CONSTRUCTION OF A REGRESSION MODEL OF THERMAL RESISTANCE OF A CONTACT PSEUDO MEDIUM

Full Text

ВВЕДЕНИЕ Значительная доля тепловой погрешности от общей погрешности изготовления при металлообработке (40…70%) требует постоянного совершенствования методик, позволяющих учесть этот фактор при проектировании металлорежущих станков. Опыт эксплуатации металлорежущих станков позволил выработать обоснованные рекомендации допустимых предельных значений температуры для основных подсистем станка, определяющих точность обработки. Однако, снижение серийности выпускаемого металлорежущего оборудования и постоянное совершенствование его конструкций требуют разработки моделей, являющихся основой инженерных методик, позволяющих на этапе проектирования прогнозировать тепловую картину основных узлов станка, влияющих на точность обработки. Моделирование протекания тепловых потоков в конструкции металлорежущего стана затруднено в связи с большим количеством источников тепла (электродвигатели, подшипники качения, зона резания, зубчатые и ременные передачи, гидравлическая система и т.д.) и большим числом деталей, входящих в их конструкцию. Последнее обстоятельство вызывает необходимость учета в тепловой модели прохождения тепловых потоков от источников не только через сплошные детали, но, в значительной степени через контакты деталей между собой [1, 2]. Прохождение теплового потока через реальные контактирующие поверхности деталей сильно отличается от его движения через идеальный стык, когда тепловой поток практически не встречает значительного сопротивления на своем пути. В реальных стыках за счет наличия макроотклонений, волнистости и шероховатости, которые зависят от структуры и характера технологической обработки, нарушается сплошной контакт по соединению. Это приводит к возникновению контактного термического сопротивления (КТС), которое необходимо учитывать в используемых тепловых моделях. Таким образом, необходимость обоснованно управлять тепловыми потоками в особо точных узлах металлорежущих станков за счет конструкторских и технологических мероприятий делают задачу формирования КТС весьма актуальной. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ПСЕВДОСРЕДЫ ДЛЯ МОДЕЛИРОВАНИЯ КТС Моделирование распространения тепловых потоков в узлах МРС с использованием крупноблочных конечных элементов [1] с учетом на их границах контактного термического сопротивления (КТС) дает возможность существенно упростить составление модели, что особенно важно на этапе проектирования и анализа различных вариантов конструкции узла. Кроме того, такая модель позволяет оценить наряду с вариантами конструкции, связанными в первую очередь с формой и размерами неподвижных соединений, влияние требований качества контактирующих поверхностей, определяемых отклонениями сопрягаемых поверхностей от идеальной формы. Проведенные ранее исследования рядом авторов [3...10] показали, что условия контактирования весьма существенно сказываются на прохождении теплового потока в конструкциях станков. При исследовании сложных процессов, как правило, приходится сталкиваться с действием большого числа факторов. Так, например, в работе [3] приводятся зависимости термического сопротивления контакта, учитывающие среднее квадратическое отклонение профиля; твердость (микротвердость) поверхности; средний тангенс угла наклона шероховатости; максимальный радиус закругления вершин выступов; параметр, характеризующий степень механической нагруженности неровностей контакта. Значительное число действующих факторов и различие степени влияния и весомости их действия приводят к выводу, что для их всестороннего учета в тепловой модели в соединении деталей следует расположить псевдослой (псевдосреду), обладающий радом характеристик. Поскольку современная теория контактирования поверхностей базируется на положении, что наличие шероховатости, волнистости и макроотклонений приводит к дискретности их взаимодействия, то псевдосреда, должна представлять слой, состоящий из площадок фактического контакта и полостей, заполненных воздухом или маслом. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЗНАЧИМЫХ ФАКТОРОВ ПРИ МОДЕЛИРОВАНИИ КТС И ДИАПАЗОНОВ ИХ ВАРЬИРОВАНИЯ Был проведен ряд однофакторных экспериментов, позволивших выделить существенные факторы, влияющие на контактное термическое сопротивление. Без выполнения этой процедуры общепринятые методики (например, регрессионный анализ) при большом числе факторов становятся неприемлемыми, так как требуют большого числа экспериментов. Однофакторные эксперименты по оценке характеристик псевдосреды на контактное термическое сопротивление проводились на конечноэлементной модели контактирования двух квадратных пластин (0,02 м х 0,02 м) толщиной 1 мм (рис. 1), в зоне контакта которых располагается псевдосреда. Материал пластин - сталь (коэффициент теплопроводности 50 Вт/(м·К)). Мощность каждого из пяти источников тепловыделения - 20 Вт/м.Граничные условия по ребрам модели принимались следующими: конвекция по боковым ребрам и по верхнему ребру равнялась нулю ( и ), а по нижнему ребру 50 Вт/К·м2 и К. Рис. 1. Модель контактирования двух пластин Численные эксперименты с разработанной конечноэлементной моделью проводилось с использованием пакета ELCUT [11...15]. Дискретный характер взаимодействия поверхностей в зоне контакта позволяет выделить номинальную , контурную и фактическую площади контакта. Для определения фактической площади в работе [16] получена зависимость , (1) где - номинальное давление; - действующая нагрузка. В зависимости от точности расчетов для коэффициента можно принимать , (2) где - предел текучести. Толщина псевдосреды в случае упругого контакта поверхностей с одинаковыми физико-механическими свойствами и шероховатостью определяется зависимостью [16]: . (3) Для методов обработки поверхностей со снятием стружки толщина псевдослоя может быть определена как [16, 17] , (4) где - высота сглаживания (расстояние от линии выступов до средней линии); и - параметры шероховатости. Проведенные численные однофакторные эксперименты показали, что с уменьшением толщины псевдосреды и увеличением ее коэффициента теплопроводности перепад температуры в контакте уменьшается, соответственно уменьшается и контактное термическое сопротивление. Однако, как показал анализ применяемых материалов для изготовления шпиндельных узлов (табл. 1), коэффициенты теплопроводности варьируются незначительно, и могут быть исключены из числа параметров регрессионной модели. Поэтому в дальнейшем при проведении полного факторного эксперимента (ПФЭ) коэффициент теплопроводности принимался равным 50 Вт/(м×К). Установлено, что с уменьшением отклонения от плоскостности, когда протяженность зоны фактического контакта (ЗФК) увеличивается, перепад температуры в контакте уменьшается. Сравнение результатов влияния на КТС макроотклонений, когда создается сосредоточенная ЗФК, и волнистости, когда имеет место распределенная ЗФК той же суммарной площади, показало более существенную роль макроотклонений. Причем значение зависит от положения ЗФК в соединении (рис. 2 ), существенно возрастая от варианта а) (при осесимметричном расположении зоны ЗФК) до варианта в) (смешения ЗФК к границе соединения) (табл. 2). Таким образом, на основании проведенных однофакторных экспериментов были отобраны четыре существенных фактора, формирующих характеристики псевдосреды: - значение толщины псевдосреды, определяемое параметром шероховатости Ra (выражение (4)); - номинальное давление в контакте , определяющее площадь ЗФК; - предел текучести контактирующего материала , который также будет влиять на площадь ЗФК; - параметр (рис. 2), определяющий расположение ЗФК. Для проведения полного факторного численного эксперимента были определены уровни варьирования выбранных факторов. Варьирование толщины псевдосреды можно определить, воспользовавшись данными работ [18] и пункта 2.1 «Посадочные поверхности под подшипники» ГОСТ 3325-85 для подшипников с наружным диаметром до 250 мм и классами точности 2,4,5,6. При этом учитывались как расточки в корпусах, так и опорные торцы заплечиков валов и корпусов. С учетом указанных условий h = (1...7).10-6 м. Возможные изменения номинального давления будут определяться предельными усилиями, прикладываемыми к соединениям деталей ШУ, и площадями опорных поясков крышек, торцов наружных колец подшипников или проставочных (дистанционных) втулок. Ограничиваясь наружными диаметрами подшипников 40...220 мм, и используя рекомендации РД 37.001.131-89 по размерам и количеству крепежных элементов и крутящим моментам, прикладываемым к ним, найдем, что усилия и давления на стыке крышки с наружным кольцом подшипника будут соответствовать, указанным в табл. 3. Таким образом, диапазон давлений, используемый для численного моделирования, составляет qa = (1...175).106 Н/м2. На основании табл. 1 принимаем диапазон изменения предела текучести sT= (150…400).106 Н/м2. С учетом размеров модели (рис. 3), параметр с учетом возможных размеров ЗФК может меняться в диапазоне от 0 до 0,00415 м. Таким образом, уровни и интервалы варьирования натуральных значений факторов приведены в табл. 4. ПОСТРОЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ В качестве выходного параметра эксперимента рассматривалось значение ,°К. Поскольку погрешность могла быть внесена на этапе определения по графикам изменения температуры при прохождении тепловым потоком псевдосреды, то результаты численного моделирования обрабатывались 3-х кратно. Уравнение регрессии для 4-х выбранных факторов находилось с учетом их взаимодействия в виде (5) Матрица планирования ПФЭ типа 24 показана в табл. 5. Результаты обработки данных численного моделирования приведены в табл. 6. Проверка воспроизводимости опытов (однородности дисперсий) проводилась по критерию Кохрена. Расчетное значение этого критерия определялось по формуле: , (6) где - выборочная дисперсия выходной величины по строке матрицы планирования, полученная из параллельных опытов: , (7) где - значение выходной величины по строке матрицы планирования ( изменяется от 1 до ) из -го параллельного опыта ( изменяется от 1 до ); - среднее значение выходной переменной, полученное из параллельных опытов по строке матрицы планирования (табл. 6); - наибольшая из дисперсий в строках плана. При = 0,0009335 и получаем 0,2499. При уровне значимости 0,95 критическое значение критерия Кохрена равно = 0,319. Так как условие выполняется, то гипотеза о воспроизводимости опытов (однородности дисперсий) принимается. Коэффициенты уравнения регрессии (5) находились по формуле : (8) Значимость коэффициентов уравнения регрессии оценивалась по критерию Стьюдента , (9) где - дисперсия коэффициентов; - дисперсия воспроизводимости. Для рассматриваемого случая =0,0002335; = 0,0000048645; При степени свободы дисперсии воспроизводимости и уровне значимости 0,95 критическое значение критерия Стьюдента равно tкр= 2,038. Таким образом, для коэффициентов условие tр>tкр не выполняется. Эти коэффициенты являются незначимыми, приравниваются нулю и могут быть исключены из уравнения регрессии вместе с соответствующим фактором. Таким образом, уравнение регрессии после исключения незначимых коэффициентов и факторов записывается в виде (10) Адекватность полученной математической модели экспериментальным результатам проверялась с использованием критерия Фишера путем сравнения его расчетного значения Fp с критическим Fкр . Модель адекватна, если выполняется неравенство: , (11) где - дисперсия адекватности (остаточная дисперсия): , (12) где - число значимых коэффициентов уравнения регрессии, включая и ; - рассчитанное по модели значение отклика в опыте. По формулам (12) и (11) получаем = 0,0001578 и Fр = 0,6758. Поскольку критическое значение критерия Фишера Fкр = 2,68 и условие (11) выполняется, то полученное уравнение (10) является адекватным экспериментальным результатам. Для записи математической модели в реальных физических величинах использовалась зависимость кодированной величины от реальной: (13) ЗАКЛЮЧЕНИЕ В связи со значительным числом факторов, влияющих на формирование контактного термического сопротивления, и различием весомости их действия предложено для их всестороннего учета в тепловой модели соединения деталей использовать псевдослой (псевдосреду), состоящий из площадок фактического контакта и полостей, заполненных воздухом или маслом. Для определения значимых факторов, оказывающих доминирующие влияющие на контактное термическое сопротивление, был проведен ряд однофакторных экспериментов, в результате которых были выделены следующие факторы: значение толщины псевдосреды, номинальное давление в контакте; предел текучести контактирующего материала; параметр, определяющий расположение зоны фактического контакта. Для разработки регрессионной модели изменения температуры в зоне контакта был выполнен ПФЭ типа 24. Полученные результаты были проверены по критериям Кохрена, Стьюдента и Фишера.

About the authors

A. F Denisenko

Samara State Technical University

Email: sammortor@yandex.ru
Samara, Russia

L. Yu Podkruglyak

Samara State Technical University

Email: podkruglak@mail.ru
Samara, Russia

References

Supplementary files