Iterative algorithm for separating signals using wavelet regularization

Abstract

An algorithm for separation of the combined signals in order to improve the reliability of determining the qualitative composition of multi-component mixtures is considered.

Full Text

Одним из часто применяемых видов обработки сигналов аналитических приборов является разделение сигналов на компоненты одинаковой формы, но с различными параметрами. Типичный пример – разделение совмещенных пиков хроматографического сигнала. Если рассматривать аналитический прибор как линейную систему с известной аппаратной функцией, то задача разделения сигналов сводится к решению интегрального уравнения типа свертки [1], которое в символической форме может быть записано в виде . (1) Здесь – обозначение свертки, – аппаратная функция прибора, – выходной сигнал аналитического прибора, – входной сигнал, – высокочастотная помеха с нулевым средним и дисперсией . Решение задачи заключается в нахождении оценки по экспериментально зарегистрированному сигналу . Задача обращения (1) является некорректно поставленной [2], для ее решения используются регуляризирующие алгоритмы, зависящие от некоторого параметра регуляризации (обычно одного), выбором которого достигается приемлемое регуляризированное решение. В данной работе для получения устойчивого решения используется вейвлет-регуляризация, в основе которой лежит тот факт, что энергия полезного сигнала и помехи распределяется по масштабам разложения различным образом [3]. Появляется возможность «разделить» сигнал и помеху. Для этого производится пороговая обработка коэффициентов разложения [4]. Здесь регуляризирующий множитель определяется индивидуально для каждого масштаба разложения, что позволяет получить лучшие результаты. Перейдем к конкретному итерационному алгоритму разрешения сигналов. Итерационная последовательность оценок строится в следующем виде [1]: , (2) где – оценка решения на -той итерации; – коэффициент релаксации. В качестве начальной оценки решения обычно принимается зарегистрированный на выходе прибора сигнал: . Рассмотрим текущую невязку: . (3) Подавление помехи заключается в том, чтобы разделить вклады и в . Таким образом, если сначала разделить коэффициенты вейвлет-преобразования невязки (3) на те, которые обусловлены помехой и те, которые несут информацию о сигнале, а затем отбросить помеховую составляющую, то можно получить регуляризированную невязку: . Подставляя в итерационную процедуру (2) невязку вместо , получим регуляризированную итерационную схему, которая будет сходиться к . Для получения регуляризированной невязки на каждой итерации осуществляется вейвлет-представление невязки в виде приближения из двух составляющих – грубой (аппроксимирующей) и детализирующей , с последующим их уточнением итерационным методом: , (4) где характеризует уровень разрешения; – соответственно скейлинг-функция и вейвлет-функция (детализирующая); {}, {} – наборы аппроксимирующих и детализирующих коэффициентов разложения уровня разрешения; – множество целых чисел. В качестве начального набора коэффициентов выбирается массив значений невязки . Повторяя процедуру раз, , разлагая каждый раз сглаженную функцию на еще более сглаженную часть и детализирующую часть , получаем вейвлет-разложение аппроксимации -того уровня разложения для глубины разложения : ; (5) . (6) Вейвлет-разложения (5), (6) можно изобразить в виде следующей схемы нахождения коэффициентов: . Таким образом, на каждой итерации находится одно-, двухуровневое или более глубокое разложение невязки . Затем к каждому из коэффициентов детализации уровня применяется процедура порогового удаления. В соответствии с жесткой пороговой обработкой все коэффициенты уровня , большие или равные порогу , сохраняются неизменными, а прочие, не удовлетворяющие данному условию, отбрасываются: , где – множитель, определяющий жесткий порог: Использование мягкой пороговой обработки подразумевает пересчет коэффициентов детализации следующим образом: , где – некоторое пороговое значение. В этом случае наряду с обращением в 0 коэффициентов , содержащих лишь помеху, происходит уменьшение коэффициентов детализации на величину , что соответствует шумоподавлению в информативных коэффициентах. В случае использования процедуры пороговой обработки разложение невязки в ряд по скейлинг- и вейвлет-функциям имеет вид , где – множество коэффициентов детализации невязки , прошедших процедуру пороговой обработки. Проведены вычислительные эксперименты по разрешению сигналов аналитических приборов. При использовании рассмотренного метода разрешения сигналов с вейвлет-подавлением помехи достигается высокая устойчивость к воздействию погрешности регистрации выходного сигнала анализатора. Метод вполне работоспособен при высоком уровне помехи, когда другие методы регуляризации не дают удовлетворительных результатов. Следует заметить, что процедура вейвлет-преобразования – ресурсоемкая процедура, а в задаче повышения разрешения сигналов она выполняется на каждой итерации. Алгоритм обработки сигналов, реализующий данный метод, требует использования достаточно производительной ЭВМ.