Simulation of the temperature field of flow with variable velocity in Simulink


Cite item

Abstract

The paper considers the problem of simulation the temperature distribution of a flow moving with variable velocity. The temperature distribution of the flow is described by a first-order hyperbolic equation. A numerical model of the temperature distribution of the flow is obtained using the spectral theory. An approach to implementing the model in a computer simulation package for nonlinear dynamic systems is proposed. The comparison results between obtained model and exact analytical solutions, taken for a constant velocity, are shown.

Full Text

Некоторые технологические объекты могут быть описаны гиперболическим уравнением первого порядка [1], в частности аппараты воздушного охлаждения масла и газа [2, 3], проходные индукционные и газовые печи [4], химические реакторы [5]. В работах [2, 3] рассматривается задача управления температурой потока на выходе теплообменника при постоянной скорости потока. Объект описывается уравнением (1) , , , (1) с краевыми и начальными условиями (2) , , (2) где v - скорость потока; β - коэффициент теплообмена; - температура внешней среды; L - общая длина трубки теплообменника; - начальное распределение температуры; g(t) - функция изменения температуры потока на входе теплообменника. В случае переменной скорости потока, v = v(t), уравнение (1) не имеет аналитического решения, поэтому исследование объекта управления при подобных параметрических возмущениях предполагает либо линеаризацию уравнения [4], либо использование спектральной теории распределённых систем [6-8]. Уравнение (1) в спектральной форме имеет вид [6]: , (3) где - матрица спектральных характеристик функции Q(l,t), компоненты матрицы определяются как , ; (4) - матрица спектральных характеристик внешнего воздействия , компоненты матрицы определяют как , ; (5) , , - квадратные матрицы, соответствующие коэффициентам дифференциального уравнения (1): , , ; (6) - операционная матрица дифференцирования первого порядка [6] функции Q(l,t) по пространственной переменной, компоненты которой определяются как , , ; (7) - матрица граничных условий, её компоненты определяются как , . (8) В качестве системы разложения выбрана система функций [7] . (9) Уравнение в спектральной форме (3) может быть приведено к виду . (10) Решение уравнения (1) определяется выражением . (11) В случае, когда температура потока контролируется на выходе теплообменника, можно ввести обозначения , (12) где - вектор, составленный из значений функций (9), для фиксированной точки расчёта L. Введя обозначения , , , , , и приняв нулевыми граничные условия, систему уравнений (10), (12) можно привести к виду (13) (14) Таким образом, при изменении скорости происходит изменение матрицы A представления объекта в пространстве состояний (13)-(14), а изменение температуры среды приводит к изменению вектора u. Компоненты вектора u, согласно (5), могут быть рассчитаны как , (15) где - вектор, состоящий из компонентов , . (16) Система компьютерного моделирования динамических систем MATLAB Simulink позволяет реализовать модель произвольного объекта, представленного в пространстве состояний с помощью блока S-функция (S-function) [9]. Расчёт Simulink-модели осуществляется в несколько этапов [9]. На первом этапе производится инициализация модели, определяются: порядок обхода блоков, параметры блоков, размерности сигналов, шаг модельного времени. Затем Simulink переходит в режим выполнения циклов моделирования. На каждом цикле для каждого блока вызываются подпрограммы, которые вычисляют текущие значения переменных состояния, их производных и выходов блока. Процесс продолжается, пока не будет достигнут конец временного интервала моделирования. При описании S-функции определяются соответствующие подпрограммы, куда в качестве параметров передаются: текущее время расчёта t, вектор состояний x и вектор входных значений. Вектор входных значений S-функции, моделирующей поведение температуры потока на выходе теплообменника, состоит из двух компонентов: и v(t) - значения температуры среды на текущем шаге расчёта и скорости потока. Выходной вектор S-функции состоит из одного компонента - - температуры потока на выходе теплообменника. Тело S-функции состоит из трёх подпрограмм: 1) подпрограмма инициализации S-функции, осуществляет расчёт компонентов матриц , , , , в соответствии с заданным количеством членов ряда разложения по выражениям (16), (9), (7), (6); 2) подпрограмма расчёта производных вектора состояний, вычисляет значения компонентов матрицы A в зависимости от текущего значения скорости v(t) с учётом (6) и (7), а также значения компонентов вектора u в зависимости от текущего значения температуры среды по формуле (15) и рассчитывает значения производных вектора состояний по формуле (13); 3) подпрограмма расчёта выходных значений, рассчитывает значение температуры на выходе согласно выражению (14). Качество полученной модели оценивалось по сравнению с аналитическими решениями, полученными для уравнения (1) при постоянной скорости потока. При нулевых начальных и граничных условиях решение уравнения (1) имеет вид [2] . (17) Параметры модели: v1 = 0.1 м/с, v2 = 0.05 м/с, β = 0.1 с-1, L = 1 м, = 100 °С, g(t) = 0 °С, N = 100. Графики изменения температуры на выходе потока приведены на рисунке. Переходные процессы моделей на основе операторного и спектрального методов Анализ переходных процессов показывает, что в установившемся режиме при одинаковых значениях скорости потока обе модели имеют одинаковое значение температуры на выходе. Длительность переходного процесса при смене скорости соответствует времени прохождения потока по длине теплообменника.
×

About the authors

Ivan A Danilushkin

Samara State Technical University

(Ph.D.(Techn.)), Associate Professor 244, Molodogvardeyskaya st., Samara, 443100, Russian Federation

Konstantin V Kavkaev

Samara State Technical University

Graduate Student 244, Molodogvardeyskaya st., Samara, 443100, Russian Federation

References

  1. Рей У. Методы управления технологическими процессами: Пер. с англ. - М.: Мир, 1983. - 368 с.
  2. Данилушкин И.А., Россеев Н.Н. Синтез системы автоматического управления температурным полем трубчатого теплообменника // Вестник Самар. гос. техн. ун-та. Серия «Технические науки». Выпуск 40: Самара: СамГТУ, 2006. - С. 5-11.
  3. Алимов С.В., Данилушкин И.А., Мосин В.Н. Моделирование установившихся процессов теплообмена в аппаратах воздушного охлаждения газа // Вестник Самар. гос. техн. ун-та. Серия «Технические науки». Выпуск №2(26)-2010: Самара: СамГТУ, 2010. - С. 178-186.
  4. Данилушкин А.И., Рапопорт Э.Я. Алгоритмы функционирования процесса непрерывно-последовательного индукционного нагрева // Алгоритмизация и автоматизация технологических процессов и промышленных установок: Межвузовский сборник научных трудов. Вып. VII. - Куйбышев: КПтИ, 1976. - С. 118-124.
  5. Мандра А.Г. Математическое моделирование процесса диффузии как распределенного объекта управления с переменной структурой // Вестник Самар. гос. техн. ун-та. Серия «Технические науки». Выпуск №4(32)-2011: Самара: СамГТУ, 2011. - С. 229-232.
  6. Коваль В.А. Спектральный метод анализа и синтеза распределенных управляемых систем. Саратов. Изд-во Сарат. гос. техн. унт-та. 1997.
  7. Коваль В.А., Торгашова О.Ю. Синтез дискретных регуляторов пониженной размерности для распределенной следящей системы // Автоматика и телемеханика. - 2011. - №10.
  8. Данилушкин И.А., Снеговой В.В. Построение математической модели процесса охлаждения потока движущейся среды в пространстве состояний // Вестник Самар. гос. техн. ун-та. Серия «Технические науки». Выпуск №2(34)-2012: Самара: СамГТУ, 2012. - С. 218-221.
  9. Черных И.В. SIMULINK: среда создания инженерных приложений / Под общ. ред. к.т.н. В.Г. Потемкина.- М.: ДИАЛОГ-МИФИ, 2003. - 496 с.

Copyright (c) 2017 Samara State Technical University

Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License.

This website uses cookies

You consent to our cookies if you continue to use our website.

About Cookies