Approximate methods to determine calculated maxima of square inertia smoothing of stochastic electric-power processes

Full Text

Постановка задачи Для оценки электромагнитной совместимости (ЭМС) и нагрева проводников используют квадратичное инерционное сглаживание параметров ЭМС и электрической нагрузки, при котором рассматриваемый объект моделируется инерционным звеном с постоянной времени Т. В сетях электроснабжения исходные процессы изменения параметров режима на участках стационарности обычно являются случайными, эргодическими, с нормальным распределением ординат. Аналитическое решение задачи о расчетных максимумах квадратичного инерционного процесса (КИП) отсутствует. В приближенных методах применяются различные упрощающие допущения. В статье дается оценка возникающих вследствие этого погрешностей по сравнению с имитационным методом [1]. Для краткости изложение дается для исходного процесса с экспоненциальной корреляционной функцией (КФ). Примером является электрическая нагрузка группы электроприемников [2, (1-46)]. Математические модели Процесс имеет нормальное распределение со средним значением , среднеквадратическим отклонением (СКО) и КФ: (1) где - аргумент; - параметр, обратный времени корреляции . Для общности введем систему относительных единиц (о.е., символ ) с базовыми величинами: - для ординат и - для абсцисс. В этой системе , , . При оценке нагрева ординаты в о.е. совпадают с температурой перегрева объекта. КИП связан с исходным дифференциальным уравнением (2) В соответствии с принципом практической уверенности расчетный максимум* определяется с заданной интегральной вероятностью , которую, как и в [3], примем равной 0,95. Максимум вычисляется по интегральной функции распределения путем решения уравнения (3) В практике расчетные максимумы представляют формулой (4) в которой при известной функции распределения статистический коэффициент выражается через . Поскольку объекты могут иметь разную инерционность, целью расчетов является определение Т-характеристики: зависимости расчетных максимумов от T. Рассмотрим решения, которые можно использовать для оценки погрешностей (тестовые задачи в [1]). Во всем диапазоне средних значений исходного процесса и постоянных инерции среднее и СКО процесса определяются точно: (5) (6) где - эффективное значение процесса . Как видно из (5), среднее не зависит от постоянной инерции. В частном случае нулевого среднего значения исходного процесса можно найти асимметрию и эксцесс [1, (15)]: (7) Точное решение известно лишь при отсутствии сглаживания при , когда , а расчетный максимум является начальной ординатой Т-характеристики. В этом случае плотность распределения определяется по формуле (6) из [1], что позволяет рассчитать числовые характеристики и расчетные максимумы, а по ним - статистические коэффициенты (табл. 1). Таблица 1 Точные числовые характеристики процесса при в зависимости от 0 1 2 3 4 5 1 2 5 10 17 26 2,177 1,362 0,956 0,731 0,590 12 6,667 2,519 1,230 0,716 0,466 3,842 7,002 13,29 21,58 31,87 44,15 2,010 2,042 1,954 1,878 1,830 1,797 При для оценки погрешностей будем использовать найденное в [1] имитационное решение (символ ) задачи о расчетных максимумах . Имитационный метод можно считать статистически точным, поскольку обработка ведется по ансамблю из большого количества реализаций исходного процесса (250 шт.), а в тестовых задачах контролируются погрешности воспроизведения числовых характеристик, которые не должны превосходить заданные значения (1 % - для ). Приближенные методы Простейшим из них является «метод статистического коэффициента» (МСК), основанный на допущении о неизменности от Т множителя перед СКО в формуле (4). Например, в [4, (V.10)] принято значение . При больших Т происходит нормализация КИП, что позволяет использовать ту же формулу, но при . Существует несколько методов, использующих ИТ-характеристику исходного процесса, по которой рассчитывается искомая КИТ-характеристика КИП. Инерционное сглаживание нормального процесса также дает нормальный инерционный процесс с тем же средним значением и СКО [4, (II.53)]: (8) поэтому где коэффициент не зависит от Т. Не останавливаясь на истории совершенствования таких методов, отметим, что наименьшую погрешность дает «метод разностей» из [5]. В нем предполагается, что коэффициент разности не зависит от Т. С учетом формулы (10) из [5] расчетные максимумы (9) Для описания случайных величин, ограниченных с одной стороны, используется гамма-распределение [6]. В этом случае при плотность распределения определяется параметром масштаба λ с размерностью (о.е.)- 2 и безразмерным параметром η: (10) где - полная гамма-функция. С учетом формул (1.11) и (1.12) из [6] параметры выразим через (5) и (6): Функция распределения (неполная гамма-функция) получается интегрированием (10) от 0 до . По ней согласно (3) вычисляются расчетные максимумы КИП. Приближенные методы, основанные на представлении плотностей ортогональными рядами, частично рассмотрены в приложении. Оценка применимости приближенных методов Будем выполнять оценку по точности расчета Т-характеристики. Для определенности допустимую погрешность примем равной 5 %. Рассмотрим вначале гамма-распределение. В числителях столбцов табл. 2 частично представлены имитационные максимумы из [1, табл. 1], а в знаменателях - . Во всех случаях относительные погрешности по абсолютному значению не превысили 1,4 %, поэтому ограничений по применению этого распределения для определения квантилей КИП нет. Следует подчеркнуть, что полученное приближенное равенство свидетельствует о согласованности соответствующих законов распределения только в окрестностях квантилей*, но отнюдь не во всем диапазоне значений . Перейдем к МСК. На примере случая с видно, что статистический коэффициент в формуле (4) не остается постоянным (см. табл. 1), поэтому МСК дает погрешность, зависящую от Т. Левые граничные значения применимости МСК (табл. 3) соответствуют погрешности 5 %. Правой границы нет, поскольку при больших Т и (или) погрешности не превышают 5 %. Аналогично обстоит дело и при определении граничных значений применимости формулы (4) для нормального распределения. Следует отметить, что в [6] граница нормализации принимается из условия , однако при этом не указывается ни , ни . Получаемые в этом случае данные в несколько раз превышают , что свидетельствует о том, что значение относится к интегральной вероятности, существенно большей, чем 0,95. Метод разностей не имеет ограничений по применению. Действительно, согласно табл. 2 из [5] даже в самом тяжелом случае нулевого среднего его наибольшая погрешность . При расхождения уменьшаются. Таблица 2 Сопоставление квантилей гамма-распределения с имитационными при 1 2 5 , % , % , % , % 0 0,31 0,35 -0,23 -0,67 0,5 -0,57 -0,53 -1,02 -1,34 1 -1,06 -1,18 -1,11 -0,80 2 -0,60 0,15 -0,03 0,07 5 0,86 0,55 0,35 0,12 Как показано в приложении, границы применимости усеченных ортогональных рядов имеют большой разброс, особенно при небольших средних значениях. Из табл. 3 видно, что при для ряда Эджворта граница даже меньше , но уже при она возрастает в десятки раз, затем при уменьшается до единицы, что меньше , а затем снова возрастает до 17,5. Лишь после область применимости не ограничивается. Аналогично изменяется и граница , но ряд Грамма - Шарлье класса А во всех случаях дает худший количественный результат. Таблица 3 Границы применимости приближенных методов 0 0,5 1 2 3 4 5 1,8 2,8 2,6 0,9 0,1 0 0 4,9 6,5 6,1 2,7 1,0 0,2 0 29,5 37,7 36,6 19,4 10,1 5,7 3,9 4 >50 1 17,5 0 0 0 18,6 >50 8,1 26,7 0,2 0 0 Вывод Сопоставление приближенных методов показывает, что если нет возможности находить имитационные решения задачи КИП случайных электроэнергетических процессов, то расчетные максимумы следует определять по гамма-распределению или методом разностей. ПРИЛОЖЕНИЕ В прикладных методах теории случайных функций в качестве приближенных решений используются разложения плотности КИП в ортогональные ряды - чаще всего Грамма - Шарлье класса А и Эджворта [7, 8]. При этом вынужденно ограничиваются моментами распределения до четвертого порядка включительно. Ряды выражаются через плотность стандартного нормального распределения. Для компактности записи введем обозначение В этом случае формула (17.6.5) из [7] для плотности ряда Грамма - Шарлье (индекс 1) принимает вид где производные берутся по . С увеличением распределение приближается к нормальному: кривая плотности становится одновершинной, а ее ветви по обе стороны от вершины при и ∞ мало отличаются от нуля [9]. В этих случаях применяют ряд Эджворта* (индекс 2) [7, (17.7.5)]: В приведенных формулах абсциссы считаются неограниченными. В частности, функции распределения получают интегрированием от -∞ до . В действительности же ординаты являются сугубо положительными. Такое несоответствие устраняется путем использования усеченных распределений. С учетом общих формул (I.11) и (I.12) из [4] получим соответствующие плотности и функции распределения (индекс «у»): при где учтено, что при неограниченном верхнем пределе Переходя к оценке применимости ортогональных рядов, рассмотрим вначале случай , когда известны распределения и начальные ординаты Т-характеристики (см. табл. 1). Точные плотности при любых являются одновершинными и располагаются в первом квадранте координатных осей и . Соответствующие функции распределения (кривые 1 и 2 на рисунке) также имеют только положительные координаты, монотонно возрастая от 0 до 1. Иначе обстоит дело с приближенными законами распределения. При неусеченные плотности располагаются во всех квадрантах, а усеченные - в первом и во втором, а также имеют локальные максимумы и минимумы, что противоречит физическому смыслу. Функции распределения ряда Грамма - Шарлье (кривая 3) и ряда Эджворта (кривая 4) превышают единицу, чего не должно быть по определению. Немонотонность функции распределения приводит к неоднозначности в определении расчетного максимума . Действительно, кривая 1 пересекает горизонталь один раз (темный кружок), в то время как кривая 3 - три раза (светлые кружки). С увеличением среднего значения неоднозначность исчезает, однако даже единственная точка пересечения кривой 4 и горизонтали может располагаться сравнительно далеко от точного значения. Функции распределения процесса : 1, 2 - точные; 3 - усеченный ряд Грамма - Шарлье класса А; 4 - усеченный ряд Эджворта (1 и 3 - при ; 2 и 4 - при ) Перейдем к постоянным времени, отличным от нуля. Здесь приближенные функции распределения будем сравнивать с имитационными . При определении последних требуется статистически точное воспроизведение нормального закона распределения исходного процесса и его КФ. Асимметрия же и эксцесс КИП используются лишь для тестовых проверок качества реализаций , отрицательный результат которых приводит к их отбраковке на стадии создания ансамбля. Однако в приближенных методах эти характеристики являются определяющими. Даже при имитации* их разброс очень большой: допустимая погрешность для асимметрии в 12 раз превышает погрешность для дисперсии, а эксцесса - в 20 раз. Поэтому и границы областей применимости рядов также имеют большой разброс. Исследования показали, что зоны неоднозначности одинаковы для обоих рядов: в осях и правые граничные точки этих зон имеют координаты (0; 3), (0,5; 2), (1; 0). Левые границы применимости усеченного ряда Эджворта и ряда Грамма - Шарлье класса А приведены в табл. 3.

About the authors

Eduard G Kourennyi

Donetsk National Technical University

Professor 58, Artema st., Donetsk, 83001, Ukraine

Alexander A Bulgakov

Donetsk National Technical University

Senior Lecture 58, Artema st., Donetsk, 83001, Ukraine

References

Supplementary files