Identification of the impulse response function of a linear dynamic system based on correlation method using sign-analog stochastic quantization

Full Text

Идентификация импульсной переходной функции линейной динамической системы по данным, полученным экспериментальнымпутем, представляет собой актуальную задачу [1, 2]. Однако ее определение с использованием специальных тестирующих сигналов может быть затруднено и даже может привести к нарушению технологического процесса нормального функционирования системы. Поэтомуво многих случаях для нахождения импульсной переходной функции целесообразно применятькорреляционный методее идентификации. Согласно этому методу нахождениеимпульсной переходной функцииосуществляется при наблюдении за случайными входными и выходными сигналами, возникающими в штатном режиме эксплуатации системы [3, 4]. Если сигналы, действующие на входе и выходе исследуемой системы, являются стационарными и стационарно-связанными функциями, то задача идентификации корреляционным методом в своем классическом варианте связана с решением интегрального уравнения Винера - Хопфа [2-4]: , где - корреляционная функция входного сигнала системы; - взаимная корреляционная функция входного и выходного сигналов системы; - импульсная переходная функция системы. На практике в процессе решения интегрального уравнения Винера - Хопфа исходят из условия физической реализуемости динамической системы. Согласно этому условию при импульсная переходная функция . Также принимают во внимание, что для устойчивых систем импульсная переходная функция с течением времени затухает, т. е. должно выполняться предельное соотношение . Поэтому процедуру идентификации импульсной переходной функции осуществляют для конечного интервала времени . При этом верхнюю границу этого интервала определяют как момент времени, начиная с которого значения импульсной переходной функции не выходят за пределы предварительно установленного коридора [1]. Кроме того, вместо теоретических значений корреляционной и взаимной корреляционной функций используют их оценки и , которые вычисляются экспериментальным путем на конечном интервале времени по наблюдаемым реализациям входного и выходного сигналов системы. При этом должны выполняться условия и , где - интервал корреляции сигнала , - интервал взаимной корреляции сигналов и . Одновременно должно выполняться условие . В соответствии с этим на практике задача идентификации импульсной переходной функции корреляционным методом сводится к необходимости решения следующего интегрального уравнения [5]: ,. (1) Решение уравнения (1)в дискретном виде связано с необходимостью перехода кпроцедуре численного интегрирования и требует предварительногоопределениятекущих оценок и .Однако оценки и являются статистическими характеристиками и в цифровом виде требует большого объема вычислений. Поэтому, принимая соответствующее решение о способе их вычисления, следует исходить из необходимости удовлетворения требованию, направленному на снижениеобщей трудоемкости процедуры идентификацииимпульсной переходной функции. Вследствие этого актуальное значение приобретает разработка цифрового алгоритма, который не требовал бы предварительного прямого вычисления текущих значений оценок и и обеспечивал бы повышение оперативности вычисления отсчетов импульсной переходной функции. Получить достаточно эффективное решение задачи идентификации импульсной переходной функции согласно соотношению (1) можно, если в качестве первичного преобразования входного и выходного сигналов в цифровую форму использовать знаковое аналого-стохастическое квантование. Такое квантование позволяет осуществлять предельно грубое двухуровневое квантование без систематической погрешности независимо от статистических свойств преобразуемых сигналов [6]. Пусть в результате выполнения трех независимых процедур знакового аналого-стохастического квантования в пределах интервала времени сформирован знаковый сигнал и в пределах интервала времени сформированы знаковые сигналы и : , и , где - оператор знакового преобразования; и - центрированные (т. е. имеющие нулевые математические ожидания) наблюдаемые реализации входного и выходного сигналов; , и - вспомогательные случайные сигналы, которые играют роль стохастического порога квантования. Вспомогательные сигналы , и являются однородными. Они независимы относительно друг друга и по отношению к сигналам и . Мгновенные значения сигналов , и распределены равномерно внутри интервала . При этом должно быть обеспечено выполнение условий и , где и представляют собой абсолютные максимально возможные значения, которое могут принять в ходе процесса идентификации реализации и сигналов и. Согласно своему определению результат знакового аналого-стохастического квантования представляет собой непрерывную во времени функцию, ограниченную по уровню двумя возможными значениями «» и «», которые последовательно во времени сменяют друг друга. Поэтому динамику изменения текущих значений знаковых сигналов , и в пределах интервалов времени формирования можно однозначно описать с помощью их значений в начальный момент времени процедуры идентификации и множеств отсчетов моментов времени, в которые каждый из них пересекает нулевой уровень (т.е. меняет свое текущее значение на противоположенное). В соответствии с этим для этих сигналов будем иметь отсчеты , и и три множества отсчетов времени , и , где , и . При этом , , и . В качестве оценок корреляционной и взаимной корреляционной функций возьмем несмещенные оценки следующего вида [8-10]: ; . Так как знаковые сигналы и формируются на интервале , то оценки и могут быть вычислены для и . С учетом этих оценок соотношение (1) может быть преобразовано к следующему виду: . (2) Так как знаковый сигнал остается постоянным в пределах интервалов времени и при этом может принимать только одно из двух возможных значений «» или «», интеграл по переменной в соотношении (2) можно представить в виде суммы интегралов: . Изменим порядок интегрирования по переменным и . Тогда получаем: . Введем обозначения: , . В соответствии с этими обозначениями получаем: . (3) Перейдем к дискретной форме представления уравнения (3). Тогда будем иметь: , (4) где - интервал дискретизации по переменным и (фактически это интервал дискретизации по времени оценок корреляционной и взаимной корреляционной функций). Решение уравнения (4) относительно дискретных отсчетов импульсной переходной функции для и приводит к тому, что они могут быть вычислены последовательно следующим образом: для , (5) для , (6) где ,, (7) . (8) Нетрудно видеть, что вся процедура вычисления отсчетов и в процессе статистической идентификации импульсной переходной функции свелась к нахождению коэффициентов и . Пусть для знакового сигнала границы интервалав пределах которого вычисляется значение коэффициента , соответствуют моментам времени и , где индексы и являются целыми числами и обозначены именно так, чтобы показать их зависимость от номера этого интервала. В соответствии с этими обозначениями будем иметь множество отсчетов , которые принадлежат множеству и определяют те моменты времени, в которые знаковый сигнал последовательно пересекает нулевой уровень в пределах интервала времени . С учетом множества моментов времени , а также вследствие того, что сигнал может принимать значения, равные только «» и «», интеграл в выражении, определяющем коэффициенты , может быть вычислен аналитически, так что они будут равны: ; где Аналогично получаем соотношение для вычисления коэффициентов : , где В последнем случае было учтено, что для сигнала границам интервала времени , в пределах которого вычисляется значение коэффициента , будут соответствовать моменты времени и . При этом будем иметь множество отсчетов времени , которые принадлежат множеству и определяют те моменты времени, когда знаковый сигнал последовательно пересекает нулевой уровень в пределах интервала времени . Для того чтобы иметь возможность практического использования соотношений и для вычисления отсчетов импульсной переходной функции, необходимо перейти к числовому представлению дискретных отсчетов моментов времени , и . Это можно сделать, используя классический подход к цифровому представлению интервалов времени. Согласно этому подходу ,и, где - оператор определения целой части числа в квадратных скобках; - период счетных импульсов, который должен удовлетворять требованию . Здесь определяет задание в относительных единицах необходимой точности числового представления дискретных отсчетов времени , и в зависимости от длительности минимально возможного интервала времени , или для , и . Значение выбирается исходя из априорных сведений о динамических и частотных характеристиках сигналов и . В частности, должно выполняться условие , где и - верхняя граничная частота в спектре сигналов и . Также должно выполняться условие . В результате получаем три множества целых чисел , и . Отметим, что . Кроме того, будем иметь. Отсюда следует, что , и . Схема алгоритма вычисления отсчетов импульсной переходной функции В итоге соотношения для вычисления и будут иметь вид: ; (9) . (10) Таким образом, соотношения (5) - (8) с учетом соотношений (9) и (10) можно рассматривать как последовательный цифровой алгоритм идентификацииимпульсной переходной функции в дискретные моменты времени с интервалом дискретизации . При этом общее число подлежащих вычислению отсчетов импульсной переходной функции будет равно . На рисунке представлен упрощенный вариант схемы алгоритма последовательного вычисления отсчетов импульсной переходной функции. В заключение отметим, что в данной работе основным моментом является использование знакового аналого-стохастического квантования в качестве первичного преобразования входного и выходного сигналов системы. Дискретно-временное представление результата знакового аналого-стохастического квантования в виде множества отсчетов моментов времени, определяемых сменой знака, позволило операции интегрирования, связанные с формированием оценок корреляционной и взаимной корреляционной функций, вычислить аналитически. Это обеспечило возможность разработки цифрового алгоритма, исключающего необходимость предварительного прямого вычисления оценок и в процессе идентификации импульсной переходной функции. Основу этого алгоритма составляют процедуры вычисления коэффициентов и , которые не требуют осуществлять обработку многоразрядных цифровых отсчетов входного и выходного сигналов системы. Согласно полученным соотношениям вычисление коэффициентов и предполагает выполнение цифровых процедур, которые в своей основе сводятся к реализации логических операций и простых арифметических операций суммирования и вычитания, связанных с обработкой целочисленных отсчетов времени , и , сформированных в результате выполнения знакового аналого-стохастического квантования. Последнее обстоятельство способствует повышению оперативности цифрового вычисления отсчетов импульсной переходной функции.

About the authors

Vladimir N Yakimov

Samara State Technical University

(Dr. Sci. (Techn.)), Professor 244, Molodogvardeyskaya st., Samara, 443100, Russian Federation

Vitaly I Batichev

Samara State Technical University

(Dr. Sci. (Techn.)), Professor 244, Molodogvardeyskaya st., Samara, 443100, Russian Federation

Andrey V Mashkov

Samara State Technical University

Teacher 244, Molodogvardeyskaya st., Samara, 443100, Russian Federation

References

Supplementary files