Оптимальное по быстродействию управление процессом периодического индукционного нагрева с учетом ограничения на максимальную температуру

Полный текст

При решении задач оптимального управления реальными производственными процессами необходимо учитывать различные технологические ограничения. Основные технологические ограничения определяются требованиями, предъявляемыми к поведению температурного поля нагреваемого изделия, согласно которым максимальные по объему заготовки значения растягивающих термонапряжений и/или температуры не должны превышать заданных предельно допустимых величин. Наличие подобных технологических ограничений серьезно осложняет процедуру поиска решения задач оптимального управления. В данной работе на базе двумерной численной FLUX модели взаимосвязанных электромагнитных и температурных полей рассматривается решение задачи оптимального по быстродействию управления периодическим процессом индукционного нагрева цилиндрических заготовок с учетом ограничения на максимально достижимую в процессе нагрева температуру. Оптимальный по быстродействию алгоритм управления Задача оптимального по быстродействию управления периодическим процессом индукционного нагрева перед пластической деформацией [1-3] с учетом технологического ограничения представляет собой задачу поиска такого переменного во времени управляющего воздействия , стесненного ограничением , которое обеспечивает перевод объекта, описываемого уравнениями (1)-(4), из начального состояния (5) в заданное конечное состояние (6) при минимальном значении критерия оптимальности (7) в условиях ограничения на максимальную температуру (8) [2]: (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) Здесь - напряженность магнитного поля; - пространственно-временное распределение температуры по объему заготовки; - абсолютная магнитная проницаемость; - коэффициент теплоотдачи в окружающую среду; - соответственно удельная электропроводность, теплоемкость, плотность и коэффициент теплопроводности нагреваемого металла; - время; , - соответственно радиальная и продольная пространственная координаты; - максимально допустимая величина абсолютного отклонения температуры от заданной; - температура окружающей среды; - длина заготовки; - радиус заготовки; - заданное значение температуры; - предельно допустимое значение максимальной температуры нагрева. Решение задачи оптимального по быстродействию управления без учета ограничения имеет вид релейной функции [2] (9) где - длительность i-го интервала знакопостоянства управляющего воздействия . Если ограничение (8) не нарушается при оптимальном управляющем воздействии вида (9), то данное управляющее воздействие остается оптимальным и в сформулированной задаче с ограничением (8). Однако в большинстве реальных ситуаций из-за превышения допустимой величины температурного максимума на некотором временном интервале процесса нагрева не выполняется условие (8) (рис. 1). Рис. 1. Изменение управляющего воздействия и максимальной температуры в процессе индукционного нагрева Следовательно, необходим поиск управляющего воздействия на участке от до , на котором максимальная температура по объему заготовки не будет превышать допустимого значения . Очевидно, что если на этом участке будет выполняться условие , то время нагрева в оптимальном процессе с введенным ограничением (8) будет минимальным из всех возможных. При этом характер изменения остальных интервалов оптимального управляющего воздействия остается неизменным. Тогда алгоритм оптимального по быстродействию управления (9) в условиях ограничения (8) принимает вид (10) где - момент времени, когда максимальная температура в процессе нагрева становится равной максимально допустимому значению ; - управляющее воздействие на участке движения по ограничению. Таким образом, поиск оптимального алгоритма управления (10) сводится к определению количества N и длительностей интервалов постоянства , управляющего воздействия , а также длительности интервала движения по ограничению и характера изменения управляющего воздействия на этом интервале [2]. Решение задачи параметрической оптимизации с помощью альтернансного метода Известно [1, 2], что наличие технологического ограничения на максимальную температуру нагрева не изменяет процедуру редукции задачи оптимального управления к задаче математического программирования, сформулированной в [1]. При управлении вида (9) температурное распределение в любой точке заготовки в момент времени зависит только от величин . Следовательно, температурное распределение описывается зависимостью . Таким образом, нужно определить длительности чередующихся интервалов нагрева и остывания, обеспечивающие выполнение условия (11) за минимальное время, которое будет равно сумме : (11) В данном случае роль критерия оптимальности исполняет сумма: (12) Следовательно, решение задачи оптимального по быстродействию управления без технологического ограничения сводится к задаче математического программирования на минимум целевой функции (12) N переменных с заданным ограничением на множество допустимых значений в форме неравенства (11). Возникает вопрос о возможности распространения основных закономерностей альтернансного метода на задачу с технологическим ограничением. Как показано в [2], форма кривой распределения температуры в конце оптимального процесса и ее свойства, как правило, не меняются при учете технологического ограничения (8), если эти свойства не противоречат данным ограничениям. Последнее условие практически всегда выполняется в том случае, когда требуемая точность нагрева оказывается не меньше разности допустимого температурного максимума и заданного значения температуры , т. е. когда выполняется неравенство (13) Системы уравнений альтернансного метода [2-10] в задаче оптимального управления с ограничением для точностей , , имеют вид (14)-(16), как и в задаче без учета ограничения. Здесь- максимально достижимая точность нагрева в классе i-интервальных управлений, где . При этом оптимальное управляющее воздействие для точности описывается выражением (17), для точностей и - выражением (18). (14) (15) (16) (17) (18) В выражениях (14)-(16) - пространственные координаты точек с максимальным отклонением температуры от заданного значения. При выполнении условия (13) последовательность решения задачи оптимального управления с ограничением на максимальную температуру нагрева имеет следующий вид [2]: - по результатам решенной задачи оптимального по быстродействию управления процессом индукционного нагрева в отсутствие технологических ограничений находится зависимость изменения максимальной температуры процесса во времени; - по данной зависимости выбирается характер изменения управляющего воздействия на первом интервале постоянства; - определяется момент времени начала движения по технологическому ограничению как момент времени, когда максимальная температура в процессе нагрева становится равной максимально допустимому значению ; - осуществляется поиск управления на участке движения по ограничению. В целях максимального упрощения используется приближенный алгоритм вычисления с помощью кусочно-постоянной аппроксимации на каждом временном шаге (рис. 2). Необходимая точность аппроксимации определяется выбором достаточно большого количества J шагов изменения величины управляющего воздействия с длительностью . Значения , выбираются таким образом, чтобы выполнялось условие в точках и в моменты времени , где [2]; Рис. 2. Кусочно-постоянная аппроксимация управляющего воздействия на участке движения по ограничению - решается задача оптимального управления для точности . Характерная особенность решения данной задачи заключается в том, что при одноинтервальном управляющем воздействии согласно выражению (10) оптимальный процесс заканчивается на участке движения по ограничению. Таким образом, максимальное температурное отклонение от желаемой температуры составляет (рис. 3). Рис. 3. Температурное поле в оптимальном по быстродействию процессе нагрева с ограничением на максимальную температуру при Длительность интервала оптимального процесса однозначно определяется из уравнения, составленного для центральной точки нагреваемой заготовки: ` (19) Для значений точности , для которых выполняется условие (13), справедлива методика решения задач оптимального управления, применимая в отсутствие технологических ограничений: остаются неизменными и правило выбора количества интервалов управления N в зависимости от требуемой точности нагрева, и типовая форма кривых температурного распределения, и расчетные системы уравнений. В ряде прикладных задач актуальным является случай, когда условие (13) не выполняется. Как правило, такое возможно, если допустимая температура нагрева совпадает с заданной: (20) Здесь имеет место одноинтервальное управление вида (10) в условиях (20) при N = 1 в (9). В этом случае максимальная температура возрастает до заданного значения при максимальном управляющем воздействии, а затем максимальная температура поддерживается на уровне до тех пор, пока температура в центральной точке заготовки не достигнет значения с некоторой точностью, равной . В условиях (20) оптимальный процесс заканчивается на участке движения по технологическому ограничению, входящему в первый интервал управления, то есть в таких задачах N всегда равно 1. Величина в условиях (20) равна максимально достижимому значению . Численное решение задачи и анализ полученных результатов Рассмотрим процесс сквозного индукционного нагрева на частоте 50 Гц алюминиевых цилиндрических слитков диаметром 500 мм и длиной 1000 мм до температуры 450 °С. Подробные конструктивные и теплофизические характеристики системы «индуктор - заготовка» представлены в [1]. На основе указанных исходных данных была построена двумерная численная модель в конечно-элементном программном пакете Cedrat FLUX [1, 11-12], на базе которой решалась рассматриваемая задача оптимального управления. Анализ процесса нагрева на основе разработанной модели показал, что максимальная по объему температура превышает допустимое значение в момент времени . В результате решения задач быстродействия в соответствии с методикой, описанной в п. 2, получены значения максимально достижимой точности нагрева , длительности и интервалов нагрева и выравнивания температуры (см. таблицу). Результаты решения задач быстродействия при 1400 50 1747 - 31,5 1853 25,5 19 1905 89 Конечные радиальные температурные распределения, изменение во времени управляющего воздействия максимальной и минимальной температур для случая представлены на рис. 4-5. На кривых радиального распределения температуры отмечены точки, в которых достигаются максимальные и минимальные отклонения конечной температуры от заданной. а б Рис. 4. Конечные радиальные температурные распределения при точности (): а - сечение с точкой температурного максимума; б - сечение с точками температурных минимумов Рис. 5. Изменение управляющего воздействия (1), максимальной (2) и минимальной (3) температур в процессе нагрева при () Конечные радиальные температурные распределения представлены на рис. 6. Изменение во времени управляющего воздействия, максимальной и минимальной температур показано на рис. 7. а б Рис. 6. Конечные радиальные температурные распределения при точности (): а - сечение с точкой температурного максимума; б - сечение с точкой температурного минимума Интересным представляется случай, когда требуемая температура совпадает с максимально допустимым ее значением, что согласно (19) в рассматриваемой задаче соответствует выполнению условия . Как было описано ранее, в условиях (20) оптимальный по быстродействию алгоритм управления будет содержать только один интервал управления, при этом достижимая точность является предельно достижимой. С помощью численной модели при получены следующие результаты решения задачи быстродействия: , значение точности нагрева , длительность интервала нагрева . Рис. 7. Изменение управляющего воздействия (1), максимальной (2) и минимальной (3) температур при () Заключение В данной работе рассмотрено решение двумерных задач оптимального управления процессом периодического индукционного нагрева с учетом ограничения на максимальную температуру нагрева на базе численной модели процесса, построенной в программном пакете FLUX. В результате решения получены оптимальные по быстродействию алгоритмы управления процессами сквозного нагрева алюминиевых цилиндрических заготовок. Анализ полученных результатов показывает, что наличие технологического отграничения на максимальную температуру в процессе индукционного нагрева существенно осложняет процедуру решения задачи оптимального управления. Введение предельно допустимого значения максимальной температуры позволяет получить выигрыш по точности нагрева не менее 25 % при увеличении времени нагрева на 15 % по сравнению с задачей без ограничения. Полученные алгоритмы управления способствуют повышению экономической эффективности производственных процессов.

Об авторах

Антон Валерьевич Попов

Самарский государственный технический университет

ассистент кафедры «Автоматика и управление в технических системах», аспирант Россия, 443100, г. Самара, ул. Молодогвардейская, 244

Артем Игоревич Дьяконов

Самарский государственный технический университет

ассистент кафедры «Автоматика и управление в технических системах», аспирант Россия, 443100, г. Самара, ул. Молодогвардейская, 244

Список литературы

Дополнительные файлы