Modeling the parameters of free and driving wheel rolling modes taking into account the asymmetry of the normal reaction diagram

Full Text

Введение При обосновании методов определения силовых и кинематических параметров свободного и ведущего режимов качения колеса необходимо учитывать смещение нормальной реакции дорожной опорной поверхности в плоскости контактной площадки шины. На эту необходимость обращают внимание авторы работ [1, 2, 3, 4], в которых можно увидеть наличие определенной сложности и неоднозначности при экспериментальном определении отдельных составляющих смещения нормальной реакции. Следует также отметить отсутствие пригодных для применения адекватных моделей аналитического представления величины смещения с использованием исходных данных, доступных для получения и последующих расчетов. Цель исследований Целью исследований является разработка обобщенной математической модели взаимосвязи силовых и кинематических параметров для описания явлений, происходящих в плоскости контактной площадки шины при качении колеса в свободном и ведущем режимах. Материалы и методы Для численного определения силовых и кинематических параметров при качении колеса в различных режимах целесообразно использование параболической эпюры нормальных реакций в плоскости контактной площадки шины [5, 6]. Наиболее приемлемой для моделирования несимметричности эпюры относительных нормальных реакций по длине контактной площадки тракторной шины низкого давления является параболическая зависимость четвертой степени величины rz относительной элементарной нормальной реакции [7]: , (1) где δкп - относительная продольная координата по длине участка контактной площадки шины, соответствующая расчетному значению относительной нормальной реакции опорной поверхности; К - коэффициент пропорциональности, получаемый из условия равенства единице относительной площади эпюры удельной нормальной реакции. Величина δкп определяется в долевом выражении от длины контактной площадки шины: , где l - текущая координата контактной площадки шины, отсчитываемая по ее продольной оси в направлении от крайней задней точки контактной площадки к передней точке; lкп - длина контактной площадки шины. Диапазон возможных расчетных значений текущей координаты контактной площадки шины 0 ≤ l ≤ lкп. Расчетная несимметричность эпюры относительных нормальных реакций может быть получена подбором соответствующего значения коэффициента несимметричности kн в интервале 0 ≤ kн ≤ 1. Выражение (1) приобретает в этом случае дополнительный сомножитель: , Преобразование приводит к развернутому выражению, подлежащему интегрированию: . Интегрирование полученного выражения по δкп в интервале от 0 до 1 для определения суммарной нормальной реакции опорной поверхности Rz max и приравнивание ее к нормальной (вертикальной) нагрузке на колесо Gк представлено выражением: . (2) В результате интегрирования в пределах значений 0 ≤ δкп ≤ 1 получено: . Из этого следует, что для любого значения коэффициента несимметричности kн, находящегося в указанном выше диапазоне, коэффициент является величиной, прямо пропорциональной нормальной нагрузке на колесо Gк: . (3) Текущее значение суммарной нормальной реакции на участке буксования элементов контактной площадки шины определяется интегрированием функции (2) в пределах значений 0 ≤ δкп ≤ δбукс: . Величина коэффициента буксования элементов контактной площадки шины δбукс определяется в долях длины контактной площадки шины, элементы которой находятся в буксовании, по отношению ко всей длине контактной площадки шины: , где lбукс - текущая координата границы участка буксования контактной площадки шины, отсчитываемая по оси абсцисс в направлении от крайней задней точки контактной площадки к передней точке по ее продольной оси. Диапазон возможных значений текущей координаты границы участка буксования находится в интервале 0 ≤ lбукс ≤ lкп. В результате интегрирования и преобразования получено выражение для определения суммарной нормальной реакции на участке буксования контактной площадки шины: . Для отображения силовых параметров колеса при его качении в ведущем режиме следует ввести в рассмотрение величину - коэффициент продольной силы kRx, представляющий собой отношение продольной реакции Rx опорной поверхности к нормальной ее реакции Rz в контактной площадке шины, равной по величине и обратной по направлению нормальной нагрузке Gк на колесо: . Коэффициент продольной силы kRx определяется с учетом образования результирующей продольной реакции Rx двумя составляющими: соответственно Rx букс - на участке буксования, Rx пок - на участке покоя элементов контактной площадки шины (рис. 1) и зависимостей: ; ; ; ; ; , где Rx букс, Rх пок - продольная реакция соответственно на участке буксования и на участке покоя элементов контактной площадки шины; Rz букс, Rz пок - нормальная реакция соответственно на участке буксования и на участке покоя элементов контактной площадки шины; μсц букс - динамический коэффициент сцепления элементов контактной площадки шины на участке буксования; μсц пок - статический коэффициент сцепления элементов контактной площадки шины на участке покоя; Gк - нормальная (вертикальная) нагрузка на колесо, воспринимаемая опорной поверхностью; δRz букс - относительная нормальная реакция на участке буксования элементов контактной площадки шины; δRz пок - относительная нормальная реакция на участке покоя элементов контактной площадки шины. Рис. 1. Схема образования продольных реакций в плоскости контакта шины при качении колеса в ведущем режиме Fig. 1. Diagram of formation of longitudinal reactions in the plane of contact of the tire when the wheel is rolling in the driving mode Динамический коэффициент сцепления элементов контактной площадки шины на участке буксования μсц букс определяется по убывающей эллиптической зависимости от относительной нормальной реакции на участке буксования: , где μпок - коэффициент трения покоя элементов контактной площадки шины на опорной поверхности при полном отсутствии буксования или скольжения колеса; μбукс - коэффициент трения при полном буксовании колеса и элементов контактной площадки шины. Максимальное значение динамического коэффициента сцепления равно коэффициенту трения покоя контактной площадки шины на дорожной опорной поверхности при отсутствии буксования колеса. Минимальное значение равно коэффициенту трения буксования элементов контактной площадки при полном буксовании колеса. Статический коэффициент сцепления элементов контактной площадки шины на участке покоя определяется по возрастающей эллиптической зависимости от относительной нормальной реакции на участке покоя: . Минимальное значение коэффициента μсц пок равно нулю при отсутствии буксования элементов контактной площадки шины. Максимальное значение равно коэффициенту трения покоя элементов контактной площадки шины на опорной поверхности в момент перехода к полному буксованию, когда последний крайний задний элемент контактной площадки еще продолжает находиться в состоянии покоя. Относительная нормальная реакция на участке буксования элементов контактной площадки шины: , или в развернутом виде: . Относительная нормальная реакция на участке покоя: . Площадь эпюры на участке буксования δбукс элементов контактной площадки шины представляет собой относительную нормальную реакцию δRz букс на участке буксования, а площадь эпюры на участке покоя δпок - относительную нормальную реакцию δRz пок на участке покоя. На участке буксования действуют составляющая Rz букс нормальной реакции опорной поверхности и составляющая Rх букс продольной реакции, а на участке покоя - соответственно составляющие Rz пок и Rх пок. Развернутое выражение для определения коэффициента продольной силы имеет вид: . Сумма относительных нормальных реакций контактной площадки шины на участке покоя и на участке буксования должна быть равна единице, то есть: . Более ранними исследованиями автора статьи установлено, что коэффициент буксования колеса выражается зависимостью: , где αк - центральный угол контакта шины с опорной поверхностью, рад. Обратная зависимость коэффициента буксования контактной площадки шины от коэффициента буксования колеса представлена выражением: . Радиус качения колеса в ведущем режиме определяется выражением: , где rк св - радиус качения колеса в свободном режиме; δк - коэффициент буксования колеса. Для определения продольного смещения центра нормальных реакций опорной поверхности используем статический момент эпюры относительно вертикальной оси rz, который выражается интегральной функцией: . После интегрирования выражения в пределах значений 0 ≤ δкп ≤ 1 получено: . Продольная координата центра масс несимметричной эпюры по относительной длине контактной площадки шины определяется c учетом зависимости (3) выражением: . (5) Относительное смещение продольной координаты результирующей нормальной реакции относительно геометрического центра длины контактной площадки составляет: . (6) Смещение продольной координаты результирующей нормальной реакции относительно геометрического центра длины контактной площадки определяет плечо действия результирующей нормальной реакции относительно вертикальной оси колеса: . При качении колеса в свободном режиме численное значение этого плеча определяется из известной формулы момента сопротивления деформации шины при качении колеса в свободном режиме [8]: . (7) Ниже в качестве примера выполнен расчет коэффициента несимметричности, а также силовых и кинематических параметров для тракторного колеса с шиной 15,5-R38 модели Ф-2А при следующих исходных данных: · свободный радиус шины rсв = 0,785 м; · посадочный радиус шины rоб = 0,483 м; · нормальная (вертикальная) нагрузка на колесо Gк = 17,06 кН; · давление воздуха в шине pw = 0,08 МПа; · статический нормальный прогиб шины hст = 58,2 мм = 0,0582 м · длина контактной площадки шины lкп = 617,9 мм = 0,618 м; · центральный угол контакта шины αкп = 0,825 рад; · коэффициент трения покоя элементов контактной площадки шины на опорной поверхности при полном отсутствии буксования колеса μпок = 0,85; · коэффициент трения элементов контактной площадки шины при полном буксовании колеса μбукс = 0,7. Радиус качения колеса в свободном режиме: , . Момент сопротивления деформации шины при качении колеса: , . Момент сопротивления деформации шины преодолевается приложенным к колесу крутящим моментом Мк деф.= Мдеф = 0,158 кН·м. Коэффициент сопротивления деформации шины при качении колеса в свободном режиме: , . Условная продольная реакция опорной поверхности при качении колеса в свободном режиме: , , Численное значение плеча действия результирующей нормальной реакции относительно оси колеса при его качении в свободном режиме составляет по формуле (7): . Относительное смещение центра нормальных реакций несимметричной эпюры относительно геометрического центра контактной площадки шины должно составлять при свободном режиме качения: , . Для определения расчетной величины коэффициента несимметричности эпюры относительных нормальных реакций kн св при свободном режиме качения колеса необходимо преобразовать выражение (5) с учетом соотношения (8), полученного простым преобразованием выражения (6): . (8) В результате получается выражение: . (9) В приведенном примере для шины модели Ф-2А расчетное значение коэффициента несимметричности эпюры относительных нормальных реакций при качении колеса в свободном режиме составляет: . На рис. 2 изображена несимметричная эпюра относительных нормальных реакций, приведенная к продольной оси контактной площадки шины на недеформируемой опорной поверхности, и наложенная на эпюру схема смещения нормальной реакции опорной поверхности при качении колеса в свободном режиме. Рис. 2. Схема смещения нормальной реакции опорной поверхности при нулевом значении коэффициента продольной силы в свободном режиме качении колеса (коэффициент несимметричности эпюры относительных нормальных реакций kн св = 0,8741) Fig.2. The scheme of displacement of the normal reaction of the support surface at a zero value of the coefficient of longitudinal force in the free rolling mode of the wheel (the coefficient of asymmetry of the epure of relative normal reactions kн св = 0,8741) В ведущем режиме качения колеса при увеличении на некоторую величину относительного смещения центра нормальных реакций несимметричной эпюры относительно геометрического центра контактной площадки коэффициент несимметричности эпюры относительных нормальных реакций может быть представлен выражением (9), дополненным коэффициентом φ приращения относительного смещения: . Коэффициент φ приращения относительного смещения может быть определен линейной или другой зависимостью от коэффициента продольной силы kRx : . В работе [3] отмечается, что продольное смещение центра нормальной реакции прямо пропорционально продольному усилию в пятне контакта, то есть продольной реакции. В этой связи наиболее приемлемой следует признать прямую пропорциональную зависимость с коэффициентом β: . Тогда можно представить пропорциональную зависимость в виде выражения (10), полагая при этом, что некоторое максимальное значение коэффициента φmax приращения относительного смещения наблюдается при максимальным значении коэффициента kRx max продольной силы (рис. 3): . (10) Рис. 3. Линейная зависимость относительного смещения нормальной реакции от коэффициента продольной силы для ведущего режима качения колеса Fig. 3. Linear dependence of the relative displacement of the normal reaction on the coefficient of longitudinal force for the driving mode of wheel rolling Зависимость строится по функции коэффициента продольной силы, текущее значение которого делится на максимальное значение kRх max этого коэффициента. На первом шаге следует выбрать начальное значение коэффициента продольной силы, равное kRх max при симметричной эпюре, то есть при коэффициенте несимметричности, равном единице. Полученное расчетное значение следует подставить в расчетную формулу коэффициента несимметричности эпюры и относительного смещения центра нормальных реакций несимметричной эпюры относительно геометрического центра контактной площадки. Для получения конечных результатов необходимо выполнить несколько предварительных расчетов с пошаговым уточнением максимального значения kRх max. Для достижения достаточно высокой точности достаточно произвести два-три расчетных цикла. Относительное смещение центра нормальных реакций несимметричной эпюры относительно геометрического центра контактной площадки в ведущем режиме выражается зависимостью от относительного смещения центра нормальных реакций несимметричной эпюры относительно геометрического центра контактной площадки в свободном режиме: . Например, принято расчетное значение β = 2. В этом случае относительное смещение центра нормальных реакций несимметричной эпюры относительно геометрического центра контактной площадки будет увеличено в три раза при максимальном значении коэффициента продольной силы в ведущем режиме качения колеса по сравнению с начальным значением, соответствующим свободному режиму качения колеса. Показатель β выступает в качестве коэффициента прямой пропорциональности. Его значение может варьировать в диапазоне от единицы до какого-то определенного возрастающего значения, которое можно получить из экспериментальных или расчетных данных по величине относительного смещения центра нормальных реакций несимметричной эпюры относительно геометрического центра контактной площадки На рис. 4 представлена несимметричная эпюра нормальных реакций опорной поверхности и наложенная на нее схема смещения нормальной реакции опорной поверхности с приложением сил и моментов при максимальном значении коэффициента продольной силы в ведущем режиме качения колеса. Рис. 4. Схема смещения нормальной реакции опорной поверхности с приложением сил и моментов при максимальном значении коэффициента продольной силы в ведущем режиме качения колеса (коэффициент несимметричности эпюры относительных нормальных реакций опорной поверхности k = 0,6223) Fig. 4. Scheme of displacement of the normal reaction of the support surface with the application of forces and moments at the maximum value of the coefficient of longitudinal force in the driving mode of wheel rolling (the coefficient of asymmetry of the epure of the relative normal reactions of the support surface k = 0,6223) Крутящий момент Мк, приложенный к колесу в ведущем режиме качения, включает в себя две составляющие - крутящий момент Мк деф, преодолевающий действие на плече, равном смещению анр нормальной реакции, пары нормальных сил Rz и Gк, образующих момент сопротивления деформации шины, и крутящий момент Мк тяг, преодолевающий действие на условном плече, равном радиусу rк св качения колеса в свободном режиме, пары продольных сил Рх и Rх, образующих момент тягового сопротивления. Результаты и обсуждение Ниже приведены сравнительные результаты расчета силовых и кинематических параметров для ведущего режима качения колеса при симметричной и несимметричной эпюрах нормальных реакций в области максимального значения коэффициента продольной силы kRx max. Эта область является граничной в отношении реализации тяговых свойств колеса без срыва его в полное буксование. Графическое представление результатов расчета для сравнительной оценки силовых и кинематических параметров шины и колеса при несимметричной эпюре нормальных реакций, имеющей коэффициент несимметричности kн = 0,6223 при максимальном коэффициенте продольной силы, и симметричной эпюре показано на рис. 5 и 6. Увеличение несимметричности эпюры приводит к смещению максимума коэффициента продольной силы в сторону больших значений коэффициента буксования элементов контактной площадки шины и коэффициента буксования колеса при практически неизменном максимальном значении коэффициента продольной силы. При несимметричной эпюре с минимальным значением переменного коэффициента несимметричности kн = 0,6223 максимальное значение коэффициента продольной силы составляет kRx max = 0,7392, а при симметричной эпюре - kRx max = 0,7398. Отклонение максимального значения коэффициента продольной силы при несимметричной эпюре по сравнению с симметричной эпюрой составляет 0,08 %. Рис. 5. Зависимость коэффициента продольной силы от коэффициента буксования элементов контактной площадки беговой дорожки шины при симметричной и несимметричной эпюре нормальных реакций опорной поверхности Fig. 5. Dependence of the coefficient of longitudinal force on the coefficient of slipping of the elements of the contact pad of the treadmill of the tire with symmetric and asymmetric epures of normal reactions of the supporting surface Рис. 6. Тяговая диаграмма колеса при несимметричной и симметричной эпюре нормальных реакций опорной поверхности Fig. 6. Traction diagram of a wheel with an asymmetric and symmetric epure of normal reactions of the bearing surface Коэффициент буксования элементов контактной площадки шины при несимметричной эпюре составляет значение δбукс = 0,691, а при симметричной эпюре - δбукс = 0,625. Отклонение значения коэффициента буксования элементов контактной площадки шины при несимметричной эпюре по сравнению с симметричной эпюрой составляет 10,56 %. Коэффициент буксования колеса при несимметричной эпюре составляет δк = 0,160, а при симметричной эпюре - δк = 0,132. Отклонение значения коэффициента буксования колеса при несимметричной эпюре по сравнению с симметричной эпюрой составляет 21,21 %. Следует иметь в виду, что в предложенной графоаналитической модели, - во избежание некорректного представления эпюры относительных нормальных реакций опорной поверхности с переходом в область их отрицательных значений, наложено ограничение по величине относительного смещения центра нормальных реакций, максимальное относительное значение которого не должно превышать ∆нр = 0,119 при граничном значении коэффициента несимметричности эпюры kн = 0. Для шины модели Ф-2А максимальное абсолютное смещение в ведущем режиме ограничено значением анр = 73,53 мм, что в 7,94 раза больше смещения в свободном режиме качения колеса. Заключение Представленная графоаналитическая модель несимметричной эпюры относительных нормальных реакций позволяет получить подходящую расчетную форму эпюры, в том числе несимметричную, отображающую силовые параметры шины и колеса, применительно к свободному и ведущему режимам качения колеса. Приведенная методика определения силовых и кинематических параметров с учетом несимметричности эпюры нормальных реакций опорной поверхности может найти применение при расчете и обосновании эксплуатационных показателей тракторных транспортно-технологических агрегатов, оснащенных колесными движителями, а также при выборе рациональных нагрузочных и скоростных режимов их работы в различных дорожных условиях.

About the authors

M. I Romanchenko

Belgorod State Agricultural University

Email: romanchenko_mi@bsaa.edu.ru
PhD in Engineering Belgorod, Russia

References

Supplementary files