Ensuring the operability and fault tolerance of machinery by redundancy of replaceable elements

Full Text

Введение Обеспечение работоспособности машин является главной задачей. Анализ существующих источников показал, что техника требует новых организационных и технологических подходов к поддержанию ее в работоспособном состоянии в зональных условиях использования. Наиболее важной задачей при этом является снижение времени простоя машин на техническом и ремонтном обслуживании, поскольку каждый час простоя этой дорогостоящей техники приводит к большим издержкам [6]. Цель исследований Математическое описание и обоснование отказоустойчивости машин для обеспечения работоспособности на заданном уровне. Материалы, методы и результаты исследования Функционирование элементов технических систем описывается процессом восстановления, т.е. последовательностью наработок на отказ и соответствующих их моментов отказа: . Обозначим через F(t) функцию распределения произвольной наработки. Функция распределения момента n-го отказа tn является n-кратной сверткой функции F(t) [5]: . (1) Число отказов V(t) до момента n имеет распределение: (2) откуда: . (3) Функция восстановления выражает среднее число отказов до времени t: (4) а ее производная (плотность восстановления): представляет собой среднее число отказов за малую единицу времени [3]. С другой стороны, вероятностный элемент выражает приблизительно вероятность отказа (какого-либо) в интервале [t1, t + dt]. Практический интерес представляет собой остаточная наработка tост от наблюдаемого момента времени t до отказа [2]. Ее распределение выражается через вероятность безотказной работы (ВБР): . (5) Среди процессов восстановления особую роль играет пуассоновский процесс (простейший поток отказов), выражающий представление о «чисто случайном» характере отказа. Согласно центральной предельной теореме А.Я. Хинчина, при широких допущениях сумма произвольных поисков событий сходится к простейшему потоку [1]. Пуассоновский процесс получается при показательном распределении наработки R(t) = = exp(-αt) и имеет следующие характеристики (табл. 1): Справедливо следующее важное утверждение: для стареющих элементов распределение Пуассона дает верхнюю границу числа отказов: , (6) где t не превышает средней наработки T. Важной проблемой является планирование числа запасных элементов, т.е. для какого n с вероятностью не меньшей α система будет функционировать заданное время t: . (7) Для гарантированного решения этого неравенства для стареющих элементов и времени t, не превышающим средней наработки, достаточно потребовать: . (8) Используя известное соотношение между функциями распределения Пуассона и χ2, неравенство (8) можно преобразовать к виду: (9) где - квантиль уровня распределения χ - квадрат с K степенями свободы. Неравенство (9) легко разрешается с помощью стандартных таблиц процентных точек распределения χ2. К примеру, если отношение и уровень значимости α = 0,05, то получаем , а , откуда получаем n. Следовательно, для обеспечения требуемых гарантий должно быть два резервных элемента. Часто приходится планировать и замены низконадежных элементов, т.е. рассматривать такой интервал времени t, который существенно превышает среднюю наработку T. В этом случае можно использовать факт асимптотической нормальности числа отказов ν(t), т.е. распределение V (t) приближается к нормальному со средним и дисперсией , связанной с дисперсией наработки σ2 [6]. Тогда приближенное решение неравенства планирования ЗИП (9) имеет вид: , (10) где u1-α - квантиль стандартного нормального распределения (0,1), т.е. решение уравнения: (11) При долгосрочном планировании политики замен целесообразно ориентироваться не на гарантированное число отказов, а на среднее, выражаемое функцией восстановления (см. табл. 1). Отметим, что функция восстановления однозначно определяет процесс восстановления: в терминах преобразования Лапласа соотношение имеет вид: , (12) где ; k - аргумент функции Лапласа. Представление о поведении функции восстановления в стационарном режиме дает теорема Блекуэлла, которая утверждает, что , (13) т.е. среднее число отказов обратно пропорционально средней наработке. Если существует дисперсия наработки, то справедливо утверждение: . (14) Это означает, что при большом значении t функцию восстановления и, следовательно, число замен можно рассчитывать по приближенной формуле . (15) Например, двигатель - это сложная система из большого числа элементов. Число отказов двигателя на порядок меньше числа элементов, следовательно «в среднем» вероятность отказа отдельного элемента мала [4]. Поэтому целесообразно рассматривать число отказов за время t ≤ T (начальный период работы). Основными соотношениями здесь являются: , (16) , (17) . (18) Правые части указанных неравенств можно использовать для оценки области перекрытия остаточных ресурсов (5) надежной и низконадежной (отказавшей) составных частей. Значение этой области определяется случайной величиной с плотностью распределения и вероятностью одновременной замены (при t* < 0): . Для стареющих элементов двигателя справедлива простая оценка стационарного распределения времени остаточной наработки (табл. 1 пункт 4) и (15): , (19) , (20) где σt* - среднеквадратическое отклонение величины t*. В этом случае стратегию восстановления можно определить с учетом затрат труда, средств и времени на проведение замен с использованием преобразования Лапласа (12): , (21) где с, d - издержки при планировании замен во время ремонта двигателя и на межремонтном интервале. Аргумент k может принимать положительные значения (k > 0) при условии, что d > c. В этом случае с вероятностью P(t*) = 1 - Ф(k) принимается решение о совместной замене деталей при ремонте машины. При k < 0, и d < c деталь может быть использована без ремонтных воздействий в предстоящем межремонтном периоде до выработки остаточного ресурса. В случае, когда k = 0 и c = d, с одинаковой вероятностью может приниматься решение о совместной замене или дальнейшем использовании детали до выработки ее остаточного ресурса. Из табл. 2 следует, что поэлементная замена каждой из отказавшей детали в агрегате эффективна тогда, когда остаточный ресурс смежных элементов достаточно велик. Заключение Математическое описание и обоснование отказоустойчивости машин позволяет точнее определять и корректировать резервы сменных элементов машин и обеспечивать этим их работоспособность на заданном уровне. Таблица ١ Характеристики пуассоновского процесса при показательном распределении 1 Распределение числа отказов Пуассоновское 2 Функция восстановления Линейная 3 Интенсивность отказов (плотность восстановления) 4 Остаточная наработка tост Таблица ٢ Расчетные параметры вероятности замены деталей двигателя Д-٢٤٠ Номер интервала распределения t* Середина интервала t*, мото-ч Q(t*) P(t*) Ф(k) 1 534 0,77 0,23 0,27 2 1114 0,55 0,45 0,15 3 1421 0,48 0,52 0,09 4 2351 0,47 0,53 0,03 5 3103 0,41 0,59 0,02

About the authors

E. V Eltoshkina

Irkutsk State Agrarian University named after A.A. Ezhevsky

Email: Bodt-24@ramble.ru
PhD in Engineering Irkutsk, Russia

M. K Buraev

Irkutsk State Agrarian University named after A.A. Ezhevsky

Email: Bodt-24@ramble.ru
DSc in Engineering Irkutsk, Russia

T. V Bodyakina

Irkutsk State Agrarian University named after A.A. Ezhevsky

Email: Bodt-24@ramble.ru
Irkutsk, Russia

References

Supplementary files