Nonhydrostatic stress state in the Martian interior for different rheological models

Cover Page

Abstract


We perform the analysis of nonhydrostatic stress field in the Martian interior for two types of heterogeneous elastic models: the ones with a lithosphere and the ones with a lithosphere and probable melting zones within it. Numerical modeling of the system of elastic equilibrium equations for a gravitating planet is carried out on a 1x1 arc degree spherical grid down to a depth of 1000 km. The boundary conditions are specified by the topography and gravity field data determined relative to a hydrostatic equilibrium spheroid taken as a reference surface. High maximum shear stresses in the zones of high tensile stresses are assumed as the criterion for selecting the probable marsquake sources. Irrespective of the type of a rheological model, the zones of the high shear and tensile stresses in the crust and mantle of Mars arc revealed beneath Hellas Planitia, Argyre Planitia, Mare Acidalia, Arcadia Planitia plain, and Valles Marineris.


ВВЕДЕНИЕ

В настоящее время ведется завершающая фаза подготовки сейсмического эксперимента на Марсе, запуск космического аппарата миссии NASA “InSight” (Interior exploration using Seismic investigations, geodesy and heat transport MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqefeKCPfgBaG qbaKqzGfaeaaaaaaaaa8qacaWFtacaaa@39A3@ Исследование внутреннего строения с использованием сейсмических исследований, данных геодезии и измерения теплового потока) осуществлен в мае 2018 г., установка трехкомпонентного широкополосного сейсмометра VBB [Lognonné et al., 2012; Mimoun et al., 2012] ожидается в декабре 2018 г. для работы в течение одного года [Banerdt et al., 2013; Panning et al., 2017]. Для проведения сейсмических исследований в проекте международной кооперации Российского Космического Агентства и Европейского Космического Агентства также разрабатывается сейсмометр [Manukin et al., 2016]. Спецификой проведения сейсмического эксперимента на Марсе является установка только одной станции, для этого разрабатываются методы получения максимально возможной информации о внутреннем строении планеты по данным одного прибора [Гудкова и др., 2014; Panning et al., 2015; Khan et al., 2016; Böse et al., 2017]. В связи с этим, для интерпретации зарегистрированных событий исследование напряженного состояния недр планеты и локализация возможных очагов марсотрясений имеет большое значение.

На Земле большинство зон повышенных напряжений связано с активными глобальными тектоническими процессами. На Марсе не видно следов плейт-тектоники, тектонические особенности марсианской поверхности носят региональный характер. Поэтому можно ожидать внутриплитовые сейсмические события.

При изучении природных напряжений на Земле используется комплексный подход, включающий как анализ геологических и сейсмических данных, так и результаты лабораторного изучения закономерностей хрупкого разрушения [Ребецкий, 2007]. Обычно для расчета напряжений в недрах Земли применяется динамический метод, при этом полагают, что источниками негидростатических напряжений являются вязкие конвективные течения, и подкоровые напряжения определяются по данным топографии и гравитационного поля из решения системы уравнений вязкой жидкости Навье MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqefeKCPfgBaG qbaKqzGfaeaaaaaaaaa8qacaWFtacaaa@39A3@ Стокса [Runcorn, 1964]. Подробный обзор по развитию этого метода можно найти в работе [Eshagh, Tenzer, 2014]. Модели среды также непрерывно усложняются, включая эффекты горизонтальных неоднородностей и нелинейной реологии [Биргер, 2016].

Тепловая конвекция под литосферой Марса носит, скорее всего, второстепенный характер, и напряженное состояние недр Марса связано, главным образом, с упругими деформациями приповерхностных горизонтов планеты, что позволяет использовать при анализе не динамический метод, применяемый для Земли, а статический. Статический метод, при котором расчеты проводятся с помощью техники функций Грина (или метод нагрузочных чисел), был развит в работах [Марченков и др., 1984; Жарков и др., 1986; Жарков, Марченков, 1987; Марченков, Жарков, 1989] при исследовании напряженного состояния недр Венеры.

В работе [Марченков, 1987] были проведены также оценки крупномасштабных статических сдвиговых напряжений в мантии Земли, поддерживающихся жесткими зонами коры и мантии на протяжении геологических интервалов времени, для упругих моделей и моделей с жидким и ослабленным слоями. Несмотря на то, что на Земле аномалии могут быть обусловлены течениями в мантии, тем не менее, статический метод позволил получить правильные по порядку величины оценки напряжений. Было показано, что сдвиговые напряжения в литосфере Земли могут достигать сотен МПа.

Оценки напряженного состояния недр Марса были выполнены в работах [Жарков и др., 1991; Кошляков, Жарков, 1993] для разложения данных гравитационного поля и топографии по сферическим функциям до 18-й, а затем до 50-й степени и порядка. Аномалии напряжений внутри Марса рассматривались также в работах [Чуйкова и др., 2012; 2014] при использовании гармоник до 18 степени. Подкоровые напряжения для модели гравитационного поля MRO110 B2 [Konopliv et al., 2011] были рассчитаны в работе [Tenzer et al., 2015] на базе модели кусочно-постоянной плотности в коре и мантии.

В настоящее время разложение данных гравитационного поля по полиномам Лежандра доведено до 120-й степени и порядка [Konopliv et al., 2016; Genova et al., 2016]. Данные о топографии Марса более детальны, пространственное разрешение составляет около 1 км по широте и 2 км по долготе в области экватора. Разложение топографии до 1152 степени и порядка Смитом и коллегами представлено в виде коэффициентов разложения по полиномам Лежандра высот рельефа относительно центра масс [Smith et al., 2001].

В работе [Гудкова и др., 2017] проведен детальный анализ напряжений в недрах Марса для упругой модели и моделей с литосферой варьируемой толщины (от 150 до 500 км). В настоящей работе выполнен анализ негидростатических напряжений в недрах Марса для двух типов моделей неоднородной упругости: модели с литосферой и модели с литосферой и возможными областями подплавления в ней. Численное моделирование напряжений растяжения MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqefeKCPfgBaG qbaKqzGfaeaaaaaaaaa8qacaWFtacaaa@39A3@ сжатия и максимальных сдвиговых напряжений для тестовой модели внутреннего строения Марса проведено с шагом 1 × 1° по широте и долготе до глубины 1000 км.

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ ОЦЕНКИ НЕГИДРОСТАТИЧЕСКИХ НАПРЯЖЕНИЙ В НЕДРАХ МАРСА

Планета рассматривается как упругий сферически-симметричный объект, находящийся под воздействием возмущающей нагрузки в состоянии равновесия. При этом делается допущение, что деформации и напряжения подчиняются закону Гука и вызываются давлением рельефа на поверхность планеты и аномалиями плотности, распределенными некоторым образом в коре и мантии.

Система уравнений, определяющих задачу, включает:

1) уравнение равновесия деформированного (упругого тела) при наличии объемных сил F:

σ ik x k +ρ F i =0, MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaWaaSaaaeaacqGHciITcqaHdpWCdaWgaaWcbaGaamyA aiaadUgaaeqaaaGcbaGaeyOaIyRaamiEamaaBaaaleaacaWGRbaabe aaaaGccqGHRaWkcqaHbpGCcaWGgbWaaSbaaSqaaiaadMgaaeqaaOGa eyypa0JaaGimaiaacYcaaaa@4D99@ (1)

где: σik MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqefeKCPfgBaG qbaKqzGfaeaaaaaaaaa8qacaWFtacaaa@39A3@ тензор напряжений; хк MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqefeKCPfgBaG qbaKqzGfaeaaaaaaaaa8qacaWFtacaaa@39A3@ координаты; ρ MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqefeKCPfgBaG qbaKqzGfaeaaaaaaaaa8qacaWFtacaaa@39A3@ плотность, объемной силой является гравитационное воздействие F = ;

2) уравнение Пуассона, связывающее аномальный гравитационный потенциал с распределением плотности

 

2ψ = MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqefeKCPfgBaG qbaKqzGfaeaaaaaaaaa8qacaWFtacaaa@39A3@ 4πGρ, (2)

где: G гравитационная постоянная;

3) реологическое уравнение, дающее соотношение между напряжением и смещениями (закон Гука для идеально упругой и изотропной среды):

σ ik =K ε ij δ ik +2μ ε ik 1 3 δ ik ε jj =λ ε jj δ ik +2μ ε ik , MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaGaeq4Wdm3aaSbaaSqaaiaadMgacaWGRbaabeaakiab g2da9iaadUeacqaH1oqzdaWgaaWcbaGaamyAaiaadQgaaeqaaOGaeq iTdq2aaSbaaSqaaiaadMgacaWGRbaabeaakiabgUcaRiaaikdacqaH 8oqBdaqadaqaaiabew7aLnaaBaaaleaacaWGPbGaam4AaaqabaGccq GHsisldaWcaaqaaiaaigdaaeaacaaIZaaaaiabes7aKnaaBaaaleaa caWGPbGaam4AaaqabaGccqaH1oqzdaWgaaWcbaGaamOAaiaadQgaae qaaaGccaGLOaGaayzkaaGaeyypa0Jaeq4UdWMaeqyTdu2aaSbaaSqa aiaadQgacaWGQbaabeaakiabes7aKnaaBaaaleaacaWGPbGaam4Aaa qabaGccqGHRaWkcaaIYaGaeqiVd0MaeqyTdu2aaSbaaSqaaiaadMga caWGRbaabeaakiaacYcaaaa@6F50@  (3)

 

где: К MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqefeKCPfgBaG qbaKqzGfaeaaaaaaaaa8qacaWFtacaaa@39A3@ модуль сжатия; μ MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqefeKCPfgBaG qbaKqzGfaeaaaaaaaaa8qacaWFtacaaa@39A3@ модуль сдвига; λ  MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqefeKCPfgBaG qbaKqzGfaeaaaaaaaaa8qacaWFtacaaa@39A3@  2/3μ MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqefeKCPfgBaG qbaKqzGfaeaaaaaaaaa8qacaWFtacaaa@39A3@ постоянная Лямэ; δik MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqefeKCPfgBaG qbaKqzGfaeaaaaaaaaa8qacaWFtacaaa@39A3@ символ Кронекера; симметричный тензор ε ik = 1 2 U i x k + U k x i MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaGaeqyTdu2aaSbaaSqaaiaadMgacaWGRbaabeaakiab g2da9maalaaabaGaaGymaaqaaiaaikdaaaWaaeWaaeaadaWcaaqaai abgkGi2kaadwfadaWgaaWcbaGaamyAaaqabaaakeaacqGHciITcaWG 4bWaaSbaaSqaaiaadUgaaeqaaaaakiabgUcaRmaalaaabaGaeyOaIy RaamyvamaaBaaaleaacaWGRbaabeaaaOqaaiabgkGi2kaadIhadaWg aaWcbaGaamyAaaqabaaaaaGccaGLOaGaayzkaaaaaa@546F@ MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqefeKCPfgBaG qbaKqzGfaeaaaaaaaaa8qacaWFtacaaa@39A3@ тензор деформаций; Uk MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqefeKCPfgBaG qbaKqzGfaeaaaaaaaaa8qacaWFtacaaa@39A3@ компоненты вектора смещения.

Соотношение (3) справедливо, когда начальные напряжения нулевые. В нашей задаче первоначально планета находилась в состоянии гидростатического равновесия, и, следовательно, ее первоначальное напряженное состояние определялось гидростатическими напряжениями. Поэтому обычные соотношения между напряжениями и деформациями следует видоизменить. Положим, что начальные напряжения определялись гидростатическим давлением Р0, которое уравновешено силой тяготения P 0 r = g 0 ρ 0 MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaWaaSaaaeaacqGHciITcaWGqbWaaSbaaSqaaiaaicda aeqaaaGcbaGaeyOaIyRaamOCaaaacqGH9aqpcqGHsislcaWGNbWaaS baaSqaaiaaicdaaeqaaOGaeqyWdi3aaSbaaSqaaiaaicdaaeqaaaaa @49CF@ (индекс нуль указывает, что берутся равновесные, невозмущенные величины, g0 MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqefeKCPfgBaG qbaKqzGfaeaaaaaaaaa8qacaWFtacaaa@39A3@ ускорение силы тяжести). Полагаем, что в возмущенном состоянии полное напряжение складывается из начального, гидростатического напряжения, и добавочного, определяющегося соотношением (3). Предполагается также, что начальное напряжение в точке равно тому начальному напряжению, которое было в точке, из которой рассматриваемая частица переместилась.

Решение удобно искать в сферической системе координат. Недиагональные компоненты (3) остаются без изменений, в диагональные компоненты добавляется член P 0 (r)+u P 0 r , MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaGaeyOeI0IaamiuamaaBaaaleaacaaIWaaabeaakiaa cIcacaWGYbGaaiykaiabgUcaRiaadwhadaWcaaqaaiabgkGi2kaadc fadaWgaaWcbaGaaGimaaqabaaakeaacqGHciITcaWGYbaaaiaacYca aaa@4AE8@ где u MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqefeKCPfgBaG qbaKqzGfaeaaaaaaaaa8qacaWFtacaaa@39A3@ радиальная компонента вектора смещений. Учитывается также уравнение неразрывности материальной среды, в котором плотность представляется как равновесное значение плюс возмущение. Полный гравитационный потенциал также представляется как ψ0 и возмущение гравитационного потенциала, обусловленное как возмущением плотности, так и деформацией планетных недр.

Система уравнений для упругой задачи была получена в сферических координатах для расчета собственных колебаний Земли [Альтерман и др., 1959]. В данной работе эта система уравнений используется для исследования отклика Марса, находящегося под действием как поверхностных, так и внутренних аномалий-нагрузок. Метод решения упругой задачи при расположении нагрузки на глубине (техника нагрузочных коэффициентов для заглубленных аномалий плотности), который применяется в настоящей работе, развит в работах [Марченков и др., 1984; Жарков и др., 1986; Жарков, Марченков, 1987; Марченков, Жарков, 1989] (см. Приложение).

Решение системы (1) MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqefeKCPfgBaG qbaKqzGfaeaaaaaaaaa8qacaWFtacaaa@39A3@ (3) ищется как для распределения плотностных аномалий-нагрузок, так и для напряженного состояния, при определенных граничных условиях, определяющихся внешним гравитационным полем и топографией. При нагрузке на поверхности граничные условия включают отсутствие касательных напряжений на поверхности, условие на нормальное усилие из-за нагрузки, граничное условие для потенциала. При нагрузке на глубине имеем разрыв только аномального усилия (в сферической системе координат MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqefeKCPfgBaG qbaKqzGfaeaaaaaaaaa8qacaWFtacaaa@39A3@ радиальный множитель в нормальном напряжении σrr) и разрыв радиальной производной потенциала. Остальные функции остаются непрерывными. Подробно граничные условия для каждого случая выписаны в Приложении.

В работе рассматриваются только негидростатические напряжения, возникающие вследствие отклонения планеты от состояния гидростатического равновесия. Марс MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqefeKCPfgBaG qbaKqzGfaeaaaaaaaaa8qacaWFtacaaa@39A3@ сильно неравновесная планета: внешние слои Марса существенно отклоняются от состояния гидростатического равновесия, значительно сильнее, чем это имеет место в Земле [Жарков, Гудкова, 2016]. За референсную поверхность выбирается равновесный сфероид [Zharkov et al., 2009; Жарков, Гудкова, 2016].

В работе [Жарков, Гудкова, 2016] сделано предположение, что модель Марса, удовлетворяющая массе, моменту инерции, числу Лява k2 планеты и хондритовому отношению Fe/Si = 1.71 может служить достаточно хорошим приближением распределения плотности для построения равновесной фигуры. В такой постановке не надо делать другие предположения, и фигура модели планеты оказывается связанной с распределением плотности в ней. Эффективно гидростатически равновесная модель хорошо служит как отсчетная модель также для оценки напряженного состояния недр, так как в ней все другие напряжения, кроме давления, равны нулю. Нагрузка в таком случае представляет собой вес рельефа, относительно эквипотенциальной поверхности, т. е. создает отклонение от состояния гидростатического равновесия. Амплитуды нагрузок подбираются так, чтобы удовлетворить данным топографии и гравитационного поля планеты, которые представлены в виде разложения в ряд по сферическим функциям.

Поскольку невозможно получить единственное распределение плотностных аномалий по данным о гравитационном поле планеты, то для определенности задачи в данной работе сделано предположение, что в Марсе существуют два уровня сосредоточения аномалий MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqefeKCPfgBaG qbaKqzGfaeaaaaaaaaa8qacaWFtacaaa@39A3@ поверхность планеты, r = R, и граница кора MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqefeKCPfgBaG qbaKqzGfaeaaaaaaaaa8qacaWFtacaaa@39A3@ мантия, r = R1 = R MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqefeKCPfgBaG qbaKqzGfaeaaaaaaaaa8qacaWFtacaaa@39A3@ l, где l MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqefeKCPfgBaG qbaKqzGfaeaaaaaaaaa8qacaWFtacaaa@39A3@ толщина коры (двухуровневая модель компенсации).

Коэффициенты разложения по сферическим функциям аномальных волн плотности на поверхности R и на границе кора MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqefeKCPfgBaG qbaKqzGfaeaaaaaaaaa8qacaWFtacaaa@39A3@ мантия R1, соответственно, R inm 1 (θ,φ) MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaGaamOuamaaDaaaleaacaWGPbGaamOBaiaad2gaaeaa caaIXaaaaOGaaiikaiabeI7aXjaacYcacaaMe8UaeqOXdOMaaiykaa aa@4966@ и R inm 2 (θ,φ), MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaGaamOuamaaDaaaleaacaWGPbGaamOBaiaad2gaaeaa caaIYaaaaOGaaiikaiabeI7aXjaacYcacaaMe8UaeqOXdOMaaiykai aacYcaaaa@4A17@ будут тогда связаны с коэффициентами разложения аномального гравитационного поля Сginm и топографии Сtinm следующим соотношением [Жарков и др., 1991]:

 

 

C ginm = R inm 1 (θ,φ) R ρ 0 3(1+ k n (R)) (2n+1) + + R inm 2 (θ,φ) R ρ 0 3(1+ k n ( R 1 )) (2n+1) R 1 R n+2 , MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGceaGabeaacaWGdbWaaSbaaSqaaiaadEgacaWGPbGaamOB aiaad2gaaeqaaOGaeyypa0ZaaSaaaeaacaWGsbWaa0baaSqaaiaadM gacaWGUbGaamyBaaqaaiaaigdaaaGccaGGOaGaeqiUdeNaaiilaiaa ysW7cqaHgpGAcaGGPaaabaGaamOuaiabeg8aYnaaBaaaleaacaaIWa aabeaaaaGcdaWcaaqaaiaaiodacaGGOaGaaGymaiabgUcaRiaadUga daWgaaWcbaGaamOBaaqabaGccaGGOaGaamOuaiaacMcacaGGPaaaba GaaiikaiaaikdacaWGUbGaey4kaSIaaGymaiaacMcaaaGaey4kaSca baGaey4kaSYaaSaaaeaacaWGsbWaa0baaSqaaiaadMgacaWGUbGaam yBaaqaaiaaikdaaaGccaGGOaGaeqiUdeNaaiilaiaaysW7cqaHgpGA caGGPaaabaGaamOuaiabeg8aYnaaBaaaleaacaaIWaaabeaaaaGcda WcaaqaaiaaiodacaGGOaGaaGymaiabgUcaRiaadUgadaWgaaWcbaGa amOBaaqabaGccaGGOaGaamOuamaaBaaaleaacaaIXaaabeaakiaacM cacaGGPaaabaGaaiikaiaaikdacaWGUbGaey4kaSIaaGymaiaacMca aaWaaeWaaeaadaWcaaqaaiaadkfadaWgaaWcbaGaaGymaaqabaaake aacaWGsbWaaSbaaSqaaaqabaaaaaGccaGLOaGaayzkaaWaaWbaaSqa beaacaWGUbGaey4kaSIaaGOmaaaakiaacYcaaaaa@8603@

(4a)

 

C tinm = R inm 1 (θ,φ) R ρ c + R inm 1 (θ,φ) R ρ 0 3 h n (R) (2n+1) + + R inm 2 (θ,φ) R ρ 0 3 h n ( R 1 ) (2n+1) R 1 R n+2 , MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGceaGabeaacaWGdbWaaSbaaSqaaiaadshacaWGPbGaamOB aiaad2gaaeqaaOGaeyypa0ZaaSaaaeaacaWGsbWaa0baaSqaaiaadM gacaWGUbGaamyBaaqaaiaaigdaaaGccaGGOaGaeqiUdeNaaiilaiaa ysW7cqaHgpGAcaGGPaaabaGaamOuaiabeg8aYnaaBaaaleaacaWGJb aabeaaaaGccqGHRaWkdaWcaaqaaiaadkfadaqhaaWcbaGaamyAaiaa d6gacaWGTbaabaGaaGymaaaakiaacIcacqaH4oqCcaGGSaGaaGjbVl abeA8aQjaacMcaaeaacaWGsbGaeqyWdi3aaSbaaSqaaiaaicdaaeqa aaaakmaalaaabaGaaG4maiaadIgadaWgaaWcbaGaamOBaaqabaGcca GGOaGaamOuaiaacMcaaeaacaGGOaGaaGOmaiaad6gacqGHRaWkcaaI XaGaaiykaaaacqGHRaWkaeaacqGHRaWkdaWcaaqaaiaadkfadaqhaa WcbaGaamyAaiaad6gacaWGTbaabaGaaGOmaaaakiaacIcacqaH4oqC caGGSaGaaGjbVlabeA8aQjaacMcaaeaacaWGsbGaeqyWdi3aaSbaaS qaaiaaicdaaeqaaaaakmaalaaabaGaaG4maiaadIgadaWgaaWcbaGa amOBaaqabaGccaGGOaGaamOuamaaBaaaleaacaaIXaaabeaakiaacM caaeaacaGGOaGaaGOmaiaad6gacqGHRaWkcaaIXaGaaiykaaaadaqa daqaamaalaaabaGaamOuamaaBaaaleaacaaIXaaabeaaaOqaaiaadk fadaWgaaWcbaaabeaaaaaakiaawIcacaGLPaaadaahaaWcbeqaaiaa d6gacqGHRaWkcaaIYaaaaOGaaiilaaaaaa@906A@

(4б)

В формуле (4б) первый член представляет вклад от нагрузки на поверхности, а два других определяют деформацию под действием нагрузки на поверхности и на границе кора MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqefeKCPfgBaG qbaKqzGfaeaaaaaaaaa8qacaWFtacaaa@39A3@ мантия, соответственно. Таким образом, коэффициенты R inm 1 (θ,φ) MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaGaamOuamaaDaaaleaacaaMi8UaamyAaiaad6gacaWG TbaabaGaaGymaaaakiaacIcacqaH4oqCcaGGSaGaaGjbVlabeA8aQj aacMcaaaa@4AF7@ и R inm 2 (θ,φ) MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaGaamOuamaaDaaaleaacaaMi8UaamyAaiaad6gacaWG TbaabaGaaGOmaaaakiaacIcacqaH4oqCcaGGSaGaaGjbVlabeA8aQj aacMcaaaa@4AF8@ подбираются так, чтобы получить наблюдаемое значение гравитационного поля Сginm и топографии Сtinm. Ниже мы будем рассматривать лишь неравновесные компоненты топографии и гравитационного поля Марса, вычитая из измеренных (наблюдаемых) величин Сginm и Сtinm, их модельные значения для гидростатически равновесной планеты.

Для модельного распределения плотности и упругих параметров (модуля сжатия K и модуля сдвига μ) в недрах Марса рассчитываются нагрузочные числа kn(r), hn(r), и из (4) определяются коэффициенты R inm 1 (θ,φ) MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaGaamOuamaaDaaaleaacaWGPbGaamOBaiaad2gaaeaa caaIXaaaaOGaaiikaiabeI7aXjaacYcacaaMe8UaeqOXdOMaaiykaa aa@4966@ и R inm 2 (θ,φ), MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaGaamOuamaaDaaaleaacaWGPbGaamOBaiaad2gaaeaa caaIYaaaaOGaaiikaiabeI7aXjaacYcacaaMe8UaeqOXdOMaaiykai aacYcaaaa@4A17@ которые служат граничными условиями при решении системы уравнений упругого равновесия гравитирующей планеты (1) MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqefeKCPfgBaG qbaKqzGfaeaaaaaaaaa8qacaWFtacaaa@39A3@ (3) для каждой гармоники n и m, до заданной степени и порядка. В данной работе используются коэффициенты разложения топографии и гравитационного поля до 90 степени и порядка.

Решение системы уравнений упругого равновесия гравитирующей планеты (1) MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqefeKCPfgBaG qbaKqzGfaeaaaaaaaaa8qacaWFtacaaa@39A3@ (3) определяет поле смещений для каждого значения степени гармоники n и заданной глубины, затем гармонические ряды суммируются.

В каждой точке (r, θ, φ MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqefeKCPfgBaG qbaKqzGfaeaaaaaaaaa8qacaWFgpaaaa@3A39@ ) симметричный полный тензор напряжений σik путем преобразования координат приводится далее к диагональному виду. При решении уравнения σ ik σ k δ ik =0, MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaWaaqWaaeaacqaHdpWCdaWgaaWcbaGaamyAaiaadUga aeqaaOGaeyOeI0Iaeq4Wdm3aaSbaaSqaaiaadUgaaeqaaOGaeyyXIC TaeqiTdq2aaSbaaSqaaiaadMgacaWGRbaabeaaaOGaay5bSlaawIa7 aiabg2da9iaaicdacaGGSaaaaa@5103@ 1, 2, 3 определяются соответствующие главные напряжения σ1, σ2, σ3. Эти дополнительные негидростатические напряжения σ1, σ2, и σ3 (σ3 σ2 σ1) в каждой точке (r, θ, φ MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqefeKCPfgBaG qbaKqzGfaeaaaaaaaaa8qacaWFgpaaaa@3A39@ ) раскладываются на напряжения всестороннего сжатия σ = (σ1 + σ2 + σ3)/3, изменяющие первоначальное гидростатическое давление, и сдвиговые касательные напряжения. Максимальные касательные напряжения представляют собой наибольшую из полуразностей главных напряжений τ = max|σi MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqefeKCPfgBaG qbaKqzGfaeaaaaaaaaa8qacaWFtacaaa@39A3@ σk|/2, (i, k = 1, 2, 3; i k), которые, в принципе, и приводят к течению и разрушению вещества. Далее в тексте под напряжениями сдвига понимаются максимальные касательные напряжения τ, под напряжениями сжатия MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqefeKCPfgBaG qbaKqzGfaeaaaaaaaaa8qacaWFtacaaa@39A3@ растяжения MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqefeKCPfgBaG qbaKqzGfaeaaaaaaaaa8qacaWFtacaaa@39A3@ напряжения всестороннего сжатия σ (отрицательные значения соответствуют сжимающим напряжениям, положительные MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqefeKCPfgBaG qbaKqzGfaeaaaaaaaaa8qacaWFtacaaa@39A3@ растягивающим). Алгоритм расчета изложен в Приложении.

МОДЕЛИ НЕОДНОРОДНОЙ УПРУГОСТИ

Решение полной системы уравнений (1) MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqefeKCPfgBaG qbaKqzGfaeaaaaaaaaa8qacaWFtacaaa@39A3@ (3) является безупречным с математической точки зрения, но модель планеты содержит неопределенности, так как в настоящее время нет возможности точно установить толщину литосферы и реологические свойства недр Марса.

В настоящее время нет возможности точно установить реологические свойства даже недр Земли. Для этого используются модельные представления, основанные на важных физических эффектах, что позволяет избегать ненужных усложнений, но дают оценку порядка величин напряжений и деформаций. Толщина марсианской литосферы, скорее всего, превышает толщину континентальной литосферы Земли [Жарков, Гудкова, 2016]. Модели термохимической эволюции Марса [Grott et al., 2013] не исключают наличия зон подплавления. Предполагается, что источники магмы скорее всего расположены на глубинах 100 MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqefeKCPfgBaG qbaKqzGfaeaaaaaaaaa8qacaWFtacaaa@39A3@ 200 км и степень частичного плавления пород составляет около 5 MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqefeKCPfgBaG qbaKqzGfaeaaaaaaaaa8qacaWFtacaaa@39A3@ 20%. Причинами, которые могут приводить к плавлению, может быть наличие теплозапирающего слоя, приводящего к резкому увеличению температуры; наличие незначительного количества воды может вызывать частичное плавление эклогита и подъем мантийных плюмов, температура которых выше температуры мантии.

Поэтому, чтобы не вносить ненужных усложнений, оценки напряженного состояния недр Марса проводятся для двух вариантов моделей неоднородной упругости (рис. 1), которые позволяют оценить порядок величины напряжений в планете. В первом случае предполагается наличие упругой литосферы толщиной 300 км, частью которой являлась кора. При этом рассматривается возможность существования под литосферой ослабленного слоя, который частично потерял свои жесткостные свойства. Ослабление моделируется пониженным в десять раз значением модуля сдвига μ в слое под литосферой, который считается простирающимся до первого фазового перехода (оливин MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqefeKCPfgBaG qbaKqzGfaeaaaaaaaaa8qacaWFtacaaa@39A3@ шпинель, глубина около 1100 км). Вторая модель представляет собой вариант первой модели с возможными зонами подплавления в литосфере на глубинах 100 MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqefeKCPfgBaG qbaKqzGfaeaaaaaaaaa8qacaWFtacaaa@39A3@ 150 км и 100 MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqefeKCPfgBaG qbaKqzGfaeaaaaaaaaa8qacaWFtacaaa@39A3@ 200 км.

Расчеты негидростатических напряжений растяжения MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqefeKCPfgBaG qbaKqzGfaeaaaaaaaaa8qacaWFtacaaa@39A3@ сжатия и максимальных сдвиговых напряжений проводятся для тестовой модели внутреннего строения Марса М_50 [Жарков и др., 2017], которая удовлетворяет всем имеющимся на сегодняшний день геофизическим и геохимическим данным. Средняя толщина коры модели составляет 50 км, средняя плотность коры равна 2900 кг м MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqefeKCPfgBaG qbaKqzOdaeaaaaaaaaa8qacaWFtacaaa@3A2A@ 3. Величина скачка плотности на границе кора MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqefeKCPfgBaG qbaKqzGfaeaaaaaaaaa8qacaWFtacaaa@39A3@ мантия составляет 360 кг м MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqefeKCPfgBaG qbaKqzOdaeaaaaaaaaa8qacaWFtacaaa@3A2A@ 3.

АНАЛИЗ НЕГИДРОСТАТИЧЕСКИХ НАПРЯЖЕНИЙ В НЕДРАХ МАРСА

Тектонические структуры на Марсе расположены: в основном, в районе плато Фарсида, огромнейшего поднятия вулканического происхождения, c гигантскими щитовыми вулканами Олимп, Аскрийский, Арсия и Павлиний. В восточной части поднятие Фарсида пересекается огромнейшим каньоном MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqefeKCPfgBaG qbaKqzGfaeaaaaaaaaa8qacaWFtacaaa@39A3@ долиной Маринера. Другое поднятие, но значительно меньшее, чем Фарсила, это Элизий. Но поверхности выделяются такие крупные низменности ударного происхождения как Эллада, Аргир, Исида, Утопия.

 

Рис. 1. Модели неоднородной упругости: 1) модель с литосферой 300 км, расположенной на ослабленном слое, который частично потерял свои упругие свойства, простирающимся до первого фазового перехода (оливин–вадслеит) α1 = 0.1; 2) модель с литосферой 300 км и возможными областями подплавлений на глубинах 100–150 или 100–200 км, α1 = 0.1.

 

Как и следовало ожидать, на поверхности планеты и в коре значительные напряжения проявляются в районе Фарсиды. Локальные максимумы совпадают с расположением вулканов Олимп, Аскрийский, Арсия, Павлиний. Под вулканом Олимп касательные напряжения в коре достигают 20 MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqefeKCPfgBaG qbaKqzGfaeaaaaaaaaa8qacaWFtacaaa@39A3@ 30 МПа, при этом значения сжатия могут достигать огромных значений 50 MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqefeKCPfgBaG qbaKqzGfaeaaaaaaaaa8qacaWFtacaaa@39A3@ 130 МПа. Аналогичная картина напряжений имеет место под другими вулканами, но чуть меньшей интенсивности по величине.

Уровень напряжений в литосфере зависит от выбора модели неоднородной упругости. Напряжения сжатия MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqefeKCPfgBaG qbaKqzGfaeaaaaaaaaa8qacaWFtacaaa@39A3@ растяжения (рис. 2) и сдвига (рис. 3) для модели с литосферой существенно выше, чем для однородной по упругим свойствам модели. Напряжения в моделях с зонами подплавлений в литосфере не очень сильно отличаются от базовой модели (модели с литосферой), хотя напряжения и частично перераспределяются из ослабленной зоны в над- и под- ослабленные области, при этом также происходит увеличение значений напряжений в коре.

 

Рис. 2. Распределение напряжений сжатия–растяжения σ (напряжения сжатия – отрицательные значения, напряжения растяжения – положительные значения) по глубине под локальными структурами: вулкан Олимп (18° 4’ с. ш., 133° 5’ з. д.), бассейн Эллада (42° 4’ ю. ш., 70° 5’ в. д.), бассейн Аргир (50° ю. ш., 43° з. д.), Ацидалийская равнина (50° с. ш., 339° в. д.), равнина Аркадия (47° 2’ с. ш., 176° з. д.), долина Маринера (13° 9’ ю. ш., 59° 2’ з. д.) для различных моделей неоднородной упругости Марса (сплошная линия: упругая модель; пунктирная линия: модель с литосферой 300 км; штрих-пунктирные линии: 1 – модель с литосферой 300 км и зонами частичного подплавления на глубинах 100–150 км; 2 – 100–200 км).

 

Рис. 3. Распределение максимальных касательных напряжений τ (напряжений сдвига) по глубине под локальными структурами. См. подпись к рис. 2.

 

В целом уровень негидростатических напряжений на Марсе достаточно высок. Выявлено, что наибольшие напряжения растяжения приходятся на области под такими структурами как гигантские низменности ударного происхождения: бассейн Эллада и бассейн Аргир; Ацидалийская равнина, равнина Аркадия и долина Маринера (рис. 2). Под этими областями большие напряжения растяжения (около 20 MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqefeKCPfgBaG qbaKqzGfaeaaaaaaaaa8qacaWFtacaaa@39A3@ 30 МПа) в литосфере проявляются одновременно с большими касательными напряжениями. Можно предположить, что именно значительные касательные напряжения в зонах растяжения, возможно, представляют наиболее вероятные области очага марсотрясений. Рис. 3 показывает детальное распределение напряжений сдвига под этими локальными структурами.

Напряжения растяжения под областью Эллада и Аргир достигают значения около 40 MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqefeKCPfgBaG qbaKqzGfaeaaaaaaaaa8qacaWFtacaaa@39A3@ 50 МПа, уровень напряжения сдвига оценивается как 20 MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqefeKCPfgBaG qbaKqzGfaeaaaaaaaaa8qacaWFtacaaa@39A3@ 25 МПа. Высокие напряжения под скомпенсированной структурой Эллада имеют место в коре, резко спадая после уровня компенсации для любой из рассмотренных моделей неоднородной упругости.

Напряжения сдвига в области равнины Аркадия в литосфере составляют 10 MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqefeKCPfgBaG qbaKqzGfaeaaaaaaaaa8qacaWFtacaaa@39A3@ 15 МПа, напряжения растяжения достигают 45 МПа на глубине 10 MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqefeKCPfgBaG qbaKqzGfaeaaaaaaaaa8qacaWFtacaaa@39A3@ 25 км. Картина распределения напряжений растяжения под Ацидалийской равниной почти полностью совпадает с распределением напряжений под долиной Аркадия. Напряжения сдвига несколько меньше, около 10 МПа, но напряжения растяжения имеют такие же значения.

Отчетливые аномалии напряжений прослеживаются в районе огромнейшего каньона Долина Маринера: напряжения сдвига достигают 25 МПа в коре на фоне существенных напряжений растяжения. Распределение напряжений под долиной Маринера представляет более сложную картину, если рассмотреть двухмерный профиль напряжений в срезе по долготе [Батов и др., 2018]. Одной из черт является изменение интенсивности напряжений под долиной Маринера (вдоль по долготе). Минимальные значения напряжений сдвига в центре, и максимальные значения на краях на глубинах от 10 MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqefeKCPfgBaG qbaKqzGfaeaaaaaaaaa8qacaWFtacaaa@39A3@ 25 км до 500 км. Такая картина может быть проявлением локального тектонизма, вызванного нагрузкой от Фарсиды. Геоморфологические характеристики долины Маринера и картина напряжений указывают на тектонические процессы в этой протяженной зоне Марса.

Интересно отметить зону повышенных негидростатических напряжений во внешней 5-ти километровой зоне в области равнины Утопия. Равнина Утопия характеризуется обширной аномалией в 150 MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqefeKCPfgBaG qbaKqzGfaeaaaaaaaaa8qacaWFtacaaa@39A3@ 330 мГал [Жарков, Гудкова, 2016], которая в совокупности с понижением рельефа на 1 MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqefeKCPfgBaG qbaKqzGfaeaaaaaaaaa8qacaWFtacaaa@39A3@ 2 км позволяет рассматривать этот ударный бассейн как гигантский марсианский маскон.

Не существует однозначного критерия для выбора зон максимальной вероятности разрушения породы, особенно когда речь идет о литосфере планеты, которая простирается на тысячи километров. Как признано в настоящее время, поведение массива пород, в целом, определяется, прежде всего, нарушениями целостности породы. Поэтому, отмечая районы максимальных негидростатических напряжений, нас интересует также смена ориентации главных напряжений (рис. 4). Зоны максимальных значений напряжений сдвига и напряжений растяжения, и смены ориентации напряжений и образования возможных разломов в литосфере наблюдаются в области Эллады, совпадая с областью положительных гравитационных аномалий. Для бассейна Аргир MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqefeKCPfgBaG qbaKqzGfaeaaaaaaaaa8qacaWFtacaaa@39A3@ это соответствует южному контуру вокруг кратера. Для Ацидалийского моря более вероятная зона для образования разломов MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqefeKCPfgBaG qbaKqzGfaeaaaaaaaaa8qacaWFtacaaa@39A3@ западная граница области. Зона Маринера, с этой точки зрения, целиком представляет интерес для дальнейшего исследования.

Несомненный интерес представляет область зоны посадки миссии InSight для проведения сейсмического эксперимента. На рис. 5 показаны распределения напряжений сдвига и напряжений сжатия MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqefeKCPfgBaG qbaKqzGfaeaaaaaaaaa8qacaWFtacaaa@39A3@ растяжения, а также величина и ориентация девиаторных напряжений на глубине 5 км в этой области для модели с литосферой и возможной зоной подплавления на глубине 100 MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqefeKCPfgBaG qbaKqzGfaeaaaaaaaaa8qacaWFtacaaa@39A3@ 150 км. Эта область расположена к юго-востоку от поднятия Элизий, второго крупного поднятия на Марсе после зоны Фарсида. На поверхности в этой области можно наблюдать множественные мелкие разломы. К сожалению, разрешение данных гравитационного поля не позволяет нам построить карту напряжений для визуализации этих трещин. На рис. 5 видно, что напряжения сдвига на глубине 5 км составляют 8 MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqefeKCPfgBaG qbaKqzGfaeaaaaaaaaa8qacaWFtacaaa@39A3@ 10 МПа, а напряжения растяжения достигают 20 МПа. Тем самым можно надеяться, что если в этом районе имеется некоторая сейсмическая активность, это будет зарегистрировано сейсмической станцией.

 

Рис. 4. Напряжения сдвига, напряжения растяжения–сжатия и проекции осей тензора напряжений, приведенного к диагональному виду σ3 ≤ σ2 ≤ σ1, в проекции на плоскость, параллельную поверхности планеты: σ1, σ2, σ3, направление σ3 близко к вертикали (слева направо). Данные приведены для модели с литосферой и возможной зоной подплавления на глубине 100–150 км, для ряда структур: бассейн Эллада, бассейн Аргир, Ацидалийскай равнина, и долина Маринера на глубине 10 км. Значения напряжений в МПа. Растяжениям сжатия соответствуют отрицательные значения, растяжениям растяжения – положительные значения. Длины проекций осей главных напряжений пропорциональны величинам напряжений.

 

Рис. 5. Напряжения сдвига, напряжения растяжения–сжатия и проекции осей тензора напряжений для района места посадки миссии InSight в области равнины Элизий на глубине 5 км. См. подпись к рис. 4. Звездочкой обозначено место посадки аппарата InSight.

 

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В настоящей работе рассмотрены некоторые идеализированные модели реологического строения Марса, которые, тем не менее, позволяют оценить порядок величины напряжений в области различных структур. В целом, уровень негидростатических напряжений на Марсе достаточно высок. Рассмотренные структуры представляют интерес для интерпретации предстоящих сейсмических данных, так как большие негидростатические касательные напряжения на фоне напряжений растяжения могут приводить к повышенной сейсмической активности этих районов. По оценкам в работах [Никишин, 1987; Grott et al., 2013] активные тектонические процессы на планете завершились около 1 млрд лет назад, однако вероятность сейсмических событий и в настоящее время может оставаться довольно высокой.

В данной работе проанализированы зоны максимальных негидростатических напряжений в недрах Марса для модели с возможными зонами подплавлений в литосфере с целью локализации наиболее вероятных зон марсотрясений в недрах планеты. Особое внимание уделено области посадки миссии InSight. Такие исследования представляют интерес в связи с планируемыми сейсмическими экспериментами на Марсе в 2018 и 2020 гг.

Благодарности

Авторы выражают благодарность Ш.А. Мухамедиеву за полезные критические замечания.

Финансирование работы

Работа выполнена за счет бюджетного финансирования и при частичной финансовой поддержке Программы Президиума РАН 28, а также гранта РФФИ MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqefeKCPfgBaG qbaKqzGfaeaaaaaaaaa8qacaWFwecaaa@39A7@ 18-32-00875.

ПРИЛОЖЕНИЕ

Алгоритм расчета напряжений

Аномальное поле объемной плотности δρ(r,θ,φ) MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaGaeqiTdqMaeqyWdiNaaGPaVlaacIcacaWGYbGaaiil aiabeI7aXjaacYcacqaHgpGAcaGGPaaaaa@49D5@ раскладывается в ряд по сферическим функциям:

 

δρ(r,θ,φ)= inm R inm (r) Y inm (θ,φ)= = i=1 2 n=2 m=0 n R inm (r) Y inm (θ,φ). MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGceaGabeaacqaH0oazcqaHbpGCcaGGOaGaamOCaiaacYca cqaH4oqCcaGGSaGaeqOXdOMaaiykaiabg2da9maaqafabaGaamOuam aaBaaaleaacaWGPbGaamOBaiaad2gaaeqaaOGaaiikaiaadkhacaGG PaGaamywamaaBaaaleaacaWGPbGaamOBaiaad2gaaeqaaOGaaiikai abeI7aXjaacYcacqaHgpGAcaGGPaGaeyypa0daleaacaWGPbGaamOB aiaad2gaaeqaniabggHiLdaakeaacqGH9aqpdaaeWbqaamaaqahaba WaaabCaeaacaWGsbWaaSbaaSqaaiaadMgacaWGUbGaamyBaaqabaGc caGGOaGaamOCaiaacMcacaWGzbWaaSbaaSqaaiaadMgacaWGUbGaam yBaaqabaGccaGGOaGaeqiUdeNaaiilaiabeA8aQjaacMcacaGGUaaa leaacaWGTbGaeyypa0JaaGimaaqaaiaad6gaa0GaeyyeIuoaaSqaai aad6gacqGH9aqpcaaIYaaabaGaeyOhIukaniabggHiLdaaleaacaWG PbGaeyypa0JaaGymaaqaaiaaikdaa0GaeyyeIuoaaaaa@8237@

(П1а)

Для удобства решения задачи оно представляется в виде бесконечно тонких слоев, расположенных на различных глубинах:

δρ(r,θ,φ)= j=1 N i=1 2 n=2 m=0 n a inm j Y inm (θ,φ), MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaGaeqiTdqMaeqyWdiNaaiikaiaadkhacaGGSaGaaGjb VlabeI7aXjaacYcacaaMe8UaeqOXdOMaaiykaiabg2da9maaqahaba WaaabCaeaadaaeWbqaamaaqahabaGaamyyamaaDaaaleaacaWGPbGa amOBaiaad2gaaeaacaWGQbaaaaqaaiaad2gacqGH9aqpcaaIWaaaba GaamOBaaqdcqGHris5aaWcbaGaamOBaiabg2da9iaaikdaaeaacqGH EisPa0GaeyyeIuoaaSqaaiaadMgacqGH9aqpcaaIXaaabaGaaGOmaa qdcqGHris5aaWcbaGaamOAaiabg2da9iaaigdaaeaacaWGobaaniab ggHiLdGccaWGzbWaaSbaaSqaaiaadMgacaWGUbGaamyBaaqabaGcca GGOaGaeqiUdeNaaiilaiaaysW7cqaHgpGAcaGGPaGaaiilaaaa@749E@ (П1б)

где: амплитуды a inm j = R inm ( r j )dr MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaGaamyyamaaDaaaleaacaaMb8UaaGjcVlaadMgacaWG UbGaamyBaaqaaiaayIW7caWGQbaaaOGamqhGg2da9iacSb4GsbWaaS baaSqaaiaadMgacaWGUbGaamyBaaqabaGccaGGOaGaamOCamaaBaaa leaacaWGQbaabeaakiaacMcacaaMc8Uaamizaiaadkhaaaa@5502@ имеют размерность [ML MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqefeKCPfgBaG qbaKqzOdaeaaaaaaaaa8qacaWFtacaaa@3A2A@ 2]; j MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqefeKCPfgBaG qbaKqzGfaeaaaaaaaaa8qacaWFtacaaa@39A3@ нумерует глубину расположения аномального весомого слоя; N MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqefeKCPfgBaG qbaKqzGfaeaaaaaaaaa8qacaWFtacaaa@39A3@ число слоев.

Y inm (θ,φ)= P nm (cosθ) cos(mφ),i=1 sin(mφ),i=2 , MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaGaamywamaaBaaaleaacaWGPbGaamOBaiaad2gaaeqa aOGaaiikaiabeI7aXjaacYcacaaMe8UaeqOXdOMaaiykaiabg2da9i aadcfadaWgaaWcbaGaamOBaiaad2gaaeqaaOGaaiikaiGacogacaGG VbGaai4CaiabeI7aXjaacMcadaGabaabaeqabaGaci4yaiaac+gaca GGZbGaaiikaiaad2gacaaMc8UaeqOXdOMaaiykaiaacYcacaaMe8Ua amyAaiabg2da9iaaigdaaeaaciGGZbGaaiyAaiaac6gacaGGOaGaam yBaiaaykW7cqaHgpGAcaGGPaGaaiilaiaaysW7caWGPbGaeyypa0Ja aGOmaaaacaGL7baacaGGSaaaaa@6F05@

P nm (x) MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaGaamiuamaaBaaaleaacaWGUbGaamyBaaqabaGccaGG OaGaamiEaiaacMcaaaa@4308@ нормализованные функции Лежандра:

P nm (x)= 2(nm)!(2n+1) (n+m)! 1/2 P n m (x),m0; MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaGaamiuamaaBaaaleaacaWGUbGaamyBaaqabaGccaGG OaGaamiEaiaacMcacqGH9aqpdaqadaqaamaalaaabaGaaGOmaiaacI cacaWGUbGaeyOeI0IaamyBaiaacMcacaGGHaGaaiikaiaaikdacaWG UbGaey4kaSIaaGymaiaacMcaaeaacaGGOaGaamOBaiabgUcaRiaad2 gacaGGPaGaaiyiaaaaaiaawIcacaGLPaaadaahaaWcbeqaaiaaigda caGGVaGaaGOmaaaakiaadcfadaqhaaWcbaGaamOBaaqaaiaad2gaaa GccaGGOaGaamiEaiaacMcacaGGSaGaaGjbVlaad2gacqGHGjsUcaaI WaGaaGPaVlaacUdaaaa@643E@

P nm (x)= (nm)!(2n+1) (n+m)! 1/2 P n m (x),m=0, MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaGaamiuamaaBaaaleaacaWGUbGaamyBaaqabaGccaGG OaGaamiEaiaacMcacqGH9aqpdaqadaqaamaalaaabaGaaiikaiaad6 gacqGHsislcaWGTbGaaiykaiaacgcacaGGOaGaaGOmaiaad6gacqGH RaWkcaaIXaGaaiykaaqaaiaacIcacaWGUbGaey4kaSIaamyBaiaacM cacaGGHaaaaaGaayjkaiaawMcaamaaCaaaleqabaGaaGymaiaac+ca caaIYaaaaOGaamiuamaaDaaaleaacaWGUbaabaGaamyBaaaakiaayg W7caGGOaGaamiEaiaacMcacaGGSaGaaGjbVlaad2gacqGH9aqpcaaI WaGaaiilaaaa@62B2@

 

P nm (x)= (1 x 2 ) m/2 d d x m ( P n (x)). MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaGaamiuamaaBaaaleaacaWGUbGaamyBaaqabaGccaGG OaGaamiEaiaacMcacqGH9aqpcaGGOaGaaGymaiabgkHiTiaadIhada ahaaWcbeqaaiaaikdaaaGccaGGPaWaaWbaaSqabeaacaWGTbGaai4l aiaaikdaaaGcdaWcaaqaaiaadsgadaahaaWcbeqaaaaaaOqaaiaads gacaWG4bWaaWbaaSqabeaacaWGTbaaaaaakiaacIcacaWGqbWaaSba aSqaaiaad6gaaeqaaOGaaiikaiaadIhacaGGPaGaaiykaiaac6caaa a@5635@

(П2)

Гравитационное поле на поверхности планеты от такого сферического слоя будет:

ΔV=4πGR inm r R n+2 R inm (r) (2n+1) Y inm (θ,φ) . MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaGaeuiLdqKaamOvaiabg2da9iaaisdacqaHapaCcaWG hbGaamOuamaaqafabaWaaeWaaeaadaWcaaqaaiaadkhaaeaacaWGsb aaaaGaayjkaiaawMcaamaaCaaaleqabaGaamOBaiabgUcaRiaaikda aaGcdaWcaaqaaiaadkfadaWgaaWcbaGaamyAaiaad6gacaWGTbaabe aakiaacIcacaWGYbGaaiykaaqaaiaacIcacaaIYaGaamOBaiabgUca RiaaigdacaGGPaaaaiaadMfadaWgaaWcbaGaamyAaiaad6gacaWGTb aabeaakiaacIcacqaH4oqCcaGGSaGaaGjbVlabeA8aQjaacMcaaSqa aiaadMgacaWGUbGaamyBaaqab0GaeyyeIuoakiaac6caaaa@66DD@ (П3)

Поскольку аномальный слой действует на планету как нагрузка, ее недра испытывают деформации, приводящие к дополнительному возмущению потенциала. Чтобы получить выражение для полного аномального потенциала, учитывающего глобальную деформацию планеты, в (П3) вводится множитель Kn(r) = (1 kn(r)):

ΔV=4πGR inm r R n+2 R inm (r)(1+ k n (r)) (2n+1) Y inm (θ,φ) , MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaGaeuiLdqKaamOvaiaaygW7cqGH9aqpcaaI0aGaeqiW daNaam4raiaadkfadaaeqbqaamaabmaabaWaaSaaaeaacaWGYbaaba GaamOuaaaaaiaawIcacaGLPaaadaahaaWcbeqaaiaad6gacqGHRaWk caaIYaaaaOWaaSaaaeaacaWGsbWaaSbaaSqaaiaadMgacaWGUbGaam yBaaqabaGccaGGOaGaamOCaiaacMcacaGGOaGaaGymaiabgUcaRiaa dUgadaWgaaWcbaGaamOBaaqabaGccaGGOaGaamOCaiaacMcacaGGPa aabaGaaiikaiaaikdacaWGUbGaey4kaSIaaGymaiaacMcaaaGaamyw amaaBaaaleaacaWGPbGaamOBaiaad2gaaeqaaOGaaiikaiabeI7aXj aacYcacaaMe8UaeqOXdOMaaiykaaWcbaGaamyAaiaad6gacaWGTbaa beqdcqGHris5aOGaaiilaaaa@6FC4@  (П4)

где: kn(r) MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqefeKCPfgBaG qbaKqzGfaeaaaaaaaaa8qacaWFtacaaa@39A3@ нагрузочные числа порядка n для заглубленной на глубине r аномалии; Kn(r) MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqefeKCPfgBaG qbaKqzGfaeaaaaaaaaa8qacaWFtacaaa@39A3@ функция Грина MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqefeKCPfgBaG qbaKqzGfaeaaaaaaaaa8qacaWFtacaaa@39A3@ были введены в работах [Марченков и др., 1984; Жарков и др., 1986].

Аналогично вводятся числа hn MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqefeKCPfgBaG qbaKqzGfaeaaaaaaaaa8qacaWFtacaaa@39A3@ нагрузочные числа, описывающие деформацию планеты D( φ MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqefeKCPfgBaG qbaKqzGfaeaaaaaaaaa8qacaWFgpaaaa@3A39@ , λ) под действием нагрузки δρ(r,φ,λ): MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaGaeqiTdqMaeqyWdiNaaiikaiaadkhacaGGSaGaeqOX dOMaaiilaiabeU7aSjaacMcacGaxakOoaaaa@49E9@

D(θ,φ)= 4πGR g inm r R n+2 R inm (r) h n (r) (2n+1) Y inm (θ,φ) . MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaGaamiraiaacIcacqaH4oqCcaGGSaGaaGjbVlabeA8a QjaacMcacqGH9aqpdaWcaaqaaiaaisdacqaHapaCcaWGhbGaamOuaa qaaiaadEgaaaWaaabuaeaadaqadaqaamaalaaabaGaamOCaaqaaiaa dkfaaaaacaGLOaGaayzkaaWaaWbaaSqabeaacaWGUbGaey4kaSIaaG OmaaaakmaalaaabaGaamOuamaaBaaaleaacaWGPbGaamOBaiaad2ga aeqaaOGaaiikaiaadkhacaGGPaGaamiAamaaBaaaleaacaWGUbaabe aakiaacIcacaWGYbGaaiykaaqaaiaacIcacaaIYaGaamOBaiabgUca RiaaigdacaGGPaaaaiaadMfadaWgaaWcbaGaamyAaiaad6gacaWGTb aabeaakiaacIcacqaH4oqCcaGGSaGaaGjbVlabeA8aQjaacMcaaSqa aiaadMgacaWGUbGaamyBaaqab0GaeyyeIuoakiaac6caaaa@71D0@  (П5)

Представим компоненты вектора смещения u=(u,v,w) MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaqefeezVjwzGmuyZX2BUbcuY9gic9gBKbacgmGaa8xD aiabg2da9iaacIcacaWG1bGaaiilaiaadAhacaGGSaGaam4DaiaacM caaaa@4CDC@ в сферической системе координат:

 

u= inm U n (r) Y inm (θ,φ) , MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaGaamyDaiabg2da9maaqafabaGaamyvamaaBaaaleaa caWGUbaabeaakiaacIcacaWGYbGaaiykaiaadMfadaWgaaWcbaGaam yAaiaad6gacaWGTbaabeaakiaacIcacqaH4oqCcaGGSaGaaGjbVlab eA8aQjaacMcaaSqaaiaadMgacaWGUbGaamyBaaqab0GaeyyeIuoaki aacYcaaaa@54B5@ v= inm V n (r) Y inm (θ,φ) θ , MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaGaamODaiabg2da9maaqafabaGaamOvamaaBaaaleaa caWGUbaabeaakiaacIcacaWGYbGaaiykamaalaaabaGaeqOaIyRaam ywamaaBaaaleaacaWGPbGaamOBaiaad2gaaeqaaOGaaiikaiabeI7a XjaacYcacaaMe8UaeqOXdOMaaiykaaqaaiabekGi2kaaykW7cqaH4o qCaaaaleaacaWGPbGaamOBaiaad2gaaeqaniabggHiLdGccaGGSaaa aa@5ACF@

 

 

w= inm V n (r) sinθ Y inm (θ,φ) φ . MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaGaam4Daiabg2da9maaqafabaWaaSaaaeaacaWGwbWa aSbaaSqaaiaad6gaaeqaaOGaaiikaiaadkhacaGGPaaabaGaci4Cai aacMgacaGGUbGaeqiUdehaamaalaaabaGaeqOaIyRaamywamaaBaaa leaacaWGPbGaamOBaiaad2gaaeqaaOGaaiikaiabeI7aXjaacYcaca aMe8UaeqOXdOMaaiykaaqaaiabekGi2kaaykW7cqaHgpGAaaaaleaa caWGPbGaamOBaiaad2gaaeqaniabggHiLdGccaGGUaaaaa@5F78@

(П6)

В сферической системе координат вводятся переменные yi (i = 1, …, 6):

y 1 =U, MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaGaamyEamaaBaaaleaacaaIXaaabeaakiabg2da9iaa dwfacaGGSaaaaa@4241@ y 2 =λX+2μ U ˙ , MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaGaamyEamaaBaaaleaacaaIYaaabeaakiabg2da9iab eU7aSjaadIfacqGHRaWkcaaIYaGaeqiVd0MabmyvayaacaGaaiilaa aa@4830@ y 3 =V, MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaGaamyEamaaBaaaleaacaaIZaaabeaakiabg2da9iaa dAfacaGGSaaaaa@4244@

y 4 =μ V ˙ V r + U r , MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaGaamyEamaaBaaaleaacaaI0aaabeaakiabg2da9iab eY7aTnaabmaabaGabmOvayaacaGaeyOeI0YaaSaaaeaacaWGwbaaba GaamOCaaaacqGHRaWkdaWcaaqaaiaadwfaaeaacaWGYbaaaaGaayjk aiaawMcaaiaacYcaaaa@4B1F@ y 5 =P, MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaGaamyEamaaBaaaleaacaaI1aaabeaakiabg2da9iaa dcfacaGGSaaaaa@4240@ y 6 = P ˙ 4πG ρ 0 U, MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaGaamyEamaaBaaaleaacaaI2aaabeaakiabg2da9iqa dcfagaGaaiabgkHiTiaaisdacqaHapaCcaWGhbGaeqyWdi3aaSbaaS qaaiaaicdaaeqaaOGaamyvaiaacYcaaaa@4A08@  (П7)

где: y1, y2, y3, y4, y5, y6 MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqefeKCPfgBaG qbaKqzGfaeaaaaaaaaa8qacaWFtacaaa@39A3@ радиальные множители, соответственно, в нормальном смещении, нормальном напряжении (σrr), тангенциальном смещении, касательных напряжениях (σrθ, σr φ MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqefeKCPfgBaG qbaKqzOdaeaaaaaaaaa8qacaWFgpaaaa@3AC0@ ), возмущении гравитационного потенциала, градиенте возмущения потенциала минус вклад за счет радиального смещения.

Задача (1) MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqefeKCPfgBaG qbaKqzGfaeaaaaaaaaa8qacaWFtacaaa@39A3@ (3) сводится к решению системы шести обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка (см. [Марченков и др., 1984]).

y ˙ 1 = 2λ y 1 (λ+2μ)r + y 2 λ+2μ + λn(n+1) y 3 (λ+2μ)r , MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaGabmyEayaacaWaaSbaaSqaaiaaigdaaeqaaOGaeyyp a0JaeyOeI0YaaSaaaeaacaaIYaGaeq4UdWMaamyEamaaBaaaleaaca aIXaaabeaaaOqaaiaacIcacqaH7oaBcqGHRaWkcaaIYaGaeqiVd0Ma aiykaiaadkhaaaGaey4kaSYaaSaaaeaacaWG5bWaaSbaaSqaaiaaik daaeqaaaGcbaGaeq4UdWMaey4kaSIaaGOmaiabeY7aTbaacqGHRaWk daWcaaqaaiabeU7aSjaad6gacaGGOaGaamOBaiabgUcaRiaaigdaca GGPaGaamyEamaaBaaaleaacaaIZaaabeaaaOqaaiaacIcacqaH7oaB cqGHRaWkcaaIYaGaeqiVd0MaaiykaiaadkhaaaGaaiilaaaa@66D9@

y ˙ 2 = 4 ρ 0 g 0 r+ 4μ(3λ+2μ) (λ+2μ) y 1 r 2 4μ y 2 (λ+2μ)r + + n(n+1) ρ 0 g 0 r 2μ(3λ+2μ)n(n+1) λ+2μ × × y 3 r 2 + n(n+1) y 4 r ρ 0 y 6 , y ˙ 3 = y 1 r + y 3 r + y 4 μ MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGceaGabeaaceWG5bGbaiaadaWgaaWcbaGaaGOmaaqabaGc cqGH9aqpdaWadaqaaiabgkHiTiaaisdacqaHbpGCdaWgaaWcbaGaaG imaaqabaGccaWGNbWaaSbaaSqaaiaaicdaaeqaaOGaamOCaiabgUca RmaalaaabaGaaGinaiabeY7aTjaacIcacaaIZaGaeq4UdWMaey4kaS IaaGOmaiabeY7aTjaacMcaaeaacaGGOaGaeq4UdWMaey4kaSIaaGOm aiabeY7aTjaacMcaaaaacaGLBbGaayzxaaGaaGjbVpaalaaabaGaam yEamaaBaaaleaacaaIXaaabeaaaOqaaiaadkhadaWgaaWcbaGaaGOm aaqabaaaaOGaeyOeI0YaaSaaaeaacaaI0aGaeqiVd0MaamyEamaaBa aaleaacaaIYaaabeaaaOqaaiaacIcacqaH7oaBcqGHRaWkcaaIYaGa eqiVd0MaaiykaiaadkhaaaGaey4kaScabaGaey4kaSYaamWaaeaaca WGUbGaaiikaiaad6gacqGHRaWkcaaIXaGaaiykaiabeg8aYnaaBaaa leaacaaIWaaabeaakiaadEgadaWgaaWcbaGaaGimaaqabaGccaWGYb GaeyOeI0YaaSaaaeaacaaIYaGaeqiVd0MaaiikaiaaiodacqaH7oaB cqGHRaWkcaaIYaGaeqiVd0Maaiykaiaad6gacaGGOaGaamOBaiabgU caRiaaigdacaGGPaaabaGaeq4UdWMaey4kaSIaaGOmaiabeY7aTbaa aiaawUfacaGLDbaacaaMe8Uaey41aqlabaGaey41aq7aaSaaaeaaca WG5bWaaSbaaSqaaiaaiodaaeqaaaGcbaGaamOCamaaCaaaleqabaGa aGOmaaaaaaGccqGHRaWkdaWcaaqaaiaad6gacaGGOaGaamOBaiabgU caRiaaigdacaGGPaGaamyEamaaBaaaleaacaaI0aaabeaaaOqaaiaa dkhaaaGaeyOeI0IaeqyWdi3aaSbaaSqaaiaaicdaaeqaaOGaamyEam aaBaaaleaacaaI2aaabeaakiaacYcaaeaaceWG5bGbaiaadaWgaaWc baGaaG4maaqabaGccqGH9aqpcqGHsisldaWcaaqaaiaadMhadaWgaa WcbaGaaGymaaqabaaakeaacaWGYbaaaiabgUcaRmaalaaabaGaamyE amaaBaaaleaacaaIZaaabeaaaOqaaiaadkhaaaGaey4kaSYaaSaaae aacaWG5bWaaSbaaSqaaiaaisdaaeqaaaGcbaGaeqiVd0gaaaaaaa@B779@ (П8)

y ˙ 4 = ρ 0 g 0 r 2μ(3λ+2μ) (λ+2μ) y 1 r λ y 2 (λ+2μ)r + +{ ρ 0 σ 2 r 2 + 2μ λ+2μ [λ(2 n 2 +2n1)+2μ( n 2 +n1)]}× × y 3 r 2 3 y 4 r ρ 0 y 5 r , y ˙ 5 =4πG ρ 0 y 1 + y 6 , y ˙ 6 = 4πG ρ 0 n(n+1) y 3 r + n(n+1) r 2 y 5 2 y 6 r , MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGceaGabeaaceWG5bGbaiaadaWgaaWcbaGaaGinaaqabaGc cqGH9aqpdaWadaqaaiabeg8aYnaaBaaaleaacaaIWaaabeaakiaadE gadaWgaaWcbaGaaGimaaqabaGccaWGYbGaeyOeI0YaaSaaaeaacaaI YaGaeqiVd0MaaiikaiaaiodacqaH7oaBcqGHRaWkcaaIYaGaeqiVd0 MaaiykaaqaaiaacIcacqaH7oaBcqGHRaWkcaaIYaGaeqiVd0Maaiyk aaaaaiaawUfacaGLDbaacaaMe8+aaSaaaeaacaWG5bWaaSbaaSqaai aaigdaaeqaaaGcbaGaamOCaaaacqGHsisldaWcaaqaaiabeU7aSjaa dMhadaWgaaWcbaGaaGOmaaqabaaakeaacaGGOaGaeq4UdWMaey4kaS IaaGOmaiabeY7aTjaacMcacaWGYbaaaiabgUcaRaqaaiabgUcaRiaa ykW7caGG7bGaeyOeI0IaaGjcVlabeg8aYnaaBaaaleaacaaIWaaabe aakiabeo8aZnaaCaaaleqabaGaaGOmaaaakiaadkhadaahaaWcbeqa aiaaikdaaaGccaaMb8Uaey4kaSYaaSaaaeaacaaIYaGaeqiVd0gaba Gaeq4UdWMaey4kaSIaaGOmaiabeY7aTbaacaGGBbGaeq4UdWMaaiik aiaaikdacaWGUbWaaWbaaSqabeaacaaIYaaaaOGaaGzaVlabgUcaRi aaikdacaWGUbGaeyOeI0IaaGymaiaacMcacqGHRaWkcaaIYaGaeqiV d0Maaiikaiaad6gadaahaaWcbeqaaiaaikdaaaGccaaMb8UamGjGgU caRiaad6gacqGHsislcaaIXaGaaiykaiaac2facaGG9bGaey41aqla baGaey41aq7aaSaaaeaacaWG5bWaaSbaaSqaaiaaiodaaeqaaaGcba GaamOCamaaCaaaleqabaGaaGOmaaaaaaGccqGHsisldaWcaaqaaiaa iodacaWG5bWaaSbaaSqaaiaaisdaaeqaaaGcbaGaamOCaaaacqGHsi sldaWcaaqaaiabeg8aYnaaBaaaleaacaaIWaaabeaakiaadMhadaWg aaWcbaGaaGynaaqabaaakeaacaWGYbaaaiaacYcaaeaaceWG5bGbai aadaWgaaWcbaGaaGynaaqabaGccqGH9aqpcaaI0aGaeqiWdaNaam4r aiabeg8aYnaaBaaaleaacaaIWaaabeaakiaadMhadaWgaaWcbaGaaG ymaaqabaGccqGHRaWkcaWG5bWaaSbaaSqaaiaaiAdaaeqaaOGaaiil aaqaaiqadMhagaGaamaaBaaaleaacaaI2aaabeaakiabg2da9iabgk HiTmaalaaabaGaaGinaiabec8aWjaadEeacqaHbpGCdaWgaaWcbaGa aGimaaqabaGccaWGUbGaaiikaiaad6gacqGHRaWkcaaIXaGaaiykai aadMhadaWgaaWcbaGaaG4maaqabaaakeaacaWGYbaaaiabgUcaRmaa laaabaGaamOBaiaacIcacaWGUbGaey4kaSIaaGymaiaacMcaaeaaca WGYbWaaWbaaSqabeaacaaIYaaaaaaakiaadMhadaWgaaWcbaGaaGyn aaqabaGccqGHsisldaWcaaqaaiaaikdacaWG5bWaaSbaaSqaaiaaiA daaeqaaaGcbaGaamOCaaaacaGGSaaaaaa@DFD7@

где λ=K 2 3 μ. MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaGaeq4UdWMaeyypa0Jaam4saiabgkHiTmaalaaabaGa aGOmaaqaaiaaiodaaaGaeqiVd0MaaiOlaaaa@462A@

Используя метод Рунге MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqefeKCPfgBaG qbaKqzGfaeaaaaaaaaa8qacaWFtacaaa@39A3@ Кутта решение находится для каждой гармоники n до заданной степени. Как было отмечено выше, в данной работе используются разложения топографии и гравитационного поля до 90-й степени и порядка.

При расчетах обычных (поверхностных) нагрузочных коэффициентов аномальные плотности располагаются на поверхности планеты a nm (r)= a nm (r=R). MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaGaamyyamaaBaaaleaacaWGUbGaamyBaaqabaGccaGG OaGaamOCaiaacMcacqGH9aqpcaWGHbWaaSbaaSqaaiaad6gacaWGTb aabeaakiaacIcacaWGYbGaeyypa0JaamOuaiaacMcacaGGUaaaaa@4BF9@ Выпишем граничные условия задачи для этого случая.

На поверхности сферы, r = R:

a) отсутствие касательных напряжений:

y 4 (R)=μ( V ˙ V r + U r )=0; MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaGaamyEamaaBaaaleaacaaI0aaabeaakiaacIcacaWG sbGaaiykaiabg2da9iabeY7aTjaacIcaceWGwbGbaiaacqGHsislda WcaaqaaiaadAfaaeaacaWGYbaaaiabgUcaRmaalaaabaGaamyvaaqa aiaadkhaaaGaaiykaiabg2da9iaaicdacGaMak4oaaaa@500E@

б) условие на нормальное усилие из-за нагрузки:

y 2 (R)=λX+2μ U ˙ = g 0 (R) a nm (R); MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaGaamyEamaaBaaaleaacaaIYaaabeaakiaacIcacaWG sbGaaiykaiabg2da9iabeU7aSjaadIfacqGHRaWkcaaIYaGaeqiVd0 MabmyvayaacaGaeyypa0JaeyOeI0Iaam4zamaaBaaaleaacaaIWaaa beaakiaacIcacaWGsbGaaiykaiaadggadaWgaaWcbaGaamOBaiaad2 gaaeqaaOGaaiikaiaadkfacaGGPaGaai4oaaaa@559F@

в) граничное условие для потенциала:

y 6 (R)+ (n+1) R y 5 (R)=4πG a nm . MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaGaamyEamaaBaaaleaacaaI2aaabeaakiaacIcacaWG sbGaaiykaiabgUcaRmaalaaabaGaaiikaiaad6gacqGHRaWkcaaIXa GaaiykaaqaaiaadkfaaaGaamyEamaaBaaaleaacaaI1aaabeaakiaa cIcacaWGsbGaaiykaiabg2da9iaaisdacqaHapaCcaWGhbGaamyyam aaBaaaleaacaWGUbGaamyBaaqabaGccaGGUaaaaa@53BB@

Уравнения (П3) интегрируются от границы внешнего жидкого ядра, r= r c , MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaGaamOCaiabg2da9iaadkhadaWgaaWcbaGaam4yaaqa baGccaGGSaaaaa@4284@ которое учитывается соответствующими условиями на этой границе. Эти условия имеют вид:

а) отсутствие касательных напряжений:

y 4 ( r c )=0; MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaGaamyEamaaBaaaleaacaaI0aaabeaakiaacIcacaWG YbWaaSbaaSqaaiaadogaaeqaaOGaaiykaiabg2da9iaaicdacGaPak 4oaaaa@46CD@

б) условие на нормальное усилие из-за нагрузки:

y 2 ( r c )= ρ 0i ( r c )( y 1 ( r c ) g 0 ( r c ) y 5 ( r c )); MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaGaamyEamaaBaaaleaacaaIYaaabeaakiaacIcacaWG YbWaaSbaaSqaaiaadogaaeqaaOGaaiykaiabg2da9iabeg8aYnaaBa aaleaacaaIWaGaamyAaaqabaGccaGGOaGaamOCamaaBaaaleaacaWG JbaabeaakiaacMcacqGHflY1caGGOaGaamyEamaaBaaaleaacaaIXa aabeaakiaacIcacaWGYbWaaSbaaSqaaiaadogaaeqaaOGaaiykaiaa dEgadaWgaaWcbaGaaGimaaqabaGccaGGOaGaamOCamaaBaaaleaaca WGJbaabeaakiaacMcacqGHsislcaWG5bWaaSbaaSqaaiaaiwdaaeqa aOGaaiikaiaadkhadaWgaaWcbaGaam4yaaqabaGccaGGPaGaaiykai aacUdaaaa@6089@

в) граничное условие для потенциала:

y 5 ( r c ) γ( r c )+ (n) r c γ y 6 ( r c ) =4πG ρ i y 1 ( r c ). MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaGaamyEamaaBaaaleaacaaI1aaabeaakiaacIcacaWG YbWaaSbaaSqaaiaadogaaeqaaOGaaiykaiabgwSixpaabmaabaGaeq 4SdCMaaiikaiaadkhadaWgaaWcbaGaam4yaaqabaGccaGGPaGaey4k aSYaaSaaaeaacaGGOaGaamOBaiaacMcaaeaacaWGYbWaaSbaaSqaai aadogaaeqaaaaakiabeo7aNjabgkHiTiaadMhadaWgaaWcbaGaaGOn aaqabaGccaGGOaGaamOCamaaBaaaleaacaWGJbaabeaakiaacMcaai aawIcacaGLPaaacqGH9aqpcaaI0aGaeqiWdaNaam4raiabeg8aYnaa BaaaleaacaWGPbaabeaakiaadMhadaWgaaWcbaGaaGymaaqabaGcca GGOaGaamOCamaaBaaaleaacaWGJbaabeaakiaacMcacaGGUaaaaa@6694@

Функция Молоденского γ определяется строением ядра. В случае однородного ядра ? = 0.

При заглублении аномальной плотности, a inm j (r<R), MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaGaamyyamaaDaaaleaacaWGPbGaamOBaiaad2gaaeaa caWGQbaaaOGaaiikaiaadkhacqGH8aapcaWGsbGaaiykaiaacYcaaa a@477C@ граничные условия видоизменяются.

На поверхности, r = R:

y 4 (R)=0, y 2 (R)=0, y 6 (R)+ (n+1) R y 5 (R)=0. MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaGaamyEamaaBaaaleaacaaI0aaabeaakiaacIcacaWG sbGaaiykaiabg2da9iaaicdacaGGSaGaaGzbVlaadMhadaWgaaWcba GaaGOmaaqabaGccaGGOaGaamOuaiaacMcacqGH9aqpcaaIWaGaaiil aiaaywW7caWG5bWaaSbaaSqaaiaaiAdaaeqaaOGaaiikaiaadkfaca GGPaGaey4kaSYaaSaaaeaacaGGOaGaamOBaiabgUcaRiaaigdacaGG PaaabaGaamOuaaaacaWG5bWaaSbaaSqaaiaaiwdaaeqaaOGaaiikai aadkfacaGGPaGaeyypa0JaaGimaiaac6caaaa@5E6A@

На границе ядро MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqefeKCPfgBaG qbaKqzGfaeaaaaaaaaa8qacaWFtacaaa@39A3@ оболочка условия те же, что и в случае поверхностных нагрузок, если аномальные плотности не находятся на этой границе.

При переходе через аномальный слой, на глубинах rj, функции y2 и y6 испытывают скачки:

а) разрыв аномального усилия:

y 2 ( r j 0) y 2 ( r j +0)= g 0 ( r j ) a nm ( r j ); MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaGaamyEamaaBaaaleaacaaIYaaabeaakiaacIcacaWG YbWaaSbaaSqaaiaadQgaaeqaaOGaeyOeI0IaaGimaiaacMcacqGHsi slcaWG5bWaaSbaaSqaaiaaikdaaeqaaOGaaiikaiaadkhadaWgaaWc baGaamOAaaqabaGccqGHRaWkcaaIWaGaaiykaiabg2da9iabgkHiTi aadEgadaWgaaWcbaGaaGimaaqabaGccaGGOaGaamOCamaaBaaaleaa caWGQbaabeaakiaacMcacaaMc8UaamyyamaaBaaaleaacaWGUbGaam yBaaqabaGccaGGOaGaamOCamaaBaaaleaacaWGQbaabeaakiaacMca caGG7aaaaa@5CC0@

б) разрыв нормальной производной потенциала:

y 6 ( r j 0) y 6 ( r j +0)=4πG a nm ( r j ). MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaGaamyEamaaBaaaleaacaaI2aaabeaakiaacIcacaWG YbWaaSbaaSqaaiaadQgaaeqaaOGaeyOeI0IaaGimaiaacMcacqGHsi slcaWG5bWaaSbaaSqaaiaaiAdaaeqaaOGaaiikaiaadkhadaWgaaWc baGaamOAaaqabaGccqGHRaWkcaaIWaGaaiykaiabg2da9iaaisdacq aHapaCcaWGhbGaamyyamaaBaaaleaacaWGUbGaamyBaaqabaGccaGG OaGaamOCamaaBaaaleaacaWGQbaabeaakiaacMcacaGGUaaaaa@5839@

Остальные функции yi остаются непрерывными. Таким образом, упругая задача полностью определена.

Нагрузочные коэффициенты (нагрузочные числа Лява) определяются формулами:

h ¯ n j = y 1 (R) R , k ¯ n j = y 5 (R) R g ¯ 1, MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaGabmiAayaaraWaa0baaSqaaiaad6gaaeaacaWGQbaa aOGaeyypa0ZaaSaaaeaacaWG5bWaaSbaaSqaaiaaigdaaeqaaOGaai ikaiaadkfacaGGPaaabaGaamOuaaaacaGGSaGaaGzbVlqadUgagaqe amaaDaaaleaacaWGUbaabaGaamOAaaaakiabg2da9maalaaabaGaam yEamaaBaaaleaacaaI1aaabeaakiaacIcacaWGsbGaaiykaaqaaiaa dkfaceWGNbGbaebaaaGaeyOeI0IaaGymaiaacYcaaaa@55B7@

где R, g ¯ MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaGabm4zayaaraaaaa@3EC6@ MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqefeKCPfgBaG qbaKqzGfaeaaaaaaaaa8qacaWFtacaaa@39A3@ средние значения радиуса планеты и гравитационного ускорения на поверхности.

Используются также нагрузочные коэффициенты:

h n j = h ¯ n j r j R n+2 , k n j =(1+ k ¯ n j ) r j R n+2 1. MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaGaamiAamaaDaaaleaacaWGUbaabaGaamOAaaaakiab g2da9iqadIgagaqeamaaDaaaleaacaWGUbaabaGaamOAaaaakmaabm aabaWaaSaaaeaacaWGYbWaaSbaaSqaaiaadQgaaeqaaaGcbaGaamOu aaaaaiaawIcacaGLPaaadaahaaWcbeqaaiaad6gacqGHRaWkcaaIYa aaaOGaaGzaVlaacYcacaaMe8UaaGjbVlaadUgadaqhaaWcbaGaamOB aaqaaiaadQgaaaGccqGH9aqpcaGGOaGaaGymaiabgUcaRiqadUgaga qeamaaDaaaleaacaWGUbaabaGaamOAaaaakiaacMcadaqadaqaamaa laaabaGaamOCamaaBaaaleaacaWGQbaabeaaaOqaaiaadkfaaaaaca GLOaGaayzkaaWaaWbaaSqabeaacaWGUbGaey4kaSIaaGOmaaaakiaa ygW7cqGHsislcaaIXaGaaiOlaaaa@66F2@

Решение системы уравнений (9) позволяет нам для каждого значения степени гармоники n и глубины j найти поле смещений и затем поле тензора негидростатических напряжений.

Компоненты тензора деформаций в сферических координатах имеют вид:

 

ε rr = u r , ε θθ = 1 r v θ + u r , ε φφ = 1 rsinθ w φ + v r ctgθ+ u r , ε rθ = 1 2 v r v r + 1 r u θ , MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGceaGabeaacqaH1oqzdaWgaaWcbaGaamOCaiaadkhaaeqa aOGaeyypa0ZaaSaaaeaacqaHciITcaWG1baabaGaeqOaIyRaamOCaa aacaGGSaGaaGzbVlabew7aLnaaBaaaleaacqaH4oqCcqaH4oqCaeqa aOGaeyypa0ZaaSaaaeaacaaIXaaabaGaamOCaaaadaWcaaqaaiabek Gi2kaadAhaaeaacqaHciITcqaH4oqCaaGaey4kaSYaaSaaaeaacaWG 1baabaGaamOCaaaacaGGSaaabaGaeqyTdu2aaSbaaSqaaiabeA8aQj abeA8aQbqabaGccqGH9aqpdaWcaaqaaiaaigdaaeaacaWGYbGaci4C aiaacMgacaGGUbGaeqiUdehaamaalaaabaGaeqOaIyRaam4Daaqaai abekGi2kabeA8aQbaacqGHRaWkdaWcaaqaaiaadAhaaeaacaWGYbaa aiaabogacaqG0bGaae4zaiabeI7aXjabgUcaRmaalaaabaGaamyDaa qaaiaadkhaaaGaaiilaaqaaiabew7aLnaaBaaaleaacaWGYbGaeqiU dehabeaakiabg2da9maalaaabaGaaGymaaqaaiaaikdaaaWaaeWaae aadaWcaaqaaiabekGi2kaadAhaaeaacqaHciITcaWGYbaaaiabgkHi TmaalaaabaGaamODaaqaaiaadkhaaaGaey4kaSYaaSaaaeaacaaIXa aabaGaamOCaaaadaWcaaqaaiabekGi2kaadwhaaeaacqaHciITcqaH 4oqCaaaacaGLOaGaayzkaaGaaiilaaaaaa@9136@

(П9)

ε rφ = 1 2 1 rsinθ u φ + w r w r , MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaGaeqyTdu2aaSbaaSqaaiaadkhacqaHgpGAaeqaaOGa eyypa0ZaaSaaaeaacaaIXaaabaGaaGOmaaaadaqadaqaamaalaaaba GaaGymaaqaaiaadkhaciGGZbGaaiyAaiaac6gacqaH4oqCaaWaaSaa aeaacqaHciITcaWG1baabaGaeqOaIyRaeqOXdOgaaiabgUcaRmaala aabaGaeqOaIyRaam4DaaqaaiabekGi2kaadkhaaaGaeyOeI0YaaSaa aeaacaWG3baabaGaamOCaaaaaiaawIcacaGLPaaacaGGSaaaaa@5B95@

ε θφ = 1 2 1 r w θ w r ctgθ+ 1 rsinθ v φ . MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaGaeqyTdu2aaSbaaSqaaiabeI7aXjabeA8aQbqabaGc cqGH9aqpdaWcaaqaaiaaigdaaeaacaaIYaaaamaabmaabaWaaSaaae aacaaIXaaabaGaamOCaaaadaWcaaqaaiabekGi2kaadEhaaeaacqaH ciITcqaH4oqCaaGaeyOeI0YaaSaaaeaacaWG3baabaGaamOCaaaaca qGJbGaaeiDaiaabEgacqaH4oqCcqGHRaWkdaWcaaqaaiaaigdaaeaa caWGYbGaci4CaiaacMgacaGGUbGaeqiUdehaamaalaaabaGaeqOaIy RaamODaaqaaiabekGi2kabeA8aQbaaaiaawIcacaGLPaaacaGGUaaa aa@6355@

Компоненты тензора напряжений определяются через компоненты тензора деформаций:

 

σ rr =λΔ+2μ ε rr , σ θθ =λΔ+2μ ε θθ , σ φφ =λΔ+2μ ε φφ , MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGceaGabeaacqaHdpWCdaWgaaWcbaGaamOCaiaadkhaaeqa aOGaeyypa0Jaeq4UdWMaeuiLdqKaey4kaSIaaGOmaiabeY7aTjabew 7aLnaaBaaaleaacaWGYbGaamOCaaqabaGccaGGSaGaaGzbVlabeo8a ZnaaBaaaleaacqaH4oqCcqaH4oqCaeqaaOGaeyypa0Jaeq4UdWMaeu iLdqKaey4kaSIaaGOmaiabeY7aTjabew7aLnaaBaaaleaacqaH4oqC cqaH4oqCaeqaaOGaaiilaaqaaiabeo8aZnaaBaaaleaacqaHgpGAcq aHgpGAaeqaaOGaeyypa0Jaeq4UdWMaeuiLdqKaey4kaSIaaGOmaiab eY7aTjabew7aLnaaBaaaleaacqaHgpGAcqaHgpGAaeqaaOGaaiilaa aaaa@74ED@

(П10)

σ rθ =2μ ε rθ , σ rφ =2μ ε rφ , σ θφ =2μ ε θφ , MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaGaeq4Wdm3aaSbaaSqaaiaadkhacqaH4oqCaeqaaOGa eyypa0JaaGOmaiabeY7aTjabew7aLnaaBaaaleaacaWGYbGaeqiUde habeaakiaacYcacaaMf8Uaeq4Wdm3aaSbaaSqaaiaadkhacqaHgpGA aeqaaOGaeyypa0JaaGOmaiabeY7aTjabew7aLnaaBaaaleaacaWGYb GaeqOXdOgabeaakiaacYcacaaMf8Uaeq4Wdm3aaSbaaSqaaiabeI7a XjabeA8aQbqabaGccqGH9aqpcaaIYaGaeqiVd0MaeqyTdu2aaSbaaS qaaiabeI7aXjabeA8aQbqabaGccaGGSaaaaa@6A7F@

где Δ  MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqefeKCPfgBaG qbaKqzGfaeaaaaaaaaa8qacaWFtacaaa@39A3@ дилатация:

Δ= i=1 2 n m X n (r) Y inm (θ,φ) , MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaGaeuiLdqKaeyypa0ZaaabCaeaadaaeqbqaamaaqafa baGaamiwamaaBaaaleaacaWGUbaabeaakiaacIcacaWGYbGaaiykai aadMfadaWgaaWcbaGaamyAaiaad6gacaWGTbaabeaakiaacIcacqaH 4oqCcaGGSaGaaGjbVlabeA8aQjaacMcaaSqaaiaad2gaaeqaniabgg HiLdaaleaacaWGUbaabeqdcqGHris5aaWcbaGaamyAaiabg2da9iaa igdaaeaacaaIYaaaniabggHiLdGccaGGSaaaaa@5C05@

 

X n (r)= U ˙ n (r)+ 2 r U n (r) n(n+1) r V n (r), MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaGaamiwamaaBaaaleaacaWGUbaabeaakiaacIcacaWG YbGaaiykaiabg2da9iqadwfagaGaamaaBaaaleaacaWGUbaabeaaki aacIcacaWGYbGaaiykaiabgUcaRmaalaaabaGaaGOmaaqaaiaadkha aaGaamyvamaaBaaaleaacaWGUbaabeaakiaacIcacaWGYbGaaiykai abgkHiTmaalaaabaGaamOBaiaacIcacaWGUbGaey4kaSIaaGymaiaa cMcaaeaacaWGYbaaaiaadAfadaWgaaWcbaGaamOBaaqabaGccaGGOa GaamOCaiaacMcacaGGSaaaaa@5A46@

(П11)

где: точка означает дифференцирование по r; θ MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqefeKCPfgBaG qbaKqzGfaeaaaaaaaaa8qacaWFtacaaa@39A3@ полярный угол; φ MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqefeKCPfgBaG qbaKqzGfaeaaaaaaaaa8qacaWFgpaaaa@3A39@ MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqefeKCPfgBaG qbaKqzGfaeaaaaaaaaa8qacaWFtacaaa@39A3@ долгота; λ = MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqefeKCPfgBaG qbaKqzGfaeaaaaaaaaa8qacaWFtacaaa@39A3@  2/3μ MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqefeKCPfgBaG qbaKqzGfaeaaaaaaaaa8qacaWFtacaaa@39A3@ параметр Ламе.

Подставляя (П6) и (П9) в (П10) и суммируя гармонические ряды, получаем компоненты тензора напряжений σ ik MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaGaeq4Wdm3aaSbaaSqaaiaadMgacaWGRbaabeaaaaa@418F@ до заданной степени n. Произвольное дополнительное негидростатическое напряженное состояние в рассматриваемой точке характеризуется растяжением или сжатием окрестности точки в трех взаимно перпендикулярных направлениях. В каждой точке (r, θ, φ MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqefeKCPfgBaG qbaKqzGfaeaaaaaaaaa8qacaWFgpaaaa@3A39@ ) симметричный полный тензор напряжений σik путем преобразования координат приводится далее к диагональному виду, что позволяет получить соответствующие нормальные напряжения σ1, σ2, σ3. Главные напряжения σ3 σ2 σ1 определяются как корни кубического уравнения σ ik σ k δ ik =0, MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaWaaqWaaeaacqaHdpWCdaWgaaWcbaGaamyAaiaadUga aeqaaOGaeyOeI0Iaeq4Wdm3aaSbaaSqaaiaadUgaaeqaaOGaeyyXIC TaeqiTdq2aaSbaaSqaaiaadMgacaWGRbaabeaaaOGaay5bSlaawIa7 aiabg2da9iaaicdacaGGSaaaaa@5103@ i = 1, 2, 3.

Блок схема расчетов показана на рис. П1.

 

Рис. П1. Блок-схема расчета напряжений в недрах Марса.

A. V. Batov

Schmidt Institute of Physics of the Earth, Russian Academy of Sciences; V.A. Trapeznikov Institute of Control Sciences, Russian Academy of Sciences

Author for correspondence.
Email: batov@ipu.ru

Russian Federation, Moscow

T. V. Gudkova

Schmidt Institute of Physics of the Earth, Russian Academy of Sciences

Email: gudkova@ifz.ru

Russian Federation, Moscow

V. N. Zharkov

Schmidt Institute of Physics of the Earth, Russian Academy of Sciences

Email: zharkov@ifz.ru

Russian Federation, Moscow

  1. Батов А.В., Гудкова Т.В., Жарков В.Н. Оценки напряженного состояния недр Марса под локальными топографическими структурами // Геофизические исследования. 2018. Т. 19. № 3. С. 5–22.
  2. Биргер Б.И. Динамика литосферы Земли. М.: ЛЕНАНД. 2016. 256 с.
  3. Гудкова Т.В., P. Lognonné, Жарков В.Н., Раевский С.Н. О научных задачах сейсмического эксперимента MISS (Mars Interior Structure by Seismology) // Астрон. Вестн. 2014. Т. 48. № 1. С. 13–23.
  4. Гудкова Т.В., Батов А.В., Жарков В.Н. Модельные оценки негидростатических напряжений в коре и мантии Марса: 1. Двухуровневая модель // Астрон. Вестн. 2017. Т. 51. № 6. С. 490–511.
  5. Жарков В.Н., Марченков К.И., Любимов В.М. О длинноволновых касательных напряжениях в литосфере и мантии Венеры // Астрон. вестн. 1986. Т. 20. № 3. С. 202–211.
  6. Жарков В.Н., Марченков К.И. О корреляции касательных напряжений в литосфере Венеры с поверхностными структурами // Астрон. вестн. 1987. Т. 21. № 2. С. 170–175.
  7. Жарков В.Н., Кошляков Е.М., Марченков К.И. Состав, строение и гравитационное поле Марса // Астрон. вестн. 1991. Т. 25. № 5. С. 515–547.
  8. Жарков В.Н., Гудкова Т.В. О модельной структуре гравитационного поля Марса // Астрон. вестн. 2016. Т. 50. № 4. С. 252–267.
  9. Жарков В.Н., Гудкова Т.В., Батов А.В. Об оценке диссипативного фактора недр Марса // Астрон. вестн. 2017. Т. 51. № 6. С. 512–523.
  10. Кошляков Е.М., Жарков В.Н. О гравитационном поле Марса // Астрон. вестн. 1993. Т. 27. № 2. С. 12–21.
  11. Марченков К.И., Любимов В.М., Жарков В.Н. Расчет нагрузочных коэффициентов для заглубленных аномалий плотности // Докл. АН СССР. 1984. Т. 15. № 2. С. 583–586.
  12. Марченков К.И. Расчет нагрузочных коэффициентов и их применение для интерпретации неравновесного поля Венеры и Земли. Дисс… канд. физ.-мат. наук. М.: ИФЗ РАН. 1987. 154 c.
  13. Марченков К.И., Жарков В.Н. О рельефе границы кора – мантия и напряжениях растяжения – сжатия в коре Венеры // Письма в астрон. журн. 1989. Т. 15. № 2. С. 182–190.
  14. Никишин А.М. Геологическое строение и эволюция Марса. 1987. М.: МГУ.158 с.
  15. Ребецкий Ю.Л. Тектонические напряжения и прочность природных массивов. М.: ИКЦ Академкнига. 2007. 406 с.
  16. Чуйкова Н.А., Насонова Л.П., Максимова Т.Г. Аномалии плотности, напряжений и гравитационного поля внутри Марса // ВМУ. Серия 3.Физика. Астрономия. 2012. Т. 2. С. 70–77.
  17. Чуйкова Н.А., Насонова Л.П., Максимова Т.Г. Аномалии плотности, напряжений и гравитационного поля внутри Земли и Марса и возможные геодинамические следствия: сравнительный анализ // Физика Земли. 2014. № 3. С. 127–143.
  18. Banerdt W.B., Smrekar S., Lognonné P., Spohn T., Asmar S.W., Banfield D., Boschi L., Christensen U., Dehant V., Folkner W., Giardini D., Goetze W., Golombek M., Grott M., Hudson T., Johnson C., Kargl G., Kobayashi N., Maki J., Mimoun D., Mocquet A., Morgan P., Panning M., Pike W.T., Tromp J., van Zoest T., Weber R., Wieczorek M.A., Garcia R., Hurst K. InSight: a discovery mission to explore the interior of Mars // Lunar and Planetary Science Conference. 2013. V. 44. P. 1915.
  19. Böse M., Clinton J.F., Ceylan S., Euchner F., van Driel M., Khan A., Giardini D., Lognonné P., Banerdt W.B. A pro-babilistic framework for single-station location of seismicity on Earth and Mars // Phys. Earth and Planet. Int. 2017. V. 262. P. 48–65.
  20. Eshagh M., Tenzer R. Sub-crustal stress determined using gravity and crust structure models // Comput. Geosci. 2014. V. 19. P. 115–125. doi: 10.1007/s10596-014-9460-9
  21. Genova A., Goossens S., Lemoine F.G., Mazarico E., Neumann G.A., Smith D.E., Zuber M.T. Seasonal and static gravity field of Mars from MGS, Mars Odyssey and MRO radio science // Icarus. 2016. V. 272. P. 228–245.
  22. Grott M., Baratoux D., Hauber E., Sautter V., Mustard J., Gasnault O., Ruff S.W., Karato S.-I., Debaille V., Knapmeyer M., Sohl F., Van Hoolst T., Breuer D., Morschhauser A., Toplis M.J. Long-Term Evolution of the Martian Crust-Mantle System // Space Sci. Rev. 2013. V. 174. P. 49–111.
  23. Khan A., van Driel M., Böse M., Giardini D., Ceylan S., Yan J., Clinton J., Euchner F., Lognonne P., Murdoch N., Mimoun D., Panning M., Knapmeyer M., Banerdt W.B. Single-station and single-event marsquake location and inversion for structure using synthetic Martian waveforms // Phys. Earth Planet. Int. 2016. V. 258. P. 28–42.
  24. Konopliv A.S., Asmar S.W., Folkner W.M., Karatekin Ö., Nunes D.C., Smrekar S.E., Yoder C.F., Zuber M.T. Mars high resolution gravity fields from MRO, Mars seasonal gravity, and other dynamical parameters // Icarus. 2011. V. 211. P. 401–428.
  25. Konopliv A. S., Park R. S., Folkner W. M. An improved JPL Mars gravity field and orientation from Mars orbiter and lander tracking data // Icarus. 2016. V. 274. P. 253–260.
  26. Lognonné P., Banerdt W.B., Giardini D., Christensen U., Mimoun D., de Raucourt D., Spiga A., Garcia R., Mocquet A., Panning M., Beucler E., Boschi L., Goetz W., Pike T., Johnson C., Weber R., Wieczorek M., Larmat K., Kobayashi N., Tromp J. InSight and Single-Station Broadband Seismology: From Signal and Noise to Interior Structure Determination // Lunar and Planetary Science Conference. 2012. Lunar and Planetary Inst. Technical Report. V. 43. P. 1983.
  27. Manukin A.B., Kalinnikov I.I., Kalyuzhny A.V., Andreev O.N. High-sensitivity three-axis seismic accelerometer for measurements at the spacecraft and the planets of the solar system. 2016 abstract 7 ms3, IKI RAN.
  28. Mimoun D., Lognonné P., Banerdt W.B., Hurst K., Deraucourt S., Gagnepain-Beyneix J., Pike T., Calcutt S., Bierwirth M., Roll R., Zweifel P., Mance D., Robert O., Nébut T., Tillier S., Laudet P., Kerjean L., Perez R., Giardini D., Christenssen U., Garcia R. The InSight SEIS Experiment. Lunar and Planetary Science Conference. 2012. Lunar and Planetary Inst. Technical Report. V. 43. P. 1493.
  29. Panning M., Beucler E., Drilleau M., Mocquet A., Lognonne Ph., Banerdt W.B. Verifying single-station seismic approaches using Earth-based data: Preparation for data return from the InSight mission to Mars // Icarus. 2015. V. 248. P. 230–242. doi: 10.1016/j.icarus.2014.10.035
  30. Panning M.P., Lognonne Ph., Banerdt W.B., Garsia R., Golombek M., Kedar S., Knapmeyer-Endrun B., Mocquet A., Teanby N.A., Tromp J., Weber R., Beucler E., Blanchette-Guertin J.- F., Drilleau M., Gudkova T., Hempel S., Khan A., Lekic V., Plesa A.-C., Rivoldini A., Schmerr N., Ruan Y., Verhoeven O., Gao C., Christensen U., Clinton J., Dehant V., Giardini D., Mimoun D., Pike W.T., Smrekar S., Wieczirek M., Knapmeyer M., Wookey J. Planned products of the Mars struc¬ture service for the InSight mission to Mars // Space Science Rev. 2017. V. 211. P. 611–650. doi: 10.1007/s11214-016-0317-5
  31. Runcorn S.K. Satellite gravity measurements and laminar viscous flow model of the Earth mantle // J. Geophys. Res. 1964. V. 69 (20). P. 4389–4394.
  32. Smith D.E., Zuber M.T., Frey H.V. et al. Mars Orbiter Laser Altimeter: Experimental summary after the first year of global mapping of Mars // J. Geophys.Res. 2001. V. 106 (E10). P. 23689–23722.
  33. Tenzer R., Eshagh M., Jin S. Martian sub-crustal stress from gravity and topographic models // Earth and Planetary Science Letters. 2015. V. 425. P. 84–92.
  34. Zharkov V.N., Gudkova T.V., Molodensky S.M. On models of Mars’ interior and amplitudes of forced nutations. 1.The effects of deviation of Mars from its equilibrium state on the flattening of the core-mantle boundary // Phys. Earth Planet. Inter. 2009. V. 172. P. 324–334.

Supplementary files

Supplementary Files Action
1. Fig. 1. Models of heterogeneous elasticity: 1) a model with a 300 km lithosphere located on a weakened layer, which partially lost its elastic properties extending to the first phase transition (olivine – wales) α1 = 0.1; 2) a model with a lithosphere of 300 km and possible areas of melting at depths of 100–150 or 100–200 km, α1 = 0.1. View (147KB) Indexing metadata
2. Fig. 2. The distribution of compression – tension stresses σ (compression stresses — negative values, tensile stresses — positive values) in depth under local structures: Olympus Volcano (18 ° 4'S, 133 ° 5'W), the basin Hellas (42 ° 4'S., 70 ° 5'E.), The Argir Basin (50 ° S, 43 ° W.D), the Acidalian Plain (50 ° N, 339 ° E), Arcadia Plain (47 ° 2'S. W, 176 ° W. D), Mariner Valley (13 ° 9'W., 59 ° 2'W. D.) for various Mars heterogeneous elasticity models (solid line: elastic model; dashed line: model with lithosphere 300 m two-dotted line 1 - lithosphere model with 300 km and partial zones submelting at depths of 100-150 km; 2 - 100-200 km). View (231KB) Indexing metadata
3. Fig. 3. Distribution of maximum tangential stresses τ (shear stresses) in depth under local structures. See caption to fig. 2 View (242KB) Indexing metadata
4. Fig. 4. Shear stresses, tensile – compressive stresses and projections of the axes of the stress tensor, reduced to a diagonal view σ3 ≤ σ2 ≤ σ1, projected on a plane parallel to the planet's surface: σ1, σ2, σ3, direction σ3 is close to the vertical (from left to right). The data are given for a model with a lithosphere and a possible submergence zone at a depth of 100–150 km, for a number of structures: the Hellas basin, the Argir basin, the Acidalian plain, and the Mariner valley at a depth of 10 km. Stress values ​​in MPa. Compression stretchings correspond to negative values, and tensile stretchings correspond to positive values. The lengths of the projections of the axes of the principal stresses are proportional to the magnitudes of the stresses. View (547KB) Indexing metadata
5. Fig. 5. Shear stresses, tensile – compressive stresses and projections of the axes of the stress tensor for the area of ​​the landing site of the InSight mission in the area of ​​the Elysium plain at a depth of 5 km. See caption to fig. 4. An asterisk indicates the landing position of the InSight machine. View (214KB) Indexing metadata
6. Fig. P1. Block diagram of the calculation of stress in the depths of Mars. View (236KB) Indexing metadata

Views

Abstract - 31

PDF (Russian) - 6

Cited-By


PlumX

Refbacks

  • There are currently no refbacks.

Copyright (c) 2019 Russian academy of sciences

This website uses cookies

You consent to our cookies if you continue to use our website.

About Cookies