SYNTHESIS OF OPTIMAL CONTROL ALGORITHMS FOR PROCESS OF INDUCTION HEATING OF STEEL

Full Text

Введение В настоящее время одним из наиболее широко используемых в промышленности видов термической обработки металлов является индукционный нагрев, который обладает следующими несомненными преимуществами по сравнению с другими видами термической обработки: высокой скоростью нагрева, относительно низким энергопотреблением, меньшими потерями металла в окалину и трудозатратами на эксплуатацию, возможностью встраивания в технологическую линию производственного комплекса и относительной простотой автоматизации производственных операций [1, 2]. Возмущения, возникающие в процессе индукционного нагрева, могут привести к несоблюдению требуемых температурных кондиций заготовки и впоследствии к браку изготавливаемых изделий. Минимизировать создаваемые возмущениями отклонения от требуемого поведения температурного поля можно с помощью системы оптимальной стабилизации с обратной связью по температуре заготовки. В статье формулируется и решается задача поиска алгоритма оптимального управления процессом периодического индукционного нагрева стальной цилиндрической заготовки в системе с обратной связью по температуре, измеряемой в одной из точек по объему заготовки. Для синтеза алгоритма оптимального управления процессом нагрева заготовки, представляющей объект с распределенными параметрами (ОРП), применялся метод динамического программирования, основанный на принципе оптимальности Беллмана. Для моделирования поведения температурного поля в процессе индукционного нагрева с оптимальным управлением использовался метод конечных разностей. Постановка задачи синтеза алгоритма оптимального управления в замкнутой системе автоматического регулирования Рассмотрим задачу синтеза алгоритма оптимального управления процессом индукционного нагрева в замкнутой системе, обеспечивающего минимальное в квадратичной метрике отклонение изменяющегося во времени t и по пространственной координате x температурного поля цилиндрической заготовки Θ(x, t) от требуемого равномерного температурного распределения Θreq за конечное время tend. Применительно к процессам периодического осесимметричного индукционного нагрева цилиндрической заготовки, длина которой значительно превышает ее радиус, можно пренебречь распределением температурного поля по длине заготовки и использовать одномерное уравнение теплопроводности для описания изменения во времени радиального распределения температуры. В исследуемом случае замкнутая система представляет собой систему оптимальной стабилизации, которая минимизирует отклонения от заданного поведения температурного поля заготовки, реализуемого в основной системе программного управления. Вследствие малости отклонений можно пренебречь зависимостью от температуры теплофизических свойств материалов и использовать для описания поведения температурного поля в процессе индукционного нагрева уравнение следующего вида [3]: (1) с краевыми условиями: ; (2) (3) где - теплопроводность; с - теплоемкость; γ - плотность; a = λ/cγ - коэффициент температуропроводности стали; Θamb - температура окружающей среды; σSB - постоянная Стефана - Больцмана; εst - степень черноты стали; α - коэффициент теплообмена; F(x,t) - мощность внутренних источников тепла, которая может быть представлена в следующем виде: , (4) где F*(t) - сосредоточенное управляющее воздействие; W(x) - функция пространственного распределения внутренних источников тепла следующего вида [2]: , (5) где ; f - частота питающего индуктор тока, μabs - абсолютная магнитная проницаемость; σ - удельная электропроводность стали. В качестве характерного квадратичного критерия оптимальности рассмотрим функционал качества следующего вида: (6) где S(t) имеет следующий вид [4]: (7) и ω1(x,ξ), ω2 - весовые коэффициенты. В связи с тем, что отклонения температурного поля Θ(x,t) от требуемого значения Θreq малы и минимизация этих отклонений входит в критерий оптимальности, можно пренебречь ограничениями на поведение температурного поля заготовки Θ(x,t) и управляющего воздействия F*(t) [4]. Исходя из сказанного можно сформулировать следующую задачу: для объекта, описываемого уравнением (1) с краевыми условиями (2) и (3), необходимо найти оптимальный алгоритм управления с обратной связью F*(t), обеспечивающий минимум критерия оптимальности (6). Алгоритмы оптимального управления Для построения замкнутых систем управления объектами с распределенными параметрами желательно иметь информацию об управляемой величине в каждый момент времени и в каждой точке пространственной области, занимаемой объектом. Однако полную информацию о функции состояния ОРП получить практически невозможно. Таким образом, для ОРП можно осуществить только неполное измерение состояния объекта, характеризуемого бесконечным количеством управляемых величин с помощью конечного числа измерителей [5]. Однако для рассматриваемого случая индукционного нагрева, когда мощность внутренних источников тепла представлена в виде произведения изменяющегося во времени сосредоточенного управляющего воздействия и заранее фиксируемой функции распределения внутреннего управления (5), можно синтезировать внутреннее сосредоточенное управляющее воздействие по сосредоточенным сигналам измерения состояния системы в отдельных фиксированных точках пространственной области [4]. Исследуем случай с одним точечным измерителем состояния, выходом которого является температура ΘM(t) в одной фиксированной точке заготовки xM (способ ее выбора будет пояснен далее). Будем считать процесс измерения безынерционным, следовательно, сигнал с выхода измерителя можно представить в следующем виде [4]: , (8) где функция Грина точечного измерителя GM(x) представляет собой δ-функцию: . (9) Алгоритм оптимального управления можно найти с помощью метода динамического программирования, основное уравнение которого имеет следующий вид: , (10) где - оптимальное управление; V определяется следующим выражением: , (11) υ(x,ξ) - подлежащая определению функция пространственных координат [4]. Поскольку ΘM(t) - сосредоточенный сигнал, не зависящий от пространственных координат, то согласно (11) [4] , . (12) C учетом уравнения измерения (8) выражение (12) можно записать следующим образом: . (13) Если выполняется равенство , (14) то можно, используя методику, предложенную в [4], найти решение поставленной задачи. При выполнении условия x0<xM<xR (15) можно, используя уравнение модели объекта (1) и соотношение (13), после простых преобразований получить при [6] следующее выражение для производной dV/dt: (16) где . (17) Оптимальное управление находится из условия минимизации суммы (dV/dt) + S по F, которое без учета ограничений на управляющее воздействие сводится к равенству для всех, (18) принимающему после простых преобразований в соответствии с (4) следующий вид: для всех (19) Приравнивая к нулю выражение в фигурных скобках под знаком интеграла (19), получим алгоритмы оптимального управления в искомой форме закона обратной связи по управляемой функции состояния: (20) Подставляя найденное выражение (20) в уравнение (1) и решая уравнение с начальными и граничными условиями вида (2), (3), можно найти температурное поле в процессе оптимального индукционного нагрева. Используя основное уравнение метода динамического программирования (10), найдем весовой множитель ω1(x,ξ), для которого можно обеспечить выполнение определяющего равенства (14) при Z = const ≠ 0. Для этого преобразуем уравнение (10) с учетом (20) и получим выражение следующего вида: (21) Равенство (21) обеспечивается для всех tÎ(0, tend) равенством нулю подынтегральной функции в фигурных скобках формулы (21): (22) Преобразовав (22) с учетом (9), (14) и (17), получим для ω1(x,ξ) выражение следующего вида: (23) Подставив полученное выражение в (7), после ряда преобразований получим следующую формулу для расчета S(t) в зависимости от Θ(xM,t) [4]: (24) Таким образом, найденный алгоритм управления (20) обеспечивает в соответствии с (6), (24) минимум взвешенной суммы отклонения температуры в точке измерения от требуемой и энергетических затрат, а также минимум первой и второй производных отклонения температуры в точке измерения от требуемой по пространственной координате. Численное решение задачи Численное решение уравнения (1) при найденном алгоритме оптимального управления (20) с краевыми условиями (2), (3) было получено методом конечных разностей для следующих параметров процесса индукционного нагрева: радиус цилиндра R = 0,05 м, время нагрева tend = 70 с, коэффициент теплопроводности λ = 28,7 Вт/(м˚C), плотность γ = 7486 кг/м³; удельная теплоемкость c = 647 Дж/К, относительная магнитная проницаемость μ = 1, удельная электропроводность σ = 8,2∙105 См/м, постоянная Стефана - Больцмана σSB = 5,67∙10-8 Вт·м-2·К-4, температура окружающей среды Θamb = 20 ºС, приведенная степень черноты заготовки εst = 0,7, коэффициент теплообмена α = 10 Вт/(м2·˚С), требуемая температура Θreq = 1200 ºС; ω2 = 1∙10-12 м5/c·Вт2, Z = 1 K-2. Исходя из требований практической реализации замкнутой системы управления процессом индукционного нагрева с точечным измерителем состояния в качестве точки измерения предпочтительно выбрать точку на поверхности заготовки xM = xR. Однако это недопустимо в связи с наложенным ограничением (15), поэтому была выбрана точка xM = 0,99 R, температура в которой пренебрежительно мало отличается от температуры в точке на поверхности заготовки. Учет нелинейных граничных условий (3) существенно повышает точность расчета в условиях, когда температура поверхности заготовки значительно превышает температуру окружающей среды. Система уравнений, полученная после аппроксимации производных в (1) - (3) конечными разностями, была решена методом прогонки в программном пакете MatLab [7]. Результаты численного решения задачи представлены на рис. 1-3. На рис. 1 показано распределение температурного поля по радиусу заготовки в моменты времени t = 0, t = 0,3 tend, t = 0,6 tend, t = tend; рис. 2 демонстрирует изменение температуры в процессе индукционного нагрева в точках x = 0, x = 0,5 R, x = xM, x = R. Рис. 1. Распределение температурного поля по радиусу заготовки в моменты времени t = 0, t = 0,3 tend, t = 0,6 tend, t = tend Рис. 2. Изменение температуры в процессе индукционного нагрева в точках x = 0, x = 0,5 R, x = xM, x = R Из представленных данных видно, что температуры в точке измерения Θ(xM,t) и на поверхности заготовки Θ(R,t) практически совпадают на протяжении всего процесса нагрева, максимальное отклонение от требуемого распределения в конечный момент времени не превышает 26 ºС, погрешность нагрева в точке измерения меньше 10 ºС. На рис. 3 представлено изменение сосредоточенного управляющего воздействия в процессе нагрева. Рис. 3. Изменение управляющего воздействия в процессе индукционного нагрева Заключение В работе сформулирована и решена задача поиска алгоритма оптимального по критерию (23) управления внутренними источниками тепла в процессе индукционного нагрева стальной цилиндрической заготовки в замкнутой системе. Полученный алгоритм управления обеспечивает нагрев заготовки погрешностью не более 26 ºС, что удовлетворяет технологическим требованиям в большинстве практических задач.

About the authors

Maria H Artur

Samara State Technical University

Postgraduate Student 244, Molodogvardeyskaya str., Samara, 443100

References

Supplementary files