Approximation of the objects with nonstationary thermal conductivity with the elementary dynamic units

Full Text

Совместное рассмотрение обыкновенных уравнений и уравнений в частных производных с целью, например, построения моделей объектов управления при конструировании рациональных систем управления технологическими установками [2, 4, 5] представляет известные трудности. Обычно эта проблема решается с помощью аппроксимации уравнений в частных производных обыкновенными уравнениями. Причем в сложных объектах, описываемых уравнениями высокого порядка, актуальной становится проблема аппроксимации уравнений в частных производных системой обыкновенных дифференциальных уравнений низкого порядка. В данной работе на примере теплообмена неограниченной пластины , (1) , , , с граничными условиями первого рода ; ; (2) рассматривается применение для этих целей метода интегральных элементов (МИЭ) [3] с нелинейной двухточечной координатной функцией. Исходное уравнение (1) в МИЭ заменяется конечным числом уравнений ; (3) в соответствии с разбиением отрезка пространственной координаты . МИЭ позволяет получить избыточное число уравнений в системе обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ). При этом уравнение (3) интегрируют один или два раза: ; . В результате этого получают: ; (4) . (5) Выбираются координатные функции в виде [3] ; (6) ; (7) , (8) где ; ; ; . Затем в левые части уравнений (4), (5) подставляют вместо аппроксимирующую функцию согласно (7), а в правые части уравнений (4), (5) вместо производных – выражения для внешних граничных условий при (за исключением граничных условий первого рода), а при межэлементные граничные условия: ; . В результате этого из интегро-дифференциального уравнения первого порядка (ИДУ1) (4) получена первая система ОДУ: ; (9) ; (10) , (11) где ; ; ; ; ; ; ; ; . Системе уравнений (9) – (11) соответствует система операторных уравнений следующего вида: (12) где ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; . Вторую систему ОДУ можно получить из интегро-дифференциального уравнения второго порядка (ИДУ2) (5): ; (13) , (14) где ; ; ; ; ; ; ; ; . Из совместного рассмотрения двух систем ОДУ (9 – 11), (13) и (14) несложно перейти к системе ОДУ, записанной в нормальной форме, что широко используется в современной теории автоматического управления. После несложных преобразований системы уравнений (13), (14) можно получить вторую систему операторных уравнений: (15) где ; ; ; ; ; . Система операторных уравнений метода конечных разностей [1] имеет вид (16) где ; ; ; . Системы уравнений (12), (15) и (16) были использованы при составлении расчетных схем в программном комплексе Simulink-Matlab для построения переходных характеристик при изменении температуры греющей среды. Погрешность , (17) различных методов при одноэлементной аппроксимации и представлены на рис. 1 кривыми , . В соотношении (17): – точное решение; – МИЭ ; – МКР. Результаты вычислений , при и представлены на рис. 2, 3, из анализа которых следует, что погрешность вычислений с помощью МИЭ имеет незначительную величину уже при . В таблицу сведены результаты вычислений относительной температуры в середине пластины и при двухэлементной аппроксимации различными методами: – точное решение; – МКЭ. Остальные величины относятся к МИЭ: – , первое уравнение – ИДУ1, второе – ИДУ2; – – ИДУ1, ИДУ2; – – оба уравнения ИДУ2. Анализ погрешности (см. таблицу) показывает, что погрешность МИЭ при и с ИДУ1 и ИДУ2 меньше погрешности МКЭ. Погрешности МИЭ при с двумя ИДУ2 и МКЭ соизмеримы по величине: , . Рис. 1. Зависимость погрешности решений различными методами: – МИЭ; – МКР Рис. 2. Зависимость относительной температуры в центре пластины от при для (сплошная линия) и (пунктирная линия) Рис. 3. Зависимость относительной температуры в пластине при от при для (сплошная линия) и (пунктирная линия)КЗ Результаты вычислений температуры пластины Время Значения относительной температуры 0,01 0,000 -0,023 -0,015 -0,01 -0,009 0,047 0,062 0,056 0,067 -0,066 0,1 0,051 0,083 0,052 0,100 0,112 0,270 0,335 0,350 0,358 0,36 0,2 0,228 0,287 0,235 0,282 0,305 0,442 0,490 0,512 0,504 0,514 0,4 0,526 0,576 0,524 0,560 0,583 0,667 0,698 0,705 0,694 0,710 0,6 0,710 0,748 0,712 0,725 0,750 0,794 0,821 0,819 0,81 0,826 0,8 0,823 0,850 0,824 0,830 0,850 0,872 0,893 0,89 0,882 0,900 1,0 0,892 0,910 0,892 0,894 0,910 0,920 0,937 0,932 0,927 0,937 1,6 0,976 0,981 0,975 0,975 0,980 0,982 0,987 0,984 0,983 0,987 Выводы. Получены две системы ОДУ, аппроксимирующие уравнение нестационарной теплопроводности пластины с граничными условиями первого рода, по которым построены расчетные схемы и дана сравнительная оценка с МКЭ погрешности одно- и двухэлементной аппроксимации.

About the authors

Viktor I Kotenev

Samara State Technical University

(Dr. Sci. (Techn.)), Professor 244, Molodogvardeyskaya st., Samara, 443100

Alexander V Kotenev

Samara State Technical University

(Ph.D. (Techn.)), Associate Professor 244, Molodogvardeyskaya st., Samara, 443100

Vyacheslav S Osipov

Samara State Technical University

(Ph.D. (Techn.)), Associate Professor 244, Molodogvardeyskaya st., Samara, 443100

Vladimir V Kochetkov

Samara State Technical University

Student. 244, Molodogvardeyskaya st., Samara, 443100

References

Supplementary files