The minimum time control of electromechanical positional system

Full Text

В настоящее время широко распространен способ управления позиционным электроприводом, при котором минимизируется время перемещения рабочего органа позиционной следящей системы. Наилучшей по быстродействию считается прямоугольная диаграмма тока якоря ее электропривода с двигателем постоянного тока и треугольная диаграмма скорости, представленные на рис. 1 соответствующими графиками и [1, 2, 3]. Однако пользуясь методами вариационного исчисления [4], можно при тех же допущениях определить экстремали для тока якоря и угловой скорости при заданных тепловых потерях в исполнительном двигателе и заданной величине углового перемещения рабочего органа , решая задачу оптимального управления на минимальное время отработки заданного перемещения, в результате которого достигается максимальное быстродействие позиционного электропривода. Определим его. Пусть имеем основное уравнение движения электропривода , где - момент инерции; - конструктивный коэффициент; - момент сопротивления. Рис. 1. Диаграммы тока и скорости позиционного электропривода постоянного тока Введем допущения: магнитный поток ; скорость идеального холостого хода ; момент короткого замыкания ; ток короткого замыкания , где ; ; - напряжение на якоре. Умножим основное уравнение движения на ; тогда, преобразуя его, получим , (1) так как , где - электромеханическая постоянная времени двигателя. Перепишем уравнение (1) в виде . Обозначим: ; ; ; , тогда уравнение движения электропривода (1) в относительных единицах запишется в виде . (2) В относительных единицах заданное перемещение и тепловые потери соответственно (3) (4) При этом необходимо найти минимум функционала . (5) Таким образом, требуется найти такой закон управления током якоря во времени , чтобы для объекта управления (2) при заданном перемещении исполнительного механизма (3) и заданных тепловых потерях в якоре двигателя (4) обеспечивался минимум критерия по (5), то есть достигалось максимальное быстродействие электропривода. Выразим из (2) ток : (6) Подставим (6) в (4): (7) При этом искомой экстремалью будет не , а . Данная задача является классической задачей на условный экстремум, причем со смешанными ограничениями, где уравнение (2) - это условие типа дифференциальной связи, что относит ее к изопериметрической задаче по методу Лагранжа. Применим эту методику [1, 2, 3]. Составим функцию Лагранжа: (8) Составим уравнение Эйлера: (9) (10) ; . (11) Подставим (10) и (11) в (9): отсюда, интегрируя, получим ; (12) (13) Для определения , и используем соотношения (3) и (4) и краевые условия задачи для двух концов траектории. Для позиционной системы управления положим, что при ; (14) при . Подставим в (3): (15) Положим для простоты в (7) и подставим в него (12): (16) Подставим (14) в (13), тогда получим . (17) При нулевых граничных условиях, когда из (13) получим (18) а из выражения (17) (19) Подставим (18) и (19) в (15) , откуда . (20) Подставим (19) в (16): , откуда . (21) Подставим (20) в (21), тогда получим . (22) Подставим (18), (19) и (20) в . (23) С учетом (6) при продифференцируем (23), тогда получим . (24) Подставляем (22) в (5) получаем, что минимум функционала равен . (25) Т. е. это минимальное время отработки заданного перемещения при заданных тепловых потерях в якоре двигателя. Переведем формулы (23), (24) и (25) из относительных единиц. Тогда оптимальный закон регулирования скорости двигателя имеет вид ; при оптимальном законе изменения тока якоря . Соответствующие графики и представлены на рис. 1. В результате получим формулу минимального времени отработки заданного перемещения при заданных тепловых потерях в якоре двигателя , где - номинальное напряжение на якоре двигателя. Рис. 2. Зависимость максимального значения момента двигателя от скорости Известно [5], что высокомоментные двигатели постоянного тока имеют нелинейную характеристику максимального допустимого тока якоря от скорости, позволяющую на малых скоростях иметь значительно большую перегрузочную способность по току, чем на максимальной скорости. Соответствующая зависимость максимального момента (тока) двигателя от скорости представлена на рис. 2 [5]. Это позволяет практически реализовать полученные выше экстремали тока якоря и скорости при кратковременном режиме работы позиционного электропривода, применяя управляемые электроприводы постоянного тока с блоками нелинейного токоограничения.

About the authors

Vladimir P Kurgan

Samara State Technical University

Email: kurganvp@yandex.ru
(Ph.D. (Techn.)), Associate Professor 244, Molodogvardeyskaya st., Samara, 443100, Russian Federation

Alexey A Pankin

Samara State Technical University

Email: pankinaa@yandex.ru
Senior Lecturer 244, Molodogvardeyskaya st., Samara, 443100, Russian Federation

References

Supplementary files