Distributed nonstationary control system synthesis on a basis of spectral representation in space-time domain

Full Text

Введение

Распределенные системы управления в настоящее время получили широкое распространение. Особенностью таких систем является то, что для них учитывается зависимость состояния объекта не только от времени, но и от пространственных переменных. Для решения задач анализа и синтеза в распределенных системах управления разработаны различные методы, например методы теории оптимального управления, приводящие к интегральным, интегро-дифференциальным и дифференциальным уравнениям в частных производных [1–7]. Следует также выделить структурную теорию распределенных систем, позволяющую представить решение задачи в виде интеграла, связывающего вход и выход системы и содержащего функцию Грина [8, 9]. Недостатком этих методов является то, что все они приводят к уравнениям, содержащим производные или интегралы по пространственной координате. Частотные методы, в которых выполняется пространственно-частотная декомпозиция системы на отдельные контуры [10, 11], также имеют ограничение – предположение о том, что объект управления представляет собой недиспергируемую среду.

Отличительной особенностью спектрального метода является возможность перехода от исходного описания системы дифференциальным, интегральным или интегро-дифференциальным уравнением в частных производных к бесконечной системе уравнений, записанной относительно вектора спектральной характеристики. Спектральная характеристика представляет собой вектор, составленный из амплитуд пространственных мод разложения в ряд Фурье функции, описывающей состояние объекта. В случае разложения в ряд по пространственной переменной получаем бесконечную систему дифференциальных уравнений, в правую часть которой аддитивно входят граничные условия и другие внешние воздействия. Для такого представления системы могут применяться известные методы синтеза [12]. Для нестационарного объекта предлагается осуществлять разложение в ряд не только по пространственной переменной, но и по времени [13]. В этом случае получим бесконечную систему алгебраических уравнений, в которую также аддитивно входят граничные и начальные условия. Ниже будем называть такое спектральное представление пространственно-временным.

В работе сформулированы критерии устойчивости, стабилизируемости и детектируемости объекта управления на основе представления его математической модели в спектральной форме по пространственным переменным и времени. Для доказательства критериев использована теория линейных матричных неравенств [14], которая позволяет учесть параметрическую неопределенность объекта, источником которой являются неточность представления математической модели объекта управления и ограничение размерности бесконечных матриц, используемых при проведении вычислений спектральным методом. Исследованы вопросы сходимости полученных решений. Предложена процедура синтеза и найдено матричное представление передаточного коэффициента оптимального нестационарного регулятора.

Постановка задачи

Рассмотрим тепловой объект управления, описываемый нестационарным уравнением с частными производными, безразмерное представление которого имеет вид

${\alpha }_0(\xi ,\tau )\theta (\xi ,\tau )+{\alpha }_1(\xi ,\tau )\frac{\partial \theta (\xi ,\tau )}{\partial \xi }+{\alpha }_2(\xi ,\tau )\frac{{\partial }^2\theta (\xi ,\tau )}{\partial {\xi }^2}+f(\xi ,\tau ), \xi \in \left(\mathrm{0,1}\right), \tau >0$ (1)

функция состояния которого $\theta (\xi ,\tau )$ зависит от безразмерных пространственной и временной переменных $\xi ,\tau$, ${\alpha }_0(\xi ,\tau ),{\alpha }_1(\xi ,\tau ),{\alpha }_2(\xi ,\tau )$ – известные коэффициенты, в общем случае зависящие от пространственной переменной $\xi$ и времени $\tau , f(\xi ,\tau )$ – внешнее возмущение.

Начальные условия имеют вид

$\theta (\xi ,0)={\theta }_0\left(\xi \right), \xi \in \left[\mathrm{0,1}\right]$ (2)

Граничные условия определяются выражением

${\Gamma }_1{\left[\theta (\xi ,\tau )\right]}_{\xi =0}={\theta }_1\left(\tau \right), {\Gamma }_2{\left[\theta (\xi ,\tau )\right]}_{\xi =1}={\theta }_2\left(\tau \right), \tau \ge 0$ (3)

в котором запись ${\Gamma }_1{\left[\theta (\xi ,\tau )\right]}_{\xi =0}$, ${\Gamma }_2{\left[\theta (\xi ,\tau )\right]}_{\xi =1}$ обозначает операторы граничных условий. Будем считать, что управление объектом осуществляется с границ, то есть функции ${\theta }_1\left(\tau \right)$, ${\theta }_2\left(\tau \right)$ являются составляющими вектора управляющих воздействий:

$u\left(\tau \right)=colon\left({\theta }_1\left(\tau \right),{\theta }_2\left(\tau \right)\right)$ (4)

Введем в рассмотрение вектор измеряемых переменных

$y\left(\tau \right)=colon\left(\theta ({\xi }_1,\tau ),\theta ({\xi }_2,\tau ),\mathrm{...,}\theta ({\xi }_r,\tau )\right)$ (5)

где $y\left(\tau \right)\in R^r$ – вектор измеряемых выходов, представляющий собой вектор значений функции $\theta (\xi ,\tau )$ в точках ${\xi }_i,i=\overline{\mathrm{1,}r}$, r – количество измерительных устройств.

Для объекта управления (1)–(5) требуется синтезировать регулятор в форме линейной обратной связи по выходу:

$u\left(\tau \right)=W_{uy}\left(\tau \right)y\left(\tau \right)$ (6)

где $W_{uy}\left(\tau \right)$ – матрица передаточных коэффициентов, которая вследствие нестационарности объекта в общем случае зависит от времени τ.

Процедуру синтеза регулятора будем строить исходя из ограничения

$J\le {\delta }^2, {\delta }^2\to \min , J=\underset{0}{\overset{\infty }{\int }}\underset{0}{\overset{1}{\int }}q{\theta }^2(\xi ,\tau )d\xi d\tau , q=const, q>0$ (7)

C применением спектрального метода рассматриваемая задача может быть сведена к задаче полуопределенного программирования. Ниже получим спектральную форму представления задачи.

Спектральное представление объекта в пространственно-временной области

Для решения задачи используется спектральное представление объекта управления. Представим функцию $\theta (\xi ,\tau )$ в виде ряда Фурье по системе ортонормированных функций $\left\{P(h_1,\xi )\right\},\left\{L_{h_2-1}\left(\tau \right)\right\}(h_1,h_2=\overline{\mathrm{1,}\infty })$ по пространственной и временной переменным:

$\begin{array}{l}\theta (\xi ,\tau )=\sum _{h_1=1}^{\infty }\sum _{h_2=1}^{\infty }{\Phi }_{\theta }(h_1,h_2)P(h_1,\xi )L_{h_2-1}\left(\tau \right)б\\ {\Phi }_{\theta }(h_1,h_2)=\underset{0}{\overset{\infty }{\int }}\underset{0}{\overset{1}{\int }}\theta (\xi ,\tau )P(h_1,\xi )L_{h_2-1}\left(\tau \right)d\xi d\tau \end{array}$ (8)

В качестве системы разложения по переменной ξ использована система тригонометрических функций $\left\{P(h_1,\xi )\right\}(h_1=\overline{\mathrm{1,}\infty })$, ортонормированная на интервале $\xi \in \left[\mathrm{0,1}\right]$, по переменной τ – система функций Лагерра $\left\{L_{h_2-1}\left(\tau \right)\right\}(h_2=\overline{\mathrm{1,}\infty })$, ортонормированная на интервале $\tau \in \left[\mathrm{0,}\infty \right)$ [15].

Согласно [12, 13] спектральное представление объекта управления (1)–(3) в пространственно-временной области будет иметь вид

$P_{01}{\Phi }_{\theta }+{\Gamma }_{01}^{00}=P_{{\alpha }_0}{\Phi }_{\theta }+P_{{\alpha }_1}(P_{10}{\Phi }_{\theta }+{\Gamma }_{10}^{00}+{\Gamma }_{10}^{01})+P_{{\alpha }_2}(P_{20}{\Phi }_{\theta }+{\Gamma }_{20}^{10}+{\Gamma }_{20}^{11}+{\Gamma }_{20}^{00}+{\Gamma }_{20}^{01})+{\Phi }_f,$ (9)

где ${\Phi }_{\theta }\in R^{n_1{n}_2}, n_1,n_2=\overline{\mathrm{1,}\infty }$ – вектор спектральной характеристики функции $\theta (\xi ,\tau )$, взятой по временной и пространственной переменным; P₀₁ – операционная матрица дифференцирования первого порядка по переменной τ; ${\Gamma }_{01}^{00}\in R^{n_1{n}_2}, n_1, n_2=\overline{\mathrm{1,}\infty }$ – вектор спектрального представления начальных условий; P₁₀, P₂₀ – операционные матрицы дифференцирования первого порядка и второго порядка соответственно по переменной ξ; ${\Gamma }_{10}^{00}, {\Gamma }_{10}^{01}\in R^{n_1{n}_2}, n_1, n_2=\overline{\mathrm{1,}\infty }$ – векторы спектрального представления граничных условий первого рода на границах $\xi =\mathrm{0,} \xi =1$ соответственно (на значение $\xi$ указывает второй символ верхнего индекса); ${\Gamma }_{20}^{00}, {\Gamma }_{20}^{01}, {\Gamma }_{20}^{10}, {\Gamma }_{20}^{11}\in R^{n_1{n}_2}, n_1, n_2=\overline{\mathrm{1,}\infty }$ – векторы спектрального представления граничных условий второго рода на границах $\xi =\mathrm{0,} \xi =1$; $P_{{\alpha }_0}, P_{{\alpha }_1}, P_{{\alpha }_2}$ – операционные матрицы сомножителей ${\alpha }_0(\xi ,\tau ), {\alpha }_1(\xi ,\tau ), {\alpha }_2(\xi ,\tau )$ соответственно; ${\Phi }_f\in R^{n_1{n}_2}, n_1,n_2=\overline{\mathrm{1,}\infty }$ – вектор спектральной характеристики функции $f(\xi ,\tau )$. Выражения для вычисления операционных матриц приводятся в [13, 16].

Выражение (9) представляет собой бесконечную систему алгебраических уравнений, составленную относительно вектора спектральной характеристики ${\Phi }_{\theta }$ в пространственно-временной области. Это выражение можно записать в виде

$A{\Phi }_{\theta }={\Phi }_0+B{\Phi }_u+{\Phi }_f$,

$A=P_{01}-P_{{\alpha }_1}{P}_{10}-P_{{\alpha }_2}{P}_{20}-P_{{\alpha }_0}, {\Phi }_0=-{\Gamma }_{01}^{00},$

$B{\Phi }_u=P_{{\alpha }_1}({\Gamma }_{10}^{00}+{\Gamma }_{10}^{01})+P_{{\alpha }_2}({\Gamma }_{20}^{10}+{\Gamma }_{20}^{11}+{\Gamma }_{20}^{00}+{\Gamma }_{20}^{01})$ (10)

В выражении $B{\Phi }_u$ вектор ${\Phi }_u$ может быть выделен в явном виде

 

$B_1=-(P_{{\alpha }_1}+P_{{\alpha }_2}){\left[P\left(\xi \right)\otimes I_{n_2}\right]}_{\xi =0}, B_2=(P_{{\alpha }_1}+P_{{\alpha }_2}){\left[P\left(\xi \right)\otimes I_{n_2}\right]}_{\xi =1}$

$B_3=P_{{\alpha }_2}{\left[\frac{\partial P\left(\xi \right)}{\partial \xi }\otimes I_{n_2}\right]}_{\xi =0}, B_4=P_{{\alpha }_2}{\left[\frac{\partial P\left(\xi \right)}{\partial \xi }\otimes I_{n_2}\right]}_{\xi =1},$

$P\left(\xi \right)=colon\left\{P\right(\mathrm{1,}\xi ), P(\mathrm{2,}\xi ),\mathrm{...}\}, {\Phi }_u=colon\{{\Phi }_{{\theta }_0^0}, {\Phi }_{{\theta }_1^0}, {\Phi }_{{\theta }_1^0}, {\Phi }_{{\theta }_1^1}\}$ (11)

Относительную погрешность представления квадратично-интегрируемой функции $\theta (\xi ,\tau )$ рядом Фурье будем оценивать выражением

${\Delta }_{N_1{N}_2}=\frac{{\displaystyle \underset{0}{\overset{\infty }{\int }}\underset{0}{\overset{1}{\int }}{\left[\overline{\theta }(\xi ,\tau )-\sum _{h_1=1}^{N_1}\sum _{h_2=1}^{N_2}{\Phi }_{\theta }(h_1,h_2)P(h_1,x)L_{h_2-1}\left(\tau \right)\right]}^{2}d\xi d\tau }}{{\displaystyle \underset{0}{\overset{\infty }{\int }}\underset{0}{\overset{1}{\int }}{\overline{\theta }}^2(\xi ,\tau )d\xi d\tau }}$, (12)

где $\overline{\theta }(\xi ,\tau )$ – решение, удовлетворяющее (1)–(3). Это решение может быть получено аналитически или численным методом.

Количество мод разложения N₁, N₂ для выполнения вычислительных процедур будем выбирать в соответствии с критерием

${\Delta }_{N_1{N}_2}<\eta$, (13)

где $\eta$ задается исходя из требований к точности пространственно-временного спектрального представления объекта.

С учетом спектрального представления объекта эквивалентная формулировка задачи (7) будет иметь вид

${\Phi }_{\theta }^{{\rm T}}Q{\Phi }_{\theta }\le {\delta }^2, Q=qI, q>\mathrm{0,} {\delta }^2\to \min$ (14)

где I – здесь и далее единичная матрица соответствующей размерности.

Анализ пространственно-временного спектрального представления объекта (9)–(11) и сравнение с решением, полученным аналитически или численным методом [17], позволяют определить необходимое количество спектральных мод для достижения заданной точности . Далее будем полагать, что N₁, N₂ найдены, и использовать усеченные матрицы для описания объекта управления в пространственно-временной области и решения задачи синтеза.

Критерий устойчивости спектрального представления в пространственно-временной области

Пусть движение объекта (1)–(3) обусловлено только ненулевым начальным состоянием, функции граничных условий и внешнего воздействия равны нулю: ${\theta }_0^1\left(\tau \right)=\mathrm{0,} {\theta }_1^1\left(\tau \right)=0$, $({\Phi }_{{\theta }_0^1}=\mathrm{0,}{\Phi }_{{\theta }_1^1}=0)$, $f(\xi ,\tau )$ $({\Phi }_f=0)$. Спектральное представление (10) имеет вид

$A{\Phi }_{\theta }={\Phi }_0$ (15)

где ${\Phi }_{\theta }\in R^{n_1{n}_2}, n_1,n_2=\overline{\mathrm{1,}\infty }$ – неизвестный вектор спектральной характеристики, взятой по переменным τ, ξ; ${\Phi }_0\in R^{n_1{n}_2}, n_1,n_2=\overline{\mathrm{1,}\infty }$ – числовой вектор начальных условий; A – квадратная числовая $\left(n_1{n}_2\right)\times \left(n_1{n}_2\right)$-матрица.

Вектор ${\Phi }_{\theta }$ можно определить из выражения (15):

${\Phi }_{\theta }=A^{-1}{\Phi }_0$ (16)

Введем в рассмотрение эллипсоид, внутри которого должен находиться устойчивый объект управления (15), удовлетворяющий условию (14):

$\epsilon =\left\{{\Phi }_{\theta }\in R^{n_1{n}_2}; {\Phi }_0^{{\rm T}}{\left(AP{A}^{{\rm T}}\right)}^{-1}{\Phi }_0\le {\delta }^2\right\}, P=Q^{-1}=q^{-1}I, P\succ 0, {\delta }^2\to \min$ (17)

Введем определение устойчивости системы (15).

Определение 1. Пространственно-временное спектральное представление (15) является устойчивым, если спектральная характеристика ${\Phi }_{\theta }$ находится внутри эллипсоида (17), для которого величина δ² конечна.

Принимая во внимание связь (14) и (7), можно утверждать, что смысл определения устойчивости заключается в ограниченности энергии функции, описывающей состояние объекта управления. Таким образом, можно утверждать, что члены ряда более высокого порядка оказывают все меньшее влияние на решение, то есть $\underset{n_1, n_2\to \infty }{\lim }q{\Phi }_{\theta }^2\left(n_1, n_2\right)=0$.

Задача (17) представляет собой задачу полуопределенного программирования и может быть переписана в виде

${\delta }^2-{\Phi }_0^{{\rm T}}{\left(AP{A}^{{\rm T}}\right)}^{-1}{\Phi }_0\ge \mathrm{0,} {\delta }^2\to \min$ (18)

В соответствии с леммой Шура [14] будем иметь:

$\left[\begin{array}{cc}{\delta }^2& {\Phi }_0^{{\rm T}}\\ {\Phi }_0& AP{A}^{{\rm T}}\end{array}\right]\ge \mathrm{0,} {\delta }^2\to \min$ (19)

Для решения этой задачи может быть использован пакет YALMIP, разработанный для использования в системе Matlab [18].

Проверка условия определения 1 заключается в решении задачи (19) при увеличении n₁, n₂ и может быть сформулирована в форме критерия.

Утверждение 1. Критерий устойчивости системы (15). Пространственно-временное представление объекта (15) является устойчивым, если задача полуопределенного программирования (19) имеет решение и последовательности, составленные из ${\widehat{\delta }}^2(n_1, n_2)$ при увеличении n₁, n₂, имеют конечный предел.

Существование предела может быть установлено с применением алгоритма.

Алгоритм 1.

1. Задать начальные значения

$n_1=n_{10}, n_2=n_{20}$

и конечные значения

$n_1=N_1, n_2=N_2$

В качестве $n_{10}, n_{20}$ можно выбрать, например, $n_{10}=n_{20}=1$. Выбор конечных значений N₁, N₂ определяется конкретно для каждого случая и может корректироваться в процессе вычислений.

2. Решить задачу полу-определенного программирования (19) с матрицами ${Ф}_0$, A, размерности которых соответствуют $n_1, n_2$.
3. Увеличить $n_2$ на единицу. Если $n_2\le N_2$, то перейти к пункту 2, иначе установить $n_2=n_{20}$ и перейти к пункту 4.
4. Увеличить $n_1$ на единицу. Если $n_1\le N_1$, то перейти к пункту 2, иначе перейти к пункту 5.
5. Составить из ${\delta }^2\left(n_1,n_2\right) \left(n_1=\overline{n_{10},N_1}, n_2=\overline{n_{20},N_2}\right)$ числовые подпоследовательности, где для каждого $n_1$ индекс $n_2$ меняется в порядке возрастания, или наоборот, для каждого $n_2$ индекс $n_1$ меняется в порядке возрастания.
6. По составленным подпоследовательностям проверить существование предела. Если предел существует, то пространственно-временное представление объекта (4)–(6) является устойчивым.

Блок-схема алгоритма 1 представлена на рис. 1.

 

Рис. 1. Блок-схема алгоритма 1

 

Замечание 1. Матричное неравенство в задаче (19), решение которой позволяет судить об устойчивости, является линейным. При использовании данного неравенства в задаче построения обратной связи по вектору ${\Phi }_{\theta }$ матрица A замкнутой системы будет содержать неизвестную матрицу регулятора и матричное неравенство окажется квадратичным относительно этой матрицы. Модифицируем неравенство из (19) таким образом, чтобы матричное неравенство являлось линейным.

В силу $P^{-1}=Q\succ 0$ выполняется $AP{A}^{{\rm T}}\succ 0$. В этом случае можно записать

$AP{A}^{{\rm T}}\succ A+A^{{\rm T}}-Q$ (20)

Доказательство данного утверждения приводится в [15]:

$0\prec \left(A-P^{-1}\right)P{\left(A-P^{-1}\right)}^{{\rm T}}\prec AP{A}^{{\rm T}}-A-A^{{\rm T}}+P^{-1}$ (21)

откуда следует (20).

Замена матричного блока $AP{A}^{{\rm T}}$ в выражении (19) в соответствии с (21) позволяет сформулировать задачу полуопределенного программирования следующим образом:

$\left[\begin{array}{cc}{\delta }^2& {\Phi }_0^{{\rm T}}\\ {\Phi }_0& A+A^{{\rm T}}-Q\end{array}\right]\succcurlyeq 0, {\delta }^2\to min$ (22)

Решением задачи (22) является оценка сверху квадрата нормы вектора амплитуд пространственно-временных мод системы ${\widehat{\delta }}^2$.

Стабилизация для системы с полной информацией

Рассмотрим задачу стабилизации линейного объекта в пространственно-временной спектральной форме представления (10) при условии, что известна полная информация о системе. Будем полагать, что управление осуществляется по принципу обратной связи, то есть

${\Phi }_u=K{\Phi }_{\theta }$ (23)

Запишем уравнение замкнутой системы:

$\left(A-BK\right){\Phi }_{\theta }={\Phi }_0$ (24)

Для системы (24) определим эллипсоид

$\epsilon =\left\{{\Phi }_{\theta }\in R^{n_1{n}_2}; {\Phi }_0^{{\rm T}}{\left(\tilde{A}P{\tilde{A}}^{{\rm T}}\right)}^{-1}{\Phi }_0\le {\delta }^2\right\}, \tilde{A}=A-BK, P=Q^{-1}=q^{-1}I, P\succ \mathrm{0,} {\delta }^2\to \min ,$ (25)

внутри которого должна находиться устойчивая замкнутая система (24).

Задача синтеза регулятора по критерию (25) может быть сформулирована в форме задачи полуопределенного программирования:

$\left[\begin{array}{cc}{\delta }^2& {\Phi }_0^{{\rm T}}\\ {\Phi }_0& A+A^{{\rm T}}-BK-K^{{\rm T}}{B}^{{\rm T}}-Q\end{array}\right]\ge 0, {\delta }^2\to min$ (26)

откуда определяется матрица регулятора K и оценка сверху квадрата нормы вектора амплитуд пространственно-временных мод замкнутой системы ${\widehat{\delta }}^2$.

Определение 2. Пространственно-временное спектральное представление (24) является стабилизируемым, если существует такая матрица K, для которой спектральное представление (24) является устойчивым.

Утверждение 2. Критерий стабилизируемости системы (24). Пространственно-временное спектральное представление системы (24) является стабилизируемым, если существует такая матрица K, для которой задача полуопределенного программирования (26) имеет решение $K,{\widehat{\delta }}^2$ и последовательности, составленные из ${\widehat{\delta }}^2\left(n_1,n_2\right) \left(n_1=\overline{n_{10},N_1}, n_2=\overline{n_{20},N_2}\right)$, имеют конечный предел.

Проверка утверждения 2 может быть выполнена по следующему алгоритму.

Алгоритм 2.

1. Задать конечные значения $n_1=N_1, n_2=N_2$. Задать начальные значения $n_1=n_{10}, n_2=n_{20}$, например $n_{10}=n_{20}=1$.
2. Решить задачу (26), получить $K\left(N_1,N_2\right)$, ${\delta }^2\left(N_1,N_2\right)$.
3. Установить начальные значения $n_1=n_{10}, n_2=n_{20}$.
4. Составить матрицу K из строк и столбцов матрицы $K\left(N_1,N_2\right)$ с учетом новых размерностей $n_1\le N_1, n_2\le N_2$. Вычислить матрицу $\tilde{A}=A-BK$. Решить задачу (19) с вычисленной матрицей $\tilde{A}$. Определить ${\delta }^2\left(n_1, n_2\right)$.
5. Увеличить $n_2$ на единицу. Если $n_2\le N_2$, то перейти к пункту 4, иначе установить $n_2=n_{20}$ и перейти к пункту 6.
6. Увеличить $n_1$ на единицу. Если $n_1\le N_1$, то перейти к пункту 4, иначе перейти к пункту 7.
7. Составить из ${\delta }^2\left(n_1,n_2\right) \left(n_1=\overline{n_{10},N_1}, n_2=\overline{n_{20},N_2}\right)$ числовые подпоследовательности, где для каждого $n_1$ индекс $n_2$ меняется в порядке возрастания, или наоборот, для каждого $n_2$ индекс $n_1$ меняется в порядке возрастания.
8. Для составленных подпоследовательностей проверить существование предела. Если предел существует, то представление объекта (15), (23) в пространственно-временной области является устойчивым.

Блок-схема алгоритма 2 представлена на рис. 2.

 

Рис. 2. Блок-схема алгоритма 2

 

Замечание 2. Для распределенной системы (1)–(3) вектор ${\Phi }_{\theta }$ заранее неизвестен, что делает невозможным практическое применение регулятора (23). Оценить вектор ${\Phi }_{\theta }$ можно с помощью наблюдателя.

Замечание 3. Для выполнения пункта 4 алгоритма 2 сокращение порядка достигается умножением на матрицу

$T=\left[\begin{array}{cc}{I}_{n_1}& 0_{\left(N_1-n_1\right)\times n_1}\end{array}\right]\otimes \left[\begin{array}{cc}{I}_{n_2}& 0_{\left(N_2-n_2\right)\times n_2}\end{array}\right]$ (27)

В этом случае матрицы системы более низкого порядка определяются следующим образом:

$A\left(n_1,n_2\right)=T^{{\rm T}}A\left(N_1,N_2\right)T, \left[\begin{array}{cc}B\left(n_1,n_2\right)& 0_{\left(n_1{n}_2\right)\times \left(N_1-n_1\right)}\end{array}\right]=T^{{\rm T}}B\left(N_1,N_2\right), \left[\begin{array}{c}K\left(n_1,n_2\right)\\ {\left[\ast \right]}_{\left(N_1-n_1\right)\times \left(n_1{n}_2\right)}\end{array}\right]=K\left(N_1,N_2\right)T$ (28)

где $0_{\left(n_1{n}_2\right)\times \left(N_1-n_1\right)}$ – нулевой матричный блок соответствующих размерностей, который следует отбросить; ${\left[\ast \right]}_{\left(N_1-n_1\right)\times \left(n_1{n}_2\right)}$ – ненулевой матричный блок соответствующих размерностей, который следует отбросить.

 

Стабилизация по измеряемому выходу с использованием наблюдателя

Рассмотрим систему

$A{\Phi }_{\theta }={\Phi }_0, {\Phi }_y=C{\Phi }_{\theta }$ (29)

где ${\Phi }_{\theta }\in R^{n_1{n}_2}, n_1,n_2=\overline{\mathrm{1,}\infty }$ – вектор спектральной характеристики, взятой по переменным τ, ξ ; ${\Phi }_0\in R^{n_1{n}_2}, n_1,n_2=\overline{\mathrm{1,}\infty }$ – числовой вектор начальных условий; A – квадратная числовая (n₁ n₂)x(n₁ n₂)-матрица, $n_1,n_2=\overline{\mathrm{1,}\infty }$; ${\Phi }_y\in R^{r{n}_1}, n_1=\overline{\mathrm{1,}\infty }$ – вектор амплитуд временных мод функций ${\theta }_k\left(\tau \right)=\theta \left({\xi }_k,\tau \right)$, в точках измерения $k=\overline{\mathrm{1,}r}$, r – количество точек измерения; C – числовая (r n₁)x(n₁ n₂)-матрица.

Будем называть наблюдателем систему

$A{\widehat{\Phi }}_{\theta }=L({\Phi }_y-C{\widehat{\Phi }}_{\theta }), {\Phi }_y=C{\Phi }_{\theta }$ (30)

в уравнение которой входит рассогласование выхода ${\Phi }_y$ и его оценки $C{\widehat{\Phi }}_{\theta }$. Матрица L неизвестна и подлежит определению.

Невязка $e={\Phi }_{\theta }-{\widehat{\Phi }}_{\theta }$ должна удовлетворять уравнению

$(A+LC)e={\Phi }_0$ (31)

Для системы (31) требуется решить задачу выбора матрицы L при условии

$e^{{\rm T}}{Q}_{e}e\le {\delta }^2, Q_e=q_{e}I, {\delta }^2\to \min .$ (32)

Для этого следует решить задачу полуопределенного программирования:

$\left[\begin{array}{cc}{\delta }^2& {\Phi }_0^{{\rm T}}\\ {\Phi }_0& A+A^{{\rm T}}+LC+C^{{\rm T}}{L}^{{\rm T}}-Q_e\end{array}\right]\ge 0, {\delta }^2\to min$ (33)

Уравнение (33) можно рассматривать как систему с матрицами $A^{{\rm T}}, C^{{\rm T}}$, замкнутую обратной связью, пропорциональной вектору невязки e с матричным коэффициентом $-L^{{\rm T}}$.

Сформулируем определение детектируемости системы (29).

Определение 3. Спектральное представление (29) в пространственно-временной области является стабилизируемым, если существует такая матрица L, для которой спектральное представление (31) является устойчивым.

Утверждение 3. Критерий детектируемости системы (29). Спектральное представление системы (29) в пространственно-временной области является детектируемым, если существует такая матрица L, для которой задача полуопределенного программирования (33) имеет решение $L, {\delta }^2$ и последовательности, составленные из ${\widehat{\delta }}^2\left(n_1,n_2\right)$ $\left(n_1=\overline{n_{10},N_1}, n_2=\overline{n_{20},N_2}\right)$, имеют конечный предел.

Проверка утверждения 3 может быть выполнена по алгоритму 3, дуальному по отношению к алгоритму 2.

Алгоритм 3.

1. Задать конечные значения $n_1=N_1, n_2=N_2$. Эти значения могут быть оценены по алгоритму 1 либо быть выбраны «достаточно большими». Задать начальные значения $n_1=n_{10}, n_2=n_{20}$, например $n_{10}=n_{20}=1$.
2. Решить задачу (33), получить $L\left(N_1, N_2\right)$, ${\delta }^2\left(N_1, N_2\right)$.
3. Установить начальные значения $n_1=n_{10}, n_2=n_{20}$.
4. Составить матрицу L из строк и столбцов матрицы $L\left(N_1, N_2\right)$ с учетом новых размерностей $n_1, n_2$. Вычислить матрицу $\stackrel{⌣}{A}=A+LC$. Решить задачу (19) с вычисленной матрицей $\stackrel{⌣}{A}$. Определить ${\delta }^2\left(n_1, n_2\right)$. Вернуться к пункту 3.
5. Увеличить $n_2$ на единицу. Если $n_2\le N_2$, то перейти к пункту 4, иначе установить $n_2=n_{20}$ и перейти к пункту 6.
6. Увеличить $n_1$ на единицу. Если $n_1\le N_1$, то перейти к пункту 4, иначе перейти к пункту 7.
7. Составить из ${\delta }^2\left(n_1,n_2\right) \left(n_1=\overline{n_{10},N_1}, n_2=\overline{n_{20},N_2}\right)$ числовые подпоследовательности, где для каждого $n_1$ индекс $n_2$ меняется в порядке возрастания, или наоборот, для каждого $n_2$ индекс $n_1$ меняется в порядке возрастания.
8. Для составленных подпоследовательностей проверить существование предела. Если предел существует, то пространственно-временное представление объекта (30) является устойчивым.

Блок-схема алгоритма 3 представлена на рис. 3.

 

Рис. 3. Блок-схема алгоритма 3

 

Замечание 4. Для выполнения пункта 4 алгоритма 3 сокращение порядка достигается умножением на матрицу

$T=\left[\begin{array}{cc}{I}_{n_1}& 0_{\left(N_1-n_1\right)\times n_1}\end{array}\right]\otimes \left[\begin{array}{cc}{I}_{n_2}& 0_{\left(N_2-n_2\right)\times n_2}\end{array}\right]$ (34)

В этом случае матрицы системы более низкого порядка определяются следующим образом:

$A\left(n_1,n_2\right)=T^{{\rm T}}A\left(N_1,N_2\right)T, \left[\begin{array}{cc}L\left(n_1,n_2\right)& {\left[\ast \right]}_{\left(n_1{n}_2\right)\times \left(N_1-n_1\right)}\end{array}\right]=T^{{\rm T}}L\left(N_1,N_2\right), \left[\begin{array}{c}C\left(n_1,n_2\right)\\ 0_{\left(N_1-n_1\right)\times \left(n_1{n}_2\right)}\end{array}\right]=C\left(N_1,N_2\right)T$ (35)

где $0_{\left(N_1-n_1\right)\times \left(n_1{n}_2\right)}$ – нулевой матричный блок соответствующих размерностей, который следует отбросить; ${\left[\ast \right]}_{\left(n_1{n}_2\right)\times \left(N_1-n_1\right)}$ – ненулевой матричный блок соответствующих размерностей, который следует отбросить.

Синтез регулятора

Рассмотрим объект вида

$A{\Phi }_{\theta }=B{\Phi }_u+G{\Phi }_w, {\Phi }_y=C{\Phi }_{\theta }$ (36)

где ${\Phi }_{\theta }\in R^{n_1{n}_2}, n_1,n_2=\overline{\mathrm{1,}\infty }$ – вектор спектральной характеристики функции $\theta \left(\xi ,\tau \right)$, взятой по переменным ξ, τ; ${\Phi }_u\in R^{2n_1}, n_1=\overline{\mathrm{1,}\infty }$ – вектор спектральной характеристики управления (4), взятой по переменной τ; $G{\Phi }_w={\Phi }_f$ – вектор спектральной характеристики возмущения; ${\Phi }_y\in R^{r{n}_1}, n_1=\overline{\mathrm{1,}\infty }$ – вектор, составленный из спектральных характеристик компонент вектора измеряемых переменных $y\left(\tau \right)$, взятых по переменной τ в точках измерения ${\xi }_i,i=\overline{\mathrm{1,}r}$, r – количество точек измерения; $A, B, C, G$ – числовые матрицы, матрица A имеет размерность $\left(n_1{n}_2\right)\times \left(n_1{n}_2\right)$, B – $\left(n_1{n}_2\right)\times \left(2n_1\right)$, C – $\left(r{n}_1\right)\times \left(n_1{n}_2\right)$, размерность матрицы G определяется размерностью вектора ${\Phi }_w$ (в случае возмущения, аддитивного управлению, будем иметь размерность $\left(n_1{n}_2\right)\times \left(2n_1\right)$). Будем полагать, что энергия возмущения ограничена: ${||{\Phi }_w||}_2^2\le {\epsilon }^2$.

Дополним объект (36) регулятором

$A{\widehat{\Phi }}_{\theta }=B{\Phi }_u+L\left({\Phi }_y-C{\widehat{\Phi }}_{\theta }\right), {\Phi }_u=K{\widehat{\Phi }}_{\theta }$ (37)

представляющим совокупность обратной связи по состоянию и наблюдающего устройства.

Составим уравнение замкнутой системы относительно вектора $\overline{\Phi }=colon\left\{{\Phi }_{\theta },e\right\}$, где e – невязка, удовлетворяющая выражению (31):

$\left[\begin{array}{cc}A-BK& BK\\ 0& A+LC\end{array}\right]\overline{\Phi }=\left[\begin{array}{c}G\\ G\end{array}\right]{\Phi }_w$ (38)

или

$\overline{A}\overline{\Phi }=\overline{G}{\Phi }_w$ (39)

Задача (22), сформулированная для системы (39), будет иметь вид:

$\left[\begin{array}{cc}{\delta }^2& {\Phi }_w^{{\rm T}}{\overline{G}}^{{\rm T}}\\ \overline{G}{\Phi }_w& \overline{A}+{\overline{A}}^{{\rm T}}-\overline{Q}\end{array}\right]\ge 0, {\delta }^2\to min, \overline{Q}=diag\left\{Q,Q_e\right\}$ (40)

С использованием леммы Шура задача (40) может быть переписана в более удобном виде. Для этого представим ее в следующей эквивалентной записи:

$\left(\overline{A}+{\overline{A}}^{{\rm T}}-\overline{Q}\right)-{\delta }^{-2}\overline{G}{\Phi }_w{\Phi }_w^{{\rm T}}{\overline{G}}^{{\rm T}}\ge \mathrm{0,} {\delta }^2\to \min$ (41)

В силу того, что справедливо неравенство ${\Phi }_w{\Phi }_w^{{\rm T}}$≼${||{\Phi }_w||}^2{I}_{2n_1}$, перепишем (41) в виде

$\left(\overline{A}+{\overline{A}}^{{\rm T}}-\overline{Q}\right)-{\epsilon }^2{\delta }^{-2}\overline{G}{\overline{G}}^{{\rm T}}\ge \mathrm{0,} {\delta }^2\to \min$ (42)

или в силу леммы Шура

$\left[\begin{array}{cc}\frac{{\delta }^2}{{\epsilon }^2}{I}_{2n_1}& {\overline{G}}^{{\rm T}}\\ \overline{G}& \overline{A}+{\overline{A}}^{{\rm T}}-\overline{Q}\end{array}\right]\ge \mathrm{0,} {\delta }^2\to \min$ (43)

Отметим, что размерность блока $\frac{{\delta }^2}{{\epsilon }^2}{I}_{2n_1}$ соответствует размерности вектора ${\Phi }_w$. Если выбрать возмущение ${||{\Phi }_w||}^2\le 1$, то задача (43) принимает вид

$\left[\begin{array}{cc}{\delta }^2{I}_{2n_1}& {\overline{G}}^{{\rm T}}\\ \overline{G}& \overline{A}+{\overline{A}}^{{\rm T}}-\overline{Q}\end{array}\right]\ge \mathrm{0,} {\delta }^2\to \min$ (44)

или с учетом структуры матриц расширенной системы (38)

 

$\left[{}_{}\begin{array}{ccc}{\delta }^2{I}_{2n_1}& G^{{\rm T}}& G^{{\rm T}}\\ G& A+A^{{\rm T}}-BK-K^{{\rm T}}{B}^{{\rm T}}-Q& BK\\ G& K^{{\rm T}}{B}^{{\rm T}}& A+A^{{\rm T}}+LC+C^{{\rm T}}{L}^{{\rm T}}-Q_e\end{array}\right]\ge 0, {\delta }^2\to \min$ (45)

Теорема 1. Пусть $K, L, {\delta }^2$ – решение задачи (45), и пусть последовательности, составленные из ${\delta }^2\left(n_1,n_2\right) \left(n_1=\overline{n_{10},N_1}, n_2=\overline{n_{20},N_2}\right)$, имеют предел. Тогда регулятор (37) стабилизирует объект (36).

Алгоритм 4 исследования устойчивости замкнутой системы на основе пространственно-временного спектрального представления (36), (37) (рис. 4).

1. Задать конечные значения $n_1=N_1, n_2=N_2$. Задать начальные значения $n_1=n_{10}, n_2=n_{20}$, например $n_{10}=n_{20}=1$.
2. Решить задачу (45), получить $K\left(N_1,N_2\right), L\left(N_1,N_2\right), {\delta }^2\left(N_1,N_2\right)$.
3. Установить начальные значения $n_1=n_{10}, n_2=n_{20}$.
4. Составить матрицы $K, L$ из строк и столбцов матриц $K\left(N_1,N_2\right), L\left(N_1,N_2\right)$ с учетом новых размерностей $n_1\le N_1, n_2\le N_2$. Вычислить матрицу $\overline{A}=\left[\begin{array}{cc}A-BK& BK\\ 0& A+LC\end{array}\right]$. Решить задачу (22) с вычисленной матрицей $\overline{A}$. Определить ${\delta }^2\left(n_1,n_2\right)$.
5. Увеличить $n_2$ на единицу. Если $n_2\le N_2$, то перейти к пункту 4, иначе установить $n_2=n_{20}$ и перейти к пункту 6.

6. Увеличить $n_1$ на единицу. Если $n_1\le N_1$, то перейти к пункту 4, иначе перейти к пункту 7.
7. Составить из ${\delta }^2\left(n_1,n_2\right)$ $\left(n_1=\overline{n_{10},N_1}, n_2=\overline{n_{20},N_2}\right)$ числовые подпоследовательности, где для каждого $n_1$ индекс $n_2$ меняется в порядке возрастания, или наоборот, для каждого $n_2$ индекс $n_1$ меняется в порядке возрастания.
8. Для составленных подпоследовательностей проверить существование предела. Если предел существует, то пространственно-временное представление системы (36), (37) является устойчивым.

 

Рис. 4. Блок-схема алгоритма 4

 

Замечание 5. Конечные значения N₁, N₂ могут быть оценены по алгоритму 1 либо быть выбраны «достаточно большими». Обычно точность решения в 3–5 % обеспечивается при учете 7–9 членов ряда по каждой из координат.

Замечание 6. Решением задачи синтеза является оценка сверху величины ${\delta }^2$. Согласно (13), величина ${\delta }^2$ ограничивает ${||{\Phi }_{\theta }||}^2$. Пусть решение задачи (45) существует и найденный регулятор обеспечивает устойчивость замкнутой системы. О качестве найденного решения позволяет судить анализ переходных процессов в системе с найденным законом управления. Если качество переходных процессов неудовлетворительное, то следует задать величину ${\delta }^2$ больше, чем получено при решении задачи (45), и найти $K,L$ из решения линейного матричного неравенства, входящего в (45), для выбранного ${\delta }^2$.

Замечание 7. Для выполнения пункта 4 алгоритма 4 сокращение порядка достигается умножением на матрицу

$T=\left[\begin{array}{cc}{I}_{n_1}& 0_{\left(N_1-n_1\right)\times n_1}\end{array}\right]\otimes \left[\begin{array}{cc}{I}_{n_2}& 0_{\left(N_2-n_2\right)\times n_2}\end{array}\right]$ (46)

В этом случае матрицы системы более низкого порядка определяются следующим образом:

$$\begin{gathered} A\left(n_1,n_2\right)=T^{{\rm T}}A\left(N_1,N_2\right)T, \left[\begin{array}{cc}B\left(n_1,n_2\right)& 0_{\left(n_1{n}_2\right)\times \left(N_1-n_1\right)}\end{array}\right]=T^{{\rm T}}B\left(N_1,N_2\right), \\ \left[\begin{array}{cc}L\left(n_1,n_2\right)& {\left[\ast \right]}_{\left(n_1{n}_2\right)\times \left(N_1-n_1\right)}\end{array}\right]=T^{{\rm T}}L\left(N_1,N_2\right),\left[\begin{array}{c}C\left(n_1,n_2\right)\\ 0_{\left(N_1-n_1\right)\times \left(n_1{n}_2\right)}\end{array}\right]=C\left(N_1,N_2\right)T, \left[\begin{array}{c}K\left(n_1,n_2\right)\\ {\left[\ast \right]}_{\left(N_1-n_1\right)\times \left(n_1{n}_2\right)}\end{array}\right]=K\left(N_1,N_2\right)T \end{gathered}$$ (47)

где $0_{\left(n_1{n}_2\right)\times \left(N_1-n_1\right)}$, $0_{\left(N_1-n_1\right)\times \left(n_1{n}_2\right)}$ – нулевые матричные блоки соответствующих размерностей, которые следует отбросить; ${\left[\ast \right]}_{\left(n_1{n}_2\right)\times \left(N_1-n_1\right)}$, ${\left[\ast \right]}_{\left(N_1-n_1\right)\times \left(n_1{n}_2\right)}$ – ненулевые матричные блоки соответствующих размерностей, которые следует отбросить.

Замечание 8. Построение данного регулятора выполнено в спектральной области представления. Для применения данного регулятора следует записать его в форме коэффициента передачи от измеряемого выхода к управляющему входу.

Определение матрицы передаточных коэффициентов регулятора

Получим матрицу передаточных коэффициентов регулятора, выразив из первого уравнения (37) ${\widehat{\Phi }}_{\theta }$ и подставив во второе:

${\Phi }_u=K{\left(A-BK+LC\right)}^{-1}L{\Phi }_y$ (48)

Осуществим переход от векторов спектральных характеристик ${\Phi }_u, {\Phi }_y$, взятых по переменной τ, к исходным переменным $u\left(\tau \right), y\left(\tau \right)$. Вектор спектральных характеристик управляющих входов составлен из амплитуд спектральных мод функций граничных условий. Вектор спектральных характеристик измеряемых выходов ${\Phi }_y$ составлен из амплитуд временных мод функций ${\theta }_k\left(\tau \right)=\theta \left({\xi }_k,\tau \right)$, в точках измерения $k=\overline{\mathrm{1,}r}$, r – количество точек измерения, то есть ${\Phi }_y=colon\left\{{\Phi }_{y_1}, {\Phi }_{y_2},\mathrm{...,}{\Phi }_{y_r}\right\}$.

Обобщим вектор $u\left(\tau \right)$ на случай m управляющих входов: ${\Phi }_u=colon\left\{{\Phi }_{u_1},{\Phi }_{u_2},\mathrm{...,}{\Phi }_{u_m}\right\}.$

Для управляющих входов и измеряемых выходов справедливы следующие выражения:

$$\begin{gathered} u_i\left(\tau \right)=\sum _{h_2=1}^{\infty }{\Phi }_{u_i}\left(h_2\right)L_{h_2-1}\left(\tau \right), i=\overline{\mathrm{1,}m} \\ {y}_k\left(\tau \right)=\sum _{h_2=1}^{\infty }{\Phi }_{y_k}\left(h_2\right)L_{h_2-1}\left(\tau \right), k=\overline{\mathrm{1,}r} \end{gathered}$$ (49)

Векторно-матричная запись (49) имеет вид

$u=M_u\left(\tau \right){\Phi }_u, y=M_y\left(\tau \right){\Phi }_y$ (50)

или

$$\begin{gathered} \left[\begin{array}{c}{u}_1\\ \cdots \\ u_m\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccccc}{L}_0\left(\tau \right)& L_1\left(\tau \right)& \cdots & 0& 0& \cdots \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ 0& 0& \cdots & L_0\left(\tau \right)& L_1\left(\tau \right)& \cdots \end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\Phi }_{u_1}\left(1\right)\\ {\Phi }_{u_1}\left(2\right)\\ \cdots \\ {\Phi }_{u_m}\left(1\right)\\ {\Phi }_{u_m}\left(2\right)\\ \cdots \end{array}\right] \\ \left[\begin{array}{c}{y}_1\\ \cdots \\ y_r\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccccc}{L}_0\left(\tau \right)& L_1\left(\tau \right)& \cdots & 0& 0& \cdots \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ 0& 0& \cdots & L_0\left(\tau \right)& L_1\left(\tau \right)& \cdots \end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\Phi }_{y_1}\left(1\right)\\ {\Phi }_{y_1}\left(1\right)\\ \cdots \\ {{\Phi }_y}_r\left(1\right)\\ {{\Phi }_y}_r\left(1\right)\\ \cdots \end{array}\right] \end{gathered}$$ (51)

откуда можно получить выражения для матриц $M_u\left(\tau \right), M_y\left(\tau \right)$:

$M_u\left(\tau \right)=I_m\otimes \left[\begin{array}{c}{L}_0\left(\tau \right)\\ L_1\left(\tau \right)\\ \dots \end{array}\right], M_y\left(\tau \right)=I_r\otimes \left[\begin{array}{c}{L}_0\left(\tau \right)\\ L_1\left(\tau \right)\\ \dots \end{array}\right]$ (52)

Подставим (52) в (48):

$u\left(\tau \right)=M_u\left(\tau \right)K{\left(A-BK+LC\right)}^{-1}L{M}_y^{+}\left(\tau \right)y\left(\tau \right)$ (53)

где $M_y^{+}\left(\tau \right)=M_y^{{\rm T}}\left(\tau \right){\left[M_y\left(\tau \right)M_y^{{\rm T}}\left(\tau \right)\right]}^{-1}$ – псевдообратная матрица.

Нетрудно показать, что $M_y^{+}\left(\tau \right)$ определяется выражением

$M_y^{+}\left(\tau \right)=\frac{1}{{\displaystyle \sum _{h_2=1}^{\infty }{L}_{h_2-1}^2\left(\tau \right)}}\left(I_r\otimes \left[\begin{array}{c}{L}_0\left(\tau \right)\\ L_1\left(\tau \right)\\ \dots \end{array}\right]\right)$ (54)

Из (53) следует, что матрица коэффициентов передачи регулятора определяется выражением

$W_{uy}\left(\tau \right)=M_u\left(\tau \right)K{\left(A-BK+LC\right)}^{-1}L{M}_y^{+}\left(\tau \right)$ (55)

Анализ выражения (55) показывает, что в случае нестационарного объекта матричный коэффициент передачи регулятора, построенного по принципу обратной связи, зависит от времени.

Пример. Рассмотрим задачу управления объектом, который описывается уравнением теплопроводности в безразмерном виде с переменным коэффициентом $k\left(\tau \right)$ [13]:

$$\begin{gathered} \frac{\partial \theta \left(\xi ,\tau \right)}{\partial \tau }=2.5714\frac{{\partial }^2\theta \left(\xi ,\tau \right)}{\partial {\xi }^2}-k\left(\tau \right)\theta \left(\xi ,\tau \right), \xi \in \left(\mathrm{0,1}\right), \tau \in \left(\mathrm{0,}\infty \right), \\ \begin{array}{l}k\left(\tau \right)=10.5\left\{\begin{array}{cc}2\tau ,& \tau \in \left[\mathrm{0,} 0.4\right),\\ 1.33\left(1-\tau \right),& \tau \in \left[\mathrm{0.4,} 0.6\right),\\ \mathrm{0.53,}& \tau \in \left[\mathrm{0.6,} \infty \right),\end{array}\right.=\\ =10.5\left\{2\tau \left(1\left(\tau \right)-1\left(\tau -0.4\right)\right)+1.33\left(1-\tau \right)\left(1\left(\tau -0.4\right)-1\left(\tau -0.6\right)\right)+0.53\cdot 1\left(\tau -0.6\right)\right\}.\end{array} \end{gathered}$$ (56)

В качестве управления будем использовать значение переменной q на левой границе:

$\theta {\left.\left(\xi ,\tau \right)\right|}_{\xi =0}={\theta }_1\left(\tau \right)$ (57)

Начальные условия нулевые:

${\left.\theta \left(\xi ,\tau \right)\right|}_{\tau =0_{-}}=0, \xi \in \left[\mathrm{0,1}\right]$ (58)

На левой границе действует возмущение, аддитивное с управлением:

$w\left(\tau \right)=e^{-0.7\tau }\cdot 1\left(\tau \right)$ (59)

которое удовлетворяет условию ограниченности нормы ${||{\Phi }_w||}_2^2$.

Измерение осуществляется в двух точках: ${\xi }_1=0.05$, ${\xi }_2=0.95$.

Требуется синтезировать регулятор для решения задачи стабилизации, чтобы ошибка регулирования в каждой точке пространства не превышала 5 % от номинального значения температуры, что в относительных единицах составляет 0,05.

Спектральное представление объекта имеет вид (36). Для получения спектрального представления использовались система функций Лагерра и система тригонометрических функций

$P\left(\xi \right)=\left\{\mathrm{1,} \sqrt{2}\cos \left(\pi \xi \right), \sqrt{2}\cos \left(2\pi \xi \right), \sqrt{2}\cos \left(3\pi \xi \right),\mathrm{...}\right\}$ (60)

Анализ спектрального представления объекта (56)–(58) при граничных условиях второго рода выполнен в [13]. Полученное решение сравнивалось с решением данной задачи, представленным в [19]. Была вычислена относительная погрешность по выражению (12). В качестве $\overline{\theta }(\xi ,\tau )$ использовалось решение в форме ряда, составленного из 9 членов, представленное в [19]. Относительная погрешность ${\Delta }_{N_1{N}_2}$, вычисленная для $N_1=N_2=7$, составила ${\Delta }_{N_1{N}_2}=0.001$.

Выполним синтез регулятора в соответствии с теоремой 1. Решим задачу полуопределенного программирования (45). При решении задачи будем считать, что весовые матрицы $Q=Q_e=I$. Решим задачу синтеза для случая $N_1=N_2=15$ и исследуем устойчивость решения. Результаты исследования устойчивости для $n_1=\mathrm{5,} 15$ функций разложения по переменной $\tau$ отображены в таблице. Проведенные вычисления показывают, что выбранные подпоследовательности имеют конечный предел.

 

Исследование существования предела подпоследовательностей ${\delta }^2\left(n_1,5\right), {\delta }^2\left(n_1,15\right)$

$n_1$	$n_2$	${\delta }^2\left(n_1,n_2\right)\cdot {10}^{-4}$	$\frac{{\delta }^2\left(n_1,n_2\right)}{{\delta }^2\left(n_1-\mathrm{1,}{n}_2-1\right)}$	$n_1$	$n_2$	${\delta }^2\left(n_1,n_2\right)\cdot {10}^{-4}$	$\frac{{\delta }^2\left(n_1,n_2\right)}{{\delta }^2\left(n_1-\mathrm{1,}{n}_2-1\right)}$
1	5	0,5082	0	1	15	0,7459	0
2	5	2,5843	5,0849	2	15	0,2105	0,2822
3	5	3,9043	1,5107	3	15	0,1892	0,8988
4	5	2,2341	0,5722	4	15	0,1920	1,0150
5	5	2,4205	1,0834	5	15	0,2366	1,2319
6	5	2,2300	0,9213	6	15	0,2664	1,1260
7	5	2,3348	1,0470	7	15	0,3225	1,2107
8	5	2,3267	0,9965	8	15	0,3552	1,1016
9	5	2,3864	1,0257	9	15	0,3969	1,1173
10	5	2,4060	1,0082	10	15	0,4189	1,0554
11	5	2,4202	1,0059	11	15	0,4333	1,0345
12	5	2,4244	1,0017	12	15	0,4404	1,0164
13	5	2,4018	0,9907	13	15	0,4301	0,9764
14	5	2,3841	0,9926	14	15	0,4268	0,9923
15	5	2,3420	0,9823	15	15	0,4040	0,9466

 

Исходя из анализа подпоследовательностей выберем $N_1=\mathrm{13,} N_2=5$. Значение нормы вектора пространственно-временной спектральной характеристики ${\Phi }_{\theta }$ замкнутой системы (38) при заданном внешнем возмущении (59) составляет $||{\Phi }_{\theta }||=\mathrm{0,0036}$. График функции $\theta \left(\xi ,\tau \right)$, соответствующий вектору ${\Phi }_{\theta }$, может быть получен по выражению

$\theta \left(\xi ,\tau \right)=\sum _{h_1=1}^{N_1}\sum _{h_2=1}^{N_2}{\Phi }_{\theta }\left(h_1,h_2\right)P\left(h_1,\xi \right)L_{h_2-1}\left(\tau \right)$ (61)

Этот график соответствует идеальному случаю, когда динамика объекта неявно учитывается в представлении функции рядом Фурье. Для моделирования динамического поведения объекта дифференциальным уравнением получим матрицу передаточных коэффициентов регулятора (55):

$W_{uy}\left(\tau \right)=\frac{1}{{\displaystyle \sum _{h_2=1}^{N_2}{L}_{h_2-1}^2\left(\tau \right)}}\left[\begin{array}{cc}{W}_{uy11}\left(\tau \right)& W_{uy12}\left(\tau \right)\end{array}\right]$ (62)

где

$\begin{array}{l}{W}_{uy11}\left(\tau \right)=L_0\left(\tau \right)\left\{\mathrm{109,014}{L}_0\left(\tau \right)+\mathrm{10,903}{L}_1\left(\tau \right)+\mathrm{1,721}{L}_2\left(\tau \right)+\mathrm{0,920}{L}_3\left(\tau \right)+\mathrm{0,155}{L}_4\left(\tau \right)\right\}+\\ +L_1\left(\tau \right)\left\{\mathrm{13,051}{L}_0\left(\tau \right)+\mathrm{48,055}{L}_1\left(\tau \right)+\mathrm{0,368}{L}_2\left(\tau \right)+\mathrm{2,535}{L}_3\left(\tau \right)+\mathrm{1,003}{L}_4\left(\tau \right)\right\}+\\ +L_2\left(\tau \right)\left\{\mathrm{2,815}{L}_0\left(\tau \right)+\mathrm{1,256}{L}_1\left(\tau \right)+\mathrm{45,536}{L}_2\left(\tau \right)-\mathrm{0,030}{L}_3\left(\tau \right)-\mathrm{0,005}{L}_4\left(\tau \right)\right\}+\\ +L_3\left(\tau \right)\left\{-\mathrm{16,903}{L}_0\left(\tau \right)-\mathrm{4,367}{L}_1\left(\tau \right)-\mathrm{1,933}{L}_2\left(\tau \right)+\mathrm{35,416}{L}_3\left(\tau \right)-\mathrm{7,522}{L}_4\left(\tau \right)\right\}+\\ +L_4\left(\tau \right)\left\{-\mathrm{4,832}{L}_0\left(\tau \right)-\mathrm{0,982}{L}_1\left(\tau \right)-\mathrm{0,891}{L}_2\left(\tau \right)-\mathrm{0,975}{L}_3\left(\tau \right)+\mathrm{44,316}{L}_4\left(\tau \right)\right\},\end{array}$

$\begin{array}{l}{W}_{uy12}\left(\tau \right)=L_0\left(\tau \right)\left\{-\mathrm{0,832}{L}_0\left(\tau \right)-\mathrm{0,195}{L}_1\left(\tau \right)-\mathrm{0,032}{L}_2\left(\tau \right)-\mathrm{0,012}{L}_3\left(\tau \right)-\mathrm{0,002}{L}_4\left(\tau \right)\right\}+\\ +L_1\left(\tau \right)\left\{-\mathrm{0,219}{L}_0\left(\tau \right)+\mathrm{0,233}{L}_1\left(\tau \right)-\mathrm{0,007}{L}_2\left(\tau \right)-\mathrm{0,025}{L}_3\left(\tau \right)-\mathrm{0,011}{L}_4\left(\tau \right)\right\}+\\ +L_2\left(\tau \right)\left\{-\mathrm{0,044}{L}_0\left(\tau \right)-\mathrm{0,004}{L}_1\left(\tau \right)+\mathrm{0,315}{L}_2\left(\tau \right)-\mathrm{0,002}{L}_3\left(\tau \right)-\mathrm{0,002}{L}_4\left(\tau \right)\right\}+\\ +L_3\left(\tau \right)\left\{\mathrm{0,034}{L}_0\left(\tau \right)+\mathrm{0,016}{L}_1\left(\tau \right)-\mathrm{0,011}{L}_2\left(\tau \right)+\mathrm{0,352}{L}_3\left(\tau \right)+\mathrm{0,019}{L}_4\left(\tau \right)\right\}+\\ +L_4\left(\tau \right)\left\{\mathrm{0,008}{L}_0\left(\tau \right)+\mathrm{0,008}{L}_1\left(\tau \right)+\mathrm{0,008}{L}_2\left(\tau \right)+\mathrm{0,008}{L}_3\left(\tau \right)+\mathrm{0,323}{L}_4\left(\tau \right)\right\},\end{array}$

 $L_{h_2-1}\left(\tau \right) \left(h_2=\overline{\mathrm{1,} 5}\right)$– первые 5 функций Лагерра.

Моделирование системы (56), (62) выполнено в Matlab. Динамика объекта учтена при моделировании уравнения (56) системой дифференциальных уравнений – спектральным представлением по пространственной переменной $\xi$, полученным с учетом 15 членов разложения в ряд по системе функций (60).

Графики переходных процессов представлены на рис. 5.

 

Рис. 5. Результаты анализа: а – функция $\theta \left(\xi ,\tau \right)$, полученная по выражению (61); б – функция $\theta \left(\xi ,\tau \right)$, полученная при моделировании динамической системы (56), (62); в – управление $u\left(\tau \right)$, возмущение $w\left(\tau \right)$, коэффициент $k\left(\tau \right)$; г – переходные процессы по переменным $y_1\left(\tau \right), y_2\left(\tau \right)$

 

Для функции $\theta \left(\xi ,\tau \right)$ системы (56), (61) по выражению (8) был найден вектор ${\Phi }_{\theta }$ и получено значение нормы, которое составило $||{\Phi }_{\theta }||=\mathrm{0,0068}$. Сравнение полученных результатов, представленных на рис. 5а и 5б, и значений $||{\Phi }_{\theta }||$ выявило увеличение минимизируемого показателя $||{\Phi }_{\theta }||$, что объясняется выделением регулятора (61) и моделированием системы с учетом динамики объекта.

Заключение

1. Для линейного пространственно распределенного нестационарного динамического объекта управления получено представление в спектральной области – бесконечная система алгебраических уравнений, составленная относительно неизвестных амплитуд пространственно-временных мод разложения в ряд Фурье функции, описывающей состояние объекта. В данное представление аддитивно входят векторы амплитуд временных мод управляющих и возмущающих воздействий.
2. Предложено описание объекта управления как эллипсоида. В случае нулевых граничных и ненулевых начальных условий эллипсоид имеет вид $\epsilon =\left\{\Phi \in R^{n_1{n}_2}:{\Phi }_0^{{\rm T}}{\left(A{A}^{{\rm T}}\right)}^{-1}{\Phi }_0\le {\delta }^2\right\}$, где ${\Phi }_0$ – вектор начальных условий, $n_1, n_2=\overline{\mathrm{1,} \infty }$ – количество функций разложения по временной и пространственной переменным соответственно, A – матрица пространственно-временного спектрального представления объекта, ${\delta }^2$ – величина, ограничивающая квадрат нормы вектора пространственно-временной спектральной характеристики ${||\Phi ||}_2^2$.

Данное представление позволяет сформулировать определение устойчивости и использовать его для получения критерия устойчивости.

3. На основе представления объекта эллипсоидом предложено определение устойчивости, позволяющее использовать аппарат линейных матричных неравенств. В соответствии с данным определением формулируется критерий устойчивости, основу которого составляет решение задачи полуопределенного программирования с ограничением в форме линейного матричного неравенства. Данная формулировка открывает возможность получения условия устойчивости в робастной постановке.
4. Сформулирован критерий устойчивости, основанный на решении задачи полуопределенного программирования при возрастании количества пространственно-временных мод разложения функции в ряд Фурье и исследовании существования предела последовательности величин ${\delta }^2$, ограничивающих квадрат нормы вектора пространственно-временной спектральной характеристики ${||\Phi ||}_2^2$. Формулировка критерия устойчивости в форме задачи полуопределенного программирования позволяет использовать данный критерий для решения задач анализа и синтеза в робастной постановке.
5. Для пространственно-временного спектрального представления линейного нестационарного распределенного объекта предложены критерии стабилизируемости и детектируемости.
6. Для линейного нестационарного распределенного объекта предложена процедура синтеза регулятора по выходу с наблюдателем. Получено выражение для определения нестационарного матричного коэффициента передачи регулятора, построенного по принципу обратной связи.
7. Выполнена проверка полученных теоретических результатов: решен численный пример. Исследована устойчивость объекта с использованием пространственно-временного спектрального представления. В соответствии с приведенным алгоритмом выбрано количество временных и пространственных мод разложения в ряд Фурье для функции, описывающей состояние исходного распределенного объекта. Решена задача синтеза регулятора и исследована устойчивость решения. Получен нестационарный матричный передаточный коэффициент регулятора. Выполнен анализ динамической системы с найденным регулятором.

About the authors

Vladimir A. Koval’

Yuri Gagarin Saratov State Technical University of Saratov

Author for correspondence.
Email: koval.va@yandex.ru

Dr. Sci. (Techn.), Professor

Russian Federation, 77, Polytechnicheskaya st., Saratov, 410054

Olga Yu. Torgashova

Yuri Gagarin Saratov State Technical University of Saratov

Email: olgatorg@gmail.com

Dr. Sci. (Techn.), Professor

Russian Federation, 77, Polytechnicheskaya st., Saratov, 410054

Maxim A. Solomin

Yuri Gagarin Saratov State Technical University of Saratov

Email: solomin75@gmail.com

Postgraduate Student

Russian Federation, 77, Polytechnicheskaya st., Saratov, 410054

References

Supplementary files