SOLUTION OF THE PROBLEM OF CYCLIC CONTANT HEAT CHANGE FOR THE SYSTEM OF TWO PLANE BODIES IN CASE OF DEFORMATION HEAT INITIATION

Full Text

Вопросы управления и оптимизации большой группы процессов технологической теплофизики (это прежде всего процессы горячей обработки металлов давлением) связаны с необходимостью решения тепловых задач циклического контактного теплообмена (ЦКТ) с чередующимися краевыми условиями (IV II) (или (IV III), (IV I)) рода на контактной поверхности. Обычно задачи такого класса решаются на основе редукции, а это неизбежно приводит к схематизации контактных систем разобщенными (одноэлементными) моделями с однородными граничными условиями II или I рода, при этом автоматически возникают и во многом остаются открытыми вопросы выбора мощности и точности задания разнородных и одновременно действующих тепловых источников (определение которых требует решения обратных тепловых задач) как в зонах контактирования объектов, так и в зонах их пространственной аккумуляции. К последним следует прежде всего отнести тепловые потоки от трения тел по контактной поверхности, тепловые потоки от пластического формоизменения отдельных элементов контактной системы и тепловые потоки от начального теплосодержания элементов. С позиций временной схематизации и циклического характера реальных теплоконтактных систем в математической модели циклическое температурное воздействие можно представить состоящим из непрерывной последовательности следующих друг за другом единичных циклов контактирования (m - номер произвольного цикла), каждый цикл включает контактный период длительностью и неконтактный длительностью (длительность цикла ). Контактный период характеризуется возникновением пограничного термического слоя, который фактически неизвестен и поэтому формально выражается через некоторый условный коэффициент теплообмена (термическое сопротивление пограничного слоя , а его толщина ). Именно это обстоятельство приводит в дальнейшем к некоторым особенностям математической постановки тепловой задачи и ее решения для неустановившейся (переходной) стадии ЦКТ. Наиболее важной с практической точки зрения является квазиустановившаяся стадия процесса , когда достигаются предельно допустимые эксплуатационные температуры технических объектов, поэтому ниже применяются два возможных аналитических подхода определения указанных температур, причем первый из них учитывает некоторые специальные условия (последовательные допущения для разобщенной теплоконтактной системы), а второй - условия теплового сопряжения элементов контактной системы [1]. Каждый из подходов может быть реализован как для одного теплоисточника, так и для их совокупности, но в последнем случае математические выкладки и итоговые решения становятся весьма громоздкими. Поэтому ниже при решении задачи ЦКТ учитывается только теплоисточник пластической деформации одного элемента контактной системы (металлозаготовки, при этом соответствующим величинам приписывается индекс w). С целью наглядности и возможности последующего численного анализа решена задача циклического контактирования двух плоских объектов (пластины конечных размеров l1 для металлозаготовки и l2 для инструмента), имеющих одну плоскость контактирования (х = 0) в принятой системе координат одномерной теплопередачи, при этом в математической постановке циклической краевой задачи учитывается следующее: толщина пограничного термического слоя равна нулю, температура окружающей среды , (физико-технологическое обоснование принятых допущений дано по тексту ниже приведенной формулировки задачи ЦКТ для неустановившейся стадии процесса : (1) где T - температура, K; x - координата, м; t - время, с; c - удельная теплоемкость, Дж/(кг×К); g - плотность материала, кг/м3; объемная плотность источника теплоты, Вт/м3; a - коэффициент температуропроводности, м2/с; l - коэффициент теплопроводности, Вт/(м×К); символ Кронекера; функция Хевисайда с параметром запаздывания . Индекс 1 добавляется ко всем величинам, относящимся к заготовке, а индекс 2 - к инструменту. Граничные условия для контактной системы: - при (2) - при (3) - при (4) (5) (6) Начальные условия: (7) при t = 0; (8) Здесь использованы следующие обозначения: и - коэффициенты теплообмена на контактной поверхности пластин на стадии их охлаждения по закону Ньютона. Постановка задачи вида (1)-(8) - это условно-обобщенная постановка задачи ЦКТ двух плоских тел до выхода на квазиустановившуюся стадию процесса. Граничное условие (4) - это символическое двойное равенство, которое в компактной форме записи представляет, как и в [1], наиболее реальный характер единичного теплоконтактного взаимодействия двух пластин. Фактически определяющими этот процесс являются условно задаваемые (в технологически обоснованных пределах) величины , и : Сказанное выше относительно двойного равенства тепловых потоков автоматически означает, что в зоне контакта по температуре наблюдается скачок (размах которого зависит от ). Это обусловлено наличием пограничного термического сопротивления нулевой толщины, а по условиям сложного реального технологического контактного взаимодействия термическое сопротивление зависит от номера цикла . Таким образом, для переходного циклического теплового процесса задача решается только методом постадийных решений (расчетов), который трудоемок и малоэффективен. Кроме того, согласно (5) и (6) дополнительно изменяются начальные и граничные условия в пределах цикла и при переходе от цикла к циклу ( ). При такой последовательности решения задачи выполняются все граничные условия: для контактного периода выполняются условия (2), (3) и двойное равенство тепловых потоков (4), явный теплофизический вид которого при именованных физических константах получается после умножения всех его составляющих выражений на ; для неконтактного периода условие (4) не функционирует и остаются условия (2), (3), (5), (6). Более наглядная параметрическая зависимость условий контактного взаимодействия (4) от имеет вид где при оба условия определяют идеальный тепловой контакт между пластинами; при первое условие характеризует величину разрыва температур на контактирующих поверхностях пластин, а второе - степень изменения интенсивности тепловых потоков в пластинах на границе , которая инициирует указанный выше температурный разрыв. Стойкость горячих штампов зависит от многочисленных факторов: химический состав стали заготовки и инструмента, термообработка материала инструмента, температура начала и конца штамповки, особенность протекания адгезионных процессов, диффузионные и структурно-фазовые явления (протекают в пограничных объемах заготовки и штампа в процессе их нагружения), температурно-силовые параметры нагружения, временные характеристики штамповки, скорость деформирования заготовки, ограниченность и вариабельность заготовки по размерам, размеры и структура контактного пограничного слоя и другие эксплуатационные факторы [7-16]. Например, в монографиях [12-14, 16] отмечено около 100 влияющих факторов. Экспериментально установлена взаимная обусловленность и взаимозависимость отдельных факторов, определяющих стойкость инструмента. Особую сложность для исследований представляет статический характер износа штампов, который обусловлен стохастическим характером реальных процессов горячей штамповки, когда большое количество случайных факторов одновременно влияет на протекание процесса. Многолетние экспериментальные исследования большой группы ученых убедительно показали [7-16], что из всего многообразия экспериментально изученных факторов особое место занимает температура окружающей среды как фактор малозначимый. Изменения внешней среды (температура производственных помещений) практически не влияют на стойкость инструмента, что обусловлено следующим: 1) влияние изменений внешней среды на режим штамповки существенно только в условиях проточного водяного охлаждения поверхности , но этот фактор учитывается изменением влияния коэффициента теплообмена ; 2) в пользу такого допущения свидетельствует и необходимость обеспечения условий изотермического деформирования заготовки, что достигается специальной теплоизоляционной смазкой гравюры и ее предварительной механической обработкой с целью получения соответствующего микрорельефа поверхности и увеличения пограничного термического сопротивления , которое, как показывают многочисленные эксперименты по термопарированию приграничных зон гравюры, сильно влияет на температурный режим инструмента (всегда , идеальный контакт недопустим по соображениям получения качественной поковки); 3) температурный режим процесса при нулевом значении обсуждаемого фактора иногда реально существует, но в силу стохастического взаимодействия и взаимной обусловленности остальных, более значимых реальных факторов сложного технологического процесса горячей штамповки сохраняются все показатели качества поковки и стойкости инструмента, закономерности и особенности реального циклического процесса; 4) кратковременность ЦКТ, когда и в более глубинных точках инструмента влияние теплового источника практически не сказывается (зона термического влияния составляет малую величину ). Учет отмеченных выше факторов существенно упрощает постановку различных циклических задач, сами аналитические решения и их многофакторный критериальный анализ, одновременно расширяются возможности разработки и применения различных методов электромоделирования и компьютерного моделирования ЦКТ, специальных экспериментально-аналитических методов восстановления тепловых потоков и температурных распределений в инструменте на основе применения корреляционно-регрессионного анализа и общей методологии решения обратных задач теплопроводности [1-4, 7, 12, 15]. Для решения краевой задачи ЦКТ в постановке (1)-(8) для квазиустановившейся стадии применим метод сопряжения [1], состоящий из трех этапов. На первом этапе решается тепловая задача одноразового контакта металлозаготовки и инструмента, на втором - самостоятельная тепловая задача отдельно для инструмента, рассматриваемого как независимый в тепловом отношении объект контактной системы. На третьем этапе соответствующие решения, полученные на двух предыдущих этапах, используются для составления системы дуальных интегральных уравнений, в неявной форме представляющей итоговое аналитическое решение задачи ЦКТ с чередующимися краевыми условиями и циклическим теплоисточником . Сообразно общей схеме решения циклических контактных задач по методу сопряжения ниже приводится математическая формулировка краевой задачи одноразового контакта (первый этап решения): (9) Граничные условия: - при (10) - при (11) - при (12) Начальные условия: (13) Интегрирование системы (9)-(13) выполнено с помощью интегрального преобразования Лапласа [4-6] аналогично тому, как это сделано в [1]; при решении сформулированной выше одноразовой контактной задачи использовалось равенство тепловых потоков металлозаготовки и штампа в зоне контакта. После интегрирования системы получены искомые температурные решения-оригиналы и . Для металлозаготовки: (14) Для штампа: (15) В полученных аналитических решениях приняты обозначения: (16) - критерий Фурье; - критерии Био; - безразмерные параметры; - безразмерный критерий, характеризующий темп перестройки температурной обстановки в пластине 2 по отношению к пластине 1. Корни задаются трансцендентным уравнением (17) Преобразуем температурное решение (15) контактной задачи к интегральному виду : (18) где явный вид функции определяется из (15) в виде соответствующего функционального ряда (19) На втором этапе решения рассматривается вспомогательная тепловая задача, идентичная краевой задаче для пластины 2 при действии теплообразующего источника [1]. Сообразно рассмотрим случай естественного (конвективного) охлаждения пластины с произвольной начальной температурой в окружающую среду через обе ограничивающие поверхности по закону Ньютона. Обозначенная задача имеет постановку (20) граничные условия при , (21) при , (22) начальное условие при , (23) где - относительные коэффициенты теплообмена. Решение задачи после стандартных преобразований Лапласа [4-6] и математических выкладок запишется так: , (24) где обозначено , (25) - критерии Био. Суммирование ведется по всем корням трансцендентного уравнения . (26) Запишем (24) в интегральной форме: , (27) где функция представляет соответствующий ряд из (24): . (28) На последнем, третьем этапе решения можно составить, воспользовавшись выражениями (18) и (27) и условиями метода сопряжения [1], систему дуальных интегральных уравнений относительно двух искомых температурных функций и , определяющих квазиустановившуюся стадию процесса. Решение (18) используется для момента времени , и получаем максимальное температурное распределение в инструменте , функционально зависящее от температурного распределения . Аналогично решение (27) используется для момента времени , и получаем минимальное температурное распределение в инструменте , функционально зависящее от температурного распределения . Обе эти функции объединяют два важных обстоятельства: они взаимозависимы в составе двух интегральных решений для одного элемента контактной системы (инструмента) и получены для квазиустановившейся стадии процесса, что позволяет их рассматривать как систему дуальных интегральных уравнений относительно двух искомых температурных функций и , математически определяющую квазиустановившуюся стадию процесса: (29) (30) Составленная сложная система интегральных уравнений (29)-(30) представляет систему интегральных уравнений Фредгольма второго рода (содержит фиксированные пределы интегрирования [17, 18]), именно эти уравнения и их системы встречаются наиболее часто при решении предельных задач математической физики. Общего метода решения сложных интегральных уравнений и их систем не существует, однако в некоторых специальных случаях полезны свои конкретно ориентированные решения и методы. Рассмотрим некоторые из них, наиболее приемлемые при исследовании широкого круга задач ЦКТ. Первый метод: наличие искомых функций и вне знака интеграла в системе (29)-(30) дает естественную возможность применения метода последовательных приближений. Один из наиболее простых методов решения систем подобного типа - замена известных и неизвестных функций ступенчатыми функциями [1, 23] с последующим применением формул численного интегрирования и получением систем рекуррентных уравнений. Здесь основные трудности связаны с оценкой погрешности ступенчатой аппроксимации функций, составлением и последующей численной реализацией рекуррентных уравнений. Второй метод - экспериментально-аналитический: пусть по данным экспериментов получены температурные корреляционно-регрессионные зависимости для максимального и минимального распределения температур в специально выбранных точках поиска по толщине инструмента . После подстановки в уравнение (30) получаем расчетные дискретные значения для функции и аналогично после подстановки в уравнение (29) получаем расчетные дискретные значения для функции . Сопоставление по степени расхождения (качеству согласования) экспериментальных и расчетных функций выполняется по формулам и , где числовые значения максимальных погрешностей и по имеющимся результатам температурных исследований инструмента задаются предварительно, при этом возможен случай задания только одной погрешности для обеспечения необходимого качества согласования температурных распределений, но не исключаются достаточно обоснованные случаи или . Этот подход не во всех случаях достаточно точен (сказываются погрешности измерения температур термопарами и невозможность измерения температуры на гравюре). Поэтому применительно к задачам ЦКТ предложен специальный алгоритм решения (третий метод решения), в основу которого положен принцип адекватности описания по критерию Фишера аналитического решения его статистической моделью, он базируется на применении методов теории планирования экспериментов [2, 19, 20]. Эти методы широко и успешно применяются в области чисто экспериментальных исследований. Вместе с тем в качестве исходной числовой информации, которая закладывается в матрицы планирования, могут использоваться не только экспериментальные данные, но и результаты пассивного численного анализа аналитических решений. При этом естественно возникает необходимость использования основных положений безразмерного параметрического анализа [21] в рамках реализуемого запланированного вычислительного эксперимента. Системное решение (29)-(30), полученное для теплоисточника , аналогично по виду и структуре решениям, полученным для двух других теплоисточников и [1] (все это решения одного класса задач ЦКТ как по постановке, так и по итоговым решениям), поэтому их численное решение и анализ идентичны. Однако итерационный алгоритм решения систем интегральных уравнений (как показано в [2]) с использованием обобщенных формул Бонне [22] для каждой конкретно исследуемой системы - индивидуальный, достаточно сложный и трудоемкий. Сложность решения задач подобного класса состоит в том, что для двухэлементной контактной системы получается система двух интегральных уравнений Фредгольма 2-го рода, а для трехэлементной контактной системы получается система трех интегральных уравнений Фредгольма 2-го рода и т. д. Искомые тепловые функции этих систем, определяющие стойкость инструмента, выбираются при постановке соответствующих теплофизических задач для каждого контактирующего тела (этапы решения 1 и 2, составляющие метод последовательных допущений), обычно это тепловые потоки и максимальные (минимальные) температурные распределения элементов контактной системы или их различные комбинации. При решении задачи ЦКТ возможен переход от системы контактирующих пластин к контактному теплообмену с полуограниченным телом при или . Выводы 1. На основе применения двух аналитических методов - метода последовательных допущений и метода сопряжения - получено решение задачи циклического контактного теплообмена для системы двух плоских тел при инициировании объемного теплоисточника пластической деформации одной из контактирующих пластин. Решение получено с помощью интегрального преобразования Лапласа и представлено системой двух интегральных уравнений Фредгольма второго рода, которая допускает только численное решение. Аналогичный алгоритм решения задачи ЦКТ может быть использован для объектов другой геометрической конфигурации (цилиндрической, шаровой и др.), соответствующей очертанию рабочей поверхности инструмента. 2. При наличии решений для квазиустановившейся стадии контактного теплообмена появляется возможность интерполяционного подхода к решению циклической задачи, когда переменные температуры и потоки, рассчитанные постадийно для нескольких начальных циклов и квазиустановившейся стадии [3], рассматриваются как опорные (узловые) точки при построении интерполяционной модели процесса теплообмена для произвольного цикла, что является основой термонапряженного анализа контактной системы, управления и прогнозирования эксплуатационной стойкости объектов контактирования.

About the authors

Vladimir Vasil'evich Stulin

Samara State Technical University

Email: stulinvv@mail.ru
(Ph.D. (Techn.)), Associate Professor. 244, Molodogvardeyskaya st., Samara, 443100, Russian Federation

References

Supplementary files