TRAXER PLANNING ALGORITHM MOVEMENTS OF A FREE FLYING APPARATUS

Full Text

Использование беспилотных летательных аппаратов вертолетного типа (БЛА) при проведении поисково-спасательных операций в условиях высоких широт и других трудно доступных территорий позволяет повысить эффективность поисковых работ. БЛА могут летать на малой высоте, не зависят от таких человеческих факторов как внимание и усталость, в режиме «висение» имеют возможность сбрасывать груз точно в заданную точку. Вследствие этого научно-техническая задача разработки и экспериментальной проверки теоретических основ применения комплексов с БЛА при выполнении поисково-спасательных операций является актуальной [1]. Успешное решение задачи во многом зависит от точности бортовых систем управления, программно-аппаратные средства которых должны обеспечивать автономное планирование траектории движение летательного аппарата в режиме времени близком к реальному, в зависимости от динамических характеристик летательного аппарата [2]. Трудности обеспечения планирования траектории движения БЛА связаны, в том числе, c тем, что в существующих методах глобального (предполетного) и локального (в полете) планирования траектории движения БЛА переменной массы используются приближенные численных методов математического моделирования динамических свойств летательного аппарата, которые не всегда дают необходимую точность вычислений и зависят от мощности бортовых вычислителей с точки зрения скорости вычислений в реальном времени [3-5]. Постановка задачи баллистико-навигационного обеспечения БЛА при выполнении поисково-спасательной операции в условиях Арктики. Известны координаты на плоскости точки нахождения грузового судна, лишившегося возможности самостоятельного перемещения во льдах. С помощью беспилотного вертолета (рис. 1) требуется доставить на судно груз, причем, обеспечить в расчетной точке сброса груза определенные значения скорости и ускорения летательного аппарата. В ходе предполетной подготовки спасательной операции средствами бортовой системы управления БЛА с встроенной упрощенной динамической моделью летательного аппарата представленной в виде однородного обыкновенного дифференциального уравнения n-го порядка (системы n управлений первого порядка) с кусочно-постоянными коэффициентами (ОДУ) осуществляется планирование траектории движения вертолета с учетом изменений в ходе полета запасов топлива и массы полезной нагрузки (вариант построения упрощенной математической модели БЛА в виде систем дифференциальных уравнений в форме Коши, а также порядок приведения систем дифференциальных уравнений в форме Коши и обыкновенных неоднородных дифференциальных уравнений к обыкновенным однородным дифференциальным уравнениям высших порядков приведены в публикациях [6, 7]). При этом принимаются следующие допущения: изменение динамических параметров летательного аппарата (кусочно-постоянных коэффициентов ОДУ) из-за изменений в ходе полета запасов топлива происходит в точках разрыва траектории полета; точка сброса груза является опорной точкой маршрута, которая может находиться на любом кусочно-постоянном отрезке или полуинтервале траектории полета БЛА, за исключением первого отрезка; параметры модели летательного аппарата в опорной точке маршрута задаются дифференциальным оператором [7]; совпадение точки сброса груза и точки разрыва траектории в общем случае не обязательно. Результатом планирование траектории движения вертолета является траектория движения летательного аппарата, состоящая из q непрерывных функций , проходящих через q точек разрыва и опорную точку маршрута . АНАЛИТИКО-ЧИСЛОВОЙ МАТРИЧНЫЙ АЛГОРИТМ ПЛАНИРОВАНИЯ ТРАЕКТОРИИ ДВИЖЕНИЯ БЛА 1. По имеющейся приближенной математической модели вертолета, представленной в виде приведенного однородного обыкновенного дифференциального уравнения n-го порядка с кусочно-постоянными коэффициентами вида где n - порядок математической модели летательного аппарата, строят характеристических полиномов вида , где - кусочно-постоянные коэффициенты,; - независимая переменная (параметр интегрального преобразования Лапласа), - количество точек разрыва траектории, в которых происходит изменение исходных данных о динамических параметрах летательного аппарата (кусочно-постоянных коэффициентов). Полином соответствует первому - начальному кусочно-постоянному отрезку траектории, расположенному между точками , где - относительное время начала полета; - относительное время первого изменения исходных данных о динамических параметрах летательного аппарата, вызванных изменением запаса топлива. Полином соответствует последнему кусочно-постоянному полуинтервалу траектории, расположенному правее точки , где - относительное время последнего изменения исходных данных о динамических параметрах летательного аппарата, вызванных изменением запаса топлива и/или массы полезной нагрузки. На каждом из отрезков и последнем полуинтервале траектории кусочно-постоянные коэффициенты принимают неизменными, т.е. изменение запасов топлива и массы полезной нагрузки не оказывают принципиального влияния на динамические параметры летательного аппарата. Изменение кусочно-постоянных коэффициентов происходит только в точках разрыва траектории , причем в этих точках изменяет свое значение хотя бы один из коэффициентов дифференциального уравнения, соответствующего математической модели летательного аппарата. 2. Переменной присваивают порядковый номер отрезка (полуинтервала) в пределах которого находится опорная точка маршрута (точка сброса груза). Если опорная точка маршрута совпадает с точкой разрыва траектории , то переменной присваивают порядковый номер отрезка . 3. Аналитическими методами вычисляют различные корни характеристического полинома , соответствующего математической модели летательного аппарата на -ом кусочно-постоянном отрезке траектории полета летательного аппарата и их кратности , где - -й корень полинома; - кратность i-го корня полинома; - количество различных корней полинома [8]. 4. Для частного случая простых корней -го характеристического полинома () формируют матрицу-строку , где - -я базисная функция, соответствующая корню . Для случая кратных корней полинома () матрицу строят в порядке следования корней и возрастания номера корневой модификации базисной функции [4, 5]: , где . Т.е.: , где ; . 5. Находят маршрутную матрицу [4, 5], подстановкой левой границы отрезка/полуинтервала , где расположена опорная точка маршрута , в матрицу , где . 6. Строят вспомогательную матрицу , в которой элементы первой строки есть элементы матрицы , а значения остальных элементов зависят от кратности корней-го характеристического полинома. Для случая простых корней () элементы матрицы вычисляют по формуле . Тогда матрица принимает вид . В случае наличия хотя бы одного кратного корня, каждому корню с кратностью ставят в соответствие корневой блок размерностью . Всю матрицу строят путем припасовывания корневых блоков слева направо в порядке следования корней. Строение первого столбца блока в точности повторяет случай простого корня. Остальные элементы блока вычисляют по рекуррентной формуле где - номер корневого блока, соответствующего корню с кратностью ; - порядковый номер столбца матрицы , соответствующий первому столбцу -го корневого блока. 7. Подстановкой значения опорной точки маршрута в матрицу находят ее начальную (опорную) модификацию . 8. По параметрам модели летательного аппарата в опорной точке маршрута, заданным дифференциальными операторами вида формируют матриц-строк значений коэффициентов полиномов начальных условий, где элементы матриц вычисляют по формуле , где - порядковый номер дифференциального оператора. 9. Определяют матрицу-столбец координат в опорных точках траектории на плоскости [4, 5] , где - матрица, строки которой вычисляют по формуле ; - матрица-столбец значений дифференциальных операторов в опорной точке маршрута . 10. Находят матрицу коэффициентов разложения функции на простейшие дроби в форме Быстрова-Тетерина [9], в которой элементы первой строки есть элементы первого столбца матрицы опорных начальных условий , а значения остальных элементов зависят от кратности корней-го характеристического полинома. Для случая простых корней () элементы матрицы вычисляют по формуле . Тогда матрица принимает вид . В случае наличия хотя бы одного кратного корня, каждому корню с кратностью ставят в соответствие корневой блок размерностью . Всю матрицу строят путем припасовывания корневых блоков слева направо в порядке следования корней. Строение первого столбца блока в точности повторяет случай простого корня. Остальные элементы блока вычисляют по рекуррентной формуле , где - номер корневого блока, соответствующего корню с кратностью ; - порядковый номер столбца матрицы , соответствующий последнему столбцу -го корневого блока. 11. Матрицы и записывают в память вычислительных средств бортовой системы управления летательного аппарата, тем самым выполняют формирование в памяти бортовой системы управления летательного аппарата исходных данных о динамических параметрах летательного аппарата и опорной точке маршрута. 12. Средствами бортовой системы управления осуществляют глобальное планирование программной траектории движения летательного аппарата для каждого кусочно-постоянного отрезка (полуинтервала) траектории по матричной формуле , , с подстановкой в результат , где - функция от времени, описывающая траекторию движения летательного аппарата на j-м кусочно-постоянном отрезке (полуинтервале) траектории; - аналитическая матричная экспонента от матрицы в форме Фробениуса , соответствующей j-му кусочно-постоянному отрезку (полуинтервалу) траектории; … - значения коэффициентов j-го однородного линейного дифференциального уравнения, соответствующего математической модели летательного аппарата на j-м кусочно-постоянном отрезке (полуинтервале) траектории; - матрица начальных условий к j-му однородному линейному дифференциальному уравнению, соответствующему математической модели летательного аппарата на j-м кусочно-постоянном отрезке (полуинтервале) траектории, причем ; - численная матричная экспонента от скалярного произведения матрицы в форме Фробениуса , соответствующей j-му кусочно-постоянному отрезку (полуинтервалу) траектории, на длину соответствующего кусочно-постоянного отрезка траектории ; - численная матричная экспонента от скалярного произведения матрицы в форме Фробениуса на значение левой границы отрезка (полуинтервала), в котором задана опорная точка маршрута, взятое с обратным знаком; - моменты времени полета летательного аппарата - точек разрыва траектории, в которых происходит изменение исходных данных о динамических параметрах летательного аппарата. 13. Функции записывают в память вычислительных средств бортовой системы управления летательного аппарата, они являются результатом предполетного - глобального планирования траектории движения летательного аппарата. После начала движения летательного аппарата по программной траектории движения средствами бортовой системы управления летательного аппарата при помощи метода пропорционального сближения осуществляют отслеживание в каждый рассматриваемый текущий момент времени положения и компенсацию с приемлемой точностью ухода центра масс летательного аппарата относительно j-й программной траектории движения при соблюдении условий достижения минимальной методической ошибки управления и исключения «срыва» летательного аппарата с программной траектории. Новизна аналитико-числового метода планирования траектории: в учете динамических характеристик БЛА кусочно-переменной массы для случая, когда точка сброса груза является опорной точкой маршрута, которая может находиться на любом кусочно-постоянном отрезке или полуинтервале траектории полета БЛА, за исключением первого отрезка; матричной формализации процедуры построения траектории; введении в рассмотрении нового типа матриц - матрицы коэффициентов разложения функции на простейшие дроби в форме Быстрова-Тетерина. Метод не содержит методической погрешности, допускает параллельное выполнение операций с матрицами средствами бортовых вычислителей. ВЫВОДЫ И РЕКОМЕНДАЦИИ Разработанные аналитико-числовой метод позволяет средствами бортовых средств баллистико-навигационного обеспечения планировать траекторию движения БЛА одновременно для всех опорных точек маршрута, точки сброса груза и точек разрыва траектории с учетом уменьшения запасов топлива и массы полезной нагрузки. Однако данные методы не позволяют выполнять локальное планирование движения БЛА по маршруту при внезапном воздействии на летательный аппарат факторов внешней среды, что является предметом дальнейших исследований [10-12]. Рис. 1. Беспилотный летательный аппарат вертолетного типа взлетной массой до 500 кг

About the authors

Inna Aleksandrovna Batraeva

Saratov State University

Email: batraevaia@info.sgu.ru
Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Acting Head at the Programming Technology Department. Saratov State University

Dmitry Pavlovich Teterin

«Aviaavtomatika» named after V. Tarasov JSC

Email: tdp@aviaavtomatika.ru
Doctor of Technical Sciences, First Deputy General Director, «Aviaavtomatika» named after V. Tarasov» Joint-Stock Company

References

Supplementary files