Vortex motion due to differential diffusion

Full Text

К настоящему времени известен ряд специфических особенностей гидротермодинамики двухкомпонентных сред, плотность которых зависит не только от температуры, но и от концентрации примеси (см., например, [1–6]). В геофизических приложениях в этой связи обычно обсуждаются свойства соленой морской воды. Коэффициенты молекулярной диффузии для тепла и соли различаются на два порядка и это позволяет как теоретически, так и экспериментально уверенно идентифицировать некоторые эффекты, связанные с двухкомпонентным характером среды. Нетривиально, в частности, то, что в таких средах диссипативные процессы могут приводить не к затуханию, а к генерации течений. Это связано с упомянутым различием скоростей диффузии (распространен термин «двойная» или «дифференциальная» диффузия).

В настоящей заметке обращается внимание на некоторые особенности проявлений двухкомпонентного характера среды при наличии фонового вращения. Влияние вращения на конвекцию, обусловленную дифференциальной диффузией, ранее обсуждалось в литературе (см., например, [3, 5, 6] и библиографию в этих работах). Но в геофизических приложениях приходится иметь в виду, что эффекты планетарного вращения проявляются на достаточно больших пространственных масштабах, в то время как эффекты молекулярной диффузии — на малых. Поэтому в морской воде эффекты вращения не могут заметно влиять на отдельные конвективные элементы (например, такие как «солевые пальцы» [1]).

Но имеются и другие, не столь изученные и прозрачные, примеры двойной диффузии, относящиеся к атмосфере. Это относится, например, к воздуху, содержащему водяной пар. Скорости обмена теплом и водяным паром могут несколько различаться из-за того, что существует «дополнительный» механизм обмена теплом — радиационный обмен [7]. Другой пример, на котором мы ниже остановимся — воздух, содержащий тяжелые частицы, например, капли воды. Турбулентная диффузия такой тяжелой примеси — сложная задача, но мы здесь ограничимся простым и естественным предположением, что турбулентная диффузия тяжелой примеси несколько медленнее, чем турбулентный обмен теплом и водяным паром. Как будет видно ниже, этого уже достаточно для некоторой концентрации завихренности на фоне быстрого вращения.

Физическая идея представляется достаточно простой: поскольку разница скоростей диффузии «легкой» компоненты (тепла, водяного пара) и примеси может приводить к возникновению конвекции, плотностных течений [8], то возникающие во вращающейся среде сходящиеся течения, в принципе, должны приводить и к концентрации завихренности.

В качестве возможного геофизического приложения можно предположить следующее. Известно, что при возникновении смерчей сначала нередко наблюдается относительно темный «рукав», спускающийся из «материнского облака» («воронкообразное облако» — «funnel cloud»). В этом движении важную роль играет отрицательная плавучесть, связанная с наличием тяжелой примеси — гидрометеоров. Сходящиеся движения в верхней части «рукава», вероятно, концентрируют «фоновую» завихренность, существующую в «материнском облаке», интенсифицируя вращение. В то же время, в плавучесть оседающих объемов воздуха могут вносить вклад отклонения температуры и концентрации водяного пара. Например, оседание на фоне устойчивой температурной стратификации должно приводить к адиабатическому повышению температуры, компенсации (частичной или полной) отрицательного отклонения плавучести, что препятствует нисходящему движению и концентрации завихренности. Эта схема, конечно, очень упрощена — важную роль могут играть и фазовые переходы в опускающихся объемах воздуха. Ниже будет представлена простая модель, которая показывает, что даже при полной начальной компенсации веса тяжелой примеси и относительно небольших различиях коэффициентов обмена, «двойная диффузия», может способствовать поддержанию отрицательного отклонения плавучести, нисходящего движения и процесса концентрации завихренности.

В рассматриваемом случае, в отличие от морской воды, может отсутствовать упомянутый разрыв между характерными пространственными и временными масштабами проявлений эффектов вращения и диффузии. Фоновое вращение в этом случае может оказаться гораздо более быстрым, чем планетарное, что может приводить к заметным эффектам уже на меньших масштабах. С другой стороны, мы аппроксимируем действие мелкомасштабных случайных движений на рассматриваемые процессы турбулентной диффузией, которая проявляется на больших пространственных масштабах. Тем самым, характерные масштабы процессов, связанных с вращением и диффузией приближаются друг к другу, поэтому не исключается, что эти процессы, в принципе, могут эффективно взаимодействовать.

Соображения о возможной существенной роли отрицательной плавучести гидрометеоров в динамике смерчей, приведены, например, в [9]. Неожиданная иллюстрация процесса конвекции, вызываемой тяжелой примесью, содержится в работе [10], где авторы сообщают о наблюдении весьма интенсивной «торнадоподобной структуры» в морской воде под айсбергом; они связывают нисходящие движения с наличием во льду значительного количества твердых включений горных пород, создающих эффекты отрицательной плавучести.

Используем простую модель, аналогичную [8], но с дополнительным учетом фонового вращения среды.

Ориентируемся здесь на исследование процессов вдали от подстилающей поверхности (сюда относится, например, начальная стадия развития упомянутого воронкообразного облака). Это позволяет абстрагироваться пока от краевых эффектов и рассматривать проявления двойной диффузии в безграничной среде.

Плотность среды в обычно используемом приближении линейно зависит от температуры T и концентрации тяжелой примеси S:

$\rho ={\rho }_{*}+{\rho }^{\text{'}}={\rho }_{*}\left(1-\alpha T+\beta S\right).$ (1)

Здесь r — плотность, r^* — значение r при постоянных средних значениях температуры T^* и концентрации примеси S^*; T, S — соответствующие отклонения от средних, a — коэффициент термического расширения, b — соответствующий коэффициент для примеси; возмущение плотности ${\rho }^{\text{'}}={\rho }_{*}\left(-\alpha T+\beta S\right).$

В общем случае предполагается, что заданы постоянные фоновые стратификации температуры и примеси:

${\rho }_B\left(z\right)={\rho }_{\ast }\left[1+\left(-\alpha {\gamma }_T+\beta {\gamma }_S\right)z\right], {\gamma }_T=d{T}_B/dz=\text{const},{\gamma }_S=d{S}_B/dz=\text{const},$

где индексом B обозначены фоновые значения величин (для отличия от рассматриваемых ниже возмущений).

Линеаризованная система уравнений гидродинамики, переноса тепла и примеси в приближении Буссинеска во вращающейся системе координат без учета перекрестных кинетических эффектов (термодиффузии и диффузионной теплопроводности) для двумерных возмущений имеет вид [1, 2, 4, 8]

$\frac{\partial u}{\partial t}=-\frac{\partial P}{\partial x}+fv+v\Delta u, \frac{\partial v}{\partial t}=-fu+v\Delta v,$ (2)

$\frac{\partial w}{\partial t}=-\frac{\partial P}{\partial z}+\nu \Delta w+g\left(\alpha T-\beta S\right), \frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial w}{\partial z}=\mathrm{0,}$(3)

$\frac{\partial T}{\partial t}+{\gamma }_{T}w=\kappa \Delta T, \frac{\partial S}{\partial t}+{\gamma }_{S}w=\chi \Delta S.$ (4)

Здесь u, v, w — составляющие скорости вдоль горизонтальных осей x, y и вертикальной оси z соответственно; t — время, $P=p/{\rho }_{*},$ p — возмущение давления; g — ускорение свободного падения; ν, k, c — коэффициенты обмена; $\Delta ={\partial }^2/\partial x^2+{\partial }^2/\partial z^2$ — двумерный оператор Лапласа; f — удвоенная угловая скорость фонового вращения (при этом не обязательно имеется в виду планетарное вращение).

В начальный момент времени заданы отклонения температуры и концентрации примеси, которые компенсируют друг друга в поле плотности; среда находится в состоянии покоя и механического равновесия:

$\begin{array}{c}u=\text{v}=w=\mathrm{0,}\alpha T\left(x,z\right)=\beta S\left(x,z\right),\\ {\rho }^{\text{'}}=p=0ïðèt=0.\end{array}$ (5)

Ограничимся здесь простейшей задачей об эволюции двумерных возмущений, гармонически зависящих от горизонтальной и вертикальной координат x, z (подобно, например, [2]):

$\begin{array}{c}w=W\left(t\right)\cos \left(k_{x}x\right)\cos \left(k_{z}z\right),\\ \text{\hspace{0.17em}v}=V\left(t\right)\sin \left(k_{x}x\right)\sin \left(k_{z}z\right)и.т.д.\end{array}$(6)

Здесь k_x, k_z — волновые числа. Для амплитуд W(t), V(t) и т.д. получается линейная система в обыкновенных производных. Аналитическое решение в общем случае довольно громоздко. Для краткости остановимся на простейшем случае отсутствия фоновой стратификации обеих компонент. Решение для возникающего возмущения вихревой составляющей скорости, с учетом начальных условий, имеет вид:

$\begin{array}{c}V={\rm Y}\left(\frac{k_x}{k}\right)\left\{D_s\exp \left(-\chi k^{2}t\right)-D_{\theta }\exp \left(-\kappa k^{2}t\right)\right.+\\ +\left[\left(D_{\theta }-D_s\right)\cos \omega t+\left(\frac{D_{\theta }}{T_{\theta }^{1/2}}-\frac{D_s}{T_s^{1/2}}\right)\sin \omega t\right]\left.\exp \left(-\nu k^{2}t\right)\right\}.\end{array}$(7)

Здесь введены обозначения,$k={\left(k_x^2+k_z^2\right)}^{1/2}, \omega =\left(k_z/k\right)f,$ масштаб скорости ${\rm Y}=\alpha g{\theta }_0/\nu k^2, {\theta }_0$  — начальное отклонение температуры, а также безразмерные параметры

$\begin{array}{c}{T}_{\theta }=\frac{{\omega }^2}{{\left(\nu -\kappa \right)}^2{k}^4},T_s=\frac{{\omega }^2}{{\left(\nu -\chi \right)}^2{k}^4},\\ D_{\theta }=\frac{\nu }{\nu -\kappa }\frac{T_{\theta }^{1/2}}{1+T_{\theta }},D_s=\frac{\nu }{\nu -\chi }\frac{T_s^{1/2}}{1+T_s}.\end{array}$

Параметры $T_{\theta ,s},$ с точностью до безразмерных множителей, зависящих от коэффициентов обмена и геометрического фактора $k_z/k,$ являются аналогами числа Тейлора. Интересно отметить немонотонную зависимость амплитуды возникающего вихревого движения V (величин $D_{\theta ,s}$) от этих параметров (т.е. от фоновой скорости вращения среды w, f).

Пусть, например, коэффициенты турбулентного обмена в атмосфере $\nu =\kappa =5{ì}^2/c,k={10}^{-2}{ì}^{-1}$ (что соответствует длине полуволны около 300 м) $k_x=k_z=k/\sqrt{2},$ $\alpha =3\cdot {10}^{-3}{K}^{-1}, f=3\cdot {10}^{-3}{c}^{-1}$ (т.е. угловая скорость фонового вращения в материнском облаке на полтора порядка выше, чем скорость планетарного вращения; приняты значения коэффициентов переноса, характерные для турбулентного обмена в атмосфере); начальная амплитуда ${\theta }_0=1$ К. При этом масштаб скорости ${\rm Y}\approx 60$ м/с, $\omega \approx 2\cdot {10}^{-3}$с^–1. На рис. 1 представлена зависимость возникающей вихревой скорости V от времени для случаев, когда коэффициент переноса примеси c немного отличается от коэффициента температуропроводности k (по вертикальной оси отложены значения выражения, содержащегося в фигурных скобках в (7)). Видно, что уже при различии значений коэффициентов переноса в 20% скорость возникающего вихревого течения, согласно полученному решению, может приближаться по порядку величины к 1 м/с (но такие скорости, строго говоря, выходят за рамки линейного приближения).

Рис. 1. Примеры временнόй зависимости амплитудной функции V(t) (нормирована на Yk_x / k ) при отсутствии фоновой стратификации. Штриховая и сплошная линии отвечают случаям, когда коэффициент переноса c примеси на 10% и 20% меньше k соответственно.

Представленная выше простая модель демонстрирует не рассматривавшийся, видимо, ранее эффект интенсификации вращения при действии дифференциальной диффузии во вращающейся среде. Интенсивность возникающих вихревых течений, вероятно, может быть значительно выше, чем в приведенном примере — масштаб скорости Y быстро возрастает с ростом пространственных масштабов возмущений (с уменьшением k). Выше приведены соображения относительно возможного влияния этого механизма на зарождение смерчей. Важнейшее условие эффективности действия рассматриваемого механизма — различие скоростей турбулентной диффузии тепла и примеси (в рассмотренном примере — гидрометеоров). Показано, что для заметных эффектов, в принципе, может быть достаточно очень небольшого различия значений коэффициентов переноса.

Финансирование. Работа выполнена при поддержке Программы № 56 фундаментальных исследований Президиума РАН.

About the authors

L. Kh. Ingel

Author for correspondence.
Email: lev.ingel@gmail.com
Russian Federation, ul. Pobedy, 4, Obninsk, 249038; Pyzhevsky per., 3, Moscow, 119017 

References

Supplementary files

Supplementary Files

Action

1. JATS XML

Download

2. Fig. 1. Examples of the time dependence of the amplitude function V (t) (normalized to Ykx / k) in the absence of background stratification. The dashed and solid lines correspond to the cases when the transport coefficient c of the impurity is 10% and 20% less than k, respectively.

Download (31KB)

Indexing metadata