Математическое моделирование распределения давления в движущейся жидкости на основе электрогидравлической аналогии

Полный текст

Математическое и компьютерное моделирование процессов переноса тепла, массы и импульса является неотъемлемым компонентом многих научных и прикладных исследований, охватывающих широкие области использования в различных отраслях промышленности. Математические моделиуказанных процессов основаны на дифференциальных уравнениях Навье - Стокса и конвективного теплообмена, которые, несмотря на многочисленные допущения, крайне сложны и могут быть исследованы лишь численными методами. В этой связи весьма перспективным является направление моделирования, связанное с применением теории подобия, когда исследование каких-либо процессов выполняется на объектах (явлениях) совсем другой природы, которые описываются теми же уравнениями, что иисследуемые процессы. Например, уравнения двух законов Кирхгофа, описывающих распределение потенциалов в электрических сетях, могут быть успешно использованы для нахождения давлений и скоростей (расходов) в движущихся жидкостях ввиду аналогии электрических и гидравлических процессов. Движение среды, транспортируемой в трубопроводах, происходит в соответствии с законами сохранения массы, энергии и импульса. Поэтому теория гидравлических систем основывается на математическом моделировании различных параметров, характеризующих перемещаемую среду. Теория гидравлических сетей, основанная на электрогидравлической аналогии, развивалась в работах Сухарева М.Г., Ставровского Е.Р., Меренкова А.П., Хасилева В.Я., Коваленко А.Г., Соколова Е.Я. и др. [1-16]. В их работах приводится обоснование математических моделей, описывающих гидравлические процессы в трубопроводных системах, дается алгоритмическое обеспечение применения теории графов, алгебры матриц и векторов. Основой теории гидравлических сетей является метод расчета потокораспределения, основные положения которого приведены в [4]. В этой работе даны теоретические положения, связанные с применением законов Кирхгофа к расчету гидравлических сетей. Распространение этого метода для расчетов многокольцевых трубопроводных систем связано с расчетными трудностями, для преодоления которых были разработаны соответствующие алгоритмы и компьютерные программы, основанные на использовании итеративных методов расчета увязочных расходов. Однако для сложных сетей появляется проблема сходимости итераций. Идею метода поясним на примере нахождения распределения расходов в сети, состоящей из кольца, которое имеет три ответвления (рис. 1). По участкам a, b, c, d расходы обозначим через, , , -по ответвлениям , , . Требуется найти расходы по участкам кольца при известном расходе , задаваемом на входе в кольцо. Расходы , , по ответвлениям заданы, и сумма их равна расходу на входе в кольцо . Рис. 1. Схема кольцевой сети Введем следующие допущения: 1) поступление среды в узел считаем положительным, аотток - отрицательным; 2) потеря напора для среды, движущейся по часовой стрелке, положительна, против - отрицательна. По первому закону Кирхгофа при расчетах гидравлических сетей должно выполняться равенство поступления и оттока в любом узле , (1) где - число соединяющихся в узле трубопроводов; - расходы по любому из трубопроводов. По второму закону Кирхгофа для каждого замкнутого контура сумму напоров следует приравнять нулю: , (2) где , - гидравлические сопротивления и расходы на -том участке. Применяя итеративный метод расчета, на основе (1) и (2) можно определить расходы по участкам сети при заданном расходе на входе в кольцо. Первый шаг итерации связан с заданием произвольных расходов , , , на каждом участке кольца. Отсюда в узлах 0, 1, 2 исходя из первого закона Кирхгофа определяем ;;. Запись уравнения Кирхгофа для узла 3 не требуется, так как расход при известных значениях расходов на других участках сети d и c. Используя принятые расходы, по второму закону Кирхгофа находим невязки напоров: . (3) Если положительна, то, следовательно, перегружены участки с направлением движения по часовой стрелке и недогружены те, где направление движения противоположно. Чтобы приблизить невязку напоров к нулю, вводится увязочный расход . Он вычитается из расхода на перегруженных и добавляется - на недогруженных участках.Увязочный расход можно найти из (3), положив . Считая, что невязка, найденная из (3), положительна, увязочный расход определяем по соотношению . (4) Пренебрегая членами , считая их малыми величинами, соотношение (4) относительно приводим к алгебраическому линейному уравнению. Его решение , (5) где - всегда положительная величина. Знаки и всегда одинаковые. После определения расходы на участках кольца уточняются и расчет вновь повторяется. Итерации выполняются до тех пор, пока определяемые из двух последних расчетов расходы не будут отличаться на некоторую весьма малую (заданную) величину. В качестве примера найдем расходы по участкам кольца для исходных данных: ;;;;;;; . Первый шаг итерации состоит в принятии некоторых произвольных расходов по участкам кольца ;;;. Из формулы (3) находим . (6) Увязочный расход находится по соотношению (5) . (7) На втором итеративном шаге по участкам кольца ; ; ; . Отрицательный знак расхода означает, что направление движения жидкости, принятое на первом итеративном шаге, нужно сменить на противоположное, то есть расход на данном участке нужно принять положительным. Отсюда получаем ; . После уточнения расходов по участкам определяем ; ; ; . Величины и третьего шага итерации, определяемые из соотношений (3) и (5), будут ;. На основе результатов третьей итерации уточняются расходы по участкам кольца: ; ; ; . Проверяя выполнение первого уравнения Кирхгофа, применительно к 1-му, 2-му и 3-му узлам кольца получаем: ; ; . Следовательно, уже на третьем шаге итерации найдены расходы по участкам кольца, отличающиеся от заданных расходов для абонентов , , , с точностью до первого знака после запятой. При большом количестве колец в сети процесс выполнения итераций является плохо сходящимся. В связи с этим существенно возрастают затраты времени, необходимого на выполнение расчетов. Поэтому для сложных гидравлических цепей применение изложенной выше последовательности расчета потокораспределения возможно лишь при использовании современных средств компьютерной техники. Однако прежде чем переходить к расчетам на компьютерах, необходимо разработать компьютерную модель сети, в которой наряду с законами Кирхгофа применяется также теория графов [16]. На ее основе строится «дерево» теплосети. Схема графа дана на рис. 2, где цифрами 1, 2, 3, …, 9 обозначены вершины, а буквами а, б, в, … - дуги. Вершины графа представляют точки объединения трубопроводов, а дуги - участки трубопроводов. «Дерево» теплосети строится так, чтобы из вершины графа 1 можно было достичь любой другой вершины. Рис. 2. Схема графа Таким путем выполняется рассмотрение теплосети как единой системы. Для выполнения расчетов используется особая нумерация вершин и дуг. Любая вершина (узел) отмечается номером (именем), высотой расположения, величиной поступления или оттока среды и др. Любая дуга имеет номер (имя), длину и диаметры труб, коэффициент трения и другие параметры. Формул (3) и (5) достаточно для нахождения системы уравнений для неизвестных расходов и давлений. Ввиду итеративного способа расчета для сложных теплосетей появляется проблема сходимости итераций. В расчетной практике благодаря быстрой сходимости итераций получил распространение способ поконтурной увязки перепада давлений, реализация которого состоит в следующем: - задается начальное значение расходов на всех ветвях схемы; - находятся потери давления в ветвях и их невязки для контуров; - по найденным невязкам определяются значения «увязочных расходов»; - все «увязочные расходы» определяются по всем ответвлениям каждого контура путем алгебраического суммирования расходов, принятых в начальном приближении. Найденные на последнем этапе расходы используются в качестве следующего приближения, вплоть до совпадения (в пределах задаваемой точности) значений всех искомых величин. Для создания компьютерной модели следует определять гидравлические характеристики трубопроводов. Потери напора в трубопроводе включают потери на трение (линейные) и потери в местных сопротивлениях: (8) где - потери напора, ; - коэффициент трения; - длина трубопровода, ; - внутренний диаметр, ; - средняя скорость, ; сумма коэффициентов местных потерь на участке, ; g - ускорение силы тяжести, . Если ввести эквивалентную длину, то потери в местных сопротивлениях сводятся к линейным с расчетом эквивалентной длины местных сопротивлений по соотношению . (9) Формула (8) с учетом (9) будет выглядеть так: . (10) Скорость по известному расходу жидкости на участке сети будет . (11) После подстановки (11) в (10) будем иметь . Отсюда для участка-трубы гидравлическая характеристика принимает вид , где - гидравлическое сопротивление участка, . Для каждого участка-трубы вводится следующая информация: диаметр; длина; информация о местных сопротивлениях. Для каждого участка-задвижки гидравлическая характеристика имеет вид , где s - коэффициент, который для полностью открытой задвижки принимается равным. В компьютерной модели используются также участки-насосы, которые представлены зависимостями, связывающими напор насоса и его подачу. Характеристика насоса с достаточной точностью определяется соотношением вида где - напор насоса при закрытой на его выходе задвижке , ; - подача насоса, ; - гидравлическое сопротивление насоса, . Величина m принимается равной 2 или 1,85 исходя из характеристики насоса. Параметры и находятся по двум произвольным точкам известной характеристики насоса с использованием соотношений где индексыа и б означают параметры и , взятые из паспортных данных. По описанному выше алгоритму создается модель с паспортными характеристиками. Однако действительные характеристики сети могут отличаться от паспортных. Для максимального приближения модели к реальной сети выполняется ее идентификация [1-3]. При этом используются экспериментальные замеры расходов и давлений в отдельных точках гидравлической сети. Для приближения модели к реальной сети гидравлические сопротивления ее участков изменяют так, чтобы результаты, получаемые на модели, как можно менее отличались от экспериментальных данных. Процесс идентификации - итеративный. Выполнение этого процесса в модели автоматизировано. Точность идентификации определяется точностью и количеством экспериментальных данных. Отметим, что при проектировании новых гидравлических сетей идентификация модели не выполняется. Принципиальная схема части теплосети г. Самары, запитываемой от Самарской ТЭЦ, дана на рис. 3. Три вывода СамТЭЦ имеют общую нагрузку около 17040 т/час (первый вывод - 7760 т/час, второй - 4600 т/час, третий - 4640 т/час). Отметка высоты станции 75 м. Установленная тепловая мощность составляет 1500 Гкал/час. Большая длина трубопроводов (около 10 км - первый и третий выводы и около 6 км - второй) и недостаточный их диаметр приводят на отдельных участках тепловыводов к недостаточному располагаемому перепаду давлений. В связи с этим необходимо использовать повысительные насосные НС-12 на первом и НС-11 на третьем выводах. Повышенные давления в обратных трубопроводах (60 м и более) наблюдаются на пониженных участках теплосети. На рис. 4-8 приведены эпюры полученных на модели давлений для различных путей (ответвлений) тепловыводов. Из их анализа можно заключить, что на первом и третьем выводах (см. рис. 4, 7, 8) практически исчерпаны резервы по мощности повысительных насосных НС-11 и НС-12, так как они работают на пределе величин по пьезометрическому давлению в прямом трубопроводе (около 240 м). В связи с этим для увеличения располагаемого перепада давлений между прямым и обратным трубопроводами необходима их реконструкция на участке первого вывода от НС-12 до К-30 длиной 1,5 км, связанная с изменением диаметров трубопроводов с 800 до 1200 мм. Это мероприятие позволит поднять располагаемый перепад давлений на 30 м. Кроме того, необходимо реконструировать участок трубопроводов третьего вывода от НС-11 до К-45 длиной 3 км с увеличением диаметров с 800 до 1200 мм, что позволит повысить располагаемый перепад давлений на 50 м. Только после проведения указанных реконструкций можно рассчитывать на существенное увеличение нагрузки на первом и третьем выводах. Значительно более благоприятные условия работы имеются на втором выводе СамТЭЦ (рис. 5, 6). Это связано с относительно небольшой нагрузкой на входе (G = 4600 т/час) и почти в 2 раза меньшими, чем на первом и третьем выводах, длинами трубопроводов при достаточно больших диаметрах. Поэтому располагаемый перепад давлений не опускается ниже 40 м, в связи с чем тепловая нагрузка на втором выводе может быть существенно увеличена, например путем передачи части нагрузки первого и третьего выводов. Рис. 3. Схема тепловой сети от Самарской ТЭЦ (I, II, III тепловыводы). П повысительные насосные станции НС-1, НС-12 включены, НС-8, НС-9, НС-10 - отключены Рис. 4. Первый тепловывод, первый путь. Реальное состояние. Задвижка В 13 закрыта Рис. 5. Второй тепловывод, второй путь. Реальное состояние Рис. 6. Второй тепловывод, третий путь. Реальное состояние Рис. 7. Третий вывод, первый путь. Повысительная насосная НС-11 включена Рис. 8. Третий вывод, третий путь Выводы С использованием электрогидравлической аналогии разработана математическая и компьютерная модель теплосети централизованного теплоснабжения г. Самары, запитываемой от Самарской ТЭЦ, позволяющая выполнять расчеты давлений, скоростей, расходов, потерь напора, затрат энергии на перемещение теплоносителя, рассматривая теплосеть как единую гидравлическую систему. Для максимального приближения модели к реальной теплосети применен метод автоматической идентификации, основанный на итеративном изменении гидравлических сопротивлений отдельных участков с таким расчетом, чтобы получаемые на модели результаты наименее отличались от известных экспериментальных данныхпо давлению в некоторых точках теплосети. Показано, что точность идентификации в зависимости от используемого числа экспериментальных данных составляет 3-5 %. Выполненные на модели исследования позволили указать участки теплосети, на которых с целью повышения расходных характеристик необходимо провести реконструкцию, связанную с увеличением диаметров трубопроводов. Были также выполнены расчеты, позволяющие оценить возможности принятия дополнительной перспективной нагрузки на всех тепловыводах Самарской ТЭЦ.

Об авторах

Сергей Владимирович Колесников

Самарский государственный технический университет

(к.т.н.), докторант кафедры «Теоретические основы теплотехники и гидромеханика» Россия, 443100, г. Самара, ул. Молодогвардейская, 244

Анастасия Николаевна Бранфилева

Самарский государственный технический университет

ассистент кафедры «Теоретические основы теплотехники и гидромеханика» Россия, 443100, г. Самара, ул. Молодогвардейская, 244

Любовь Сергеевна Абишева

Самарский государственный технический университет

ассистент кафедры «Теоретические основы теплотехники и гидромеханика», аспирант Россия, 443100, г. Самара, ул. Молодогвардейская, 244

Анна Владимировна Федотенкова

Самарский государственный технический университет

ассистент кафедры «Теоретические основы теплотехники и гидромеханика», аспирант Россия, 443100, г. Самара, ул. Молодогвардейская, 244

Список литературы

Дополнительные файлы