AUTONOMOUS GUIDANCE AND ATTITUDE CONTROL OF A SPACECRAFT IN TRACKING MODE

Abstract

A new method of autonomous guidance and digital control of the spacecraft orientation in the mode of tracking changes in the vector of modified Rodrigue parameters is presented. Numerical results on the efficiency of the developed algorithms used for information satellites and space robots are represented.

Full Text

ВВЕДЕНИЕ Проблемы динамического синтеза и нелинейного анализа систем управления ориентацией (СУО) космических аппаратов (КА) остаются актуальными для его пространственного углового движения. В статье основное внимание фокусируется на нелинейностях кинематических соотношений при управлении пространственным угловым движением КА с ограничениями на модули векторов угловой скорости и управляющего момента. Управление ориентацией КА выполняется магнитным приводом (МП) и кластером четырех реактивных двигателей-маховиков (ДМ) по сигналам бесплатформенной инерциальной навигационной системы (БИНС) с коррекцией от спутников GPS/ГЛОНАСС и звездных датчиков, а также сигналам гироскопических датчиков угловой скорости (ДУС). После отделения от ракеты-носителя КА начинает кувыркаться - вращаться с вектором угловой скорости изменяемого направления в базисе , связанного с его корпусом. Выделяются начальные режимы ориентации [1]: (i) успокоение КА в инерциальном базисе помощью управления МП; (ii) включение кластера ДМ в контур управления КА с разгрузкой этого кластера от накопленного кинетического момента (КМ) с помощью магнитного привода; (iii) угловое наведение и управление КА с приведением ориентации спутника к заданной в орбитальном базисе . В наших последних публикациях [2] - [6] при решении задачи (iii) применялся закон углового наведения в виде набора векторных сплайнов в зависимости от времени. В отличие от такого подхода, здесь первые решается задача автономного углового наведения КА при слежении за эталонной моделью по доступным измерениям и цифрового управления кластером двигателей-маховиков с автоматическим приведением ориентации спутника к заданной в орбитальном базисе. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ Минимально-избыточная схема General Electric (GE), рис. 1, обладает возможностью управлять ориентацией КА при отказе любого одного маховика. Здесь в базисе (системе координат ) оси вращения четырёх ДМ располагаются на поверхности конуса с углом полу-раствора . Далее используются стандартные обозначения , , , , и для векторов, матриц и кватернионов, , , и применяется вектор модифицированных параметров Родрига (МПР) с традиционными обозначениями орта Эйлера и угла собственного поворота. Вектор взаимно-однозначно связан с кватернионом , ориентации КА в инерциальном базисе прямыми и обратными , аналитическими соотношениями. Модель углового движения КА учитывает упругость его конструкции и имеет вид ; , (1) ; ; ; ; . Здесь является вектором КМ электромеханической системы, где H и , столбцы H, и , , представляют КМ кластера и отдельных ДМ, которые связаны соотношением H , где матрица составлена из ортов осей ДМ в базисе ; вектор механического момента МП [7], где вектор электромагнитного момента (ЭММ) с ограниченными компонентами и вектор индукции магнитного поля Земли с ортом определены базисе ; векторы-столбцы и представляют управляющие моменты и моменты сил сухого трения по осям вращения ДМ, а вектор - внешние возмущающие моменты. Ресурсы каждого ДМ по управляющему и кинетическому моментам ограничены, , . Вектор управляющего момента кластера ДМ формируется в виде H, где - символ локальной производной по времени. Если корпус КА считать твердым телом, то и модель динамики его углового движения принимает вид . (2) Пусть измерение кватерниона ориентации КА выполняется с периодом , где и кватернион представляет центрированный гауссовский шум, , , а измерение угловых скоростей вращения ДМ - в моменты времени с периодом , , . Будем считать, что в моменты времени с периодом , , измеряется вектор угловой скорости корпуса КА и формируется цифровое управление ДМ, а в моменты с периодом , , измеряется вектор индукции магнитного поля Земли и формируется цифровое управление МП, когда значения компонентов вектора ЭММ фиксируются . ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ Будем считать, что электромеханическая СУО при модели КА в виде твердого тела при отсутствии внешних возмущений ( в модели (2)) является сбалансированной по вектору суммарного кинетического момента, что соответствует тождеству . Тогда пространственное угловое движение КА описывается уравнениями (3) Пусть для формирования управления применяются измерения кватерниона , которые используются для вычисления вектора МПР , и вектора угловой скорости . Кинематическому уравнению в (3) соответствует соотношение для вектора МПР , поэтому при векторе управляющего углового ускорения модель (3) представляется в нормированной непрерывной векторной форме ; (4) с заданными начальными условиями , при , где при обозначении вектор является произвольным с условием . Как известно, кватернион задает вращение КА на угол вокруг орта Эйлера , которое полностью совпадает с вращением этого объекта на угол вокруг орта Эйлера , т.е. значения и совпадают. Следовательно, при возникает проблема двузначности кватерниона и требуется конкретизировать его значение вместе с направлением орта Эйлера. Для вектора МПР такая проблема не проявляется . Поэтому мы детально изучаем эталонную модель автономного пространственного наведения с вектором МПР , вектором угловой скорости и вектором ускорения , который формально считается управлением. Будем считать, что вектор такого управления ограничен по модулю , , а вектор ограничен по модулю , , естественно Первая задача состоит в синтезе векторного нелинейного закона цифрового управления (5) для эталонной модели автономного наведения (4) в моменты времени , с периодом дискретности и ограниченными модулями векторов управления и угловой скорости, который обеспечивает асимптотическую устойчивость тривиального решения замкнутой нелинейной непрерывно-дискретной системы (4), (5) с выполнением условия , . (6) Вторая задача заключается в синтезе цифрового закона управления кластером ДМ, который обеспечивает переход КА из произвольной ориентации в малую окрестность его требуемого углового положения относительно желаемого углового движения КА в заданный момент времени. При этом система векторных соотношений (4), (5) применяется как эталонная модель автономного углового наведения КА по доступным измерениям. Наконец, третья задача состоит в синтезе экономичного цифрового управления КА в режимах начальной ориентации, когда практически используется автономное угловое наведение КА по доступным измерениям в замкнутом контуре управления. ЭТАЛОННАЯ МОДЕЛЬ НАВЕДЕНИЯ При использовании диадного произведения 3-мерных векторов и , которое представляется как , кинематическое уравнение в (4) принимает вид (7) с обратным векторно-матричным соотношением . (8) Вторая производная вектора МПР получается дифференцированием (7) по времени, что приводит к выражению В итоге модель (4) сводится к нелинейной управляемой системе в форме Бруновского , (9) где векторная функция представляется в виде . В соответствии с методом линеаризующей обратной связи сначала выполняется синтез закона вспомогательного управления для линейной системы . При модальном синтезе на едином желаемом спектре по каждому замкнутому каналу ориентации КА получается непрерывный закон управления , который при обеспечении требуемой асимптотической устойчивости (6) тривиального решения , представляется в дискретном виде . (10) Здесь при заданном времени регулирования коэффициенты и вычисляются по явным аналитическим соотношениям которые справедливы . Отметим, что вычислении коэффициента со значением получается функция мнимого аргумента, которая автоматически превращается в гиперболический косинус . В этом случае желаемый спектр принимает значение , где и . Предварительный непрерывный закон управления определяется в явном аналитическом виде, а его дискретная форма представляется соотношением (11) При окончательном формировании цифрового управления в очередной момент времени учитываются ограничения на модуль вектора управления () и модуль вектора угловой скорости () по следующему простому алгоритму: 1) по значению цифрового управления (11) в момент времени вычисляется прогнозное значение вектора угловой скорости , достигаемое в конце интервала времени длительностью , и если , то управление переопределяется как ; 2) далее, если , то формируется управление , иначе . На рис. 2 представлены переходные процессы для компонентов векторов , и , а также для модулей векторов и (черный цвет), при начальных условиях параметрах , цифрового закона управления (11) с периодом 0,25 с и ограничениях град/c, 0,15 град/с2. АЛГОРИТМЫ АВТОНОМНОГО НАВЕДЕНИЯ И УПРАВЛЕНИЯ Задачи наведения информационных спутников обычно формулируются в геодезическом базисе, связанном с вращающейся Землей. При этом законы автономного наведения основываются на аналитических соотношениях, связывающих координаты состояния спутника с измеряемыми координатами объектов информационного обслуживания. При автономном наведении космических роботов применяются измеряемые координаты подвижной цели. Рассмотрим простейшую задачу, которая состоит в синтезе закона автономного углового наведении КА при его переходе из произвольной ориентации в орбитальную. Ориентация орбитального базиса (системы координат ) в инерциальном базисе определяется матрицей и кватернионом . В свою очередь, угловое положение базиса относительно базиса представляется углами крена , рыскания и тангажа в последовательности поворотов 312 и кватернионом невязки с вектором , которому соответствуют вектор параметров Эйлера , матрица , где , вектор МПР и вектор-столбец погрешности ориентации . Вектор невязки по угловой скорости вычисляется по соотношению , где является вектором абсолютной угловой скорости базиса . Применяемая стратегия автономного углового наведения КА содержит два этапа: 1) угловое наведение КА при его переходе из произвольной ориентации в малую окрестность его требуемого углового положения в инерциальном базисе, когда используется эталонная модель автономного углового наведения (11) с учетом ограничений по дискретным измерениям в базисе кватерниона ориентации и вектора угловой скорости космического аппарата; 2) автономное угловое наведение КА в малой окрестности движения орбитального базиса на основе требования для кватерниона навязки с единичным кватернионом по измерениям как кватерниона ориентации базиса , так и кватерниона ориентации базиса , в инерциальном базисе . В процессе обработки в БИНС сигналов навигационных спутников GPS/ГЛОНАСС на борту КА формируются значения векторов расположения и скорости поступательного движения его центра масс в инерциальном базисе . При определении орта радиали и орта положение ортов нормали и трансверсали в произвольной точке орбиты вычисляется по алгоритму , , а орты , и орбитального базиса назначаются в виде , и . Ортогональная матрица , ориентации базиса в базисе формируется как , соответствующий кватернион вычисляется по явным соотношениям , при этом для исключения неопределенности типа в процессе вычисления при значении используется известный алгоритм С. Стенли. С другой стороны, подсистема определения ориентации в составе БИНС выполняет измерение фактической ориентации связанного базиса в инерциальном базисе , результат измерения отражается кватернионом . Задача синтеза законов автономного углового наведения и управления ориентацией КА заключается в создании эталонной модели с ограниченными модулями векторов скорости и ускорения для совмещения базиса , имеющего произвольное начальное положение при кватернионе , с базисом по значениям кватернионов и о и вектора угловой скорости корпуса КА, а также векторов угловой скорости о и углового ускорения базиса для совмещения базиса при его движения в малой окрестности орбитального базиса. Рис. 2 демонстрирует, что при ограничениях град/c, 0,15 град/с2 совмещение произвольного положения базиса с инерциальным базисом гарантированно завершается за время с. Очевидно, что малой длительности совмещения фактическую орбиту КА с периодом ч можно аппроксимировать керлеровой орбитой в центральном гравитационном поле Земли. При общепринятых обозначениях такую орбиту описывают шесть кеплеровых элементов - долгота восходящего узла и наклонение орбиты; фокальный параметр , эксцентриситет и широта перицентра орбиты, а также момент времени , при котором радиус-вектор центра масс КА направлен на перицентр. Текущее положение КА в момент времени определяется в угловой мере истинной аномалией , которая отсчитывается от перицентра в направлении его движения, при этом вектор угловой скорости и вектор углового ускорения орбитального движения центра масс КА. По измеренным БИНС в момент времени значениям векторов расположения и скорости поступательного движения центра масс КА (шесть координат состояния) на его борту по явным аналитическим соотношениям [8] вычисляются сначала значения кватерниона , шести кеплеровых элементов орбиты и вектора угловой скорости , а затем прогнозируемые значения постоянного кватерниона и вектора угловой скорости в базисе для момента времени . Кватернион ориентации базиса относительно инерциального базиса представим в виде , где кватернион соответствует вектору МПР эталонной модели наведения с векторами угловой скорости и углового ускорения . Цифровой закон управления в такой эталонной модели наведения формируется согласно (11) по измеренным значением , и далее вычисленным значениям с учетом ограничений на модули векторов скорости и ускорения . При этом вектор управляющего момента КА с применением эталонной модели автономного углового наведения формируется в виде , (12) где При малой невязке углового положения базиса относительно базиса выполняется фильтрация значений вектора углового рассогласования , с периодом и формируются векторы , , которые используются в законе управления кластером ДМ (13) с периодом , где и при обозначениях элементы диагональных матриц , и вычисляются в виде с настраиваемыми параметрами , , а также в диагональной матрицы . УПРАВЛЕНИЕ КЛАСТЕРОМ ДВИГАТЕЛЕЙ-МАХОВИКОВ В задаче идентификации момента сил сухого трения по осям вращения ДМ для простоты рассмотрим только один ДМ, при этом индекс не используется. Простейшая модель движения ДМ представляется в нормированном виде , где управляющее ускорение , ускорение отражает влияние момента сил сухого трения и при моменте инерции ДМ параметр . В предположении для получения оценки значения применяется дискретный идентификатор Луенбергера с периодом , где постоянные параметры и определяются по явным аналитическим соотношениям. Дискретная оценка момента сил сухого трения получается в виде . Компенсационная схема разгрузки кластера ДМ основана на следующих положениях. Вычисляются модуль и орт вектора потребного импульса механического момента МП в базисе , назначается его вариация на периоде цифрового управления МП и рассчитывается постоянная команда компенсации импульса механического момента МП, которая с периодом цифрового управления поступает на кластер ДМ. Здесь в моменты времени , вычисляется орт и определяется взаимная ориентация ортов и в базисе ; если , то на очередном периоде дискретности МП не включается, иначе вычисляются вектор потребного электромагнитного момента МП на очередном шаге цифрового управления МП с периодом . Для кластера четырех ДМ принципиальная проблема заключается в распределении векторов его кинетического H и управляющего Mr=-H* моментов при избыточном числе двигателей-маховиков. При некоторых упрощениях эта проблема состоит в одновременном решении двух уравнений Используемый подход к разрешению этих уравнений основан на применении скалярной функции автоматической настройки кластера, которая позволяет однозначно распределять векторы H и Mr=-H* между четырьмя ДМ по явным аналитическим соотношениям [12, 13]. Введем нормированный вектор КМ кластера , где , , ; , , . Распределение этого вектора между четырьмя ДМ выполняется по закону , где ; , , , на основе соотношений (ii) распределение КМ между ДМ в каждой паре по очевидным формулам; (iii) вычисление столбца по явной формуле (14) с параметрами и компонентами строки в виде ; с явным учетом команды для компенсации влияния моментов магнитного привода при разгрузке кластера ДМ. В завершении формирования цифрового управления ДМ выполняется переопределение , где является столбцом, составленным из текущих оценок моментов сил сухого трения по осям вращения ДМ УПРАВЛЕНИЕ ОРИЕНТАЦИЕЙ КА В НАЧАЛЬНЫХ РЕЖИМАХ В классе локально-оптимальных непрерывных законов успокоения КА в ИСК с помощью внешнего управляющего момента наиболее популярны закон управления с минимальным принуждением [9] и закон управления, оптимальный по быстродействию [10, 11]. При моделировании КА в виде свободного твердого тела (, , ) из (2) следует модель динамики вращательного перемещения спутника , (15) где приняты обозначения и . Пусть в момент времени известен вектор произвольного направления с модулем при заданном значении . Тогда при известном тензоре инерции корпуса КА в этот момент времени становится известным значение вектора КМ с модулем . Задача успокоения вращательного движения КА состоит в разработке закона управления , который начиная с момента времени обеспечивает выполнение условия , где скалярная константа определяет размер множества . Для определения структуры вектора непрерывного управляющего момента из условия минимума принуждения введем функцию Ляпунова и вычислим ее производную в силу (15) как . При выборе закона управления с ортом и постоянным параметром получается дифференциальное уравнение с решением , где и . Отсюда следуют соотношения для оценки изменения во времени модуля вектора КМ , вектора КМ и вектора управляющего момента . При выборе закона непрерывного управления в виде , ограниченного по модулю постоянным параметром , имеем и в результате получается соотношение . Этот закон является оптимальным по быстродействию. При цифровом управлении магнитным приводом будем считать, что в моменты времени вектор индукции магнитного поля Земли измеряется магнетометром. При формировании команды для вектора механического момента МП на каждом полуинтервале времени с заданным периодом сначала определяется вектор потребной вариации импульса (pulse) управляющего момента Этот вектор представляется в виде и для энергетической экономичности МП назначается вектор с условием . Вектор потребной вариации импульса управляющего момента МП с модулем и ортом далее используется для формирования цифрового управления ЭММ МП с периодом . При этом определяется взаимная ориентация ортов и , если , то на текущем периоде дискретности МП не включается, иначе формируется вектор ЭММ с ограниченными компонентами . Как отмечено выше, аналогичный алгоритм цифрового управления МП применяется для автоматической разгрузки кластера ДМ от вектора накопленного кинетического момента. Режим успокоения (остановки вращения) КА начинается в момент времени с вектором произвольного направления при его модуле и заканчивается в момент времени при произвольных значениях кватерниона и вектора угловой скорости с заданной константой . Далее на борту КА выполняются прогноз значений кватерниона и вектора угловой скорости для момента времени и вычисление коэффициентов и цифрового закона управления (11) эталонной модели автономного наведения с учетом кватерниона и ограничений на модули векторов угловой скорости и углового ускорения в этой модели. Приведение углового положения КА к орбитальной ориентации выполняется в два этапа: 1) в момент времени включается кластер ДМ и требуемое изменение ориентации КА реализуется вектором управляющего момента кластера ДМ (12) с использованием дискретных значений вектора эталонной модели автономного углового наведения с распределением вектора между четырьмя ДМ по соотношению (14) с учетом ограниченности модуля каждого ДМ по управляющему и кинетическому , моментам; здесь является моментом времени, когда выполняется двойное условие (16) с заданным малым углом вектора МПР ; 2) в момент времени работа эталонной модели автономного углового наведения прекращается и включается закон управления кластером ДМ (13) с распределением вектора между четырьмя ДМ (14), также с учетом ограниченности модуля каждого ДМ по управляющему и кинетическому моментам. КОМПЬЮТЕРНАЯ ИМИТАЦИЯ Рассматривается КА с массой 1000 кг, который выведен на солнечно-синхронную орбиту высотой 720 км и долготой восходящего узла 30 град. При раскрытых панелях солнечных батарей (СБ) его тензор инерции кг м2, а в модели (1) значения парциальных частот первого тона и декремента упругих колебаний каждой панели СБ таковы: р/c (частота Гц) и . Будем считать, что применяемый магнитный привод имеет ограничение 1m = 150 Am2 на компоненты вектора ЭММ и период цифрового управления с. Пусть процесс успокоения КА начинается в момент времени , когда вектор при град/с и модуле град/с, и считается завершенным в момент времени при значении вектора угловой скорости с константой град/c. На рис. 3. представлены изменения компонентов (синим цветом по крену, зеленым по рысканью и красным по тангажу) и модуля (черный цвет) вектора угловой скорости при выполнении всех режимов начальной ориентации КА на полном интервале с компьютерной имитации. Успокоение КА с помощью МП (см. рис. 3) реализуется на полуинтервале времени с, где выбором параметра достигается сначала цифровое управление МП по типу «максимального быстродействия», а затем следует автоматический переход к цифровому управлению МП по типу «минимального принуждения». На рис. 4 и 5 ясно видно, что значения компонентов вектора ЭММ фиксируются с периодом , но компоненты и модуль вектора механического момента магнитного привода изменяются из-за пространственного вращения КА с упругими панелями СБ. В момент времени с кватернион ориентации КА и вектор его угловой скорости в инерциальном базисе принимают значения На основе этих данных по представленным выше соотношениям рассчитаны прогнозируемые значения постоянного кватерниона и вектора угловой скорости для момента времени при значении с. Далее была синтезирована эталонная модель автономного углового наведения КА с вектором МПР , соответствующем кватерниону , векторами угловой скорости и углового ускорения с параметрами , и ограничениями град/с и град/с2. При с угол 178.97 град. Цифровой закон управления в такой эталонной модели наведения формировался по соотношению (11) с учетом ограничений, а вектор управляющего момента КА - в виде (12). Параметры ограничений каждого ДМ по управляющему и кинетическому моментам Нм и 20 Нмс, период цифрового управления кластером ДМ 0.25 с, настраиваемые параметры в законе цифрового управления (13) 30 с, с и . Момент времени переключения закона цифрового управления кластером ДМ формировался по логическому условию (16) с параметрами 10 град и град/с. На рис. 6 представлен процесс изменения угла на интервале времени , где в момент времени с выполняется переход КА в режим угловой стабилизации в орбитальном базисе , который имитируется вплоть до момента времени с. На рис. 7 - 10 приведены соответствующие изменения угловой скорости, углов ориентации базиса относительно орбитального базиса , а также управляющих и кинетических моментов четырех двигателей-маховиков. Рис. 11 представляет угловые погрешности стабилизации КА в орбитальном базисе, а рис. 12 и 13 - управляющие моменты всех четырех ДМ и погрешности стабилизации КА по угловой скорости в этом режиме. ЗАКЛЮЧЕНИЕ Представлен новый метод автономного углового наведения космического аппарата при его произвольной начальной ориентации, где применяется режим слежения за эталонной кинематической моделью для вектора модифицированных параметров Родрига. Приведены результаты синтеза цифрового управления космического аппарата в режимах начальной ориентации при использовании предложенного метода автономного углового наведения КА по доступным измерениям. Рис. 1. Схема GE (a) и оболочка ее КМ (b) Рис. 2. Изменение векторов и при цифровом управлении в эталонной модели наведения Рис. 3. Изменение вектора угловой скорости КА во всех режимах начальной ориентации Рис. 4. Изменение вектора электромагнитного момента МП при успокоении КА Рис. 5. Изменение вектора механического момента МП при успокоении КА Рис. 6. Изменение угла эталонной модели наведения Рис. 7. Изменение угловой скорости КА Рис. 8. Изменение углов ориентации базиса относительно орбитального базиса Рис. 9. Изменение управляющих моментов четырех двигателей-маховиков Рис. 10. Изменение кинетических моментов четырех двигателей-маховиков Рис. 11. Угловые погрешности стабилизации КА в орбитальном базисе Рис. 12. Моменты четырех двигателей-маховиков при орбитальной стабилизации КА Рис. 13. Погрешности орбитальной стабилизации КА по угловой скорости