapeGaey OeI0IaamiCaaaakiaadsgacaWG0baapaqaa8qadaqfWaqabSWdaeaa peGaaGimaaWdaeaapeGaamivaaqdpaqaa8qacqGHRiI8aaGcdaqada WdaeaapeGaamiDaiabgUcaRiaadogaaiaawIcacaGLPaaapaWaaWba aSqabeaapeGaeyOeI0IaamiCaaaakiaadsgacaWG0baaaiabg2da9i abfU5am9aadaWgaaWcbaWdbiaaicdaa8aabeaak8qadaWcaaqaaiaa dseadaqadaWdaeaapeGaamiDaiaacYcacaaMe8UaamivaiaacUdaca aMe8Uaam4yaiaacYcacaaMe8UaamiCaaGaayjkaiaawMcaaaqaaiaa dseadaqadaWdaeaapeGaaGimaiaacYcacaaMe8UaamivaiaacUdaca aMe8Uaam4yaiaacYcacaaMe8UaamiCaaGaayjkaiaawMcaaaaacaGG Saaaaa@81A7@ (8)

где функция D t 1 , t 2 ;c,p MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaaeaaaaaaaaa8qacaWGebWaaeWaa8aabaWdbiaadsha paWaaSbaaSqaa8qacaaIXaaapaqabaGcpeGaaiilaiaaysW7caWG0b WdamaaBaaaleaapeGaaGOmaaWdaeqaaOWdbiaacUdacaaMe8Uaam4y aiaacYcacaaMe8UaamiCaaGaayjkaiaawMcaaaaa@4D47@ определена соотношениями (4). Таким образом, величина M1(t, T) в динамическом законе Бота имеет распределение:

 

P M 1 t,T M m <m = = 1 1+ 10 b mΔM 1 b lg Λ 0 1 b lg D 0,T;c,p D t,T;c,p . MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGceaGabeaaqaaaaaaaaaWdbiaadcfadaqadaWdaeaapeGa amyta8aadaWgaaWcbaWdbiaaigdaa8aabeaak8qadaqadaWdaeaape GaamiDaiaacYcacaWGubaacaGLOaGaayzkaaGaeyOeI0Iaamyta8aa daWgaaWcbaWdbiaad2gaa8aabeaak8qacqGH8aapcaWGTbaacaGLOa GaayzkaaGaeyypa0dabaGaeyypa0ZaaSaaa8aabaWdbiaaigdaa8aa baWdbiaaigdacqGHRaWkcaaIXaGaaGima8aadaahaaWcbeqaa8qacq GHsislcaWGIbWaaiWaa8aabaWdbiaad2gacqGHsislcqGHuoarcaWG nbGaeyOeI0YaaSaaa8aabaWdbiaaigdaa8aabaWdbiaadkgaaaGaae iBaiaabEgadaqadaWdaeaacqqHBoatdaWgaaadbaWdbiaaicdaa8aa beaaaSWdbiaawIcacaGLPaaacaaMc8UaeyOeI0IaaGPaVpaalaaapa qaa8qacaaIXaaapaqaa8qacaWGIbaaaiaabYgacaqGNbWaaeWaa8aa baWdbmaalaaapaqaa8qacaWGebWaaeWaa8aabaWdbiaaicdacaGGSa GaaGjbVlaadsfacaGG7aGaaGjbVlaadogacaGGSaGaaGjbVlaadcha aiaawIcacaGLPaaaa8aabaWdbiaadseadaqadaWdaeaapeGaamiDai aacYcacaaMe8UaamivaiaacUdacaaMe8Uaam4yaiaacYcacaaMe8Ua amiCaaGaayjkaiaawMcaaaaaaiaawIcacaGLPaaaaiaawUhacaGL9b aaaaaaaOGaaiOlaaaaaa@874B@

(9)

Это распределение имеет моду, определяемую соотношением:

 

Mode  M 1 t,T =  =ΔM+ 1 b lg Λ 0 + 1 b lg D 0,T;c,p D t,T;c,p . MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGceaGabeaaqaaaaaaaaaWdbiaad2eacaWGVbGaamizaiaa dwgacaGGGcWaaeWaa8aabaWdbiaad2eapaWaaSbaaSqaa8qacaaIXa aapaqabaGcpeWaaeWaa8aabaWdbiaadshacaGGSaGaaGjbVlaadsfa aiaawIcacaGLPaaaaiaawIcacaGLPaaacqGH9aqpcaGGGcaabaGaey ypa0JaeyiLdqKaamytaiabgUcaRmaalaaapaqaa8qacaaIXaaapaqa a8qacaWGIbaaaiGacYgacaGGNbWaaeWaa8aabaWdbiabfU5am9aada WgaaWcbaWdbiaaicdaa8aabeaaaOWdbiaawIcacaGLPaaacqGHRaWk daWcaaWdaeaapeGaaGymaaWdaeaapeGaamOyaaaacaqGSbGaae4zam aabmaapaqaa8qadaWcaaWdaeaapeGaamiramaabmaapaqaa8qacaaI WaGaaiilaiaaysW7caWGubGaai4oaiaaysW7caWGJbGaaiilaiaays W7caWGWbaacaGLOaGaayzkaaaapaqaa8qacaWGebWaaeWaa8aabaWd biaadshacaGGSaGaaGjbVlaadsfacaGG7aGaaGjbVlaadogacaGGSa GaaGjbVlaadchaaiaawIcacaGLPaaaaaaacaGLOaGaayzkaaGaaiOl aaaaaa@7B49@

(10)

В работе [Баранов, Шебалин, 2019] были получены следующие оценки для усредненной афтершоковой серии: 1.0, с 0.04 сут., 1.016. Формула (9) с этими параметрами и значением Λ 0 =6.7 MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbiqaaWUcqaaaaaaaaaWdbiabfU5am9aadaWgaaWcbaWd biaaicdaa8aabeaak8qacqGH9aqpcaaI2aGaaiOlaiaaiEdaaaa@44B7@ дает близкое совпадение с эмпирическими распределениями, полученными в указанной работе; это распределение также мало отличается от аппроксимации эмпирических распределений нормальным. В данной работе мы используем динамический закон Бота, определяемый соотношением (9) в качестве референц-модели для оценивания прогнозов по модели, учитывающей данные об уже состоявшихся афтершоках. В дальнейшем мы будем использовать обозначение плотности этого распределения p dynBath M,t . MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaaeaaaaaaaaa8qacaWGWbWdamaaBaaaleaapeGaamiz aiaadMhacaWGUbGaamOqaiaadggacaWG0bGaamiAaaWdaeqaaOWdbm aabmaapaqaa8qacaWGnbGaaiilaiaaysW7caWG0baacaGLOaGaayzk aaGaaiOlaaaa@4C1A@

Аналогично работе [Баранов, Шебалин, 2016], мы используем два критерия для оценивания качества получаемых распределений величины M 1 t,T . MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaaeaaaaaaaaa8qacaWGnbWdamaaBaaaleaapeGaaGym aaWdaeqaaOWdbmaabmaapaqaa8qacaWG0bGaaiilaiaaysW7caWGub aacaGLOaGaayzkaaGaaiOlaaaa@464C@ Один из критериев основан на оценках правдоподобия [Shorlemmer et al., 2007], другой MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSn0BKvguHDwzZbqefauqYLwySbsvUL 2yVrwzG00uaeXatLxBI9gBamXvP5wqSXMqHnxAJn0BKvguHDwzZbqe gm0B1jxALjhiov2DaeHbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaebbnrfifHhDYf gasaacH8srps0lbbf9q8WrFfeuY=Hhbbf9v8qqaqFr0xc9pk0xbba9 q8WqFfea0=yr0RYxir=Jbba9q8aq0=yq=He9q8qqQ8frFve9Fve9Ff 0dmeaabaqaciGacaGaaeqabaWaaqaafaaakeaaryqqYLwySbacgaqc LbwaqaaaaaaaaaWdbiaa=nbiaaa@4556@ на диаграмме ошибок [Молчан, Дмитриева, 1991].

Пусть N MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSn0BKvguHDwzZbqefauqYLwySbsvUL 2yVrwzG00uaeXatLxBI9gBamXvP5wqSXMqHnxAJn0BKvguHDwzZbqe gm0B1jxALjhiov2DaeHbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaebbnrfifHhDYf gasaacH8srps0lbbf9q8WrFfeuY=Hhbbf9v8qqaqFr0xc9pk0xbba9 q8WqFfea0=yr0RYxir=Jbba9q8aq0=yq=He9q8qqQ8frFve9Fve9Ff 0dmeaabaqaciGacaGaaeqabaWaaqaafaaakeaaryqqYLwySbacgaqc LbwaqaaaaaaaaaWdbiaa=nbiaaa@4556@ число завершившихся прогнозов, по которым оценивается метод, M1, i, 1,.., N MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSn0BKvguHDwzZbqefauqYLwySbsvUL 2yVrwzG00uaeXatLxBI9gBamXvP5wqSXMqHnxAJn0BKvguHDwzZbqe gm0B1jxALjhiov2DaeHbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaebbnrfifHhDYf gasaacH8srps0lbbf9q8WrFfeuY=Hhbbf9v8qqaqFr0xc9pk0xbba9 q8WqFfea0=yr0RYxir=Jbba9q8aq0=yq=He9q8qqQ8frFve9Fve9Ff 0dmeaabaqaciGacaGaaeqabaWaaqaafaaakeaaryqqYLwySbacgaqc LbwaqaaaaaaaaaWdbiaa=nbiaaa@4556@ реализации прогноза, то есть фактические значения величины M 1 t,T , MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaaeaaaaaaaaa8qacaWGnbWdamaaBaaaleaapeGaaGym aaWdaeqaaOWdbmaabmaapaqaa8qacaWG0bGaaiilaiaaysW7caWGub aacaGLOaGaayzkaaGaaiilaaaa@464A@ и g M;t,T MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaaeaaaaaaaaa8qacaWGNbWaaeWaa8aabaWdbiaad2ea caGG7aGaaGjbVlaadshacaGGSaGaaGjbVlaadsfaaiaawIcacaGLPa aaaaa@47A3@ MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSn0BKvguHDwzZbqefauqYLwySbsvUL 2yVrwzG00uaeXatLxBI9gBamXvP5wqSXMqHnxAJn0BKvguHDwzZbqe gm0B1jxALjhiov2DaeHbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaebbnrfifHhDYf gasaacH8srps0lbbf9q8WrFfeuY=Hhbbf9v8qqaqFr0xc9pk0xbba9 q8WqFfea0=yr0RYxir=Jbba9q8aq0=yq=He9q8qqQ8frFve9Fve9Ff 0dmeaabaqaciGacaGaaeqabaWaaqaafaaakeaaryqqYLwySbacgaqc LbwaqaaaaaaaaaWdbiaa=nbiaaa@4556@ плотность полученного оценочного распределения этой величины. Определим информационный выигрыш LG(N) оцениваемого метода по отношению к референц-модели как отношение правдоподобия полученных реализаций для двух моделей в пересчете на один прогноз:

 

LG N = i=1 N g M 1,i ;t,T i=1 N p dynBath M 1,i ,t 1 N . MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaaeaaaaaaaaa8qacaWGmbGaam4ramaabmaapaqaa8qa caWGobaacaGLOaGaayzkaaGaeyypa0ZaaiWaa8aabaWaaSaaaeaape Waaubmaeqal8aabaWdbiaadMgacqGH9aqpcaaIXaaapaqaa8qacaWG obaan8aabaWdbiabg+GivdaakiaadEgadaqadaWdaeaapeGaamyta8 aadaWgaaWcbaWdbiaaigdacaGGSaGaaGPaVlaadMgaa8aabeaak8qa caGG7aGaaGjbVlaadshacaGGSaGaaGjbVlaadsfaaiaawIcacaGLPa aaa8aabaWdbmaavadabeWcpaqaa8qacaWGPbGaeyypa0JaaGymaaWd aeaapeGaamOtaaqdpaqaa8qacqGHpis1aaGccaWGWbWdamaaBaaale aapeGaamizaiaadMhacaWGUbGaamOqaiaadggacaWG0bGaamiAaaWd aeqaaOWdbmaabmaapaqaa8qacaWGnbWdamaaBaaaleaapeGaaGymai aacYcacaaMc8UaamyAaaWdaeqaaOWdbiaacYcacaaMe8UaamiDaaGa ayjkaiaawMcaaaaaaiaawUhacaGL9baapaWaaWbaaSqabeaapeWaaS Gaa8aabaWdbiaaigdaa8aabaWdbiaad6eaaaaaaOWdaiaac6caaaa@742A@

(11)

Величина LG N   MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaaeaaaaaaaaa8qacaWGmbGaam4ramaabmaapaqaa8qa caWGobaacaGLOaGaayzkaaGaaiiOaaaa@431E@ тем больше, чем относительно чаще значения M 1,i t,T MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaaeaaaaaaaaa8qacaWGnbWdamaaBaaaleaapeGaaGym aiaacYcacaaMe8UaamyAaaWdaeqaaOWdbmaabmaapaqaa8qacaWG0b GaaiilaiaaysW7caWGubaacaGLOaGaayzkaaaaaa@48C5@ попадают в область больших значений плотности вероятности в тестируемой модели по сравнению с референц-моделью и чем реже в область малых значений плотности вероятности.

Диаграмма ошибок, которую мы здесь предлагаем, несколько отличается от стандартной. Поскольку прогноз можно считать тем лучше, чем ближе к максимуму плотности (моде) прогнозного распределения оказывается реализация, то в качестве управляющего параметра мы рассматриваем здесь расстояние δM от моды. Поэтому, чтобы сравнить тестируемую модель с моделью динамического закона Бота, мы определяем величину τ (доля тревог) как вероятность попадания величины M 1 t,T MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaaeaaaaaaaaa8qacaWGnbWdamacaY1gaaWcbGaGC9qa cGaGCHymaaWdaeqcaYfak8qadaqadaWdaeaapeGaamiDaiaacYcaca aMe8UaamivaaGaayjkaiaawMcaaaaa@492A@ в интервал E dynBath t δM, E dynBath t +δM , MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaaeaaaaaaaaa8qadaWadaWdaeaapeGaamyra8aadaWg aaWcbaWdbiacOb4GKbGaiGgGdMhacGaAaoOBaiacOb4GcbGaiGgGdg gacGaAaoiDaiacOb4GObaapaqabaGccaaMb8+dbmaabmaapaqaa8qa caWG0baacaGLOaGaayzkaaGaeyOeI0IaeqiTdqMaamytaiaaygW7ca GGSaGaamyra8aadaWgaaWcbaWdbiacOb4GKbGaiGgGdMhacGaAaoOB aiacOb4GcbGaiGgGdggacGaAaoiDaiacOb4GObaapaqabaGccaaMb8 +dbmaabmaapaqaa8qacaWG0baacaGLOaGaayzkaaGaey4kaSIaeqiT dqMaamytaaGaay5waiaaw2faaiaacYcaaaa@6E66@ а величину ν (доля пропусков цели) MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSn0BKvguHDwzZbqefauqYLwySbsvUL 2yVrwzG00uaeXatLxBI9gBamXvP5wqSXMqHnxAJn0BKvguHDwzZbqe gm0B1jxALjhiov2DaeHbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaebbnrfifHhDYf gasaacH8srps0lbbf9q8WrFfeuY=Hhbbf9v8qqaqFr0xc9pk0xbba9 q8WqFfea0=yr0RYxir=Jbba9q8aq0=yq=He9q8qqQ8frFve9Fve9Ff 0dmeaabaqaciGacaGaaeqabaWaaqaafaaakeaaryqqYLwySbacgaqc LbwaqaaaaaaaaaWdbiaa=nbiaaa@4556@ число случаев, когда M i,1 t,T <E t δM MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaaeaaaaaaaaa8qacaWGnbWdamaaBaaaleaapeGaamyA aiaacYcacaaMc8UaaGymaaWdaeqaaOWdbmaabmaapaqaa8qacaWG0b GaaiilaiaaysW7caWGubaacaGLOaGaayzkaaGaeyipaWJaamyramaa bmaapaqaa8qacaWG0baacaGLOaGaayzkaaGaeyOeI0IaeqiTdqMaam ytaaaa@5096@ или M i,1 t,T >E t +δM, MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaaeaaaaaaaaa8qacaWGnbWdamaaBaaaleaapeGaamyA aiaacYcacaaMe8UaaGymaaWdaeqaaOWdbmaabmaapaqaa8qacaWG0b GaaiilaiaaysW7caWGubaacaGLOaGaayzkaaGaeyOpa4Jaamyramaa bmaapaqaa8qacaWG0baacaGLOaGaayzkaaGaey4kaSIaeqiTdqMaam ytaiaacYcaaaa@5141@ где E(t) MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSn0BKvguHDwzZbqefauqYLwySbsvUL 2yVrwzG00uaeXatLxBI9gBamXvP5wqSXMqHnxAJn0BKvguHDwzZbqe gm0B1jxALjhiov2DaeHbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaebbnrfifHhDYf gasaacH8srps0lbbf9q8WrFfeuY=Hhbbf9v8qqaqFr0xc9pk0xbba9 q8WqFfea0=yr0RYxir=Jbba9q8aq0=yq=He9q8qqQ8frFve9Fve9Ff 0dmeaabaqaciGacaGaaeqabaWaaqaafaaakeaaryqqYLwySbacgaqc LbwaqaaaaaaaaaWdbiaa=nbiaaa@4556@ мода распределения для оцениваемой модели, а мода распределения для динамического закона Бота E dynBath t   MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaaeaaaaaaaaa8qacaWGfbWdamaaBaaaleaapeGaamiz aiaadMhacaWGUbGaamOqaiaadggacaWG0bGaamiAaaWdaeqaaOWdbm aabmaapaqaa8qacaWG0baacaGLOaGaayzkaaGaaiiOaaaa@4952@ определена соотношением (10). Точки на диаграмме при разных значениях δM MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaaeaaaaaaaaa8qacqaH0oazcaWGnbaaaa@4059@ образуют «траекторию ошибок». Чем в среднем относительно меньше расстояние от реализаций до моды, тем дальше от диагонали будет находиться «траектория» и тем лучше тестируемый метод. Тангенс наклона прямой на диаграмме ошибок, проходящей от точки (0.1) через точку траектории ошибок, называется вероятностным выигрышем (probability gain) [Molchan, 1991; Shebalin et al., 2014]. Для удобства сравнения для разных t мы будем рассматривать эту величину при ν 0.5, обозначив ее PG0.5. Для обоих критериев значение 1 означает, что качество прогноза величины M 1 t,T MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaaeaaaaaaaaa8qacaWGnbWdamaaBaaaleaapeGaaGym aaWdaeqaaOWdbmaabmaapaqaa8qacaWG0bGaaiilaiaaysW7caWGub aacaGLOaGaayzkaaaaaa@459A@ анализируемым методом такое же, как и оценка по динамическому закону Бота, без привлечения информации об уже состоявшихся афтершоках. Значения больше 1 означают, что метод предпочтителен по отношению к референц-модели; значении меньше 1 MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSn0BKvguHDwzZbqefauqYLwySbsvUL 2yVrwzG00uaeXatLxBI9gBamXvP5wqSXMqHnxAJn0BKvguHDwzZbqe gm0B1jxALjhiov2DaeHbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaebbnrfifHhDYf gasaacH8srps0lbbf9q8WrFfeuY=Hhbbf9v8qqaqFr0xc9pk0xbba9 q8WqFfea0=yr0RYxir=Jbba9q8aq0=yq=He9q8qqQ8frFve9Fve9Ff 0dmeaabaqaciGacaGaaeqabaWaaqaafaaakeaaryqqYLwySbacgaqc LbwaqaaaaaaaaaWdbiaa=nbiaaa@4556@ предпочтителен, наоборот, динамический закон Бота.

Оценки, основанные на правдоподобии и на диаграмме ошибок дополняют друг друга. В работе [Shebalin et al., 2014] продемонстрировано, что в диаграмме ошибок относительно больший вес придается реализациям прогноза (успешные прогнозы и ложные тревоги) в областях пространства MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSn0BKvguHDwzZbqefauqYLwySbsvUL 2yVrwzG00uaeXatLxBI9gBamXvP5wqSXMqHnxAJn0BKvguHDwzZbqe gm0B1jxALjhiov2DaeHbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaebbnrfifHhDYf gasaacH8srps0lbbf9q8WrFfeuY=Hhbbf9v8qqaqFr0xc9pk0xbba9 q8WqFfea0=yr0RYxir=Jbba9q8aq0=yq=He9q8qqQ8frFve9Fve9Ff 0dmeaabaqaciGacaGaaeqabaWaaqaafaaakeaaryqqYLwySbacgaqc LbwaqaaaaaaaaaWdbiaa=nbiaaa@4556@ времени, в которых тестируемая модель дает высокие вероятности прогнозируемых событий. Критерии, основанные на правдоподобии, наоборот, относительно больший вес придают областям низкой вероятности событий (включая пропуски цели). Для критериев, основанных на правдоподобии, кроме того часто возникает проблема нулевых или очень низких вероятностей. В случае пропуска цели ведь не так существенно насколько низко оценивалась вероятность события, важно, что она была много ниже значений, при которых события обычно реализуются. А «штраф» за один пропуск цели часто может компенсировать в критерии большое число очень успешных реализаций прогноза. Эта проблема легко компенсируется введением некоторого минимума вероятности события в модели: более низкие значения заменяются этим пороговым значением. Поскольку при этом возрастает суммарная вероятность, приходится производить перенормировку. Для критерия LG мы используем порог для плотности вероятности g M 1,i ;t,T , MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaaeaaaaaaaaa8qacaWGNbWaaeWaa8aabaWdbiaad2ea paWaaSbaaSqaa8qacaaIXaGaaiilaiaadMgaa8aabeaak8qacaGG7a GaaGjbVlaadshacaGGSaGaaGjbVlaadsfaaiaawIcacaGLPaaacaGG Saaaaa@4B1F@ равный 0.001.

ОЦЕНКА ПАРАМЕТРОВ ДЛЯ СЕРИИ АФТЕРШОКОВ

В тех случаях, когда используемых данных немного, получаемые оценки параметра неустойчивы, что, с учетом нелинейности, может существенно сказываться на оценках величины M 1 t,T MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaaeaaaaaaaaa8qacaWGnbWdamaaBaaaleaapeGaaGym aaWdaeqaaOWdbmaabmaapaqaa8qacaWG0bGaaiilaiaaysW7caWGub aacaGLOaGaayzkaaaaaa@459A@ даже при использовании Байесовского подхода с неинформативным (однородным) распределением параметра. Как показали ретроспективные тесты, из-за особенностей афтершоковых серий достаточно часто максимум апостериорного распределения параметра оказывается у границы задаваемых априорных пределов, что в конечном счете и приводит к ошибочным оценкам величины M 1 t,T . MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaaeaaaaaaaaa8qacaWGnbWdamaaBaaaleaapeGaaGym aaWdaeqaaOWdbmaabmaapaqaa8qacaWG0bGaaiilaiaaysW7caWGub aacaGLOaGaayzkaaGaaiOlaaaa@464C@ Для регуляризации оценок мы решили использовать более детальную априорную информацию о параметрах. Были построены эмпирические функции распределения параметров по большому числу афтершоковых серий. Из 777 серий были отобраны серии, у которых имеется хотя бы 20 афтершоков с магнитудой не ниже представительной, произошедших позднее 0.1 суток после основного толчка MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSn0BKvguHDwzZbqefauqYLwySbsvUL 2yVrwzG00uaeXatLxBI9gBamXvP5wqSXMqHnxAJn0BKvguHDwzZbqe gm0B1jxALjhiov2DaeHbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaebbnrfifHhDYf gasaacH8srps0lbbf9q8WrFfeuY=Hhbbf9v8qqaqFr0xc9pk0xbba9 q8WqFfea0=yr0RYxir=Jbba9q8aq0=yq=He9q8qqQ8frFve9Fve9Ff 0dmeaabaqaciGacaGaaeqabaWaaqaafaaakeaaryqqYLwySbacgaqc LbwaqaaaaaaaaaWdbiaa=nbiaaa@4556@ всего 334 серии. Представительная магнитуда Mc оценивалась методом работ [Wiemer, Wyss, 2000; Woessner, Wiemer, 2005].

Значение параметра b оценивалось по методике работы [Bender,1983] (краткое описание метода приведено в работе [Vorobieva et al., 2013]); программа, разработанная для данной работы, допускает использование как неинформативного (равномерного) априорного распределения параметра, так и произвольного информативного априорного распределения. На данном этапе нам была недоступна информация о распределении оценок параметра b, поэтому мы использовали равномерное априорное распределение на интервале [0.5, 1.5]. По 334 рассмотренным сериям было построено эмпирическое распределение полученных оценок и его аппроксимация нормальным распределением (рис. 1).

 

Рис. 1. Эмпирическое распределение оценок параметра b. Плотность f(b) (гистограмма) построена по 334 сериям афтершоков от землетрясений мира с Mm ≥ 6.5. Жирная линия – аппроксимация нормальным распределением со средним Eb = 1.12 и стандартным отклонением σb = 0.3.

 

Байесовская оценка апостериорного распределения оценок параметров с и p закона Омори MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSn0BKvguHDwzZbqefauqYLwySbsvUL 2yVrwzG00uaeXatLxBI9gBamXvP5wqSXMqHnxAJn0BKvguHDwzZbqe gm0B1jxALjhiov2DaeHbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaebbnrfifHhDYf gasaacH8srps0lbbf9q8WrFfeuY=Hhbbf9v8qqaqFr0xc9pk0xbba9 q8WqFfea0=yr0RYxir=Jbba9q8aq0=yq=He9q8qqQ8frFve9Fve9Ff 0dmeaabaqaciGacaGaaeqabaWaaqaafaaakeaaryqqYLwySbacgaqc LbwaqaaaaaaaaaWdbiaa=nbiaaa@4556@ Утсу проводилась методом работы [Holschneider et al., 2012]. Следуя рекомендациям указанной работы, для параметра с поиск оптимального значения осуществлялся для величины lg(c). Для данной работы авторами разработана новая программа, допускающая использование произвольного априорного распределения параметров (в текущей версии оригинальной программы допускается использование лишь равномерного априорного распределения). Аналогично оценке параметра b, на данном этапе использовались равномерные априорные распределения параметра p в интервале [0.5, 2.5] и lg(c) в интервале [ MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSn0BKvguHDwzZbqefauqYLwySbsvUL 2yVrwzG00uaeXatLxBI9gBamXvP5wqSXMqHnxAJn0BKvguHDwzZbqe gm0B1jxALjhiov2DaeHbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaebbnrfifHhDYf gasaacH8srps0lbbf9q8WrFfeuY=Hhbbf9v8qqaqFr0xc9pk0xbba9 q8WqFfea0=yr0RYxir=Jbba9q8aq0=yq=He9q8qqQ8frFve9Fve9Ff 0dmeaabaqaciGacaGaaeqabaWaaqaafaaakeaaryqqYLwySbacgaqc LbwaqaaaaaaaaaWdbiaa=nbiaaa@4556@ 3, 1.7]. Полученные по 334 сериям эмпирическое распределение полученных оценок и его аппроксимация нормальным распределением показаны на рис. 2.

 

Рис. 2. Эмпирические распределения оценок параметров lg (c) (а) и p (б). Гистограммы построены по 334 сериям афтершоков от землетрясений мира с Mm ≥ 6.5. Жирная линия – аппроксимация нормальным распределением со средними Elg(c) = –1 и Ep = 1.05 и стандартными отклонениями σlg(c) = 0.74 и σp = 0.25.

 

На этапе оценки величины M 1 t,T MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaaeaaaaaaaaa8qacaWGnbWdamaaBaaaleaapeGaaGym aaWdaeqaaOWdbmaabmaapaqaa8qacaWG0bGaaiilaiaaysW7caWGub aacaGLOaGaayzkaaaaaa@459A@ полученные аппроксимации нормальными распределениями используются в качестве информативных априорных распределений параметров b, c, p для оценки этих параметров на интервале (tstart, t) для каждой серии афтершоков.

ОПТИМИЗАЦИЯ ПАРАМЕТРА tstart

Важное значение на качество оценок величины M 1 t,T MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaaeaaaaaaaaa8qacaWGnbWdamaaBaaaleaapeGaaGym aaWdaeqaaOWdbmaabmaapaqaa8qacaWG0bGaaiilaiaaysW7caWGub aacaGLOaGaayzkaaaaaa@459A@ оказывает выбор параметра tstart. Очевидно, что сразу после сильного землетрясения часть афтершоков не попадает в каталог, главным образом, из-за наложения их сейсмограмм на сейсмограмму основного толчка и взаимного наложения сейсмограмм афтершоков. Авторы работы [Helmstetter et al., 2006] установили для каталога землетрясений Калифонии приблизительную связь магнитуды основного толчка Mm, порога представительной магнитуды Mc и времени tstart, начиная с которого каталог с M Mc полон: Mc = Mm MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSn0BKvguHDwzZbqefauqYLwySbsvUL 2yVrwzG00uaeXatLxBI9gBamXvP5wqSXMqHnxAJn0BKvguHDwzZbqe gm0B1jxALjhiov2DaeHbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaebbnrfifHhDYf gasaacH8srps0lbbf9q8WrFfeuY=Hhbbf9v8qqaqFr0xc9pk0xbba9 q8WqFfea0=yr0RYxir=Jbba9q8aq0=yq=He9q8qqQ8frFve9Fve9Ff 0dmeaabaqaciGacaGaaeqabaWaaqaafaaakeaaryqqYLwySbacgaqc LbwaqaaaaaaaaaWdbiaa=nbiaaa@4556@ 4.5 MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSn0BKvguHDwzZbqefauqYLwySbsvUL 2yVrwzG00uaeXatLxBI9gBamXvP5wqSXMqHnxAJn0BKvguHDwzZbqe gm0B1jxALjhiov2DaeHbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaebbnrfifHhDYf gasaacH8srps0lbbf9q8WrFfeuY=Hhbbf9v8qqaqFr0xc9pk0xbba9 q8WqFfea0=yr0RYxir=Jbba9q8aq0=yq=He9q8qqQ8frFve9Fve9Ff 0dmeaabaqaciGacaGaaeqabaWaaqaafaaakeaaryqqYLwySbacgaqc LbwaqaaaaaaaaaWdbiaa=nbiaaa@4556@ 0.76 lg(tstart), где время выражено в сутках. Для рассмотренных случаев в ретроспективных тестах эта оценка, по нашему мнению, во многих случаях существенно занижена. В работе [Hainzl, 2016] предложен подход для оценивания пары значений (Mc, tstart), основанный на представлении о том, что каталог становится неполным, если число событий в единицу времени слишком велико. Для этого подхода необходим подбор параметров, однако универсального критерия для такого подбора нет.

Здесь мы используем две конкурирующие оценки. В обоих случаях сначала мы находим значение представительной магнитуды Mc на интервале (0.01, t) методом Maximum Curvature (MAXC) [Wiemer, Wyss, 2000; Woessner, Wiemer, 2005]. Задержка 0.01 сут. вводится для того, чтобы избежать завышения оценок Mc за счет отсутствия более слабых событий в начале серии афтершоков. Величина tstart определяется для найденной оценки Mc.

Первый подход, предложенный нами в работе [Shebalin, Baranov, 2017] и затем усовершенствованный в работе [Шебалин и др., 2018] состоит в нахождении такого значения tstart, при котором стабилизируется параметр b закона Гутенберга MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSn0BKvguHDwzZbqefauqYLwySbsvUL 2yVrwzG00uaeXatLxBI9gBamXvP5wqSXMqHnxAJn0BKvguHDwzZbqe gm0B1jxALjhiov2DaeHbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaebbnrfifHhDYf gasaacH8srps0lbbf9q8WrFfeuY=Hhbbf9v8qqaqFr0xc9pk0xbba9 q8WqFfea0=yr0RYxir=Jbba9q8aq0=yq=He9q8qqQ8frFve9Fve9Ff 0dmeaabaqaciGacaGaaeqabaWaaqaafaaakeaaryqqYLwySbacgaqc LbwaqaaaaaaaaaWdbiaa=nbiaaa@4556@ Рихтера. В качестве критерия стабилизации используется первое достижение краткосрочным средним значением магнитуды, получаемым усреднением магнитуды 10 последовательных афтершоков, относительно долгосрочного среднего значения, получаемого по серии афтершоков за весь рассматриваемый период (0, t). При таком подходе мы опираемся на соотношение Аки [Aki, 1965], устанавливающее однозначное соответствие средней магнитуды и параметра b, а также предполагаем, что низкие значения параметра b (и, соответственно, большие значения средней магнитуды) в начале серии обусловлены отсутствием в каталоге части более слабых событий.

Второй вариант значительно проще. Мы исходим из того, что значение параметра c для афтершоков сильного землетрясения в реальности невелико и значительно меньше получаемой оценки при типичном для региона и периода времени значениях Mc [Holschneider et al., 2012]. Фактическая оценка параметра c, таким образом, может служить определением величины tstart для соответствующего значения Mc. На интервале (0.0001, t) при M Mc оцениваются параметры с и p закона Омори MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSn0BKvguHDwzZbqefauqYLwySbsvUL 2yVrwzG00uaeXatLxBI9gBamXvP5wqSXMqHnxAJn0BKvguHDwzZbqe gm0B1jxALjhiov2DaeHbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaebbnrfifHhDYf gasaacH8srps0lbbf9q8WrFfeuY=Hhbbf9v8qqaqFr0xc9pk0xbba9 q8WqFfea0=yr0RYxir=Jbba9q8aq0=yq=He9q8qqQ8frFve9Fve9Ff 0dmeaabaqaciGacaGaaeqabaWaaqaafaaakeaaryqqYLwySbacgaqc LbwaqaaaaaaaaaWdbiaa=nbiaaa@4556@ Утсу (2). Затем полагаем tstart = c и по данным из [tstart, t] с M Mc снова оцениваем параметры c, p, которые используются для расчета плотности распределения M1 (t, T). Оценки проводятся методом работы [Holschneider et al., 2012].

Мы сравнили два подхода путем интегрального сопоставления результатов ретроспективной оценки величины M 1 t,T MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaaeaaaaaaaaa8qacaWGnbWdamaaBaaaleaapeGaaGym aaWdaeqaaOWdbmaabmaapaqaa8qacaWG0bGaaiilaiaaysW7caWGub aacaGLOaGaayzkaaaaaa@459A@ по данным на интервале [tstart, t] для всех 777 рассмотренных серий для 9 значений t (0.25, 0.5, 1, 2, 4, 8, 16, 32 и 64 сут.). В качестве значения T везде принималось значение 1 год. В качестве интегральной оценки принималось среднее по 9 значениям LG и 9 значениям PG0.5, соответствующих разным значениям t; обозначим эту величину LPG. Результаты по двум методам оказались малоразличимыми (табл. 1). Для сравнения мы рассмотрели также вариант, в котором значение tstart находилось по соотношению работы [Helmstetter et al., 2006]. Результат неожиданно оказался лишь незначительно хуже (табл. 1). Потребовалось провести ряд дополнительных численных экспериментов, чтобы выяснить причину малого расхождения качества оценок, полученных при использовании трех вариантов определения величины tstart. В частности, были рассчитаны варианты с несколькими фиксированными значениями tstart, не зависящими ни от Mm, ни от Mc. Все оценки интегрально оказались хуже всех трех рассмотренных выше вариантов. Но лишь для t start 0.2 MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaaeaaaaaaaaa8qacaWG0bWdamaaBaaaleaapeGaam4C aiaadshacaWGHbGaamOCaiaadshaa8aabeaak8qacqGHLjYScaaIWa GaaiOlaiaaikdaaaa@4804@ сут. различие составило более 0.01. По-видимому, влияние tstart на качество оценок величины M 1 t,T MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaaeaaaaaaaaa8qacaWGnbWdamaaBaaaleaapeGaaGym aaWdaeqaaOWdbmaabmaapaqaa8qacaWG0bGaaiilaiaaysW7caWGub aacaGLOaGaayzkaaaaaa@459A@ обусловлено двумя противодействующими факторами. С одной стороны, определение tstart для каждой серии по данным об афтершоках дает не очень устойчивые оценки этого параметра, которые не демонстрируют какой-либо зависимости от разности магнитуд Mm MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSn0BKvguHDwzZbqefauqYLwySbsvUL 2yVrwzG00uaeXatLxBI9gBamXvP5wqSXMqHnxAJn0BKvguHDwzZbqe gm0B1jxALjhiov2DaeHbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaebbnrfifHhDYf gasaacH8srps0lbbf9q8WrFfeuY=Hhbbf9v8qqaqFr0xc9pk0xbba9 q8WqFfea0=yr0RYxir=Jbba9q8aq0=yq=He9q8qqQ8frFve9Fve9Ff 0dmeaabaqaciGacaGaaeqabaWaaqaafaaakeaaryqqYLwySbacgaqc LbwaqaaaaaaaaaWdbiaa=nbiaaa@4556@ Mc (рис. 3а). С другой стороны, завышенные или заниженные оценки частично компенсируются фактическими оценками параметра c, которые в данном случае отражают не физическое явление, а неполноту каталога.

Особенно существенно нестабильность определений tstart обоими способами проявляется при небольшом количестве данных. При большом числе, наоборот, оценки, сохраняя большой разброс значений, уже проявляют зависимость от разности магнитуд Mm MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSn0BKvguHDwzZbqefauqYLwySbsvUL 2yVrwzG00uaeXatLxBI9gBamXvP5wqSXMqHnxAJn0BKvguHDwzZbqe gm0B1jxALjhiov2DaeHbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaebbnrfifHhDYf gasaacH8srps0lbbf9q8WrFfeuY=Hhbbf9v8qqaqFr0xc9pk0xbba9 q8WqFfea0=yr0RYxir=Jbba9q8aq0=yq=He9q8qqQ8frFve9Fve9Ff 0dmeaabaqaciGacaGaaeqabaWaaqaafaaakeaaryqqYLwySbacgaqc LbwaqaaaaaaaaaWdbiaa=nbiaaa@4556@ Mc (рис. 3б). При этом для значительной доли серий эти оценки существенно больше значений по соотношению работы [Helmstetter et al., 2006], что представляется естественным, так как это соотношение было получено для района Калифорнии, где высока плотность сейсмических станций. Для глобальной сейсмичности, очевидно, это соотношение должно быть уточнено. С этой целью мы провели огибающую облака точек на графике рис. 3б, которая описывается соотношением:

 

Таблица 1. Критерии качества результатов ретроспективной оценки магнитуды сильнейшего на интервале (t, 365 сут.) афтершока, усредненные по 9 прогнозным интервалам времени, в зависимости от способа определения величины tstart

Метод определения tstart

 

Среднее число серий* с минимум 5 афтершоков в (tstart, t)

 

Среднее значение по 9 интервалам (t, 365 сут.), t = 0.25, 0.5, 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64 сут.

 

LG

 

PG0.5

 

(LG + PG0.5)/2

 

По работе [Shebalin et al., 2017]

 

409

 

1.288

 

1.081

 

1.184

 

По фактической оценке параметра с

 

402

 

1.282

 

1.102

 

1.192

 

По работе [Helmstetter et al., 2006]

 

401

 

1.277

 

1.121

 

1.199

 

lgtstart=10.7MmMc3.5

343

 

1.273

 

1.172

 

1.223

 

* Учитывается число афтершоков представительной магнитуды, которое может меняться для разных методов опреде­ления tstart.

 

Рис. 3. Зависимости определений величины tstart от разности магнитуд Mm–Mc, полученные по скользящему среднему (кружки) и по фактической оценке параметра c (крестики): (а) – для всех серий; (б) – для серий с числом афтершоков магнитуды Mc и выше не менее 100. Параметр Mc определялся методом MAXC на интервале [0.01, 4]. Жирная линия – огибающая точки на графике, определяется уравнением lgtstart=10.7MmMc3.5, штриховая линия соответствует соотношению из работы [Helmstetter et al., 2006] lgtstart=10.76MmMc4.5.

 

 

t start = 10 1.4 M m M c 3.5 . MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaaeaaaaaaaaa8qacaWG0bWdamaaBaaaleaapeGaam4C aiaadshacaWGHbGaamOCaiaadshaa8aabeaak8qacqGH9aqpcaaIXa GaaGima8aadaahaaWcbeqaa8qacaaIXaGaaiOlaiaaisdadaqadaWd aeaapeGaamyta8aadaWgaaadbaWdbiaad2gaa8aabeaal8qacqGHsi slcaWGnbWdamaaBaaameaapeGaam4yaaWdaeqaaSWdbiabgkHiTiaa iodacaGGUaGaaGynaaGaayjkaiaawMcaaaaak8aacaGGUaaaaa@53ED@

(12)

Использование соотношения (12) существенно улучшает интегральную оценку результатов (см. табл. 1). Везде в дальнейшем мы будем использовать этот способ определения t start . MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaaeaaaaaaaaa8qacaWG0bWdamaaBaaaleaapeGaam4C aiaadshacaWGHbGaamOCaiaadshaa8aabeaakiaac6caaaa@44B8@

РЕТРОСПЕКТИВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

Мы провели ретроспективные тесты разработанной здесь методики на 777 сериях афтершоков от сильных землетрясений мира с Mm 6.5 для времен t в геометрической прогрессии от 0.25 сут., до 64 сут. c двукратным изменением на каждом шаге. Оценки проводятся, если число афтершоков представительной магнитуды на интервале ( t start , t) MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaaeaaaaaaaaa8qacaGGOaGaamiDa8aadaWgaaWcbaWd biaadohacaWG0bGaamyyaiaadkhacaWG0baapaqabaGcpeGaaiilai aacckacaaMe8UaamiDaiaacMcaaaa@49C9@ составляет не менее N0. В противном случае применяется оценка по динамическому закону Бота. Поскольку при оценивании качества метода в качестве референц-модели выступает динамический закон Бота, такие случаи при оценивании исключаются. Величина N0 является единственным свободным параметром метода. После тестов с вариацией параметра N0 в пределах от 4 до 20 было выбрано оптимальное значение N0 = 5. Это значение мы затем использовали во всех тестах. Результаты тестирования основного метода приведены в табл. 2. Для всех рассмотренных времен t значения критериев LG и PG0.5 оказались больше 1 и в среднем составили 1.22. Таким образом, наша методика, за счет использования информации об уже произошедших афтершоках, в среднем дает существенно лучшие, зависящие от времени, оценки магнитуды последующего сильнейшего афтершока по сравнению с оценками по динамическому закону Бота. В среднем выигрыш по вероятности составляет около 22%.

Различия наиболее вероятного значения величины M 1 t,T MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaaeaaaaaaaaa8qacaWGnbWdamaaBaaaleaapeGaaGym aaWdaeqaaOWdbmaabmaapaqaa8qacaWG0bGaaiilaiaaysW7caWGub aacaGLOaGaayzkaaaaaa@459A@ по полученным оценкам и фактически наблюденного значения варьируют в довольно широких пределах, лишь немного более узких по сравнению с оценками по динамическому закону Бота (рис. 4). Преимущество используемого здесь подхода по отношению к оценкам по динамическому закону Бота состоит в том, что ширина каждого отдельного распределения (6) оценки величины M 1 t,T MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaaeaaaaaaaaa8qacaWGnbWdamaaBaaaleaapeGaaGym aaWdaeqaaOWdbmaabmaapaqaa8qacaWG0bGaaiilaiaaysW7caWGub aacaGLOaGaayzkaaaaaa@459A@ (ширина, например, может быть определена как разность квантилей уровней 0.9 и 0.1) существенно меньше ширины распределения (9) динамического закона Бота. В показанном на рис. 5 примере при близких значениях максимумов распределений ширина первого распределения значительно меньше, а значение плотности вероятности в точке наблюденного значения M 1 MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaaeaaaaaaaaa8qacaWGnbWdamaaBaaaleaapeGaaGym aaWdaeqaaaaa@3FC9@ больше. Отношение значений плотности вероятности двух оценок составляет основу критерия LG, равного среднему геометрическому значению этого отношения по всем сериям афтершоков. Для интервала (0.25 сут., 365 сут.), например, этот критерий оказался равен 1.392, что обусловлено в среднем относительно большими значениями плотности первого распределения (рис. 6а). Диаграмма ошибок для этого интервала показана на рис. 6б. Существенное отклонение диаграммы от диагонали, соответствующей случайному прогнозу, так же обусловлено более узким распределением оценок M 1 t,T MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbiqaaWsgqaaaaaaaaaWdbiaad2eapaWaaSbaaSqaa8qa caaIXaaapaqabaGcpeWaaeWaa8aabaWdbiaadshacaGGSaGaaGjbVl aaykW7caWGubaacaGLOaGaayzkaaaaaa@476D@ по данной работе. Точки на диаграмме соответствуют разным значениям расстояния в единицах магнитуды до максимума (моды) распределений, при этом величина ν MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSn0BKvguHDwzZbqefauqYLwySbsvUL 2yVrwzG00uaeXatLxBI9gBamXvP5wqSXMqHnxAJn0BKvguHDwzZbqe gm0B1jxALjhiov2DaeHbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaebbnrfifHhDYf gasaacH8srps0lbbf9q8WrFfeuY=Hhbbf9v8qqaqFr0xc9pk0xbba9 q8WqFfea0=yr0RYxir=Jbba9q8aq0=yq=He9q8qqQ8frFve9Fve9Ff 0dmeaabaqaciGacaGaaeqabaWaaqaafaaakeaaryqqYLwySbacgaqc LbwaqaaaaaaaaaWdbiaa=nbiaaa@4556@ это доля серий, для которых фактическое значение M1 отстоит от моды распределения (6) на большее расстояние, а величина τ MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSn0BKvguHDwzZbqefauqYLwySbsvUL 2yVrwzG00uaeXatLxBI9gBamXvP5wqSXMqHnxAJn0BKvguHDwzZbqe gm0B1jxALjhiov2DaeHbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaebbnrfifHhDYf gasaacH8srps0lbbf9q8WrFfeuY=Hhbbf9v8qqaqFr0xc9pk0xbba9 q8WqFfea0=yr0RYxir=Jbba9q8aq0=yq=He9q8qqQ8frFve9Fve9Ff 0dmeaabaqaciGacaGaaeqabaWaaqaafaaakeaaryqqYLwySbacgaqc LbwaqaaaaaaaaaWdbiaa=nbiaaa@4556@ вероятность случайной реализации значения M1 на меньшем расстоянии от моды распределения (9). И хотя, как следует из рис. 4, расстояния фактического значения M1 до моды двух распределений в среднем различаются несущественно, вероятности случайного попадания в интервалы одинаковой ширины для двух распределений различны. Это различие можно характеризовать величиной PG0.5. Для 9 вариантов на рис. 4 значения PG0.5 показаны графически на рис. 7 (незаштрихованные квадраты). Величина PG0.5, напомним, равна тангенсу наклона прямой, соединяющей точки (0.1) и (τ*, ν* = 0.5).

 

Таблица 2. Результаты ретроспективного тестирования методики прогноза величины M1(t, T)

t, сут.

 

N

 

Основной метод (по точечным оценкам параметров)

 

Метод с использованием Байесовского подходадля оценки M1(t, T)

 

По работе [Scherbakov et al., 2017]

 

LG

 

PG0.5

 

LG

 

PG0.5

 

LG

 

PG0.5

 

0.25

 

107

 

1.392

 

1.337

 

1.222

 

1.215

 

1.081

 

0.743

 

0.5

 

180

 

1.354

 

1.292

 

1.224

 

1.006

 

1.078

 

0.756

 

1

 

257

 

1.243

 

1.218

 

1.136

 

1.007

 

1.036

 

0.812

 

2

 

318

 

1.273

 

1.146

 

1.176

 

1.034

 

1.084

 

0.839

 

4

 

362

 

1.266

 

1.155

 

1.201

 

1.103

 

1.121

 

0.929

 

8

 

407

 

1.302

 

1.093

 

1.203

 

1.056

 

1.116

 

0.923

 

16

 

447

 

1.148

 

1.096

 

1.139

 

1.045

 

1.096

 

0.961

 

32

 

486

 

1.216

 

1.055

 

1.178

 

1.033

 

1.155

 

1.014

 

64

 

523

 

1.265

 

1.159

 

1.220

 

1.147

 

1.206

 

1.062

 

Среднее

 

343

 

1.273

 

1.172

 

1.189

 

1.072

 

1.108

 

0.893

 

 

1.223

 

1.130

 

1.000

 

N – число серий, для которых на интервале (tstart, t) число афтершоков представительной магнитуды составляет 5 или более.

 

Рис. 4. Распределения разности фактической магнитуды сильнейшего на интервале (t, 365 сут.) афтершока и максимума распределения (моды) оценки этой величины основным методом для 9 значений времени t. Распределения показаны гистограммами, нормированными на число рассмотренных серий афтершоков. Тонкой линией для сравнения показаны аналогичные распределения для оценок по динамическому закону Бота.

 

Рис. 5. Пример оценок величины M1(0.25 сут., 365 сут.) для афтершоков землетрясения магнитуды 7.7 (07.07.1990 г.). Жирная линия – плотность распределения по основному методу данной работы, соответствует функции распределения (6), штриховая линия – по динамическому закону Бота, соответствует функции распределения (9). Магнитуда сильнейшего афтершока показана вертикальной линией.

 

Рис. 6. Оценивание качества оценок величины M1(0.25 сут., 365 сут.) относительно динамического закона Бота. Соотношение плотностей распределений оценки по данным о предыдущих афтершоках (6) и по динамическрму закону Бота (9) при фактически наблюденных значениях величины (а); диаграмма ошибок (б).

 

ОБСУЖДЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ

Одновременно с разработкой нами данного подхода, над аналогичной задачей работала объединенная группа коллег из Канады и Японии, которые также использовали Байесовский подход для оценки максимальной магнитуды последующих афтершоков по данным о предыдущих. Результаты их работы опубликованы в конце 2017 г. [Scherbakov et al., 2017]. Наиболее существенное отличие этого подхода от нашего состоит в том, что в работе [Scherbakov et al., 2017] не учитывается неполнота каталога в начале афтершоковой серии. Кроме того, для регуляризации оценок мы используем информативное априорное распределение параметров законов Омори MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSn0BKvguHDwzZbqefauqYLwySbsvUL 2yVrwzG00uaeXatLxBI9gBamXvP5wqSXMqHnxAJn0BKvguHDwzZbqe gm0B1jxALjhiov2DaeHbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaebbnrfifHhDYf gasaacH8srps0lbbf9q8WrFfeuY=Hhbbf9v8qqaqFr0xc9pk0xbba9 q8WqFfea0=yr0RYxir=Jbba9q8aq0=yq=He9q8qqQ8frFve9Fve9Ff 0dmeaabaqaciGacaGaaeqabaWaaqaafaaakeaaryqqYLwySbacgaqc LbwaqaaaaaaaaaWdbiaa=nbiaaa@4556@ Утсу и Гутенберга MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSn0BKvguHDwzZbqefauqYLwySbsvUL 2yVrwzG00uaeXatLxBI9gBamXvP5wqSXMqHnxAJn0BKvguHDwzZbqe gm0B1jxALjhiov2DaeHbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaebbnrfifHhDYf gasaacH8srps0lbbf9q8WrFfeuY=Hhbbf9v8qqaqFr0xc9pk0xbba9 q8WqFfea0=yr0RYxir=Jbba9q8aq0=yq=He9q8qqQ8frFve9Fve9Ff 0dmeaabaqaciGacaGaaeqabaWaaqaafaaakeaaryqqYLwySbacgaqc LbwaqaaaaaaaaaWdbiaa=nbiaaa@4556@ Рихтера, взяв для этого сглаженные эмпирические распределения параметров, полученные по большому числу афтершоковых серий. В работе [Scherbakov et al., 2017] для этих параметров используется равномерные на отрезке априорные распределения, при этом границы задаются из общих представлений.

Первоначально мы также использовали Байесовский подход как для оценки параметров, так и для оценки величины M 1 t,T , MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaaeaaaaaaaaa8qacaWGnbWdamaaBaaaleaapeGaaGym aaWdaeqaaOWdbmaabmaapaqaa8qacaWG0bGaaiilaiaaysW7caWGub aacaGLOaGaayzkaaGaaiilaaaa@464A@ результаты тестирования этого варианта приведены в табл. 2. Сравнение этих результатов с результатами по основному методу показывают существенное преимущество основного варианта, в котором используются точечные оценки параметров. На том же ретроспективном материале мы провели сравнение наших оценок с оценками по методу работы [Scherbakov et al., 2017]. Эти результаты также приведены в табл. 2. Как оказалось, оценки по работе [Scherbakov et al., 2017] значительно хуже и в среднем не дают выигрыша по отношению к оценкам по динамическому закону Бота.

Разные способы определения параметра tstart мы подробно исследовали в отдельном разделе данной работы. При сопоставлении результатов ретроспективного тестирования с применением разных оценок tstart оказалось, что предпочтительными являются не индивидуальные оценки по имеющимся данным для каждой серии, а значения, определяемые разностью магнитуды основного толчка Mm и представительной магнитуды Mc. Такое соотношение, предложенное в работе [Helmstetter et al., 2006] для Калифорнии, как оказалось, дает заниженные значения величины tstart. Используя оценки этой величины двумя способами при большом количестве данных, мы получили аналогичное соотношение (12) для глобальной сейсмичности. Использование значений tstart по этому соотношению привело к улучшению получаемых оценок M 1 t,T . MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaaeaaaaaaaaa8qacaWGnbWdamaaBaaaleaapeGaaGym aaWdaeqaaOWdbmaabmaapaqaa8qacaWG0bGaaiilaiaadsfaaiaawI cacaGLPaaacaGGUaaaaa@44BF@

Другой важный элемент нашего подхода MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSn0BKvguHDwzZbqefauqYLwySbsvUL 2yVrwzG00uaeXatLxBI9gBamXvP5wqSXMqHnxAJn0BKvguHDwzZbqe gm0B1jxALjhiov2DaeHbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaebbnrfifHhDYf gasaacH8srps0lbbf9q8WrFfeuY=Hhbbf9v8qqaqFr0xc9pk0xbba9 q8WqFfea0=yr0RYxir=Jbba9q8aq0=yq=He9q8qqQ8frFve9Fve9Ff 0dmeaabaqaciGacaGaaeqabaWaaqaafaaakeaaryqqYLwySbacgaqc LbwaqaaaaaaaaaWdbiaa=nbiaaa@4556@ регуляризация оценок параметров с помощью Байесовского подхода с использованием аппроксимаций нормальными распределениями полученных нами глобальных эмпирических распределений параметров lg (c), p, b в афтершоковых последовательностях. Чтобы оценить роль использования более детальной априорной информации о параметрах (не только их пределов, как часто принимается в Байесовских оценках, но и наиболее вероятных значений и формы распределения), мы сравнили результаты ретроспективных оценок в основном варианте с результатами аналогичных оценок, но с заменой априорных распределений на равномерные на заданных отрезках (табл. 3). Результаты с регуляризацией оценок параметров с нормальными априорными распределениями оказались существенно лучше.

Таким образом, учет неполноты каталога в начале афтершоковой серии и регуляризация оценок параметров являются важнейшими факторами для эффективных оценок величины M 1 t,T . MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaaeaaaaaaaaa8qacaWGnbWdamaaBaaaleaapeGaaGym aaWdaeqaaOWdbmaabmaapaqaa8qacaWG0bGaaiilaiaaysW7caWGub aacaGLOaGaayzkaaGaaiOlaaaa@464C@

Первоначально в рамках данного исследования планировалось учитывать две особенности закона Гутенберга MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSn0BKvguHDwzZbqefauqYLwySbsvUL 2yVrwzG00uaeXatLxBI9gBamXvP5wqSXMqHnxAJn0BKvguHDwzZbqe gm0B1jxALjhiov2DaeHbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaebbnrfifHhDYf gasaacH8srps0lbbf9q8WrFfeuY=Hhbbf9v8qqaqFr0xc9pk0xbba9 q8WqFfea0=yr0RYxir=Jbba9q8aq0=yq=He9q8qqQ8frFve9Fve9Ff 0dmeaabaqaciGacaGaaeqabaWaaqaafaaakeaaryqqYLwySbacgaqc LbwaqaaaaaaaaaWdbiaa=nbiaaa@4556@ Рихтера для афтершоковых последовательностей. Во-первых, распределение магнитуды афтершоков может быть естественным образом ограничено в области больших значений из-за эффекта конечного объема [Romanovicz, 1992]. Но наши тесты показали, что учет этого эффекта влияет на результирующие оценки незначительно по сравнению с другими факторами, и им можно пренебречь.

Вторая возможная особенность MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSn0BKvguHDwzZbqefauqYLwySbsvUL 2yVrwzG00uaeXatLxBI9gBamXvP5wqSXMqHnxAJn0BKvguHDwzZbqe gm0B1jxALjhiov2DaeHbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaebbnrfifHhDYf gasaacH8srps0lbbf9q8WrFfeuY=Hhbbf9v8qqaqFr0xc9pk0xbba9 q8WqFfea0=yr0RYxir=Jbba9q8aq0=yq=He9q8qqQ8frFve9Fve9Ff 0dmeaabaqaciGacaGaaeqabaWaaqaafaaakeaaryqqYLwySbacgaqc LbwaqaaaaaaaaaWdbiaa=nbiaaa@4556@ это излом графика повторяемости, также приводящий к снижению вероятности сильнейших событий. Такой излом мы обнаружили для афтершоков от землетрясений магнитуды 7.5 и выше в Новой Зеландии [Shebalin, Baranov, 2017]. Этот излом может быть связан с известным эффектом пост-сейсмического проскальзывания в очаге землетрясения [Vorobieva et al., 2016]. Для этого случая также были получены варианты формул (6) и (6а), а также разработана программа оценки параметров графика повторяемости с изломом. Однако увеличение числа оцениваемых параметров и соответствующее снижение устойчивости не дали улучшить оценки величины M 1 t,T , MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaaeaaaaaaaaa8qacaWGnbWdamaaBaaaleaapeGaaGym aaWdaeqaaOWdbmaabmaapaqaa8qacaWG0bGaaiilaiaaysW7caWGub aacaGLOaGaayzkaaGaaiilaaaa@464A@ и от учета возможного излома графика повторяемости пришлось отказаться.

В данном исследовании формально мы учитываем и еще одну возможную особенность поведения графика повторяемости в афтершоковых последовательностях, часто упоминаемую в литературе. Хорошо известно, что наклон графика повторяемости значительно уменьшается перед сильными землетрясениями [Molchan et al., 1999; Rodkin, Tikhonov, 2016]. Соответственно естественно ожидать, что в афтершоковом процессе происходит возврат к обычным значениям. Такое поведение с высокой степенью надежности наблюдается в лабораторных экспериментах [Sobolev et al., 1996; Smirnov et al., 2010; 2018]. В реальных афтершоковых процессах также формально наблюдается возрастание параметра b в течение первых суток после основного толчка [Rodkin, Tikhonov, 2016], однако этот эффект в значительной (если не определяющей) степени связан с неполнотой каталога, которая зависит как от магнитуды, так и от времени [Helmstetter et al., 2006]. В работе [Баранов, Шебалин, 2019] было показано, что магнитуды сильных афтершоков не зависят от времени, а значит, вариации наклона графика повторяемости в афтершоковых сериях могут наблюдаться только за счет зависимости от времени магнитуд относительно слабых афтершоков, что напрямую проверить не представляется возможным. Результаты данной работы, однако, косвенно свидетельствуют о постоянстве параметра b, начиная с ранних стадий афтершоков. В пользу этого говорит относительно хорошее качество прогнозов по данным об афтершоках, зарегистрированных в течение менее суток после основных толчков (табл. 2). Если бы параметр b значительно вырос после этого периода, то оценки величины M 1 t,T MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaaeaaaaaaaaa8qacaWGnbWdamaaBaaaleaapeGaaGym aaWdaeqaaOWdbmaabmaapaqaa8qacaWG0bGaaiilaiaaysW7caWGub aacaGLOaGaayzkaaaaaa@459A@ должны бы были оказаться значительно завышенными, что не наблюдается.

 

Таблица 3. Критерии качества результатов ретроспективной оценки магнитуды сильнейшего на интервале (t, 365 сут.) афтершока, усредненные по 9 прогнозным интервалам времени, в зависимости от вида априорных распределений для Байесовских оценок параметров с, p, b

Вид априорных распределенийдля оценки параметров

 

Среднее значение по 9 интервалам (t, 365 сут.),t = 0.25, 0.5, 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64 сут.

 

LG

 

PG0.5

 

(LG + PG0.5)/2

 

Нормальная аппроксимация эмпирических распределений

 

1.273

 

1.172

 

1.223

 

Равномерные априорные распределения

 

1.229

 

0.976

 

1.103

 

 

В качестве модели убывания интенсивности афтершоков мы использовали степенной закон Омори MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSn0BKvguHDwzZbqefauqYLwySbsvUL 2yVrwzG00uaeXatLxBI9gBamXvP5wqSXMqHnxAJn0BKvguHDwzZbqe gm0B1jxALjhiov2DaeHbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaebbnrfifHhDYf gasaacH8srps0lbbf9q8WrFfeuY=Hhbbf9v8qqaqFr0xc9pk0xbba9 q8WqFfea0=yr0RYxir=Jbba9q8aq0=yq=He9q8qqQ8frFve9Fve9Ff 0dmeaabaqaciGacaGaaeqabaWaaqaafaaakeaaryqqYLwySbacgaqc LbwaqaaaaaaaaaWdbiaa=nbiaaa@4556@ Утсу [Utsu, 1961]. Вместе с тем, известно, что иногда завершение серии афтершоков происходит быстрее [Narteau et al., 2002]. Это характерно для очагов с подвижкой по «незрелому» разлому, образовавшемуся сравнительно недавно или непосредственно при землетрясении [Narteau et al., 2003], что является редким явлением. На начальных стадиях данного исследования мы в качестве вариантов рассматривали вместо закона Омори MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSn0BKvguHDwzZbqefauqYLwySbsvUL 2yVrwzG00uaeXatLxBI9gBamXvP5wqSXMqHnxAJn0BKvguHDwzZbqe gm0B1jxALjhiov2DaeHbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaebbnrfifHhDYf gasaacH8srps0lbbf9q8WrFfeuY=Hhbbf9v8qqaqFr0xc9pk0xbba9 q8WqFfea0=yr0RYxir=Jbba9q8aq0=yq=He9q8qqQ8frFve9Fve9Ff 0dmeaabaqaciGacaGaaeqabaWaaqaafaaakeaaryqqYLwySbacgaqc LbwaqaaaaaaaaaWdbiaa=nbiaaa@4556@ Утсу его суперпозицию с экспоненциальным спаданием интенсивности афтершоков, а также модель работы [Narteau et al., 2002]. Оказалось, что незначительное улучшение оценок для нескольких землетрясений с лихвой компенсируется общим ухудшением за счет неустойчивости оценок параметров, число которых увеличивается на 1.

Выигрыш по вероятности полученных ретроспективных оценок по отношению к динамическому закону Бота составляет не многим более 20%. Есть ли какая-либо возможность улучшить этот показатель? Для ответа на этот вопрос мы рассмотрели вариант «идеального прогноза», в котором оценки числа событий представительной магнитуды на прогнозных интервалах заменены на фактическое их число. Таким образом, оценка параметров c и p не используется. Параметр b оценивается так же, как и в основном варианте. Результаты ретроспективных «идеальных прогнозов» приведены на рис. 7. Соответствующие значения критериев LG и PG0.5 являются тем переделом сверху, которого в принципе могут достичь оценки величины M 1 t,T MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaaeaaaaaaaaa8qacaWGnbWdamaaBaaaleaapeGaaGym aaWdaeqaaOWdbmaabmaapaqaa8qacaWG0bGaaiilaiaaysW7caWGub aacaGLOaGaayzkaaaaaa@459A@ по нашей методике.

 

Рис. 7. Сравнение критериев качества относительно динамического закона Бота (выигрыша по вероятности) для ретроспективных оценок по основному варианту и для «идеального прогноза», в котором оценка числа событий представительной магнитуды на прогнозных интервалах (t, 365 сут.) заменена на их фактическое число. Треугольниками показаны значения критерия LG, квадратами PG0.5, кружками – (LG + PG0.5)/2. Закрашены символы, соответствующие «идеальному прогнозу».

 

Для «идеального прогноза» критерии качества составляют около 1.8. Это тот предел, который может быть в принципе достигнут. На этом фоне выигрыш около 20% и тем более 40% уже не представляется небольшим. Обращает на себя внимание, что оценки качества слабо зависят от времени t начала прогнозного интервала. Это связано, по-видимому, с тем, что разброс оценок как по формуле (6), так и по формуле (9) не зависит от t [Баранов, Шебалин, 2019]. Неожиданным и пока необъяснимым является лучшее качество оценок по наименьшему количеству доступных данных (для t = 0.25 и 0.5 сут.).

Рис. 7 красноречиво свидетельствует об ограничениях статистического подхода для оценки магнитуды сильнейших последующих афтершоков. Принципиальное улучшение таких оценок возможно, по-видимому, только при использовании информации о физических свойствах очага основного землетрясения. Перспективным в этом направлении представляется анализ волновых форм землетрясения и спутниковых данных о ко-сейсмических и пост-сейсмических деформациях.

 

Рис. 8. Гистограммы отношения оценки числа Λ (4, 365) афтершоков представительной магнитуды на интервале (4 сут., 365 сут.) по формулам (3) и (4) к наблюденному числу N (4, 365) для рассмотренных 362 серий (см. табл. 2): (а) – для каждой серии одна оценка с использованием точечных оценок параметров (максимумы Байесовских апостериорных распределений); (б) – для каждой серии 100 оценок методом Монте-Карло по апостериорным распределениям параметров.

 

В процессе разработки методики на одном из последних этапов мы отказались от Байесовской оценки величины M 1 t,T . MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaaeaaaaaaaaa8qacaWGnbWdamaaBaaaleaapeGaaGym aaWdaeqaaOWdbmaabmaapaqaa8qacaWG0bGaaiilaiaaysW7caWGub aacaGLOaGaayzkaaGaaiOlaaaa@464C@ Тот факт, что использование точечных оценок параметров (но, по-прежнему, полученных с помощью Байесовского подхода с использованием информации о распределении параметров в афтершоковых последовательностях глобальной сейсмичности) дает лучшие ретроспективные результаты по сравнению с полной схемой Байесовских оценок величины M 1 t,T , MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaaeaaaaaaaaa8qacaWGnbWdamaaBaaaleaapeGaaGym aaWdaeqaaOWdbmaabmaapaqaa8qacaWG0bGaaiilaiaaysW7caWGub aacaGLOaGaayzkaaGaaiilaaaa@464A@ является контринтуитивным и требует пояснения. Действительно, оценка числа событий на прогнозном интервале в полной схеме Байесовских оценок (рис. 8б) несколько лучше, чем при использовании точечных оценок параметров (рис. 8а), среднеквадратичный разброс почти вдвое меньше (0.21 против 0.39). Однако при использовании точечных оценок ширина распределения оценки M 1 t,T MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaaeaaaaaaaaa8qacaWGnbWdamaaBaaaleaapeGaaGym aaWdaeqaaOWdbmaabmaapaqaa8qacaWG0bGaaiilaiaaysW7caWGub aacaGLOaGaayzkaaaaaa@459A@ сравнительно невелика, среднеквадратичный разброс, независимо от прогнозного интервала, составляет примерно 0.45. При использование полной Байесовской схемы усредняются не оценки ожидаемого числа событий на прогнозном интервале, а распределения оценки M 1 t,T , MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaaeaaaaaaaaa8qacaWGnbWdamaaBaaaleaapeGaaGym aaWdaeqaaOWdbmaabmaapaqaa8qacaWG0bGaaiilaiaaysW7caWGub aacaGLOaGaayzkaaGaaiilaaaa@464A@ что приводит к «размазыванию» этого распределения и приближает его форму к форме динамического закона Бота, имеющего среднеквадратичный разброс примерно 0.66.

Таким образом, использование точечных оценок параметров (при условии их регуляризации описанным выше способом) действительно предпочтительно по сравнению с полной Байесовской схемой оценок величины M 1 t,T . MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaaeaaaaaaaaa8qacaWGnbWdamaaBaaaleaapeGaaGym aaWdaeqaaOWdbmaabmaapaqaa8qacaWG0bGaaiilaiaaysW7caWGub aacaGLOaGaayzkaaGaaiOlaaaa@464C@ Дополнительное небольшое улучшение оценок может быть получено использованием промежуточного варианта с использованием Байесовских оценок величины Λ(t, T) в формуле (6). Тесты показали, что такой подход в среднем улучшает выигрыш по вероятности ретроспективных оценок еще примерно на 1%.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Рассмотрена задача прогноза магнитуды сильнейшего афтершока, ожидаемого через некоторое время после основного толчка. Афтершоковый процесс моделировался суперпозицией законов Гуттенберга MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSn0BKvguHDwzZbqefauqYLwySbsvUL 2yVrwzG00uaeXatLxBI9gBamXvP5wqSXMqHnxAJn0BKvguHDwzZbqe gm0B1jxALjhiov2DaeHbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaebbnrfifHhDYf gasaacH8srps0lbbf9q8WrFfeuY=Hhbbf9v8qqaqFr0xc9pk0xbba9 q8WqFfea0=yr0RYxir=Jbba9q8aq0=yq=He9q8qqQ8frFve9Fve9Ff 0dmeaabaqaciGacaGaaeqabaWaaqaafaaakeaaryqqYLwySbacgaqc LbwaqaaaaaaaaaWdbiaa=nbiaaa@4556@ Рихтера Омори MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSn0BKvguHDwzZbqefauqYLwySbsvUL 2yVrwzG00uaeXatLxBI9gBamXvP5wqSXMqHnxAJn0BKvguHDwzZbqe gm0B1jxALjhiov2DaeHbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaebbnrfifHhDYf gasaacH8srps0lbbf9q8WrFfeuY=Hhbbf9v8qqaqFr0xc9pk0xbba9 q8WqFfea0=yr0RYxir=Jbba9q8aq0=yq=He9q8qqQ8frFve9Fve9Ff 0dmeaabaqaciGacaGaaeqabaWaaqaafaaakeaaryqqYLwySbacgaqc LbwaqaaaaaaaaaWdbiaa=nbiaaa@4556@ Утсу (подход Ризенберга MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSn0BKvguHDwzZbqefauqYLwySbsvUL 2yVrwzG00uaeXatLxBI9gBamXvP5wqSXMqHnxAJn0BKvguHDwzZbqe gm0B1jxALjhiov2DaeHbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaebbnrfifHhDYf gasaacH8srps0lbbf9q8WrFfeuY=Hhbbf9v8qqaqFr0xc9pk0xbba9 q8WqFfea0=yr0RYxir=Jbba9q8aq0=yq=He9q8qqQ8frFve9Fve9Ff 0dmeaabaqaciGacaGaaeqabaWaaqaafaaakeaaryqqYLwySbacgaqc LbwaqaaaaaaaaaWdbiaa=nbiaaa@4556@ Джонс), параметры которых оценивались методом Байеса с использованием данных об уже произошедших афтершоках и априорной информации о вероятных значениях параметров.

Качество прогноза оценивалось относительно референц-модели, определяющей распределение вероятности максимальной магнитуды последующих афтершоков, по двум независимым критериям. Первым критерием являлся информационный выигрыш модели равный отношению правдоподобия полученных реализаций для оцениваемого метода и референц-модели в пересчете на один прогноз. В качестве второго критерия использовался выигрыш по вероятности оцениваемого метода, рассчитанный по диаграмме ошибок, построенной относительно референц-модели, для доли пропусков цели 0.5. В качестве референц-модели был использован динамический закон Бота [Баранов, Шебалин, 2018].

Рассмотрено несколько вариантов оценки максимальной магнитуды последующих афтершоков. Значительное внимание уделено вариантам определения представительной магнитуды, зависящей от интервала времени после основного толчка, исключаемого из рассмотрения при оценке параметров. Учет неполноты каталога в начале серии афтершоков играет ключевую роль для точных оценок. Получено оптимальное соотношение, связывающее магнитуду основного толчка, период исключения данных и представительную магнитуду, уточняющее соотношение работы [Helmstetter et al., 2006].

Ретроспективная проверка вариантов осуществлялось по данным 777 серий афтершоков от землетрясений мира с магнитудой 6.5 и выше за период с 1980 по 2016 гг., выделенных из каталога ANSS ComCat Геологической службы США по алгоритму Молчана Г.М. и Дмитриевой О.Е. [1991].

В результате тестирования была выработана оптимальная методика оценивания магнитуды сильнейшего афтершока, ожидаемого через некоторое время после основного толчка. Исходными данными для оценивания является афтершоки, произошедшие за время t = 0.25, 0.5, 1, 2, 4, 8, 16, 32 или 64 суток после основного толчка. Методика позволяет оценить магнитуду сильнейшего афтершока, ожидаемого на интервале (t, 365) суток после основного толчка. В основе методики лежат точечные оценки параметров по методу Байеса с использованием априорной информации в виде усредненных распределений параметров, аппроксимируемых нормальными распределениями.

Разработанная методика дает выигрыш по вероятности от 20 до 40% по сравнению с оценками, полученными по динамическому закону Бота, при этом идеальный прогноз (параметры модели оцениваются на интервале (0, 365) после основного толчка) дает выигрыш 80%. На этом фоне выигрыш около 20% и тем более 40% уже не представляется небольшим. По результатам тестирования по глобальным данным методика также значительно превосходит метод работы [Scherbakov et al., 2017]. Главными отличиями нашего метода является учет неполноты каталога и использование усредненных распределений параметров в качестве априорной информации для их оценок по методу Байеса.

Разработанная методика может использоваться для прогноза максимальной магнитуды последующих повторных толчков после сильных землетрясений с использованием информации об уже произошедших афтершоках. Эти оценки включены в разрабатываемую автоматизированную систему оценки опасности сильных афтершоков AFCAST (www.afcast.org/afcast).

Финансирование работы

Исследование выполнено при частичной поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проекты MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSn0BKvguHDwzZbqefauqYLwySbsvUL 2yVrwzG00uaeXatLxBI9gBamXvP5wqSXMqHnxAJn0BKvguHDwzZbqe gm0B1jxALjhiov2DaeHbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaebbnrfifHhDYf gasaacH8srps0lbbf9q8WrFfeuY=Hhbbf9v8qqaqFr0xc9pk0xbba9 q8WqFfea0=yr0RYxir=Jbba9q8aq0=yq=He9q8qqQ8frFve9Fve9Ff 0dmeaabaqaciGacaGaaeqabaWaaqaafaaakeaaryqqYLwySbacgaqc LbwaqaaaaaaaaaWdbiaa=zriaaa@455A@ 17-05-00749 и MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSn0BKvguHDwzZbqefauqYLwySbsvUL 2yVrwzG00uaeXatLxBI9gBamXvP5wqSXMqHnxAJn0BKvguHDwzZbqe gm0B1jxALjhiov2DaeHbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaebbnrfifHhDYf gasaacH8srps0lbbf9q8WrFfeuY=Hhbbf9v8qqaqFr0xc9pk0xbba9 q8WqFfea0=yr0RYxir=Jbba9q8aq0=yq=He9q8qqQ8frFve9Fve9Ff 0dmeaabaqaciGacaGaaeqabaWaaqaafaaakeaaryqqYLwySbacgaqc LbwaqaaaaaaaaaWdbiaa=zriaaa@455A@ 19-05-00812.

S. V. Baranov

Institute of Earthquake Prediction Theory and Mathematical Geophysics,Russian Academy of Sciences; Kola Branch, Federal Research Center “Geophysical Survey of Russian Academy of Sciences”

Author for correspondence.
Email: bars.vl@gmail.com

Russian Federation, Moscow; Apatity

V. A. Pavlenko

Institute of Earthquake Prediction Theory and Mathematical Geophysics,Russian Academy of Sciences; Schmidt Institute of Physics of the Earth, Russian Academy of Sciences

Email: pavlenko.vasily@gmail.com

Russian Federation, Moscow

P. N. Shebalin

Institute of Earthquake Prediction Theory and Mathematical Geophysics,Russian Academy of Sciences

Email: shebalin@mitp.ru

Russian Federation, Moscow

  1. Баранов С.В., Шебалин П.Н. О прогнозировании афтершоковой активности. 1. Адаптивные оценки на основе законов Омори и Гутенберга–Рихтера // Физика Земли. 2016. № 3. С. 82–101. doi: 10.7868/S0002333716020034
  2. Баранов С.В., Шебалин П.Н. О прогнозировании активности афтершоков. 2. Оценка области распространения сильных афтершоков // Физика Земли. 2017. № 3. C. 43–61. doi: 10.7868/S0002333717020028
  3. Баранов С.В., Шебалин П.Н. Глобальная статистика афтершоков сильных землетрясений: независимость времен и магнитуд // Вулканология и сейсмология. 2019. № 2. С. 67–76.
  4. Баранов С.В., Шебалин П.Н. О прогнозировании афтершоковой активности. 3. Динамический закон Бота // Физика Земли. 2018. № 6. С. 129–136.
  5. Молчан Г.М., Дмитриева О.Е. Идентификация афтершоков: обзор и новые подходы // Вычислительная сейсмология. 1991. Вып. 24. С. 19–50.
  6. Писаренко В.Ф., Родкин М.В., Рукавишникова Т.А. Оценка вероятности редких экстремальных событий для случая малых выборок, методика и примеры анализа каталога землетрясений // Физика Земли. 2017. № 6. С. 3–17.
  7. Смирнов В.Б., Пономарев А.В., Бернар П., Патонин А.В. Закономерности переходных режимов сейсмического процесса по данным лабораторного и натурного моделирования // Физика Земли. 2010. № 2. С. 17–49.
  8. Смирнов В.Б., Пономарев А.В., Станчиц С.А., Потанина М.Г., Патонин А.В., Dresen G., Narteau C., Bernard P., Строганова С.М. Лабораторное моделирование афтершоковых последовательностей: зависимость параметров Омори и Гутенберга–Рихтера от напряжений // Физика Земли. 2019. № 1. С. 17–49.
  9. Шебалин П.Н., Баранов С.В., Дзебоев Б.А. Закон повторяемости количества афтершоков // Докл. РАН. 2018. Т. 481. № 3. С. 320–323.
  10. Aki K. Maximum likelihood estimate of b in the formula log N  a – bM and its confidence level // Bull. Earthquake Res. Inst. 1965. V. 43. P. 237–239.
  11. ANSS Comprehensive Earthquake Catalog (ComCat) URL: https: // earthquake.usgs.gov/data/comcat/
  12. Bath M. Lateral inhomogeneities in the upper mantle // Tectonophysics. 1965. V. 2. P. 483–514.
  13. Bender B. Maximum likelihood estimation of b values for magnitude grouped data // Bulletin of the Seismological Society of America. 1983. V. 73. № 3. P. 831–851.
  14. Gutenberg B., Richter C.F. Seismicity of the Earth and Associated Phenomena 2nd ed./Princeton N.J. Princeton University Press. 1954. 273 р.
  15. Hainzl S. Rate-Dependent Incompleteness of Earthquake Catalogs // Seismological Research Letters. 2016. V. 87. № 2 A. P. 337–344. Helmstetter A., Sornette D. Båth’s law derived from the Gutenberg–Richter law and from aftershock properties // Geophys. Res. Lett. 2003. V. 30. P. 2069.
  16. Holschneider, M., Zöller G., Clements R., Schorlemmer D. Can we test for the maximum possible earthquake magnitude? // J. Geophys. Res. Solid Earth. 2014. V. 119. P. 2019–2028. doi: 10.1002/2013 JB010319
  17. Holschneider M., Narteau C., Shebalin P., Peng Z., Schorlemmer D. Bayesian analysis of the modified Omori law // Journal of Geophysical Research. 2012. V. 117. B05317. doi: 10.1029/2011 JB009054
  18. Kijko A. Estimation of the Maximum Earthquake Magnitude, Mmax // Pure appl. Geophys. 2004. V. 161. P. 1–27.
  19. Knopoff L., Kagan Y. Analysis of the Extremes as Applied to Earthquake Problems // J. Geophys. Res. 1977. V. 82. P. 5647–5657.
  20. Molchan G. Structure of optimal strategies in earthquake prediction // Tectonophysics. 1991. V. 193. P. 267–276.
  21. Molchan G., Kronrod T., Nekrasova A. Immediate foreshocks: time variation of the b-value // Phys. Earth Planet. Int. 1999. V. 111. P. 129–140.
  22. Narteau C., Shebalin P., Holschneider M. Temporal limits of the power law aftershock decay rate // Journal of Geophys. Res. 2002. V. 107. P. 1201–1214.
  23. Narteau C., Shebalin P., Hainzl S., Zoller G., Holschneider M. Emergence of a band-limited power law in the aftershock decay rate of a slider-block model // Geophys. Res. Letters. 2003. V. 30. P. 1568. doi: 10.1029/2003 GL017110
  24. Pisarenko V.F., Lyubushin A.A., Lysenko V.B., Golubeva T.V. Statistical Estimation of Seismic Hazard Parameters: maximum possible magnitude and related parameters // Bull. Seism. Soc. Am. 1996. V. 86. P. 691–700.
  25. Rodkin M.V., Tikhonov I.N. The typical seismic behavior in the vicinity of a large earthquake // Physics and Che¬mistry of the Earth. 2016. V. 95. P. 73–84.
  26. Romanovicz B. Strike-slip earthquakes on quasi-vertical transcurrent faults: Inferences for general scaling relations // Geophys. Res. Lett. 1992. V. 19. Is. 5. P. 481–484. doi: 10.1029/92 GL00265
  27. Reasenberg P.A., Jones L.M. Earthquake Hazard After a Mainshock in California // Science. 1989. V. 242. № 4895. P. 1173–1176. doi: 10.1126/science.243.4895.1173
  28. Schorlemmer D., Gerstenberger M., Wiemer S., Jackson D.D., Rhoades D.A. Earthquake likelihood model testing // Seismol. Res. Lett. 2007. V. 78. P. 17–29.
  29. Shcherbakov R., Zhuang J., Ogata Y. Constraining the magnitude of the largest event in a foreshock-mainshock-aftershock sequence // Geophys. J. Int. 2018. V. 212. P. 1–13. doi: 10.1093/gji/ggx407
  30. Shebalin P., Narteau C. Depth dependent stress revealed by aftershocks // Nature Communications. 2017. V. 8. № 1317. doi: 10.1038/s41467-017-01446 y
  31. Shebalin P., Narteau C., Holschneider M., Zechar J. Combining earthquake forecast models using differential probability gains // Earth, Planets and Space. 2014. V. 66:37. P. 1–14.
  32. Shebalin P., Baranov S. Long-Delayed Aftershocks in New Zealand and the 2016 M7.8 Kaikoura Earthquake // Pure and applied Geophysics. 2017. V. 174 (10). P. 3751–3764. doi: 10.1007/s00024-017-1608-9
  33. Sobolev G.A., Ponomarev A.V., Koltsov A.V., Smirnov V.B. Simulation of triggered earthquakes in the laboratory // Pure and Applied Geophysics. 1996. V. 147. P. 345–355. doi: 10.1007/bf00877487
  34. Utsu T.A. Statistical study on the occurrence of aftershocks // Geoph. Magazine. 1961. V. 30. P. 521–605.
  35. Vere-Jones D. A note on the statistical interpretation of Båth’s law // Bull. Seismological Soc. Amer. 1969. V. 59. P. 1535–1541.
  36. Vere-Jones D. A limit theorem with application to Båth’s law in seismology // Adv. Appl. Prob. 2008. V. 40. P. 882–896.
  37. Vorobieva I., Narteau C., Shebalin P., Beauducel F., Nercessian F., Clouard V., Bouin M.P. Multiscale Mapping of Completeness Magnitude of Earthquake Catalogs // Bulletin of the Seismological Society of America. 2013. V. 103. P. 2188–2202.
  38. Vorobieva I., Shebalin P., Narteau C. Break of slope in earthquake size distribution and creep rate along the San Andreas fault system // Geophysical Research Letters. 2016. V. 43 (13). P. 6869–6875.
  39. Wiemer S., Wyss M. Minimum magnitude of completeness in earthquake catalogs: Examples from Alaska, the wes¬tern United States, and Japan // Bulletin of the Seismo¬logical Society of America. 2000. V. 90. P. 4859–4869. doi: 10.1785/0119990114
  40. Woessner J., Wiemer S. Assessing the quality of earthquake catalogues: Estimating the magnitude of completeness and its uncertainty // Bulletin of the Seismological Society of Ame¬rica. 2005. V. 95. P. 2684–2698. doi: 10.1785/0120040007

Supplementary files

Supplementary Files Action
1. Fig. 1. The empirical distribution of parameter estimates b. The density f (b) (histogram) is based on 334 aftershock series from earthquakes of the world with Mm ≥ 6.5. The bold line is an approximation by a normal distribution with an average Eb = 1.12 and a standard deviation σb = 0.3. View (76KB) Indexing metadata
2. Fig. 2. Empirical distributions of estimates of the parameters lg (c) (a) and p (b). The histograms are based on 334 aftershock series from earthquakes of the world with Mm ≥ 6.5. The bold line is an approximation by a normal distribution with mean Elg (c) = –1 and Ep = 1.05 and standard deviations σlg (c) = 0.74 and σp = 0.25. View (121KB) Indexing metadata
3. Fig. 3. Dependencies of the definitions of tstart on the difference in magnitudes Mm – Mc, obtained from the moving average (circles) and the actual estimate of the parameter c (crosses): (a) for all series; (b) - for series with the number of aftershocks of magnitude Mc and above not less than 100. The parameter Mc was determined by the MAXC method on the interval [0.01, 4]. The bold line is the envelope of a point on the graph; the dashed line corresponds to the equation from [Helmstetter et al., 2006] View (188KB) Indexing metadata
4. Fig. 4. Distributions of the difference between the actual magnitude of the strongest aftershock (t, 365 days) and the maximum of the distribution (mode) of estimating this value by the main method for 9 times t. The distributions are shown by histograms normalized to the number of aftershock series examined. A thin line for comparison shows similar distributions for estimates according to the dynamic law of Bot. View (191KB) Indexing metadata
5. Fig. 5. An example of estimates of M1 (0.25 days, 365 days) for aftershocks of an earthquake of magnitude 7.7 (07.07.1990). The bold line is the distribution density according to the main method of this work, corresponds to the distribution function (6), the dashed line follows the dynamic law of Bot, corresponds to the distribution function (9). The magnitude of the strongest aftershock is shown by a vertical line. View (92KB) Indexing metadata
6. Fig. 6. Estimation of the quality of estimates of M1 (0.25 days, 365 days) relative to the dynamic law of Bot. The ratio of the density of the distribution of estimates according to the data on previous aftershocks (6) and according to the dynamic law of Bot (9) with actually observed values ​​of the quantity (a); error chart (b). View (122KB) Indexing metadata
7. Fig. 7. Comparison of quality criteria with respect to the dynamic law of Bot (gain in probability) for retrospective estimates for the main variant and for the “ideal forecast”, in which the estimate of the number of events of representative magnitude at forecast intervals (t, 365 days) is replaced by their actual number. Triangles show LG criterion values, squares PG0.5, circles - (LG + PG0.5) / 2. The symbols corresponding to the “ideal prediction” are painted. View (65KB) Indexing metadata
8. Fig. 8. Histograms of the ratio of estimating the number Λ (4, 365) of aftershocks of representative magnitude in the interval (4 days, 365 days) by formulas (3) and (4) to the observed number N (4, 365) for the considered 362 series (see Table 2): (a) - for each series, one estimate using point estimates of parameters (maxima of Bayesian a posteriori distributions); (b) - for each series of 100 Monte-Carlo estimates of the a posteriori parameter distributions. View (132KB) Indexing metadata

Views

Abstract - 36

PDF (Russian) - 14

PlumX

Refbacks

  • There are currently no refbacks.

Copyright (c) 2019 Russian academy of sciences