Optimal control of induction heating of steel workpieces with respect to minimal scale formation criteria

Введение

В настоящее время технология индукционного нагрева (ИН) активно развивается и находит применение в различных областях промышленности и энергетики. В частности, в машиностроении эта технология используется для поверхностного упрочнения и плавки деталей, а также для предварительного нагрева перед последующими операциями пластической деформации. Кроме того, ИН может заменить традиционный электронагрев при паровом риформинге в процессах производства водорода, переработки отходов и в различных других промышленных технологиях. Популярность технологии ИН обусловлена ее важными преимуществами перед другими традиционными методами термической обработки, к которым прежде всего относятся энергоэффективность, скорость, точность регулирования конечной температуры при термообработке деталей, возможность автоматизации процесса, экологичность, безопасность и многие другие существенные факторы, облегчающие использование ИН.

В условиях высокой конкуренции и постоянно повышающихся требований к эффективности производственных процессов актуальными задачами в промышленности на сегодняшний день становятся повышение качества изделий, увеличение производительности и снижение издержек. Решение этих задач применительно к процессам индукционного нагрева связано с оптимизацией конструкции применяемых установок или режимов их работы по соответствующим критериям качества. Типовыми критериями, влияющими на производительность процессов термообработки металла, являются быстродействие и минимум энергопотребления. Кроме этого, в [1, 2] показано, что при высокотемпературной обработке стальных заготовок одним из параметров, существенно влияющим на качество готового изделия, является количество образующейся в процессе нагрева окалины. Поэтому для общего повышения эффективности термической обработки стальных полуфабрикатов перед операциями пластической деформации необходимо применять режимы работы индукционного нагревателя, которые являются оптимальными по критериям максимального быстродействия, минимального потребления энергии и минимального образования окалины.

В статье формулируются задачи оптимизации процесса ИН стальных заготовок по указанным критериям качества. Показывается, как задача минимизации количества образования окалины решается с помощью альтернансного метода параметрической оптимизации систем с распределенными параметрами [3]. Этот метод позволяет после редукции исходной задачи оптимального управления к задаче математического программирования свести ее к решению системы трансцендентных уравнений, замкнутой относительно всех искомых параметров процесса ИН. Данная система уравнений решается с помощью специализированной процедуры, построенной в программном пакете MATLAB [4]. Температурные распределения для решения системы уравнений рассчитываются с помощью численной двумерной модели процесса ИН, разработанной в конечно-элементном пакете Altair FLUX.

Постановка задачи оптимального управления

Процесс ИН стальных цилиндрических заготовок, рассматриваемый в работе в качестве объекта управления с распределенными параметрами (ОРП), описывается взаимосвязанной системой нелинейных уравнений Максвелла и Фурье для электромагнитных и температурных полей [5]:

$\text{rot}\overline{H}=\sigma \left(T\right)\overline{E},$ (1)

$\text{rot}\overline{E}=-\frac{\partial \overline{B}}{\partial t},$ (2)

$\text{div}\overline{B}=0$, (3)

$\text{div}\overline{E}=0$, (4)

$\begin{array}{l}c\left(T\right)\gamma \left(T\right)\frac{\partial T\left(r,l,t\right)}{\partial t}=\frac{1}{r}\frac{\partial }{\partial r}\left(\lambda \left(T\right)r\frac{\partial T\left(r,l,t\right)}{\partial r}\right)+\\ +\frac{\partial }{\partial l}\left(\lambda \left(T\right)\frac{\partial T\left(r,l,t\right)}{\partial l}\right)+\frac{1}{\sigma \left(T\right)}{\left(\frac{\partial H\left(r,l,t\right)}{\partial r}\right)}^2,\end{array}$ (5)

с начальными и граничными условиями:

$T\left(r,l,t\right)=T\left(r,l\mathrm{,0}\right)=T_0\left(r,l\right)=T_0=\text{const},l\in \left[0;L\right],r\in \left[0;R\right]$, (6)

$\frac{\partial H\left(\mathrm{0,}l,t\right)}{\partial r}=0;H\left(R,l,t\right)=H_L;H\left(r\mathrm{,0,}t\right)=H_{R1};H\left(r,L,t\right)=H_{R2};$ (7)

$\frac{\partial T\left(\mathrm{0,}l,t\right)}{\partial r}=0;\lambda \left(T\right)\frac{\partial T\left(R,l,t\right)}{\partial r}=\alpha \left(T\right)\left(T\left(R,l,t\right)-T_a\right)$; (8)

$\lambda \left(T\right)\frac{\partial T\left(r\mathrm{,0,}t\right)}{\partial l}=\alpha \left(T\right)\left(T\left(r\mathrm{,0,}t\right)-T_a\right);\lambda \left(T\right)\frac{\partial T\left(r,L,t\right)}{\partial l}=\alpha \left(T\right)\left(T\left(r,L,t\right)-T_a\right).$ (9)

Здесь $\overline{H}$ $–$ вектор напряженности магнитного поля; $\overline{B}$ $–$ вектор магнитной индукции; $\overline{E}$ $–$ вектор напряженности электрического поля; $\sigma \left(T\right)$ $–$ электрическая проводимость; $T$ $–$ температура; $c\left(T\right)$, $\gamma \left(T\right)$, $\lambda \left(T\right)$ $–$ удельная теплоемкость, плотность и коэффициент теплопроводности нагреваемого металла соответственно; $t$ $–$ время; $r\in \left[0;R\right]$, $l\in \left[0;L\right]$ $–$ соответственно радиальная и продольная пространственная координаты; $T_a$ $–$ температура окружающей среды; $\alpha \left(T\right)$ $–$ коэффициент теплоотдачи в окружающую среду; R $–$ радиус и L $–$ длина заготовки.

Состояние объекта управления с распределенными параметрами, описываемого уравнениями (1) $–$ (5) с краевыми условиями (6) $–$ (9), характеризуется пространственно-временным распределением температуры $T\left(r,l,t\right)$ по объему нагреваемой детали. В качестве управляющего воздействия выбирается напряжение источника питания индукционной нагревательной установки $u\left(t\right)$, на которое накладывается ограничение:

$0\le u\left(t\right)\le u_{\max }$; $t\in \left[0;t^0\right]$. (10)

Требования к конечному состоянию объекта управления формулируются с помощью задания максимальной абсолютной величины ${\epsilon }_0$ отклонения температуры $T\left(r,l,t^0\right)$ в конце процесса нагрева при $t=t^0$ от требуемого значения $T^{*}$:

$\underset{\begin{array}{l}r\in \text{[0}\text{,}\text{}\text{}R\text{]}\\ l\in \text{[0}\text{,}\text{}\text{}L\text{]}\end{array}}{\text{max}}\left|T\left(r,l,t^0\right)-T^{*}\right|\le {\epsilon }_0.$ (11)

В качестве критериев оптимальности рассматриваются интегральные функционалы:

$I_1={\displaystyle \underset{0}{\overset{t^0}{\int }}dt}=t^0\to \text{min}\text{,}$ (12)

$I_2={\displaystyle \underset{0}{\overset{t^0}{\int }}u\left(t\right)dt}\to \text{min}\text{.}$ (13)

Выражения (12) и (13) соответствует критериям максимального быстродействия и минимального потребления энергии соответственно.

Как показано в [1, 2, 6], интенсивность процесса окисления металла при высокотемпературном нагреве существенно зависит от температуры поверхности нагреваемой детали. При этом наибольшая активность образования окалины при обработке стальных заготовок наблюдается при превышении некоторой характерной температуры $T_q$, которая зависит от марки стали и приводится в справочной литературе. Таким образом, критерий минимума образования окалины может быть записан следующим образом:

$I_1={\displaystyle \underset{0}{\overset{{\phi }^0}{\int }}f\left({\theta }_{пов}\right)d\phi }\to \text{min}\text{,}$ (14)

где кусочно-непрерывная функция $f\left({\theta }_{пов}\right)$ имеет следующий вид:

$f\left({\theta }_{пов}\right)=\left\{\begin{array}{l}\mathrm{0,}\text{если}{\theta }_{\text{пов}}<{\theta }_q\\ {\left({\theta }_{пов}-{\theta }_q\right)}^{s+1},\text{если}{\theta }_{\text{пов}}\ge {\theta }_q.\end{array}\right.$ (15)

Следует отметить, что выражения (14) и (15) записаны для безразмерных значений температуры поверхности ${\theta }_{\text{пов}}$, температуры начала процесса интенсивного окалинообразования ${\theta }_q$, а также времени процесса $\phi$, переход к которым от абсолютных значений осуществляется с помощью следующих соотношений:

$\theta \left(x,y,\phi \right)=\frac{T\left(r,l,t\right)-T_0}{P_{\max }{R}^2}\lambda ,$ (16)

$\phi =\frac{at}{R^2},$ (17)

где a $–$ коэффициент температуропроводности нагреваемого металла; $P_{\max }$ $–$ максимальная удельная мощность внутреннего тепловыделения на единицу объема нагреваемой детали.

Таким образом, в общем случае задача оптимального управления процессом ИН сводится к поиску такого закона изменения сосредоточенного управляющего воздействия $u^{*}\left(t\right)$, стесненного ограничением (10), который переводит ОРП, описываемый уравнениями (1) $–$ (5) с краевыми условиями (6) $–$ (9), из заданного начального (6) в требуемое конечное состояние (11) с минимальным значением критерия оптимальности (12) в случае решения задачи оптимального быстродействия, (13) $–$ для задачи минимального энергопотребления и (14) $–$ для задачи на минимум потерь металла в окалину.

Сформулированные задачи могут быть решены с помощью альтернансного метода параметрической оптимизации систем с распределенными параметрами.

Решение задачи оптимального по критерию минимума образования окалины управления на основе альтернансного метода

Поскольку в [5, 7, 8] подробно описана методика решения задач оптимального управления по критериям быстродействия и минимума энергопотребления на базе альтернансного метода, далее будет подробно рассмотрено решение задачи оптимального по критерию минимума окалинообразования управления. Ограничимся заданием требуемых температурных кондиций (11) только для поперечного сечения заготовки при $l=\frac{L}{2}$, считая неравномерность температурного распределения по длине заготовки несущественной.

Согласно теории оптимального управления системами с распределенными параметрами [9], общее время процесса нагрева $t^0$ в задаче минимизации окалины считается заранее известным. Отсюда очевидно, что для достижения минимально возможного количества окалины температура поверхности заготовки ${\theta }_{\text{пов}}$ должна, с одной стороны, как можно меньше отклоняться от температуры начала интенсивного окалинообразования ${\theta }_q$, а с другой $–$ обеспечивать достижение требуемых температурных кондиций (11) в конечный момент времени. Интервалы нагрева детали с максимально допустимым значением напряжения $u\left(t\right)=u_{\text{max}}$, применяемые в оптимальных по быстродействию и энергопотреблению режимах, не удовлетворяют указанным условиям, поэтому закон изменения управляющего воздействия должен иметь отличный от типового релейного характера вид.

В [2, 5] показано, что в случае, когда требуемая температура в конце процесса индукционного нагрева ${\theta }^{*}$ превышает ${\theta }_q$, минимальные потери металла в окалину достигаются при изменении температуры поверхности по экспоненциальному закону:

${\theta }_{пов}\left(\phi \right)=A{e}^{B\phi }+{\theta }_q,$ (18)

где A $–$ определяемая начальной температурой константа ( $A>0$ ); B $–$ определяемая известными параметрами модели константа ( $B>0$ ).

Согласно теории оптимального управления системами с распределенными параметрами, оптимальное по критерию быстродействия (12) и минимума энергопотребления (13) управление $u^{*}\left(t\right)$ процессом индукционного нагрева представляет собой релейную функцию, то есть кусочно-постоянную функцию времени, попеременно принимающую свои предельно допустимые, согласно ограничению (10), значения.

Ввиду ряда условий, подробно описанных в [5], обеспечить изменение температуры поверхности по закону (18) в течение всего процесса нагрева, используя типовые релейные алгоритмы управления, невозможно. Однако достаточно изменить управляющее воздействие не на всем интервале $t\in \left[0;t^0\right]$, а лишь на так называемом особом участке, на котором температура поверхности превышает температуру интенсивного окалинообразования. При этом нагрев детали до ${\theta }_{пов}=A+{\theta }_q$ на первом интервале управления осуществляется при максимально допустимом значении управляющего воздействия, как и в случае задачи оптимального быстродействия. Таким образом, алгоритм управления в рассматриваемой задаче при заранее известном времени $t^0$ представляет собой кусочно-непрерывную функцию следующего вида:

$u^{*}\left(t\right)=\left\{\begin{array}{l}{u}_{\text{max}},0\le t<t_{\text{н}};\\ u_{\text{ос}}\left(t\right),t_{\text{н}}\le t\le t_{\text{к}};\\ \mathrm{0,}{t}_{\text{к}}\le t\le t^0,\end{array}\right.$ (19)

где $u_{\text{ос}}\left(t\right)$ $–$ управление на особом участке $\left[t_{\text{н}};t_{\text{к}}\right]$.

Наличие в программе управления особого участка значительно усложняет задачу поиска оптимального по окалинообразованию управления. В [5] показано, что выражение для функции $u_{\text{ос}}\left(t\right)$, которое выводится на основе закона (18), зависит от ряда коэффициентов, рассчитываемых на базе аналитической модели процесса. При этом анализ результатов решения задачи с использованием аналитической модели показывает, что экспонента на особом участке управляющего воздействия возрастает медленно и может быть аппроксимирована прямой без существенной потери точности. Поэтому с целью упрощения оптимизационной процедуры целесообразно рассмотреть алгоритм управления с заданным постоянным напряжением на особом участке $u_{\text{ос}}=\text{const}$, $u_{\text{ос}}<u_{\text{max}}$. Таким образом, при известных значениях $u_{\text{max}}$, $u_{\text{ос}}$, $t^0$ управляющее воздействие $u^{*}\left(t\right)$ оказывается параметризованным, т. е. заданным с точностью до значения параметров $t_{\text{н}}$, $t_{\text{к}}$, и тем самым исходная задача оптимального управления редуцируется к задаче математического программирования (ЗМП). Полученная ЗМП на минимум функционала качества (14) в условиях ограничений вида (11) принимает вид:

$\left\{\begin{array}{l}I={\displaystyle \underset{0}{\overset{{\phi }^0}{\int }}f\left({\theta }_{пов}\left(t_{н},t_{к}\right)\right)d\phi }\to \underset{t_{н},t_{к}}{\text{min}}\text{,}\\ \underset{\begin{array}{l}r\in \text{[0}\text{,}\text{}\text{}R\text{]}\\ l=L/2\end{array}}{\text{max}}\left|T\left(r,l,t_{н},t_{к}\right)-T^{*}\right|\le {\epsilon }_{\min }^{\left(2\right)}.\end{array}\right.$ (20)

Согласно альтернансному методу, число N оптимизируемых параметров алгоритма управления в ЗМП (20) однозначным образом связано с предельно достижимым значением точности нагрева ${\epsilon }_{\min }^{(N)}$ в классе рассматриваемых управляющих воздействий. Согласно (19), оптимизируемыми параметрами являются $t_{\text{н}}$, $t_{\text{к}}$, т. е. $N=2$, а точность нагрева ${\epsilon }_{\min }^{(2)}$ представляет минимально возможное, достижимое в классе двухпараметрических управлений отклонение температуры от требуемого значения, оцениваемое в равномерной метрике.

Согласно теории альтернансного метода, результирующее температурное распределение по центральному сечению заготовки в конце оптимального процесса имеет $N+1=3$ точки с максимальным отклонением температуры от требуемого значения, равным ${\epsilon }_{\min }^{(2)}$ (рис. 1). Очевидно, что второй экстремум по температуре достигается в некоторой внутренней точке радиального сечения, координата которой является дополнительной неизвестной, для отыскания которой можно использовать необходимые условия существования экстремума. Таким образом, зная форму температурной кривой (см. рис. 1), можно сформировать систему уравнений, которая оказывается замкнутой относительно всех неизвестных процесса, к которым относятся $t_{\text{н}}$, $t_{\text{к}}$, $r_1^0$, ${\epsilon }_{\text{min}}^{\left(2\right)}$:

$\left\{\begin{array}{l}T\left(\mathrm{0,}{t}_{н},t_{к}\right)-T^{*}=-{\epsilon }_{\text{min}}^{\left(2\right)};\\ T\left(r_1^0,t_{н},t_{к}\right)-T^{*}={\epsilon }_{\text{min}}^{\left(2\right)};\\ T\left(R,t_{н},t_{к}\right)-T^{*}=-{\epsilon }_{\text{min}}^{\left(2\right)};\\ \frac{\partial \left(T\left(r_1^0,t_{н},t_{к}\right)-T^{*}\right)}{\partial r}=0.\end{array}\right.$ (21)

При решении полученной системы уравнений (21) значения температуры $T\left(r,t\right)$ рассчитываются с помощью численной модели, разработанной в программном пакете Altair FLUX. Решение подобной сложной нелинейной системы возможно только численными методами с помощью специализированных программных пакетов. В работе для этих целей используется подробно описанная в [10$–$12] процедура оптимизации, разработанная в пакете MATLAB.

Рис. 1. Форма конечного температурного распределения по центральному сечению для предельно достижимой точности ${\epsilon }_{\text{min}}^{(2)}$

Результаты решения задачи оптимального по критерию минимума потерь металла в окалину управления

В качестве модели объекта управления в работе рассматривается численная двумерная модель индукционного нагрева, построенная в пакете Altair FLUX [13], верифицированная на основе экспериментальных данных, полученных на лабораторной нагревательной индукционной установке. Исходные данные для построения модели приведены в табл. 1.

Вид модели со сгенерированной конечно-элементной сеткой показан на рис. 2. Валидация разработанной модели путем сравнения результатов моделирования с экспериментальными данными приведена в [10].

Как было показано ранее, напряжение особого участка управляющего воздействия считается постоянным и принимается равным $u_{\text{ос}}=260$ В из условия изменения температуры поверхности по закону вида (18) при $u_{\text{max}}=300$B, $t^0=451$ c. Разработанная модель электромагнитного и температурного полей в процессе ИН была интегрирована в автоматизированную процедуру оптимизации в пакете MATLAB, реализующую решение системы (21).

Таблица 1. Исходные данные для построения модели

Рис. 2. Геометрия FLUX-модели со сгенерированной сеткой

В результате расчетов получены значения оптимальных параметров процесса, представленные в табл. 2. Оптимальный алгоритм управления, а также результирующее температурное распределение по радиальному сечению заготовки показаны на рис. 3.

Для анализа полученных результатов с помощью автоматизированной процедуры оптимизации были решены задачи оптимального по критериям быстродействия и минимума энергопотребления управления. Из теории альтернансного метода известно, что для предельной точности нагрева в классе задач с двумя оптимизируемыми параметрами алгоритмы управления оптимальные по быстродействию и энергопотреблению совпадают и формируют универсально-оптимальный алгоритм.

Таблица 2. Результаты решения задачи на минимум потерь металла в окалину

Рис. 3. Результаты решения задачи минимизации окалинообразования: а - алгоритм управления; б - радиальное температурное распределение

В табл. 3 представлены результаты решения задачи оптимального управления по критериям быстродействия и минимального потребления энергии при $u_{\text{max}}=300$B. В данном случае, как показано в [5], оптимизируемыми параметрами являются длительности интервала нагрева и выравнивания температуры Δ₁ и Δ₂. Оптимальный алгоритм управления, а также результирующее температурное распределение по радиальному сечению заготовки показаны на рис. 4.

Таблица 3. Результаты решения задач оптимального быстродействия и энергопотребления

Анализ полученных результатов однозначно показывает, что использование алгоритма управления, оптимального по критерию минимума образования окалины, позволяет сократить на 10 % количество окисленного металла по сравнению с типовым универсально-оптимальным по критериям быстродействия и энергопотребления алгоритмом. При этом очевидно, что общее время, затраченное на нагрев, существенно выше, чем в задачах оптимального быстродействия и минимального энергопотребления. Максимальное отклонение от требуемого значения температуры по радиальному сечению заготовки в обоих случаях оказывается меньше 30 °С, что удовлетворяет требованиям производственных процессов термической обработки стали.

Рис. 4. Результаты решения задачи оптимального быстродействия и минимума энергопотребления: а - алгоритм управления; б - радиальное температурное распределение

Заключение

В работе сформулирована задача оптимального управления процессом периодического индукционного нагрева стальных цилиндрических заготовок перед последующими операциями пластической деформации по критериям быстродействия, минимального энергопотребления и минимума потерь металла в окалину. Подробно рассмотрена методика решения задачи минимизации окалины на базе альтернансного метода. Сформулированные задачи были решены с помощью специализированной оптимизационной процедуры, построенной в пакете MATLAB с интегрированной численной моделью процесса, разработанной в Altair FLUX. Проведено сравнение результатов решения задачи оптимального управления по критерию минимума окалинообразования с результатами решения задач быстродействия и энергопотребления. Применение алгоритма управления, оптимального по критерию минимального окисления, позволяет сократить на 10 % потери металла в окалину по сравнению с алгоритмом оптимальным по критериям быстродействия и энергопотребления. На следующем этапе исследований планируется сформулировать и решить многокритериальную задачу оптимального управления процессом ИН относительно всех рассмотренных в работе типовых критериев.