Determination of the rational shift value the center of the magnetic system electromagnetic bearing

Full Text

Введение

Электромагнитные подшипники предназначены для бесконтактного подвеса ротора в поле электромагнитов. При этом, как и любой подшипник, такой тип опор предназначен для поддержания ротора в заданном положении с требуемой жёсткостью. Как правило, для подвеса ротора необходимы два радиальных и один осевой электромагнитный подшипник. Эти подшипники воспринимают и передают нагрузку от подвижного узла на другие части конструкции, в том числе и силу тяжести ротора.

Уравнение движения ротора в поле электромагнитов каждого канала управления подшипника определяется дифференциальным уравнением [1]

$m\frac{d^{2}y}{d{t}^2}=\left[\frac{I_2^2}{{(\delta -y)}^2}-\frac{I_4^2}{{(\delta +y)}^2}\right]-$G_y,                       (1)

где y – перемещение ротора относительно центра магнитной системы по оси подшипника; k_эм2 – конструктивный коэффициент электромагнитного подшипника; I₂ и I₄ – токи в обмотках противоположных электромагнитов; d– зазор между статором и ротором при расположении ротора в центре магнитной системы; G_y – сила веса, приходящаяся на одну ось подшипника; t – время.

Уравнение (1) показывает, что величина силы, действующей на ротор, зависит как от соотношения токов в противоположных электромагнитах, так и от смещения ротора от центра магнитной системы каждой оси подшипника. Это позволяет предложить способ компенсации веса ротора за счет смещения центра магнитной системы относительно оси вращения [2, 3]. При этом актуальной задачей является определение рациональной величины смещения, при которой при равных токах в противоположных электромагнитах сила веса, приходящаяся на одну ось подшипника, будет полностью скомпенсирована. Это позволит снизить токовую нагрузку на электромагнит, препятствующий действию силы веса, и расширить возможности управления в рамках ограничения токов.

Решение задачи

Уравнение (1) в статическом режиме при $\frac{d^{2}y}{d{t}^2}$= 0 и равенстве токов в противоположных магнитах I₂ = I₄ = $\frac{U}{2R}$ запишется следующим образом:

$k_{эм2} [\frac{U^2}{4R^2{(\delta -y)}^2}-\frac{U^2}{4R^2{(\delta +y)}^2}]$  - mg = 0,                                           (2)

где U – опорное напряжение питания электромагнитов; R – активное сопротивление каждой из обмоток; m – масса ротора, приходящаяся на одну ось; g – ускорение свободного падения.

Решение уравнения (2) позволит найти рациональную величину смещения центра магнитной системы, при которой сила веса, приходящаяся на одну ось подшипника, будет полностью скомпенсирована. При этом будут наблюдаться равные токи в противоположных электромагнитах, управляемых по дифференциальному закону [4].

Уравнение (2) преобразуем к виду

$\frac{k_{эм2} U^2}{4R^{2}mg}\left[\frac{{(\delta +y)}^2-{(\delta -y)}^2}{{(\delta -y)}^2-{(\delta +y)}^2}\right]$ = 1.                                                    (3)

Произведя в (3) несложные алгебраические преобразования, в итоге получим уравнение, связывающее смещение  центра магнитной системы с параметрами электромагнитов и частью массы ротора, приходящейся на одну ось:

y⁴ + d₁y² + d₂y + d₃ = 0,                                                           (4)

где  d₁ = -2δ²; d₂ = $\frac{k_{эм2} U^2\delta }{4R^{2}mg}$; d₃ = δ⁴.

Выражение (4) представляет собой неполное уравнение четвертого порядка, корни которого в соответствии с решением Декарта – Эйлера можно найти следующим образом [5]:

y_1,2,3,4 = ±$\sqrt{v_1}$± $\sqrt{v_2}$± $\sqrt{v_3}$.                                                         (5)

Здесь v₁ , v₂ и v₃,  и  – корни кубического уравнения

v³ + av² + bv + c = 0,                                                                    (6)

где  a = $\frac{d_1}{2}$; b = $\frac{d_1^2-4d_3}{16}$; c = $-\frac{d_1^2}{64}$.

Корни уравнения (6) можно найти с помощью решения Кардано [6]:

v₁ = A +B $-\frac{a}{3}$; v_2,3 = $-\frac{A+B}{2}-\frac{a}{3}\pm j\frac{\sqrt{3}}{2}$(A - B),                                 (7)

где

$A=$$\sqrt[3]{-\frac{1}{2}\left(\frac{2a^3}{9}-\frac{ab}{3}+c\right)+\sqrt{Q}}$; $B=$$\sqrt[3]{-\frac{1}{2}\left(\frac{2a^3}{9}-\frac{ab}{3}+c\right)-\sqrt{Q}}$;

$Q=\frac{1}{27}$${\left(b-\frac{a^3}{3}\right)}^3+\frac{1}{4}{\left(\frac{2a^3}{9}-\frac{ab}{3}+c\right)}^2$.

Подставив в A, B и Q значения a, b и c, выраженные через коэффициенты d₁, d₂ и d₃, получим:

$A=\sqrt[3]{\frac{{\delta }^6}{27}+\frac{k_{эм2}^2{U}^4{\delta }^2}{128R^4{m}^2{g}^2}+\sqrt{\frac{k_{эм2}^4{U}^8{\delta }^4}{16384R^8{m}^4{g}^4}+\frac{k_{эм2}^2{U}^4{\delta }^8}{1728R^4{m}^2{g}^2}}}$;                     (8)

$B=\sqrt[3]{\frac{{\delta }^6}{27}+\frac{k_{эм2}^2{U}^4{\delta }^2}{128R^4{m}^2{g}^2}-\sqrt{\frac{k_{эм2}^4{U}^8{\delta }^4}{16384R^8{m}^4{g}^4}+\frac{k_{эм2}^2{U}^4{\delta }^8}{1728R^4{m}^2{g}^2}}}$.                     (9)

С учетом того, что a = – d², формулы (5), (7) – (9) позволяют найти рациональную величину смещения центра магнитной системы электромагнитного подшипника относительно оси вращения:

y = $\sqrt{v_1}$– $\sqrt{v_2}$ – $\sqrt{v_3}$.                                                                  (10)

Формула (10) получена из анализа корней (5) и физического смысла решаемой задачи.

Из (7) следует, что корни v_2,3 являются комплексно-сопряженными:

v_2,3 = α $- \frac{a}{3}\pm j\mathrm{\beta }$,

где α = $-\left(\frac{A+B}{2}+\frac{a}{3}\right)$; $\mathrm{\beta } =\frac{\sqrt{3}}{2}$(A - B).

Для вычисления в (10) $\sqrt{v_2}$ и $\sqrt{v_3}$ без специализированного программного обеспечения можно воспользоваться формулами

$\sqrt{v_2}$= α₁ +jβ₁; $\sqrt{v_3}$ = α₁ – jβ₁,

где α₁ = $\sqrt{\frac{\alpha }{2}\sqrt{\frac{{\alpha }^2 +{\mathrm{\beta }}^2}{4}}}$; ${\mathrm{\beta }}_1=\frac{\mathrm{\beta }}{2{\mathrm{\alpha }}_1}$.

Более простой подход к определению рациональной величины смещения центра магнитной системы заключается в использовании другого математического описания процесса движения ротора в поле электромагнитов. При дифференциальном законе управления токами в противоположных электромагнитах справедливо следующее уравнение [4, 7–9]:

$m\frac{d^{2}y}{d{t}^2} = k_{эм}\left(\frac{I}{I_2+I_4}-0,5\right)+$k_Fy - G_y,                                           (11)

где k_эм – коэффициент, связывающий силу, действующую на ротор, с токами I₂ и I₄; k_F – коэффициент положительной обратной связи по перемещению.

В статике при I₂ = I₄ из (11) вытекает простая зависимость рациональной величины смещения центра магнитной системы от силы веса, приходящейся на одну ось электромагнитного подшипника:

y =$\frac{G_y}{k_F}=\frac{mg}{k_F}$.                                                                              (12)

Решение (12) является более простым, но оно не учитывает того факта, что величина k_F изменяет свою величину в зависимости от перемещения. Кроме того, следует учитывать, что точные значения коэффициентов k_эм и k_F могут быть получены только методом моделирования магнитных полей электромагнитного подшипника в специализированных программах.

Пример расчета

Для примера рассчитаем рациональную величину смещения центра магнитной системы радиальных электромагнитных подшипников, разработанных для подвеса ротора опытного образца турбонагнетателя 6ТК-Э дизеля локомотива [10]. В рассматриваемом агрегате масса ротора, приходящаяся на один электромагнитный подшипник, составляет m = 1,8 кг, а опорное напряжение широтно-импульсного преобразователя равно U = 60В. При центральном положении ротора электромагниты характеризуются следующими параметрами: R = R₂ = R₄ = 96,6 Ом, k_эм = 1272 Н, k_F = 1424000 Н/м, зазор между статором и ротором d = 0,5мм. Расчет по формуле (12) показывает, что рациональная величина смещения центра магнитной системы должна быть равна

y = $\frac{18·9,81}{1424000}$= 124·10^-6м,                                                            (13)

то есть 124 мкм.

Для расчета рациональной величины смещения по формулам (7) – (10) необходимо знать коэффициент k_эм2. Его можно определить из результатов моделирования электромагнитного подшипника при вариации соотношений токов в противоположных электромагнитах [10]:

k_эм2 = $\frac{F_{эм}{\delta }^2}{I_{20}^2{I}_{40}^2}$,                                                                          (14)

где F_эм – сила, действующая на ротор, находящийся в центре магнитной системы, при начальных значениях токов в противоположных обмотках I₂₀ и I₄₀.

Величина k_эм2 может быть также определена из результатов натурных экспериментов на реальной действующей установке. Например, если известно, что при задании в рассматриваемом радиальном электромагнитном подшипнике токов  I₂₀ = 0,373А,  I₄₀  = 0,248 А сила, действующая на ротор, равна F_эм = 127,2 Н [10], то коэффициент k_эм2 в соответствии с формулой (14) будет равен

k_эм2 =$\frac{127,2(5·{10}^{-6})}{{(0,373)}^2-{(0,248)}^2}$= 4,121·10^-4  Нм²/А².                                              (15)

Используя значение k_эм2, полученное в (15), воспользуемся формулами (7) – (10) для расчета рациональной величины смещения центра магнитной системы рассматриваемого радиального электромагнитного подшипника. При этом получаются следующие значения величин, необходимых для определения рационального смещения: Q = 4,3406 · 10^-42 , A = 1,6193 · 10^-7 , B = 4,2887 · 10^-8 , a = – 2,5 ·10^-7. С учетом этого корни кубического уравнения (6) будут равны:

v¹ = 2,8815 ·10^-7, v₂ = – 1,9073 ·10^-8 +  j1,0309 ·10^-7, v₂ = – 1,9073 ·10^-8 –  j1,0309 ·10^-7.

Следовательно, рациональная величина центра магнитной системы радиального электромагнитного подшипника для турбонагнетателя 6ТК-Э в соответствии с формулой (10) составляет

y = $\sqrt{2,8815·{10}^{-7}}- \sqrt{-1,9073·{10}^{-8}+j1,0309·{10}^{-7}}-\sqrt{-1,9073·{10}^{-8}+j1,0309·{10}^{-7}}$=122,6 · 10^-6, м     (16)

Сравнение результатов (13) и (16) показывает, что они очень близки, поскольку расхождение не превышает 1,2 %. Причем следует отметить, что это полностью совпадает с электромагнитным расчетом радиальных подшипников турбонагнетателя 6ТК-Э [10].

Однако приведенный пример подразумевает, что ось  расположена вертикально. В то же время в радиальных электромагнитных подшипниках принято поворачивать систему координат на 45 угловых градусов для того, чтобы распределять силу веса на два электромагнита. Это приводит к снижению массы и, следовательно, силы веса, приходящейся на одну ось, в $\sqrt{2}$ раз. Тогда для рассматриваемого варианта электромагнитного подвеса ротора турбонагнетателя в расчетах необходимо принять m = 12,728 кг. С учетом этого рациональная величина смещения магнитной системы по оси  в соответствии с формулами (7) – (10) должна быть равна 92 мкм. Расчет по формуле (12) дает результат y = 88 мкм, то есть расхождение увеличилось до 4,3 %. Это связано, по мнению авторов, с пренебрежением нестационарностью коэффициента k_F, величина которого, в свою очередь, зависит от смещения ротора от центра магнитной системы.

Смещение центра магнитной системы относительно оси вращения ротора позволяет, как показано в [2], снизить величину опорного напряжения питания обмоток электромагнитов. Это приводит к снижению потребления электрической энергии электромагнитными подшипниками и обеспечению более благоприятного теплового режима работы обмоток. В то же время смещение центра магнитной системы не влияет на устойчивость работы трехконтурной системы управления электромагнитным подшипником (см. рисунок) [11].

 

Функциональная схема трехконтурной системы управления электромагнитным подшипником

 

Действительно, при выборе 12-разрядного широтно-импульсного модулятора с коэффициентом передачи k_ШИМ = 0,000121 и датчика положения с k_дп = 10000000 дискрет/м настройки регуляторов системы управления электромагнитным подшипником, определенные для центрального положения ротора, будут следующими: постоянная времени пропорционально-дифференциального (ПД) регулятора Т_пд = 0,079 с, коэффициенты передачи пропорционального (П) и ПД регуляторов k_дп= k_дп = 2, постоянные времени дифференцирующего звена и интегрального (И) регулятора соответственно k_осс = 0,0008 с, T_и = 0,008 с [12, 13]. При смещении центра магнитной системы относительно оси вращения индуктивности обмоток электромагнитов принимают значения L₂ = 2,92 Гн, L₄ = 2,25 Гн, L₂₄ = L₄₂= 0,003 Гн. При этом коэффициенты, характеризующие наводимые ЭДС в обмотках, равны k_E2 =1623 Вс/м, k_E4 = 1465 Вс/м. В то же время коэффициенты, определяющие силу, действующую на ротор, имеют следующие значения: k_эм = 1144 Н, k_F =1407100 Н/м. Передаточная функция замкнутой трехконтурной системы управления электромагнитного подшипника имеет вид [4]:

$W_3\left(p\right)=\frac{b_{01}{p}^2+b_{11}p+1}{k_{дп}\left(a_{01}{p}^5+a_{11}{p}^4+a_{21}{p}^3+a_{31}{p}^2+a_{41}p+1\right)}$,

где $b_{01}=b_0{T}_{пд}$; $b_{11}=b_0+T_{пд}$; $a_{01}=\frac{a_0{T}_{и}}{k_2}$; $a_{11}=\frac{\left(a_1+k_1{b}_0{T}_{пд}\right)T_{и}}{k_2}$;

$a_{21}=\frac{\left[a_2+k_1\left(b_0+T_{пд}\right)+k_2{b}_0{T}_{пд}\right]T_{и}}{k_2}$; $a_{31}=\frac{\left[a_3+k_1+k_2\left(b_0+T_{пд}\right)\right]T_{и}}{k_2}+b_0{T}_{пд}$;

$a_{41}=\frac{\left(k_2-1\right)T_{и}}{k_2}+b_0+T_{пд}$; $k_{ОУ}=\frac{k_{ШИМ}{k}_{ЭМ}U\left(I_{20}{R}_2+I_{40}{R}_4\right)}{k_F{R}_2{R}_4{\left(I_{20}+I_{40}\right)}^2}$;

$b_0=\frac{I_{20}\left(R_2{T}_2+L_{42}\right)+I_{40}\left(R_4{T}_4+L_{24}\right)}{I_{20}{R}_2+I_{40}{R}_4}$; $a_0=\frac{m}{k_F}\left(T_2{T}_4-\frac{L_{24}{L}_{42}}{R_2{R}_4}\right)$; $a_1=\frac{m\left(T_2+T_4\right)}{k_F}$

$a_2=\frac{m}{k_F}+\frac{k_{ЭМ}\left[I_{20}\left(k_{E4}{R}_2{T}_2+k_{E2}{L}_{42}\right)+I_{40}\left(k_{E2}{R}_4{T}_4+k_{E4}{L}_{24}\right)\right]}{k_F{R}_2{R}_4{\left(I_{20}+I_{40}\right)}^2}+\frac{L_{24}{L}_{42}}{R_2{R}_4}-T_2{T}_4$;

$a_3=\frac{k_{эм}\left(I_{20}{k}_{E4}{R}_2+I_{40}{k}_{E2}{R}_4\right)}{k_F{R}_2{R}_4{\left(I_{20}+I_{40}\right)}^2}-\left(T_2+T_4\right)$; $T_2=\frac{L_2}{R_2}$; $T_4=\frac{L_4}{R_4}$; $k_1=k_{пд}{k}_{оу}{k}_{осс}{k}_{дп}$;

$k_2=k_{п}{k}_{пд}{k}_{оу}{k}_{дп}$

Следовательно, устойчивость трехконтурной системы управления электромагнитным подшипником определяется характеристическим уравнением

a₀₁p⁵ + a₁₁p⁴ + a_₂1p³ + a₃₁p² + a₄₁p +1 = 0.                                (17)

При I₂₀ = I₄₀ = 0,311 А уравнение (17) имеет следующие значения коэффициентов:

 a₀₁ = 1,2849·10^-11 с⁵, a₁₁ = 7,7495·10^-9 с⁴,

 a_₂₁ = 1,841·10^-5 с³, a_₃₁ = 2,9002·10^-3 с², 

 a₄₁= 0,1118 с.

Решение (17) показывает, что корни характеристического уравнения равны

p_1,2 = –219,279 ± j1142,872 , p₃ = –111,908 ,

p₄ = – 39,713, p₅ = – 12,931.

Поскольку все корни имеют отрицательные вещественные части, трехконтурная система управления электромагнитным подшипником остается устойчивой при выбранных параметрах регуляторов и смещении центра магнитной системы относительно оси вращения на рациональную величину [14, 15].

Выводы

1. Найденные аналитические выражения позволяют определить рациональную величину смещения центра магнитной системы электромагнитного подшипника относительно оси вращения, при которой происходит компенсация силы веса ротора при равных токах в противоположных магнитах.
2. Смещение центра магнитной системы электромагнитного подшипника относительно оси вращения ротора на расчетную величину не влияет на устойчивость системы управления при настройках регуляторов, выбранных для центрального положения ротора.

About the authors

Alexander V. Starikov

Samara State Technical University

Email: star58@mail.ru

(Dr. (Techn.)), Professor

Russian Federation, 244, Molodogvardeyskaya st., Samara, 443100

Vladislav D. Kostyukov

Samara State Technical University

Author for correspondence.
Email: kostyukovvlad@yandex.ru

Postgraduate Student

Russian Federation, 244, Molodogvardeyskaya st., Samara, 443100

References

Supplementary files