Синтез распределенной нестационарной системы управления на основе спектрального представления в пространственно-временной области
- Авторы: Коваль В.А.1, Торгашова О.Ю.1, Соломин М.А.1
-
Учреждения:
- Саратовский государственный технический университет им. Гагарина Ю.А.
- Выпуск: Том 30, № 3 (2022)
- Страницы: 58-80
- Раздел: Информатика, вычислительная техника и управление
- URL: https://journals.eco-vector.com/1991-8542/article/view/115056
- DOI: https://doi.org/10.14498/tech.2022.3.5
- ID: 115056
Цитировать
Полный текст
Аннотация
Предложено решение задачи синтеза системы управления распределенным нестационарным объектом, описываемым дифференциальным уравнением с частными производными с использованием аппарата линейных матричных неравенств. Система описывается вектором спектральной характеристики, компоненты которого представляют собой амплитуды мод разложения функции состояния в ряд Фурье по пространственной координате и времени. Вектор спектральной характеристики удовлетворяет бесконечной системе линейных алгебраических уравнений, которая получена для исходного дифференциального уравнения с частными производными спектральным методом. Для спектрального представления объекта в пространственно-временной области сформулированы критерии устойчивости, стабилизируемости и детектируемости. Предложена процедура синтеза регулятора, основу которой составляет решение задачи стабилизации при полной информации и по измеряемому выходу с использованием наблюдателя. Получено выражение для определения нестационарного матричного коэффициента передачи регулятора.
Полный текст
Введение
Распределенные системы управления в настоящее время получили широкое распространение. Особенностью таких систем является то, что для них учитывается зависимость состояния объекта не только от времени, но и от пространственных переменных. Для решения задач анализа и синтеза в распределенных системах управления разработаны различные методы, например методы теории оптимального управления, приводящие к интегральным, интегро-дифференциальным и дифференциальным уравнениям в частных производных [1–7]. Следует также выделить структурную теорию распределенных систем, позволяющую представить решение задачи в виде интеграла, связывающего вход и выход системы и содержащего функцию Грина [8, 9]. Недостатком этих методов является то, что все они приводят к уравнениям, содержащим производные или интегралы по пространственной координате. Частотные методы, в которых выполняется пространственно-частотная декомпозиция системы на отдельные контуры [10, 11], также имеют ограничение – предположение о том, что объект управления представляет собой недиспергируемую среду.
Отличительной особенностью спектрального метода является возможность перехода от исходного описания системы дифференциальным, интегральным или интегро-дифференциальным уравнением в частных производных к бесконечной системе уравнений, записанной относительно вектора спектральной характеристики. Спектральная характеристика представляет собой вектор, составленный из амплитуд пространственных мод разложения в ряд Фурье функции, описывающей состояние объекта. В случае разложения в ряд по пространственной переменной получаем бесконечную систему дифференциальных уравнений, в правую часть которой аддитивно входят граничные условия и другие внешние воздействия. Для такого представления системы могут применяться известные методы синтеза [12]. Для нестационарного объекта предлагается осуществлять разложение в ряд не только по пространственной переменной, но и по времени [13]. В этом случае получим бесконечную систему алгебраических уравнений, в которую также аддитивно входят граничные и начальные условия. Ниже будем называть такое спектральное представление пространственно-временным.
В работе сформулированы критерии устойчивости, стабилизируемости и детектируемости объекта управления на основе представления его математической модели в спектральной форме по пространственным переменным и времени. Для доказательства критериев использована теория линейных матричных неравенств [14], которая позволяет учесть параметрическую неопределенность объекта, источником которой являются неточность представления математической модели объекта управления и ограничение размерности бесконечных матриц, используемых при проведении вычислений спектральным методом. Исследованы вопросы сходимости полученных решений. Предложена процедура синтеза и найдено матричное представление передаточного коэффициента оптимального нестационарного регулятора.
Постановка задачи
Рассмотрим тепловой объект управления, описываемый нестационарным уравнением с частными производными, безразмерное представление которого имеет вид
(1)
функция состояния которого зависит от безразмерных пространственной и временной переменных , – известные коэффициенты, в общем случае зависящие от пространственной переменной и времени – внешнее возмущение.
Начальные условия имеют вид
(2)
Граничные условия определяются выражением
(3)
в котором запись , обозначает операторы граничных условий. Будем считать, что управление объектом осуществляется с границ, то есть функции , являются составляющими вектора управляющих воздействий:
(4)
Введем в рассмотрение вектор измеряемых переменных
(5)
где – вектор измеряемых выходов, представляющий собой вектор значений функции в точках , r – количество измерительных устройств.
Для объекта управления (1)–(5) требуется синтезировать регулятор в форме линейной обратной связи по выходу:
(6)
где – матрица передаточных коэффициентов, которая вследствие нестационарности объекта в общем случае зависит от времени τ.
Процедуру синтеза регулятора будем строить исходя из ограничения
(7)
C применением спектрального метода рассматриваемая задача может быть сведена к задаче полуопределенного программирования. Ниже получим спектральную форму представления задачи.
Спектральное представление объекта в пространственно-временной области
Для решения задачи используется спектральное представление объекта управления. Представим функцию в виде ряда Фурье по системе ортонормированных функций по пространственной и временной переменным:
(8)
В качестве системы разложения по переменной ξ использована система тригонометрических функций , ортонормированная на интервале , по переменной τ – система функций Лагерра , ортонормированная на интервале [15].
Согласно [12, 13] спектральное представление объекта управления (1)–(3) в пространственно-временной области будет иметь вид
(9)
где – вектор спектральной характеристики функции , взятой по временной и пространственной переменным; P01 – операционная матрица дифференцирования первого порядка по переменной τ; – вектор спектрального представления начальных условий; P10, P20 – операционные матрицы дифференцирования первого порядка и второго порядка соответственно по переменной ξ; – векторы спектрального представления граничных условий первого рода на границах соответственно (на значение указывает второй символ верхнего индекса); – векторы спектрального представления граничных условий второго рода на границах ; – операционные матрицы сомножителей соответственно; – вектор спектральной характеристики функции . Выражения для вычисления операционных матриц приводятся в [13, 16].
Выражение (9) представляет собой бесконечную систему алгебраических уравнений, составленную относительно вектора спектральной характеристики в пространственно-временной области. Это выражение можно записать в виде
,
(10)
В выражении вектор может быть выделен в явном виде
(11)
Относительную погрешность представления квадратично-интегрируемой функции рядом Фурье будем оценивать выражением
, (12)
где – решение, удовлетворяющее (1)–(3). Это решение может быть получено аналитически или численным методом.
Количество мод разложения N1, N2 для выполнения вычислительных процедур будем выбирать в соответствии с критерием
, (13)
где задается исходя из требований к точности пространственно-временного спектрального представления объекта.
С учетом спектрального представления объекта эквивалентная формулировка задачи (7) будет иметь вид
(14)
где I – здесь и далее единичная матрица соответствующей размерности.
Анализ пространственно-временного спектрального представления объекта (9)–(11) и сравнение с решением, полученным аналитически или численным методом [17], позволяют определить необходимое количество спектральных мод для достижения заданной точности . Далее будем полагать, что N1, N2 найдены, и использовать усеченные матрицы для описания объекта управления в пространственно-временной области и решения задачи синтеза.
Критерий устойчивости спектрального представления в пространственно-временной области
Пусть движение объекта (1)–(3) обусловлено только ненулевым начальным состоянием, функции граничных условий и внешнего воздействия равны нулю: , , . Спектральное представление (10) имеет вид
(15)
где – неизвестный вектор спектральной характеристики, взятой по переменным τ, ξ; – числовой вектор начальных условий; A – квадратная числовая -матрица.
Вектор можно определить из выражения (15):
(16)
Введем в рассмотрение эллипсоид, внутри которого должен находиться устойчивый объект управления (15), удовлетворяющий условию (14):
(17)
Введем определение устойчивости системы (15).
Определение 1. Пространственно-временное спектральное представление (15) является устойчивым, если спектральная характеристика находится внутри эллипсоида (17), для которого величина δ2 конечна.
Принимая во внимание связь (14) и (7), можно утверждать, что смысл определения устойчивости заключается в ограниченности энергии функции, описывающей состояние объекта управления. Таким образом, можно утверждать, что члены ряда более высокого порядка оказывают все меньшее влияние на решение, то есть .
Задача (17) представляет собой задачу полуопределенного программирования и может быть переписана в виде
(18)
В соответствии с леммой Шура [14] будем иметь:
(19)
Для решения этой задачи может быть использован пакет YALMIP, разработанный для использования в системе Matlab [18].
Проверка условия определения 1 заключается в решении задачи (19) при увеличении n1, n2 и может быть сформулирована в форме критерия.
Утверждение 1. Критерий устойчивости системы (15). Пространственно-временное представление объекта (15) является устойчивым, если задача полуопределенного программирования (19) имеет решение и последовательности, составленные из при увеличении n1, n2, имеют конечный предел.
Существование предела может быть установлено с применением алгоритма.
Алгоритм 1.
- Задать начальные значения
и конечные значения
В качестве можно выбрать, например, . Выбор конечных значений N1, N2 определяется конкретно для каждого случая и может корректироваться в процессе вычислений.
- Решить задачу полу-определенного программирования (19) с матрицами , A, размерности которых соответствуют .
- Увеличить на единицу. Если , то перейти к пункту 2, иначе установить и перейти к пункту 4.
- Увеличить на единицу. Если , то перейти к пункту 2, иначе перейти к пункту 5.
- Составить из числовые подпоследовательности, где для каждого индекс меняется в порядке возрастания, или наоборот, для каждого индекс меняется в порядке возрастания.
- По составленным подпоследовательностям проверить существование предела. Если предел существует, то пространственно-временное представление объекта (4)–(6) является устойчивым.
Блок-схема алгоритма 1 представлена на рис. 1.
Рис. 1. Блок-схема алгоритма 1
Замечание 1. Матричное неравенство в задаче (19), решение которой позволяет судить об устойчивости, является линейным. При использовании данного неравенства в задаче построения обратной связи по вектору матрица A замкнутой системы будет содержать неизвестную матрицу регулятора и матричное неравенство окажется квадратичным относительно этой матрицы. Модифицируем неравенство из (19) таким образом, чтобы матричное неравенство являлось линейным.
В силу выполняется . В этом случае можно записать
(20)
Доказательство данного утверждения приводится в [15]:
(21)
откуда следует (20).
Замена матричного блока в выражении (19) в соответствии с (21) позволяет сформулировать задачу полуопределенного программирования следующим образом:
(22)
Решением задачи (22) является оценка сверху квадрата нормы вектора амплитуд пространственно-временных мод системы .
Стабилизация для системы с полной информацией
Рассмотрим задачу стабилизации линейного объекта в пространственно-временной спектральной форме представления (10) при условии, что известна полная информация о системе. Будем полагать, что управление осуществляется по принципу обратной связи, то есть
(23)
Запишем уравнение замкнутой системы:
(24)
Для системы (24) определим эллипсоид
(25)
внутри которого должна находиться устойчивая замкнутая система (24).
Задача синтеза регулятора по критерию (25) может быть сформулирована в форме задачи полуопределенного программирования:
(26)
откуда определяется матрица регулятора K и оценка сверху квадрата нормы вектора амплитуд пространственно-временных мод замкнутой системы .
Определение 2. Пространственно-временное спектральное представление (24) является стабилизируемым, если существует такая матрица K, для которой спектральное представление (24) является устойчивым.
Утверждение 2. Критерий стабилизируемости системы (24). Пространственно-временное спектральное представление системы (24) является стабилизируемым, если существует такая матрица K, для которой задача полуопределенного программирования (26) имеет решение и последовательности, составленные из , имеют конечный предел.
Проверка утверждения 2 может быть выполнена по следующему алгоритму.
Алгоритм 2.
- Задать конечные значения . Задать начальные значения , например .
- Решить задачу (26), получить , .
- Установить начальные значения .
- Составить матрицу K из строк и столбцов матрицы с учетом новых размерностей . Вычислить матрицу . Решить задачу (19) с вычисленной матрицей . Определить .
- Увеличить на единицу. Если , то перейти к пункту 4, иначе установить и перейти к пункту 6.
- Увеличить на единицу. Если , то перейти к пункту 4, иначе перейти к пункту 7.
- Составить из числовые подпоследовательности, где для каждого индекс меняется в порядке возрастания, или наоборот, для каждого индекс меняется в порядке возрастания.
- Для составленных подпоследовательностей проверить существование предела. Если предел существует, то представление объекта (15), (23) в пространственно-временной области является устойчивым.
Блок-схема алгоритма 2 представлена на рис. 2.
Рис. 2. Блок-схема алгоритма 2
Замечание 2. Для распределенной системы (1)–(3) вектор заранее неизвестен, что делает невозможным практическое применение регулятора (23). Оценить вектор можно с помощью наблюдателя.
Замечание 3. Для выполнения пункта 4 алгоритма 2 сокращение порядка достигается умножением на матрицу
(27)
В этом случае матрицы системы более низкого порядка определяются следующим образом:
(28)
где – нулевой матричный блок соответствующих размерностей, который следует отбросить; – ненулевой матричный блок соответствующих размерностей, который следует отбросить.
Стабилизация по измеряемому выходу с использованием наблюдателя
Рассмотрим систему
(29)
где – вектор спектральной характеристики, взятой по переменным τ, ξ ; – числовой вектор начальных условий; A – квадратная числовая (n1 n2)x(n1 n2)-матрица, ; – вектор амплитуд временных мод функций , в точках измерения , r – количество точек измерения; C – числовая (r n1)x(n1 n2)-матрица.
Будем называть наблюдателем систему
(30)
в уравнение которой входит рассогласование выхода и его оценки . Матрица L неизвестна и подлежит определению.
Невязка должна удовлетворять уравнению
(31)
Для системы (31) требуется решить задачу выбора матрицы L при условии
(32)
Для этого следует решить задачу полуопределенного программирования:
(33)
Уравнение (33) можно рассматривать как систему с матрицами , замкнутую обратной связью, пропорциональной вектору невязки e с матричным коэффициентом .
Сформулируем определение детектируемости системы (29).
Определение 3. Спектральное представление (29) в пространственно-временной области является стабилизируемым, если существует такая матрица L, для которой спектральное представление (31) является устойчивым.
Утверждение 3. Критерий детектируемости системы (29). Спектральное представление системы (29) в пространственно-временной области является детектируемым, если существует такая матрица L, для которой задача полуопределенного программирования (33) имеет решение и последовательности, составленные из , имеют конечный предел.
Проверка утверждения 3 может быть выполнена по алгоритму 3, дуальному по отношению к алгоритму 2.
Алгоритм 3.
- Задать конечные значения . Эти значения могут быть оценены по алгоритму 1 либо быть выбраны «достаточно большими». Задать начальные значения , например .
- Решить задачу (33), получить , .
- Установить начальные значения .
- Составить матрицу L из строк и столбцов матрицы с учетом новых размерностей . Вычислить матрицу . Решить задачу (19) с вычисленной матрицей . Определить . Вернуться к пункту 3.
- Увеличить на единицу. Если , то перейти к пункту 4, иначе установить и перейти к пункту 6.
- Увеличить на единицу. Если , то перейти к пункту 4, иначе перейти к пункту 7.
- Составить из числовые подпоследовательности, где для каждого индекс меняется в порядке возрастания, или наоборот, для каждого индекс меняется в порядке возрастания.
- Для составленных подпоследовательностей проверить существование предела. Если предел существует, то пространственно-временное представление объекта (30) является устойчивым.
Блок-схема алгоритма 3 представлена на рис. 3.
Рис. 3. Блок-схема алгоритма 3
Замечание 4. Для выполнения пункта 4 алгоритма 3 сокращение порядка достигается умножением на матрицу
(34)
В этом случае матрицы системы более низкого порядка определяются следующим образом:
(35)
где – нулевой матричный блок соответствующих размерностей, который следует отбросить; – ненулевой матричный блок соответствующих размерностей, который следует отбросить.
Синтез регулятора
Рассмотрим объект вида
(36)
где – вектор спектральной характеристики функции , взятой по переменным ξ, τ; – вектор спектральной характеристики управления (4), взятой по переменной τ; – вектор спектральной характеристики возмущения; – вектор, составленный из спектральных характеристик компонент вектора измеряемых переменных , взятых по переменной τ в точках измерения , r – количество точек измерения; – числовые матрицы, матрица A имеет размерность , B – , C – , размерность матрицы G определяется размерностью вектора (в случае возмущения, аддитивного управлению, будем иметь размерность ). Будем полагать, что энергия возмущения ограничена: .
Дополним объект (36) регулятором
(37)
представляющим совокупность обратной связи по состоянию и наблюдающего устройства.
Составим уравнение замкнутой системы относительно вектора , где e – невязка, удовлетворяющая выражению (31):
(38)
или
(39)
Задача (22), сформулированная для системы (39), будет иметь вид:
(40)
С использованием леммы Шура задача (40) может быть переписана в более удобном виде. Для этого представим ее в следующей эквивалентной записи:
(41)
В силу того, что справедливо неравенство ≼, перепишем (41) в виде
(42)
или в силу леммы Шура
(43)
Отметим, что размерность блока соответствует размерности вектора . Если выбрать возмущение , то задача (43) принимает вид
(44)
или с учетом структуры матриц расширенной системы (38)
(45)
Теорема 1. Пусть – решение задачи (45), и пусть последовательности, составленные из , имеют предел. Тогда регулятор (37) стабилизирует объект (36).
Алгоритм 4 исследования устойчивости замкнутой системы на основе пространственно-временного спектрального представления (36), (37) (рис. 4).
- Задать конечные значения . Задать начальные значения , например .
- Решить задачу (45), получить .
- Установить начальные значения .
- Составить матрицы из строк и столбцов матриц с учетом новых размерностей . Вычислить матрицу . Решить задачу (22) с вычисленной матрицей . Определить .
- Увеличить на единицу. Если , то перейти к пункту 4, иначе установить и перейти к пункту 6.
- Увеличить на единицу. Если , то перейти к пункту 4, иначе перейти к пункту 7.
- Составить из числовые подпоследовательности, где для каждого индекс меняется в порядке возрастания, или наоборот, для каждого индекс меняется в порядке возрастания.
- Для составленных подпоследовательностей проверить существование предела. Если предел существует, то пространственно-временное представление системы (36), (37) является устойчивым.
Рис. 4. Блок-схема алгоритма 4
Замечание 5. Конечные значения N1, N2 могут быть оценены по алгоритму 1 либо быть выбраны «достаточно большими». Обычно точность решения в 3–5 % обеспечивается при учете 7–9 членов ряда по каждой из координат.
Замечание 6. Решением задачи синтеза является оценка сверху величины . Согласно (13), величина ограничивает . Пусть решение задачи (45) существует и найденный регулятор обеспечивает устойчивость замкнутой системы. О качестве найденного решения позволяет судить анализ переходных процессов в системе с найденным законом управления. Если качество переходных процессов неудовлетворительное, то следует задать величину больше, чем получено при решении задачи (45), и найти из решения линейного матричного неравенства, входящего в (45), для выбранного .
Замечание 7. Для выполнения пункта 4 алгоритма 4 сокращение порядка достигается умножением на матрицу
(46)
В этом случае матрицы системы более низкого порядка определяются следующим образом:
(47)
где , – нулевые матричные блоки соответствующих размерностей, которые следует отбросить; , – ненулевые матричные блоки соответствующих размерностей, которые следует отбросить.
Замечание 8. Построение данного регулятора выполнено в спектральной области представления. Для применения данного регулятора следует записать его в форме коэффициента передачи от измеряемого выхода к управляющему входу.
Определение матрицы передаточных коэффициентов регулятора
Получим матрицу передаточных коэффициентов регулятора, выразив из первого уравнения (37) и подставив во второе:
(48)
Осуществим переход от векторов спектральных характеристик , взятых по переменной τ, к исходным переменным . Вектор спектральных характеристик управляющих входов составлен из амплитуд спектральных мод функций граничных условий. Вектор спектральных характеристик измеряемых выходов составлен из амплитуд временных мод функций , в точках измерения , r – количество точек измерения, то есть .
Обобщим вектор на случай m управляющих входов:
Для управляющих входов и измеряемых выходов справедливы следующие выражения:
(49)
Векторно-матричная запись (49) имеет вид
(50)
или
(51)
откуда можно получить выражения для матриц :
(52)
Подставим (52) в (48):
(53)
где – псевдообратная матрица.
Нетрудно показать, что определяется выражением
(54)
Из (53) следует, что матрица коэффициентов передачи регулятора определяется выражением
(55)
Анализ выражения (55) показывает, что в случае нестационарного объекта матричный коэффициент передачи регулятора, построенного по принципу обратной связи, зависит от времени.
Пример. Рассмотрим задачу управления объектом, который описывается уравнением теплопроводности в безразмерном виде с переменным коэффициентом [13]:
(56)
В качестве управления будем использовать значение переменной q на левой границе:
(57)
Начальные условия нулевые:
(58)
На левой границе действует возмущение, аддитивное с управлением:
(59)
которое удовлетворяет условию ограниченности нормы .
Измерение осуществляется в двух точках: , .
Требуется синтезировать регулятор для решения задачи стабилизации, чтобы ошибка регулирования в каждой точке пространства не превышала 5 % от номинального значения температуры, что в относительных единицах составляет 0,05.
Спектральное представление объекта имеет вид (36). Для получения спектрального представления использовались система функций Лагерра и система тригонометрических функций
(60)
Анализ спектрального представления объекта (56)–(58) при граничных условиях второго рода выполнен в [13]. Полученное решение сравнивалось с решением данной задачи, представленным в [19]. Была вычислена относительная погрешность по выражению (12). В качестве использовалось решение в форме ряда, составленного из 9 членов, представленное в [19]. Относительная погрешность , вычисленная для , составила .
Выполним синтез регулятора в соответствии с теоремой 1. Решим задачу полуопределенного программирования (45). При решении задачи будем считать, что весовые матрицы . Решим задачу синтеза для случая и исследуем устойчивость решения. Результаты исследования устойчивости для функций разложения по переменной отображены в таблице. Проведенные вычисления показывают, что выбранные подпоследовательности имеют конечный предел.
Исследование существования предела подпоследовательностей
1 | 5 | 0,5082 | 0 | 1 | 15 | 0,7459 | 0 |
2 | 5 | 2,5843 | 5,0849 | 2 | 15 | 0,2105 | 0,2822 |
3 | 5 | 3,9043 | 1,5107 | 3 | 15 | 0,1892 | 0,8988 |
4 | 5 | 2,2341 | 0,5722 | 4 | 15 | 0,1920 | 1,0150 |
5 | 5 | 2,4205 | 1,0834 | 5 | 15 | 0,2366 | 1,2319 |
6 | 5 | 2,2300 | 0,9213 | 6 | 15 | 0,2664 | 1,1260 |
7 | 5 | 2,3348 | 1,0470 | 7 | 15 | 0,3225 | 1,2107 |
8 | 5 | 2,3267 | 0,9965 | 8 | 15 | 0,3552 | 1,1016 |
9 | 5 | 2,3864 | 1,0257 | 9 | 15 | 0,3969 | 1,1173 |
10 | 5 | 2,4060 | 1,0082 | 10 | 15 | 0,4189 | 1,0554 |
11 | 5 | 2,4202 | 1,0059 | 11 | 15 | 0,4333 | 1,0345 |
12 | 5 | 2,4244 | 1,0017 | 12 | 15 | 0,4404 | 1,0164 |
13 | 5 | 2,4018 | 0,9907 | 13 | 15 | 0,4301 | 0,9764 |
14 | 5 | 2,3841 | 0,9926 | 14 | 15 | 0,4268 | 0,9923 |
15 | 5 | 2,3420 | 0,9823 | 15 | 15 | 0,4040 | 0,9466 |
Исходя из анализа подпоследовательностей выберем . Значение нормы вектора пространственно-временной спектральной характеристики замкнутой системы (38) при заданном внешнем возмущении (59) составляет . График функции , соответствующий вектору , может быть получен по выражению
(61)
Этот график соответствует идеальному случаю, когда динамика объекта неявно учитывается в представлении функции рядом Фурье. Для моделирования динамического поведения объекта дифференциальным уравнением получим матрицу передаточных коэффициентов регулятора (55):
(62)
где
– первые 5 функций Лагерра.
Моделирование системы (56), (62) выполнено в Matlab. Динамика объекта учтена при моделировании уравнения (56) системой дифференциальных уравнений – спектральным представлением по пространственной переменной , полученным с учетом 15 членов разложения в ряд по системе функций (60).
Графики переходных процессов представлены на рис. 5.
Рис. 5. Результаты анализа: а – функция , полученная по выражению (61); б – функция , полученная при моделировании динамической системы (56), (62); в – управление , возмущение , коэффициент ; г – переходные процессы по переменным
Для функции системы (56), (61) по выражению (8) был найден вектор и получено значение нормы, которое составило . Сравнение полученных результатов, представленных на рис. 5а и 5б, и значений выявило увеличение минимизируемого показателя , что объясняется выделением регулятора (61) и моделированием системы с учетом динамики объекта.
Заключение
- Для линейного пространственно распределенного нестационарного динамического объекта управления получено представление в спектральной области – бесконечная система алгебраических уравнений, составленная относительно неизвестных амплитуд пространственно-временных мод разложения в ряд Фурье функции, описывающей состояние объекта. В данное представление аддитивно входят векторы амплитуд временных мод управляющих и возмущающих воздействий.
- Предложено описание объекта управления как эллипсоида. В случае нулевых граничных и ненулевых начальных условий эллипсоид имеет вид , где – вектор начальных условий, – количество функций разложения по временной и пространственной переменным соответственно, A – матрица пространственно-временного спектрального представления объекта, – величина, ограничивающая квадрат нормы вектора пространственно-временной спектральной характеристики .
Данное представление позволяет сформулировать определение устойчивости и использовать его для получения критерия устойчивости.
- На основе представления объекта эллипсоидом предложено определение устойчивости, позволяющее использовать аппарат линейных матричных неравенств. В соответствии с данным определением формулируется критерий устойчивости, основу которого составляет решение задачи полуопределенного программирования с ограничением в форме линейного матричного неравенства. Данная формулировка открывает возможность получения условия устойчивости в робастной постановке.
- Сформулирован критерий устойчивости, основанный на решении задачи полуопределенного программирования при возрастании количества пространственно-временных мод разложения функции в ряд Фурье и исследовании существования предела последовательности величин , ограничивающих квадрат нормы вектора пространственно-временной спектральной характеристики . Формулировка критерия устойчивости в форме задачи полуопределенного программирования позволяет использовать данный критерий для решения задач анализа и синтеза в робастной постановке.
- Для пространственно-временного спектрального представления линейного нестационарного распределенного объекта предложены критерии стабилизируемости и детектируемости.
- Для линейного нестационарного распределенного объекта предложена процедура синтеза регулятора по выходу с наблюдателем. Получено выражение для определения нестационарного матричного коэффициента передачи регулятора, построенного по принципу обратной связи.
- Выполнена проверка полученных теоретических результатов: решен численный пример. Исследована устойчивость объекта с использованием пространственно-временного спектрального представления. В соответствии с приведенным алгоритмом выбрано количество временных и пространственных мод разложения в ряд Фурье для функции, описывающей состояние исходного распределенного объекта. Решена задача синтеза регулятора и исследована устойчивость решения. Получен нестационарный матричный передаточный коэффициент регулятора. Выполнен анализ динамической системы с найденным регулятором.
Об авторах
Владимир Александрович Коваль
Саратовский государственный технический университет им. Гагарина Ю.А.
Автор, ответственный за переписку.
Email: koval.va@yandex.ru
доктор технических наук, профессор
Россия, 410054, г. Саратов, ул. Политехническая, 77Ольга Юрьевна Торгашова
Саратовский государственный технический университет им. Гагарина Ю.А.
Email: olgatorg@gmail.com
доктор технических наук, доцент
Россия, 410054, г. Саратов, ул. Политехническая, 77Максим Андреевич Соломин
Саратовский государственный технический университет им. Гагарина Ю.А.
Email: solomin75@gmail.com
аспирант
Россия, 410054, г. Саратов, ул. Политехническая, 77Список литературы
- Дегтярев Г.Л., Сиразетдинов Т.К. Теоретические основы автоматизированного управления упругими космическими аппаратами. М.: Машиностроение, 1986.
- Дегтярев Г.Л., Сиразетдинов Т.К. Синтез оптимального управления в системах с распределенными параметрами при неполном измерении состояния (обзор) // Изв. АН СССР. Техническая кибернетика. 1983. № 2. С. 123–136.
- Сиразетдинов Т.К. Оптимизация систем с распределенными параметрами. М.: Наука, 1977.
- Сиразетдинов, Т.К. Устойчивость систем с распределенными параметрами. Новосибирск: Наука, 1987.
- Рапопорт Э.Я. Оптимальное управление системами с распределенными параметрами. М.: Высшая школа, 2009.
- Егоров А.И. Оптимальное управление тепловыми и диффузионными процессами. М.: Наука, 1978.
- Лионс Ж.-Л. Оптимальное управление системами, описываемыми уравнениями с частными производными. М.: Мир, 1972.
- Бутковский А.Г. Структурная теория распределенных систем. М.: Наука, 1977.
- Рапопорт Э.Я. Структурное моделирование объектов и систем управления с распределенными параметрами. М.: Высшая школа, 2003.
- Першин И.М. Синтез систем с распределенными параметрами. Пятигорск: РИА-КМВ, 2002.
- Рей У. Методы управления технологическими процессами. М.: Мир, 1983.
- Коваль В.А. Спектральный метод анализа и синтеза распределенных систем: учеб. пособие. Саратов: СГТУ, 2010. 145 с.
- Koval V.A., Torgashova O.Y., Solomin M.A. Solution of the Analysis Problem of a Machine Assembly Distributed System with Time-Dependent Heat Transfer Coefficient // Applied Sciences, 2021. Vol. 11 (11). Pp. 5016.
- Поляк Б.Т., Хлебников М.В., Щербаков П.С. Управление линейными системами при внешних возмущениях: Техника линейных матричных неравенств. М.: ЛЕНАНД, 2014.
- Солодовников В.В., Дмитриев А.Н., Егупов Н.Д. Спектральные методы расчета и проектирования систем управления. – М.: Машиностроение, 1986.
- Солодовников В.В., Семенов В.В. Спектральная теория нестационарных систем управления. М.: Наука, 1974.
- Boyd J.P. Chebyshev and Fourier spectral methods. Courier Corporation, 2001.
- Lofberg J. YALMIP: A toolbox for modeling and optimization in MATLAB // 2004 IEEE international conference on robotics and automation (IEEE Cat. No. 04CH37508). IEEE, 2004. P. 284–289.
- Карслоу Г., Егер Д. Теплопроводность твердых тел: пер. с англ. М.: Наука, 1964.