Аппроксимация уравнений теплопроводности конечным числом типовых динамических звеньев

Аннотация

Дано уточнение метода интегральных элементов, который используется при аппроксимации объектов управления с распределенными параметрами.

Полный текст

Аппроксимация уравнений теплопроводности типовыми динамическими звеньями используется при построении математических моделей процессов теплообмена тел в некоторых электротехнологических установках [1, 3, 4]. Если таких тел не одно, а несколько, то задача значительно усложняется и на первый план выступает проблема понижения порядка аппроксимированных уравнений каждого тела с целью ограничения порядка дифференциального уравнения всего процесса теплообмена. Метод интегральных элементов [2] с нелинейными координатными функциями позволяет получить приемлемую для практики погрешность аппроксимации при разбиении тела на малое число частей в том случае, если процесс теплообмена рассматривается при граничных условиях первого рода либо при граничных условиях второго или третьего рода, но протекающего при высокой интенсивности (). С уменьшением числа погрешность возрастает на недопустимую величину, при которой решение аппроксимированного уравнения становится неустойчивым. Объясняется это тем, что в предпоследнее уравнение входит температура внешней поверхности тела, которое не выражено через уравнение граничных условий. В данной статье этот недостаток устраняется на примере теплообмена неограниченной пластины , , (1) с граничными условиями . (2) Исходное уравнение (1) в МИЭ заменяют конечным числом уравнений , . (3) В результате двойного интегрирования (3) по пространственной координате получают: , (4) где ; , . Выбирают координатные функции [2, 3]: (5) где ; . Определяют межэлементные граничные условия (6) и подставляют в левую часть уравнения (4) вместо (5) значение , а в правую часть этого уравнения вместо производной – усредненную производную (6). В результате получают: ; (7) , (8) где ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; . В правой части уравнения (7) производная согласно условию (3) равна нулю. Выразим в правой части уравнения (8) при температуру через выражения (2). С этой целью проинтегрируем уравнение (3) в пределах границ последнего участка: . (9) Подставим в левую часть уравнения функцию (5), а в правую часть – соотношения (2) и (6) при . В результате этого получим: , (10) где ; ; . Отсюда определяем , (11) где . В результате подстановки (11) в (8) при получим: , (12) где ; ; ; ; ; . Уравнения (7), (8), (10) можно представить в операторной форме: ; (13) , (14) где ; ;; ; , ;. Последнее уравнение можно найти из уравнения (10): , (15) где ; ; ; ; . Уравнения (12) – (15) образуют полную систему из уравнений. При одноэлементной аппроксимации () вместо (9) получаем . В результате интегрирования полученного уравнения после подстановки в него граничных условий (2), а затем его интегрирования получаем . (16) Из (16) находим . (17) При подстановке граничного условия (2) в уравнение (4) и его интегрирования получаем . (18) Подставив (17) в (18), будем иметь . (19) После преобразования (16) и (19) получаем два операторных уравнения: ; , где ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; . Этим уравнениям соответствует расчетная схема (рис. 1). Рис. 1. Расчетная схема при одноэлементной аппроксимации уравнения теплопроводности пластины На рис. 2 и 3 представлены графики переходных характеристик и , построенные по расчетной схеме, представленной на рис. 1, при и , а также их точные значения , , полученные из решения уравнения (1) с краевыми условиями (2) [5]. Анализ погрешности аппроксимации показал, что ее минимум достигается при . Эта величина совпадает с установившимся значением параметра , который соответствует температурному распределению при регулярном режиме. Оптимальная величина определяется из точных решений, известных для тел канонических форм. При отсутствии точного решения величину можно найти из приближенного решения, полученного при линейной аппроксимации с достаточно большим и фиксированным , взятым после наступления регулярного режима . Рис. 2. Переходные характеристики при ступенчатом воздействии : 1 – точное решение; 2 – ; 3 – ; 4 – Рис. 3. Переходные характеристики при ступенчатом воздействии : 1 – точное решение; 2 – ; 3 – ; 4 – Выводы Получена уточненная система обыкновенных дифференциальных уравнений, аппроксимирующая уравнение нестационарной теплопроводности пластины. Показано, что одноэлементная аппроксимация может быть использована в практике проектирования математических моделей объектов управления в электротехнологических установках с конвективным теплообменом.