The effects of the acoustic resonance induced in the atmosphere

Толық мәтін

Введение

Извержения вулканов и землетрясения приводят к возбуждению атмосферных акустико-гравитационных волн (АГВ) с периодами от нескольких минут до первых часов. Модуляция ионосферы этими волнами дает возможность планетарной регистрации ионосферного отклика на катастрофические геофизические явления с помощью глобальных навигационных спутниковых систем (ГНСС) [Ясюкевич и др., 2013; Astafyeva et al., 2022]. Если волновые движения захватывают проводящий Е-слой ионосферы (высоты порядка 90–120 км), то они сопровождаются геомагнитными возмущениями [Куницын, Шалимов, 2011; Zettergren, Snively, 2015].

Наряду с этими, повсеместно наблюдаемыми и хорошо известными волновыми эффектами, геофизические явления с большим выделением энергии – землетрясения и извержения вулканов, могут возбуждать и довольно редкие электромагнитные колебания, такие как специфические Рс5 пульсации (частоты порядка первых мГц), длящиеся до нескольких часов. В отличие от магнитосферных крупномасштабных Рс5 пульсаций эти колебания пространственно локализованы в окрестности эпицентра землетрясения или извержения вулкана. Например, спустя 12 мин после Суматрского землетрясения 2004 г. наблюдались пространственно-локализованные магнитные пульсации с центральной частотой 3.6 мГц на расстоянии до 1500 км от эпицентра [Iyemori et al., 2005]. Аналогичные периодические пульсации после сильных землетрясений наблюдались и в полном электронном содержании (ПЭС) ионосферы [Choosakul et al., 2009; Saito et al., 2011]. Извержение вулкана Тонга 2022 г. привело не только к дальнему распространению атмосферной волны Лэмба, но и к возбуждению ряда специфических ионосферных [Themens et al., 2022; Zhang et al., 2022] и геомагнитных возмущений [Harting et al., 2022; Gavrilov et al., 2022] разных частотных диапазонов. По данным магнитометров в тихоокеанском регионе зарегистрированы после начала извержения вулкана Тонга 2022 г. на удалениях не более ~800 км геомагнитные колебания с частотой 3.5–4.0 мГц длившиеся в течение ∼1.5 ч [Yamazaki et al., 2022; Мартинес-Беденко и др., 2023].

Эти гармонические колебания в окрестности эпицентра землетрясения или области извержения связывают с вертикальным акустическим резонансом (ВАР). Возможность возбуждения низкочастотного ВАР в атмосфере во время мощных геофизических явлений была предсказана теоретически в работах [Tahira, 1995; Longnonné et al., 1998; Nishida et al., 2000; Shinagawa et al., 2007]. Из этих исследований следует, что данное явление может возникать при почти вертикальном распространении акустико-гравитационной волны (АГВ), которая возбуждается вследствие вертикальных колебаний земной поверхности, а затем испытывает частичное отражение на высотах термосферы. Численное моделирование распространения АГВ для различных высотных профилей температуры в атмосфере показало, что возбуждение ВАР между землей и термосферой возможно в определенном интервале длин волн, отвечающем акустической ветви АГВ [Matsumura, 2009]. Частота основной моды ВАР изменяется в диапазоне от 3.5 до 4 мГц в зависимости от атмосферных параметров. Из результатов этой численной модели следует, что собственные частоты резонансов не эквидистантны, поскольку, во-первых, эффективная высота отражения зависит от частоты волны, и, во-вторых, вертикальный профиль фазовой скорости АГВ неоднороден.

На возможность периодического геомагнитного отклика на ВАР в диапазоне Pc5 геомагнитных пульсаций после сейсмических событий впервые было указано в работе [Iyemori et al., 2005]. Поскольку период специфических Рс5 пульсаций существенно превышает максимально возможный период альвеновского резонатора в области наблюдения, то эти колебания не могут быть связаны с возбуждением магнитосферного резонатора.

Теоретические предсказания и возможное влияние ВАР на низкочастотные спектры геомагнитных возмущений были проанализированы в работе [Iyemori et al., 2013] на основе барометрических и наземных магнитных измерений, полученных для ряда сейсмических событий. Во время землетрясения Iwate-Miyagi Nairiku с магнитудой M = 7.2, произошедшего в Японии в июне 2008 г., проводились барометрические измерения в обсерватории Mizusaw в 30 км от эпицентра землетрясения. Начальный пик вариаций приземного атмосферного давления ∼0.1 гПа соответствовал моменту прихода сейсмических волн. Затем приблизительно через час наблюдались продолжительные колебания с амплитудой до 0.07 гПа, длящиеся в течение полутора часов. Именно эти колебания и связывают с возбуждением ВАР. Спектральная плотность энергии этих колебаний имела серию резких пиков в низкочастотной области. Наибольший из них ∼0.4 гПа²/Гц наблюдался вблизи частоты 3.77 мГц (период 265 с), которая близка к частоте основной моды ВАР, предсказываемой теорией. Следующий пик с амплитудой ∼0.05 гПа²/Гц имел частоту около 5 Гц, близкую к частоте первого обертона. Область, в которой наблюдался барометрический эффект ВАР, по-видимому, ограничена размером в сотни километров. Аналогичный эффект имел место после землетрясения в Чили $\left(M=8.8\right),$ произошедшего в феврале 2010 [Iyemori et al., 2013]. В спектре барометрических вариаций наблюдалось несколько пиков. Наибольший из них имел амплитуду ∼1 гПа²/Гц с центральной частотой около 4 мГц (период 250 с).

Во время землетрясения Iwate-Miyagi Nairiku одновременно с барометрическими проводились магнитные измерения на станциях Memambetsu и Kakioka, расположенных приблизительно на расстояниях ∼300 км от эпицентра. На обеих станциях в спектре геомагнитных вариаций были обнаружены несколько пиков, измеренных в том же временном промежутке, когда в обсерватории Mizusaw наблюдался ВАР. На станции Memambetsu частоты, отвечающие этим пикам, составили приблизительно 3.77, 4.55 и 5.41 мГц (периоды 265, 220 и 185 с соответственно), а на станции Kakioka они равны 4.55 и 5.56 мГц (периоды 220 и 180 с). Все эти величины близки, хотя и немного отличаются, к частотам пиков в спектрах барометрических вариаций.

Во время чилийского землетрясения магнитные наблюдения проводились на магнитных обсерваториях Huancayo и Ancon, расположенных в Перу на расстояниях ∼2650 км от эпицентра землетрясения. Геомагнитные возмущения с частотами, характерными для ВАР, появились приблизительно через 15 мин после землетрясения. Таким образом, магнитный эффект акустического резонанса может наблюдаться в более широкой области. Предполагалось, что этот эффект может возникать из-за растекания горизонтальных ионосферных токов вдоль проводящего слоя ионосферы, выходящего за пределы области резонанса. Другая возможная причина заключается в том, что магнитные возмущения могут переноситься альвеновскими волнами в магнитно-сопряженную ионосферу [Iyemori et al., 2022; Shinbori et al., 2022].

Несмотря на неоднократные наблюдения геомагнитного эффекта акустического резонанса после сильных землетрясений, теоретического моделирования возмущения геомагнитного поля при таком атмосферном явлении не проводилось. В данной работе построена теоретическая модель, на основе которой сделаны аналитические оценки соотношения между вариациями приземного атмосферного давления и геомагнитного поля во время ВАР между поверхностью земли и термосферой.

Акустический резонанс в атмосфере

В этом разделе будет построена теоретическая модель акустического резонанса, которая затем используется для исследования вызванных им ионосферных возмущений и токов. Для этого будут использованы некоторые упрощающие предположения, которые позволят получить аналитические результаты и проанализировать их зависимость от параметров атмосферы и ионосферы.

Рассмотрим атмосферную АГВ, возникающую в результате колебаний поверхности земли, вызванных сильным землетрясением или извержением вулкана. Расположим начало координат на поверхности земли и направим ось z вертикально вверх. Для упрощения задачи предположим, что волна двумерная и гармоническая, т.е. все величины не зависят от координаты y, а их зависимость от времени и координаты x определяется множителем $\exp \left(ikx-i\omega t\right),$ где $\omega$ – циклическая частота волны. В дальнейшем для упрощения записи будем опускать этот экспоненциальный множитель. Источник колебаний или область, в которой наблюдался ВАР, по-видимому, ограничен размером в сотни километров [Iyemori et al., 2013]. Поэтому характерные значения горизонтального волнового числа k должны быть порядка величины, обратной размеру источника. Давление p и плотность атмосферы убывают с высотой по экспоненциальному закону $p\propto \exp \left(-z/H\right),$ где $H=c^2/\left(\gamma g\right)$ – высота однородной атмосферы (здесь c – скорость звука в атмосфере; $\gamma$ – показатель адиабаты воздуха; g – ускорение свободного падения).

Исследование дисперсионных соотношений АГВ показывает, что в однородной атмосфере их низкочастотная ветвь – внутренние гравитационные волны (ВГВ), отделяется от высокочастотной ветви – акустических колебаний, полосой от частоты Брента–Вяйсяля ${\omega }_g={\left(\gamma -1\right)}^{1/2}g/c$ до предельной акустической частоты ${\omega }_a=\gamma g/\left(2c\right)$ [Голицын, Кляцкин, 1967; Госсард, Хук, 1978]. Вертикальная w и горизонтальная u компоненты скорости газа и вариации давления $p_1$ в волне определяются из следующих дифференциальных уравнений [см., например, Сорокин и др., 2019; Sorokin et al., 2019]:

$\frac{d^{2}w}{d{z}^2}-\frac{1}{H}\frac{dw}{dz}+\left[\frac{{\omega }^2}{c^2}+k^2\left(\frac{{\omega }_g^2}{{\omega }^2}-1\right)\right]w=\mathrm{0,}$     (1)

$u=\frac{ik{c}^2}{k^2{c}^2-{\omega }^2}\left(\frac{dw}{dz}-\frac{w}{\gamma H}\right),$     (2)

$p_1=\frac{i\omega \gamma p}{k^2{c}^2-{\omega }^2}\left(\frac{d{V}_z}{dz}-\frac{V_z}{\gamma H}\right).$     (3)

Параметры реальной атмосферы изменяются с высотой. Численное моделирование, использующее модель MSIS-E-90 стандартной атмосферы, показывает, что на некоторой частотно-зависимой высоте $h\left(\omega \right)$ акустическая волна может испытывать частичное отражение в частотном диапазоне в несколько миллигерц, которое приводит к возникновению ВАР [Matsumura, 2009].

Для того, чтобы получить аналитическое решение задачи и исследовать волновую структуру ВАР, рассмотрим идеализированную плоскослоистую модель атмосферы (рис. 1). Атмосфера занимает слой $0<z<L,$ полупространство $z<0$ представляет собой проводящую землю, а ионосфера и магнитосфера находятся в области $z>L.$ Предполагается, что в области $0<z<h$ скорость звука и ускорение свободного падения постоянны и равны $c_1$ и $g_1,$ соответственно, а в области $h<z<L$ они также постоянны и равны $c_2$ и $g_2,$ Фактически это означает, что параметры H и ${\omega }_g,$ входящие в уравнения (1)–(3), меняются скачком на высоте $z=h.$ Это упрощение позволит в дальнейшем качественно проанализировать полученные зависимости и выбрать такие значения атмосферных параметров, при которых на этой высоте может происходить отражение волны.

 

Рис. 1. Плоскослоистая модель среды, включающая следующие слои: E – земля; A – атмосфера; I – тонкий Е-слой ионосферы; M – магнитосфера.

 

Общее решение уравнения (1) для области $0<z<h$ имеет вид:

$w=\exp \left(\frac{z}{2H_1}\right)\left\{A_1\exp \left(i{q}_{1}z\right)+A_2\exp \left(-i{q}_{1}z\right)\right\},$     (4)

где $A_1$ и $A_2$ – произвольные константы, величины которых определяются граничными условиями на поверхности земли и на высоте отражающего атмосферного слоя $(z=h).$ Параметр q1, играющий роль вертикального волнового числа, определяется соотношением

$q_1={\left\{\frac{{\omega }^2}{c_1^2}+k^2\left(\frac{{\omega }_{g1}^2}{{\omega }^2}-1\right)-\frac{1}{4H_1^2}\right\}}^{1/2}.$     (5)

Здесь $H_1=c_1^2/\left(\gamma g_1\right)$ и ${\omega }_{g1}=g_1{\left(\gamma -1\right)}^{1/2}/c_1.$ Заметим, что формула (5) для $q_1$ совпадает с выражением для вертикального волнового числа, полученного в работе [Matsumura et al., 2009], если предположить, что в невозмущенной атмосфере вертикальные масштабы изменения давления и плотности совпадают.

ВАР связан с акустической ветвью АГВ, которая и рассматривается в дальнейшем. Область значений параметров $\omega$ и k, для которых такая волна может распространяться в атмосферном слое $0<z<h,$ определяется условием $\mathrm{Re}{q}_1>0.$ Заметим, что при $k=0$ и $\omega >{\omega }_a$ формулы (4) и (5) описывают вертикальное распространение акустической волны с горизонтальным волновым фронтом, рассмотренное в [Tahira, 1995]. В отличие от этой работы, мы рассмотрим общий случай ненулевых значений k, которому отвечает наклонное распространение акустической волны.

Условие возбуждения ВАР заключается в том, что для высот $z>h$ условие $\omega >{\omega }_a$ перестает выполняться, т.е. волна переходит в область непрозрачности, где “включается” фактор затухания. Решение уравнения (1) при $z>h,$ описывающее “уходящую в бесконечность” волну, имеет вид:

$w=A_3\exp \left\{\frac{h}{2H_1}+\left(\frac{1}{2H_2}-q_2\right)\left(z-h\right)\right\},$     (6)

где $A_3$ – произвольная константа, а параметр

$q_2={\left\{\frac{1}{4H_2^2}-\frac{{\omega }^2}{c_2^2}-k^2\left(\frac{{\omega }_{g2}^2}{{\omega }^2}-1\right)\right\}}^{1/2}$     (7)

должен быть действительной величиной.

Таким образом, в данной модели ВАР может возникать при условии: ${\omega }_{a1}<\omega <{\omega }_{a2},$ где ${\omega }_{a1}\left(k\right)$ и ${\omega }_{a2}\left(k\right)$ – предельные акустические частоты (частоты акустической отсечки) для верхнего и нижнего атмосферных слоев. Для численной оценки условий существования акустического резонанса, т.е. $\mathrm{Re}{q}_1>0$ и $\mathrm{Re}{q}_2>\mathrm{0,}$ зададим, в качестве примера, следующие параметры: $\gamma =\mathrm{1.4,}$ $g_1=9.8$ м/с², $g_2=9.5$ м/с² (на высоте 80–90 км), а также значения $c_1=350$ м/с и $c_2=300$ м/с, которым отвечают температуры нижнего и верхнего атмосферных слоев $T_1=300$ К и $T_2=225$ К соответственно. Для этих параметров и значений k в диапазоне $0\le k\le {10}^{-2}$ км⁻¹ указанное выше условие, касающиеся величин $q_1$ и $q_2,$ выполняется в интервале частот $f=\omega /\left(2\pi \right)$ от 3.1 до 3.5 мГц.

Будем считать, что колебания вертикальной скорости воздуха вблизи поверхности земли $\left(z=0\right)$ известны, т.е. спектральная амплитуда этих колебаний $w\left(\mathrm{0,}k,\omega \right)=w_0\left(k,\omega \right)$ является заданной функцией. Кроме того, на высоте $z=h$ должны быть непрерывны вертикальная скорость газа и давление. Используя эти граничные условия, получим следующую линейную систему уравнений для неизвестных констант $A_1,$ $A_2$ и $A_3:$

$A_1+A_2=V_0,A_1\exp \left(i{q}_{1}h\right)+A_2\exp \left(-i{q}_{1}h\right)=A_3,$     (8)

$\begin{array}{c}{A}_1{\eta }_{-}\exp \left(i{q}_{1}h\right)+A_2{\eta }_{+}\exp \left(-i{q}_{1}h\right)=\\ =A_3\left(\frac{{\omega }^2-k^2{c}_1^2}{{\omega }^2-k^2{c}_2^2}\right)\left(\frac{2-\gamma }{2\gamma H_2}+q_2\right),\end{array}$     (9)

где ${\eta }_{\pm }=\left(2-\gamma \right)/\left(2\gamma H_1\right)\pm i{q}_1.$ Определив из системы (8), (9) неизвестные константы и подставив их в формулы (4), (6), находим решение уравнения (1) для области $0\le z<h:$

$\begin{array}{c}w\left(z,\omega ,k\right)=\\ =\frac{w_0}{s}\exp \left(\frac{z}{2H_1}\right)\left\{s_1\sin \left[q_1\left(h-z\right)\right]+q_1\cos \left[q_1\left(h-z\right)\right]\right\},\end{array}$      

                                       (10)

и для области $z\ge h:$

$w\left(z,\omega ,k\right)=\frac{w_0{q}_1}{s}\exp \left\{\frac{h}{2H_1}+\left(z-h\right)\left(\frac{1}{2H_2}-q_2\right)\right\},$     (11)

где использованы следующие обозначения:

$\begin{array}{c}s=s_1\sin \left(q_{1}h\right)+q_1\cos \left(q_{1}h\right),\\ s_1=\left(q_2+\frac{2-\gamma }{2\gamma H_2}\right)\frac{\left({\omega }^2-k^2{c}_1^2\right)}{\left({\omega }^2-k^2{c}_2^2\right)}-\frac{2-\gamma }{2\gamma H_1}.\end{array}$     (12)

При частотах акустического резонанса функция $s\to \mathrm{0,}$ т.е. знаменатели в формулах (10) и (11) обращаются в нуль, а сами функции w становятся бесконечными. Эта особенность связана с тем, что в решении не учитывается поглощение, обусловленное диссипацией энергии волны. Спектр резонансных частот, являющихся решением уравнения $s\left(k\right)=\mathrm{0,}$ зависит от высоты отражающего слоя h. В неоднородной по высоте атмосфере h является, вообще говоря, функцией частоты [Matsumura et al., 2009], но в данной модели высота h считается постоянной величиной. В дальнейшем ограничимся исследованием акустических и электромагнитных возмущений только вблизи основной резонансной частоты.

Численный анализ уравнения $s=0$ при указанных выше параметрах и диапазонах изменения $h=75-90$ км и $k\le 0.01$ км–1 показал, что резонансные частоты лежат в интервале $f_{*}=3.44-3.51$ мГц. Для таких частот и высот отражающего слоя приближенно выполняется соотношение $q_{1}h~1.$ Это означает, что при резонансе “вертикальная длина волны” порядка высоты h отражающего слоя.

Таким образом, распространение акустической волны может приводить к возбуждению вертикальных колебаний газа на резонансных частотах. Возбуждаемая колебательная мода напоминает вертикальную стоячую волну, у которой имеется пучность на поверхности земли и смешанный пучность-узел при $z=h.$ Отчасти это явление похоже на акустические колебания в трубе, на одном конце которой находится колеблющийся поршень, а другой конец открыт.

Возбуждение токов и геомагнитных возмущений в атмосфере и ионосфере

При вхождении акустической волны в ионосферу за фронтом волны возникает движение нейтрального газа, которое увлекает ионы и электроны, что приводит к генерации ионосферных токов и геомагнитным возмущениям (ГМВ). Генерация токов становится особенно существенной на больших высотах, поскольку амплитуда скорости движения газа и проводимость атмосферы резко увеличиваются с высотой. Можно ожидать, что наибольший эффект будет в районе гиротропного проводящего Е-слоя ионосферы, где проводимости Педерсена и Холла достигают наибольших значений.

Предположим, что вектор невозмущенного геомагнитного поля $B_0$ лежит в вертикальной плоскости x, z и образует угол θ (наклонение) с осью x, как показано на рис. 1. Акустическая волна распространяется вверх от поверхности земли, а ее горизонтальный волновой вектор направлен вдоль оси x, т.е. в меридиональном направлении. Теперь сформулируем основные уравнения и граничные условия данной задачи. Как и ранее полагаем, что зависимость от времени и координаты x определяется множителем $\exp \left(ikx-i\omega t\right).$ Линеаризованные уравнения Максвелла для Е-слоя ионосферы, занимающей область $L<z<L+l_0,$ имеют вид:                                 

$\begin{array}{c}\nabla \times B=\\ ={\mu }_0\left\{{\sigma }_{\parallel }\left(E\cdot e_B\right)e_B+{\sigma }_P\left[e_B\times \left(E^{\text{'}}\times e_B\right)\right]+{\sigma }_H\left(e_B\times E^{\text{'}}\right)\right\},\\ E^{\text{'}}=E+V\times B_0.\end{array}$       (13)

Здесь ${\mu }_0$ – магнитная постоянная, E – электрическая компонента возмущения, $V=\left(u\mathrm{,0,}w\right)$ – вектор скорости нейтральной компоненты, а $e_B=B_0/\left|B_0\right|$ – единичный вектор, направленный вдоль невозмущенного магнитного поля. Продольная проводимость ионосферной плазмы ${\sigma }_{\parallel }$ в этой области намного больше проводимостей Педерсена ${\sigma }_P$ и Холла ${\sigma }_H.$ Учитывая этот факт и условие конечности продольного тока $j_{\parallel }={\sigma }_{\parallel }\left(E\cdot e_B\right),$ получим, что $E\cdot e_B\approx \mathrm{0,}$ откуда следует, что

$E_x\cos \theta +E_z\sin \theta \approx 0.$     (14)

В этом приближении уравнение (13) в проекциях преобразуется к виду:

$\frac{\partial B_y}{\partial z}={\mu }_0\left\{-j_{\parallel }\cos \theta -{\sigma }_P{E}_x+{\sigma }_H\left(E_y+U\right)\sin \theta \right\},$     (15)

$\frac{\partial B_x}{\partial z}-\frac{\partial B_z}{\partial x}={\mu }_0\left\{{\sigma }_P\left(E_y+U\right)+\frac{{\sigma }_H{E}_x}{\sin \theta }\right\},$     (16)

$\frac{\partial B_y}{\partial x}={\mu }_0\left\{j_{\parallel }\sin \theta -{\sigma }_P{E}_x\frac{\cos \theta }{\sin \theta }+{\sigma }_H\left(E_y+U\right)\cos \theta \right\},$

                                       (17)

где $U=B_0\left(w\cos \theta -u\sin \theta \right).$ Умножая уравнение (15) на $\sin \theta ,$ а уравнение (17) на $\cos \theta ,$ а затем складывая эти уравнения, получим уравнение, не содержащее продольный ток:

$\frac{\partial B_y}{\partial z}\sin \theta +\frac{\partial B_y}{\partial x}\cos \theta ={\mu }_0\left\{-\frac{{\sigma }_P{E}_x}{\sin \theta }+{\sigma }_H\left(E_y+U\right)\right\}.$    

                                      (18)

Учитывая, что величины, входящие в эти уравнения, пропорциональны  преобразуем уравнения (16) и (18) к следующему виду:

$\frac{d{B}_x}{dz}-ik{B}_z={\mu }_0\left\{{\sigma }_P\left(E_y+U\right)+\frac{{\sigma }_H{E}_x}{\sin \theta }\right\},$      (19)

 

$\frac{d{B}_y}{dz}\sin \theta +ik{B}_y\cos \theta ={\mu }_0\left\{-\frac{{\sigma }_P{E}_x}{\sin \theta }+{\sigma }_H\left(E_y+U\right)\right\}.$     (20)

Рассмотрим Е-слой ионосферы в приближении тонкого слоя по сравнению с масштабом акустической волны. Для этого проинтегрируем уравнения (19) и (20) по z от L до $L+l_0,$ а затем устремим формально толщину слоя $l_0$ к нулю. В итоге получим условие для скачка горизонтальных компонент магнитного поля на тонком слое

$\left[B_x\right]={\mu }_0\left\{{\Sigma }_P\left(E_y+U_0\right)+{\Sigma }_H{E}_x/\sin \theta \right\},$     (21)

$\left[B_y\right]\sin \theta ={\mu }_0\left\{-{\Sigma }_P{E}_x/\sin \theta +{\Sigma }_H\left(E_y+U_0\right)\right\},$    (22)

где квадратные скобки обозначают скачок величины, $U_0=B_0\left\{w\left(L\right)\cos \theta -u\left(L\right)\sin \theta \right\},$ а ${\Sigma }_P$ и ${\Sigma }_H$ – интегральные проводимости Педерсена и Холла:

${\Sigma }_P=\underset{0}{\overset{l_0}{\int }}{\sigma }_P\left(z\right)dz,{\Sigma }_H=\underset{0}{\overset{l_0}{\int }}{\sigma }_H\left(z\right)dz.$

В атмосфере, занимающей слой $0<z<L,$ проводимость воздуха возрастает с высотой по экспоненциальному закону: ${\sigma }_a\left(z\right)={\sigma }_0\exp \left(z/l\right),$ где величина l порядка нескольких километров. Пренебрегая сторонним током, возникающим вследствие движения проводящего воздуха в геомагнитном поле, воспользуемся уравнением Максвелла для атмосферы: $\nabla \times B={\mu }_0{\sigma }_a\left(z\right)E,$ которое в проекциях на координатные оси имеет вид:

$\begin{array}{c}\frac{d{B}_y}{dz}=-{\mu }_0{\sigma }_a{E}_x,\frac{d{B}_x}{dz}-ik{B}_z={\mu }_0{\sigma }_a{E}_y,\\ ik{B}_y={\mu }_0{\sigma }_a{E}_z.\end{array}$     (23)

Землю, занимающую полупространство $z<\mathrm{0,}$ считаем идеальным проводником. Тогда на границе между землей и атмосферой $(z=0)$ должны быть равны нулю тангенциальные составляющие электрического поля и нормальная составляющая магнитного поля, т.е. $E_x=E_y=0$ и $B_z=0.$

Верхняя ионосфера и магнитосфера, т.е. область $z>L,$ расположенная выше Е-слоя, заполнена холодной бесстолкновительной плазмой, в которой продольная проводимость плазмы намного больше поперечной проводимости. Эта среда характеризуется альвеновской скоростью $V_A$ и волновой проводимостью ${\Sigma }_w={\left({\mu }_0{V}_A\right)}^{-1}.$ Для однородной верхней ионосферы и магнитосферы можно использовать уравнения (19), (20), если в них подставить ${\sigma }_H=0$ и заменить ${\mu }_0{\sigma }_P$ на величину $-i\omega /V_A^2.$ В этой области будем пренебрегать влиянием акустической волны. Тогда вместо уравнений (19), (20) получим

$\frac{d{B}_x}{dz}-ik{B}_z=-\frac{i\omega E_y}{V_A^2},$     (24)

$\frac{d{B}_y}{dz}\sin \theta +ik{B}_y\cos \theta =\frac{i\omega E_x}{V_A^2\sin \theta }.$     (25)

Граничными условиями при $z=L$ являются скачок горизонтальных магнитных составляющих, определяемый формулами (21) и (22), и непрерывность горизонтальных компонентов электрического поля $E_x$ и $E_y.$

Решение задачи о возбуждении электромагнитных возмущений движениями нейтрального газа в ионосферной плазме с указанными выше граничными условиями приведено в Приложении. Для оценок параметров, входящих в это решение, используем следующие численные значения: ${\sigma }_0\approx {10}^{-14}$ См/м, $L=90$ км, $B_0=5\cdot {10}^{-5}$ Тл, $l=4.5$ км, ${\Sigma }_P=0.4$ См и ${\Sigma }_H=0.6$ См (ночные условия), $V_A=5000$ км/с (максимум солнечной активности). Для интересующего нас частотного диапазона ВАР решения (П1.3) можно упростить, учитывая, что $\omega /V_A\ll k\ll {\left(2l\right)}^{-1}.$ В частности, для ГМВ в атмосфере получим $\left(0<z<L\right):$

$\begin{array}{c}{B}_x\left(z\right)=-i{\mu }_{0}k{U}_{0}ch\left(kz\right)\times \\ \times \left\{{\beta }_{1}l{k}^2\left[1-\exp \left(-L/l\right)\right]+{\sigma }_0{\Sigma }_P{\sin }^2\theta \right\}{G}^{-1},\\ B_y\left(z\right)=-i{\mu }_{0}k{U}_0{\sigma }_0{\Sigma }_H\exp \left(kL\right)\sin \theta G^{-1},\\ B_z\left(z\right)=-i{B}_{x}th\left(kz\right).\end{array}$     (26)

Здесь использованы следующие обозначения:

$\begin{array}{c}G={\sigma }_0{\sin }^2\theta \left({\Sigma }_P{N}_1+N_2\right)+\\ +l{k}^2\left[1-\exp \left(-L/l\right)\right]\left({\beta }_1{N}_1+{\beta }_2{N}_2\right),\\ N_1={\mu }_0\omega sh\left(kL\right),N_2=ik\exp \left(kL\right),\\ {\beta }_1={\Sigma }_P^2+{\Sigma }_H^2+{\Sigma }_P{\Sigma }_w\sin \theta ,{\beta }_2={\Sigma }_P+{\Sigma }_w\sin \theta .\end{array}$

                                  (27)

Из соотношений (26) следует, что возникновение поперечной составляющей $B_y$ обусловлено холловскими токами в ионосфере, т.к. ее величина пропорциональна ${\Sigma }_H.$ При этом на земле (z = 0) компонента $B_y$ меньше, чем $B_x$ по крайней мере на порядок.

Спектральные мощности электромагнитных возмущений пропорциональны квадратам амплитуд этих возмущений и, следовательно, пропорциональны параметру ${\left|w_0\right|}^2.$ Этот параметр имеет смысл спектральной мощности вертикальной скорости газа у поверхности земли. Для его оценки используем результаты наземных измерений спектральной плотности давления газа во время регистрации ВАР, вызванного $M=7.2$ землетрясением 2008 г. Iwate-Miyagi Nairiku. Амплитуда спектрального пика давления с характерным периодом ∼260 с на расстоянии 30 км от эпицентра составила около ${\left|\Delta p\right|}^2=0.4$ гПа²/Гц [Iyemori et al., 2013]. Спектральная мощность вертикальной скорости газа составит ${\left|w_0\right|}^2={\left|\Delta p\right|}^2/{\left({\rho }_{0}c\right)}^2,$ где ${\rho }_0$ – плотность воздуха в пункте измерений. Подставляя сюда значения ${\rho }_0=1.2$ кг/м³ и $c=340$ м/с, получим, что ${\left|w_0\right|}^2=2.4\cdot {10}^{-2}$ м²/(с²Гц).

Разрыв в функции спектральной плотности скорости на резонансной частоте можно устранить, если учесть, что в реальности всегда присутствует диссипативное затухание акустической волны. Для этого можно формально заменить $q_1$ в показателях экспонент в решении (4) для высот $z<h$ на величину $q_1+i\delta ,$ где $\delta$ играет роль эффективного коэффициента поглощения волны. Сравнение приведенных ниже результатов расчетов ГМВ с наземными измерениями показывает, что эти расчеты и наблюдательные данные хорошо согласуются, если $\delta \approx 1.5\cdot {10}^{-6}$ м^–1.

После землетрясения Iwate-Miyagi Nairiku на геомагнитных обсерваториях, расположенных на расстоянии ∼300 км от эпицентра, были зарегистрированы ГМВ, совпадающие по частоте со спектральным пиком акустических вариаций. Пиковое значение спектра мощности ГМВ составило ∼5 нТ²/Гц [Iyemori et al., 2013]. На рис. 2 показаны результаты расчетов частотной зависимости спектральной мощности горизонтальной составляющей ГМВ $B_x\left(f\right)$ на земле. Для расчетов использовались значения $h=85$ км и $\theta =\pi /6,$ а также указанные выше параметры. Из рис. 2 видно, что с ростом волнового числа пиковая величина ${\left|B_x\right|}^2$ уменьшается. Cпектральные пики имеют значения 9–23 нТл²/Гц, т.е. близки по порядку величины с данными измерений после землетрясения Iwate-Miyagi Nairiku [Iyemori et al., 2013].

 

Рис. 2. Модельная зависимость спектральной мощности горизонтальной компоненты ГМВ $B_x$ на земле от частоты. Графики 1 и 2 построены для волновых чисел $k=0.5\cdot {10}^{-2}$ и ${10}^{-2}$ км⁻¹.

 

Обсуждение и заключение

В работе разработана 2D-модель ВАР между термосферой и поверхностью земли, возбуждаемого во время землетрясений и извержений вулканов. Частота, при которой возникает ВАР, зависит как от высоты отражающего слоя атмосферы, так и от горизонтального волнового числа k, в отличие от упрощенных моделей (например, [Tahira, 1995]). Основное внимание уделялось фундаментальной моде с частотой $~3.4-3.5$ мГц. В рамках построенной модели получены аналитические формулы, которые позволили рассчитать токи и ГМВ, возбуждаемые акустической ветвью АГВ в атмосфере и ионосфере.

Предполагалось, что акустическая волна распространяется вверх, а ее горизонтальный волновой вектор направлен в меридиональном направлении. Анализ решения задачи показал, что на земле преобладает горизонтальная составляющая геомагнитных вариаций, ориентированная вдоль направления горизонтального распространения волны $\left(B_x\right).$ В спектре возбуждаемых электромагнитных полей проявляется резкий максимум на частоте, отвечающей ВАР. Для оценки спектральной мощности ГМВ использовались показания датчиков давления во время землетрясения 2008 г. Iwate-Miyagi Nairiku в Японии [Iyemori et al., 2013]. Расчеты, основанные на этих данных, показали, что вблизи резонансной частоты спектральная амплитуда геомагнитных вариаций на земле может составить 10–25 нТл²/Гц в зависимости от k и параметров среды. Эти значения согласуются по порядку величины с результатами измерений ГМВ. Столь высокая амплитуда возмущений объясняется резким увеличением скорости газа в акустической волне с высотой, которая может приводить к большим возмущениям в ионосфере.

Основным источником возмущений в атмосфере обычно считают головную сейсмическую волну или поверхностную волну Рэлея [Голицын, Кляцкин, 1967], которая излучает в атмосферу почти вертикальную акустическую волну. Однако анализ данных, полученных во время японских землетрясений Mieken-Chubu (2007 г.) и Iwate-Miyagi Nairiku (2008 г.), показал, что резонансные барометрические спектры, измеренные на расстоянии ∼30 км от эпицентров, наблюдались через десятки минут после основного удара и длились 1–2 ч. Авторы работы [Iyemori et al., 2013] не дают объяснения этого явления, хотя оно может быть связано с афтершоковой активностью или возбуждением длиннопериодных поверхностных сейсмических волн. Обсуждение причин этого явления выходит за рамки проведенного нами теоретического исследования. Тем не менее, проведенный выше анализ и численные оценки, подтверждают связь наблюдаемых ГМВ с резонансными спектрами ВАР.

В качестве альтернативного механизма генерации ГМВ можно указать на воздействие акустической волны на концентрацию и температуру ионосферной плазмы, приводящее к вариациям ее тензора проводимости $\delta \hat{\sigma }.$ При наличии фонового электрического поля $E_0,$ распространение акустической волны в ионосфере будет сопровождаться модуляцией фонового тока $\delta j=\delta \hat{\sigma }{E}_0,$ которая и приведет к ГМВ. Анализ этого механизма требует отдельного исследования.

Отметим также, что некоторые детали наземных измерений не удается объяснить из-за несовершенства используемой в работе модели, поскольку в ней не учитывалась локализация источника (эпицентра землетрясения/извержения) и уменьшение амплитуды атмосферной волны из-за ее геометрической расходимости при удалении от источника. Это означает, что оценки скорости движения газа в волне и геомагнитных возмущений справедливы лишь в окрестности эпицентра с размером, не превышающим нескольких сотен километров. Численные значения ГМВ, предсказываемых теорией, следует рассматривать в качестве грубых оценок, поскольку их величина может сильно меняться в зависимости от метеоусловий в атмосфере и значений ионосферных параметров.

Приложение

Электромагнитные возмущения в атмосфере описываются уравнениями (23). Кроме того, во всех средах выполняется уравнение Фарадея: $\nabla \times E=-\partial B/\partial t,$ которое в проекциях на координатные оси запишется так:

$\frac{d{E}_y}{dz}=-i\omega B_x,\frac{d{E}_x}{dz}-ik{E}_z=i\omega B_y,ik{E}_y=i\omega B_z.$

                                 (П1.1)

Выражая из системы уравнений (П1.1) и (23) функции $B_z$ и $E_x,$ получаем после некоторых преобразований следующие уравнения:

$\begin{array}{c}\frac{d^2{B}_z}{d{z}^2}-k_0^2{B}_z=\mathrm{0,}\\ \frac{d^2{E}_x}{d{z}^2}+\frac{k^2}{k_0^{2}l}\frac{d{E}_x}{dz}-k_0^2{E}_x=\mathrm{0,}{k}_0^2=k^2-i{\mu }_0{\sigma }_a\omega .\end{array}$

                                 (П1.2)

В интересующем нас частотном диапазоне акустического резонанса $k^2\gg {\mu }_0{\sigma }_a\omega$ и, следовательно, $k_0\approx k.$ Учитывая, что максимальное значение проводимости атмосферы в области отражения АГВ порядка ${10}^{-6}$ См/м, находим, что это неравенство выполняется, когда $k\gg 1.7\cdot {10}^{-7}$ м⁻¹. Решения уравнений (П1.2), удовлетворяющие сформулированным выше граничным условиям, имеют вид:

$\begin{array}{c}{B}_z\approx C_{1}sh\left(kz\right),E_x\approx C_2\exp \left(-\frac{z}{2l}\right)sh\left({\xi }_{a}z\right),\\ {\xi }_a={\left(k^2+\frac{1}{4l^2}\right)}^{1/2},\end{array}$     

                                 (П1.3)

где $C_1$ и $C_2$ – неопределенные константы. Остальные составляющие электромагнитного поля могут быть найдены с помощью следующих соотношений:

$B_x=\frac{i}{k}\frac{d{B}_z}{dz},B_y\approx -\frac{{\mu }_0{\sigma }_a}{k^2}\frac{d{E}_x}{dz},E_y=\frac{\omega }{k}{B}_z.$

                                 (П1.4)

В области $z>L$ выполняются уравнения (24) и (25). Преобразуя эти уравнения с помощью уравнений (П1.1) получим два волновых уравнения:

$\frac{d^2{B}_x}{d{z}^2}+{\lambda }_F^2{B}_x=\mathrm{0,}{\lambda }_F^2=\frac{{\omega }^2}{V_A^2}-k^2,$          (П1.5)

 

${\sin }^2\theta \frac{d^2{B}_y}{d{z}^2}+ik\sin \left(2\theta \right)\frac{d{B}_y}{dz}+\left(\frac{{\omega }^2}{V_A^2}-k^2{\cos }^2\theta \right)B_y=0.$

                                  (П1.6)

Первое уравнение отвечает быстрой магнитозвуковой (БМЗ) моде, а второе – альвеновской моде. Общие решения этих уравнений, описывающие уходящие в магнитосферу волны, имеют вид:

$B_x=C_3\exp \left(i{\lambda }_{F}z\right),\left(\mathrm{Re}{\lambda }_F\ge 0\right),$     (П1.7)

$B_y=C_4\exp \left(i{\lambda }_{A}z\right),{\lambda }_A=\frac{\omega /V_A-k\cos \theta }{\sin \theta },$     (П1.8)

где $C_3$ и $C_4$ – неопределенные константы. Остальные компоненты электромагнитных возмущений выражаются через решения (П1.7) и (П1.8) следующим образом:

$\begin{array}{c}{B}_z=-\frac{k}{{\lambda }_F}{B}_x,E_x=V_A{B}_y\sin \theta ,\\ E_z=-E_{x}ctg\theta ,E_y=\frac{\omega }{k}{B}_z.\end{array}$     (П1.9)

Полученные решения должны удовлетворять граничным условиям (21) и (22) при $z=L.$ Кроме того, на этой границе должны быть непрерывны $B_z,$ $E_x$ и $E_y.$ Подставляя все эти решения в граничные условия, получим алгебраическую систему уравнений для неизвестных коэффициентов $C_1-C_4.$ Решая эту систему и подставляя коэффициенты в формулы (П1.3), (П1.7), и (П1.8), получим искомое решение задачи. В частности, коэффициенты $C_1$ и $C_2,$ определяющие электромагнитное поле в атмосфере, имеют вид:

$\begin{array}{c}{C}_1=-{\mu }_{0}k{U}_0\left\{{\beta }_1{k}^{2}sh\left({\xi }_{a}L\right)+{\sigma }_a\left(L\right){\Sigma }_P{Q}_1{\sin }^2\theta \right\}{G}^{-1},\\ C_2=k^2{U}_0{\Sigma }_H{Q}_2\exp \left(\frac{L}{2l}\right)\sin \theta G^{-1}.\end{array}$ 

                                 (П1.10)

Здесь использованы следующие обозначения:

$\begin{array}{c}G={\sigma }_a\left(L\right)Q_1{\sin }^2\theta \left[{\mu }_0\omega {\Sigma }_{P}sh\left(kL\right)+Q_2\right]+\\ +\left[{\mu }_0\omega {\beta }_{1}sh\left(kL\right)+{\beta }_2{Q}_2\right]k^{2}sh\left({\xi }_{a}L\right),\\ {\beta }_1={\Sigma }_P^2+{\Sigma }_H^2+{\Sigma }_P{\Sigma }_w\sin \theta ,{\beta }_2={\Sigma }_P+{\Sigma }_w\sin \theta ,\\ Q_1={\xi }_{a}ch\left({\xi }_{a}L\right)-\frac{1}{2l}sh\left({\xi }_{a}L\right),\\ Q_2={\lambda }_{F}sh\left(kL\right)+ikch\left(kL\right).\end{array}$

                                 (П1.11)

Подставляя соотношения (П1.10)–(П1.11) для коэффициентов $C_1$ и $C_2$ в формулы (П1.3), (П1.4), получаем решение задачи для электромагнитных возмущений в атмосфере.

Финансирование работы

Работа поддержана грантом РНФ 22-17-00125.

Авторлар туралы

V.  Surkov

Schmidt Institute of Physics of the Earth, Russian Academy of Sciences; Pushkov Institute of Terrestrial Magnetism, Ionosphere and Radio Wave Propagation,
Russian Academy of Sciences

Хат алмасуға жауапты Автор.
Email: surkovvadim@yandex.ru
Ресей, Moscow; Moscow

V.  Pilipenko

Schmidt Institute of Physics of the Earth, Russian Academy of Sciences

Email: surkovvadim@yandex.ru
Ресей, Moscow

Әдебиет тізімі

Қосымша файлдар