The analysis of inaccuracy of the methods of the active and reactive power and powers factor measurement on instant signal samplings

Full Text

При проведении диагностического контроля оборудования часто возникает необходимость измерений на функционирующих системах. Возникающие при этом трудности объясняются: - случайным характером ряда воздействий; - ограниченностью экспериментальных данных; - ограниченностью времени для обработки информации и принятия решений. Причем обеспечение необходимого быстродействия измерительных процессов связано с возможностью своевременного вмешательства в режим работы оборудования. Особенно это становится актуальным при развитии аварийной ситуации, когда время становится решающим фактором. Существуют различные способы решения этой проблемы. В частности - увеличение производительности вычислительных средств. Это приводит к удорожанию средств измерения и обработки. В этом отношении положительно выделяется аппроксимационный подход, который наиболее эффективно решает поставленную задачу. Данный подход позволяет решать подобные вопросы для одного параметра сигнала, а также определять интегральные характеристики периодических сигналов (ИХПС). Один из основных вопросов, который возникает при этом, - выбор мгновенных значений сигналов для определения ИХПС. Изначально считается, что отсчеты сигналов равномерно распределены по периоду. В реальности это не выполняется, что приводит к появлению погрешности, которая зависит от колебания частоты входного сигнала и неточности деления периода на отрезки. Проще всего методы ИХПС реализуются на определении интегральных характеристик гармонических сигналов (ИХГС). Существуют различные методы определения ИХГС по их отдельным мгновенным значениям [1]. Широко используются методы определения ИХГС, в которых формируются дополнительные сигналы, сдвинутые по фазе относительно входных, а ИХГС определяются по мгновенным значениям как входных, так и дополнительных сигналов [1]. Известен метод, который использует такой подход и основан на формировании дополнительных сигналов напряжения и тока, сдвинутых относительно входных на 90°, измерении мгновенных значений сигналов в моменты равенства входного и дополнительного напряжений, входного и дополнительного тока и определении ИХГС по полученным значениям [1]. Однако реализация данного метода предусматривает использование двух фазосдвигающих блоков (ФСБ), осуществляющих сдвиг сигналов напряжения и тока на 90°, что требует дополнительных аппаратурных затрат и может привести к возникновению дополнительной погрешности из-за отклонения углов ФСБ в каналах напряжения и тока. Кроме того, время измерения ИХГС достаточно велико и в общем случае зависит от интервала времени между моментами начала процесса измерения и равенства мгновенных значений либо входного и дополнительного сигналов тока, либо напряжения, а также от угла сдвига фаз между напряжением и током. Наименьшее время требуется для измерения ИХГС по двум мгновенным значениям напряжения и тока, одновременно измеренным в произвольный момент времени, причем вторые мгновенные значения напряжения и тока сдвинуты относительно первых на угол 90° [2]. При этом время измерения не зависит от момента начала измерения, угла сдвига фаз между напряжением и током и периода входного сигнала. Однако реализация данного метода также предусматривает использование двух ФСБ. Метод, использующий в качестве дополнительных сигналов ортогональные составляющие [3], свободен от вышеизложенных недостатков. Этот метод решает поставленные ранее задачи: сокращает время измерения и не требует деления периода сигнала на равные отрезки, так как интегральные характеристики определяются по двум мгновенным значениям напряжения и тока, одновременно измеренным в произвольные моменты времени. Он также является более простым в реализации, так как в нем формируется только дополнительный сигнал напряжения, сдвинутый относительно входного на 90°. Таким образом, именно данный метод целесообразно использовать на практике. Следовательно, анализ погрешностей измерения ИХГС данным методом является важной и актуальной задачей. Суть метода определения ИХГС по ортогональным составляющим [3] состоит в следующем. В момент равенства входного и дополнительного сигналов напряжения измеряют мгновенное значение тока; через интервал времени Δt одновременно измеряют мгновенные значения входного и дополнительного сигналов напряжений и тока и определяют ИХГС по измеренным значениям. Временные диаграммы, поясняющие метод, представлены на рис. 1. Рис. 1. Временные диаграммы, поясняющие метод измерения Входные гармонические сигналы напряжения и тока и дополнительный сигнал напряжения имеют вид ; ; , где , - амплитудные значения сигналов напряжения и тока; ω - угловая частота входного сигнала; φ - угол сдвига фаз между входными сигналами напряжения и тока. В момент времени t1, когда основной и дополнительный сигналы напряжения будут равны, выражения для мгновенных значений сигналов примут вид ; ; , где , - фазы сигналов напряжения и тока в момент времени t1. Мгновенные значения и будут равны при угле , где . В этом случае мгновенные значения сигналов примут вид ; (1) . (2) Через интервал времени Δt (в момент времени t2) мгновенные значения сигналов будут равны ; (3) ; (4) . (5) Используя мгновенные значения сигналов (1)-(5), можно получить выражения для определения основных ИХГС: - среднеквадратические значения (СКЗ) напряжения и тока ; ; (6) - активная (АМ) и реактивная (РМ) мощности ; (7) . (8) Однако при применении метода, основанного на использовании гармонической модели, существует погрешность определения ИХГС, которая обусловлена несоответствием используемой гармонической модели сигнала его реальному виду. Возникает необходимость оценить эту погрешность. Оценка погрешности результата измерения проводится по максимальному отклонению реального сигнала от гармонической модели. Погрешность результата измерения оценивается как погрешность вычисления функции, аргументы которой заданы приближенно с погрешностями, соответствующими максимальному отклонению модели от реального сигнала [4]. Значения абсолютных погрешностей определения СКЗ тока, активной и реактивной мощности соответственно равны [5] ; (9) ; (10) . (11) При этом DUmax и DImax - это значения наибольшего отклонения значений модели от соответствующих значений сигналов. Данные значения определяются как , где . Здесь u(t) - реальный сигнал напряжения в общем виде; Um1 - амплитудное значение 1-й гармоники сигнала напряжения; k - номер гармоники напряжения; huk - коэффициент k-той гармоники сигнала напряжения; - начальная фаза гармоник напряжения k-го порядка. Для большинства сетей общего пользования среди высших гармоник наибольшее значение имеет третья гармоника. В этом случае наибольшее отклонение реального сигнала напряжения, содержащего 1-ю и 3-ю гармоники, при =0 от модели . (12) Аналогично , где . Здесь i(t) - реальный сигнал тока в общем виде; Im1 - амплитудное значение 1-й гармоники сигнала тока; hik - коэффициент k-той гармоники сигнала тока; - начальная фаза гармоник тока k-го порядка. Следовательно, наибольшее отклонение реального сигнала тока, содержащего 1-ю и 3-ю гармоники, от модели при =0 . (13) Если взять соответствующие производные в выражении (9), используя (1)-(6), (12) и (13), и считать, что ; ; , то получим предельное значение абсолютной погрешности определения СКЗ тока: . (14) Относительная погрешность определения СКЗ тока по максимальному отклонению dIскз определяется выражением [1] , а ее значение с учетом (14) . (15) График зависимости dIскз от j приведен на рис. 2. Из рис. 2 видно, что погрешность минимальна (около 1 %) при значении ωΔt, стремящемся к 90°. Углам φ = 90° и 120° также соответствуют минимальные значения погрешности определения СКЗ тока. Следовательно, при определении СКЗ тока при использовании метода, основанного на сравнении ортогональных составляющих гармонических сигналов, наименьшая погрешность измерения достигается при соотношении угловой частоты входного сигнала ω и интервалов времени Δt ωΔt=90°, а также при фазовом сдвиге между входными сигналами напряжения и тока, равном 90° или 120°. Рис. 2. Относительная погрешность определения СКЗ тока Предельное значение абсолютной погрешности определения активной мощности в соответствии с (7) и (10) с учетом принятых ранее допущений имеет вид . (16) Предельное значение абсолютной погрешности определения реактивной мощности в соответствии с (8) и (11) с учетом принятых ранее допущений имеет вид . (17) Оценим приведенные погрешности определения активной и реактивной мощности. Известно, что , а , где S рассчитывается как . Тогда с учетом (16), (17) и ранее принятых допущений (18) (19) Если считать, что реальный сигнал близок к гармоническому, то принимаем значение h3= 0,01. При таком значении h3 график определения приведенной погрешности принимает следующий вид (рис. 3). Рис. 3. Приведенная погрешность определения активной мощности Из рис. 3 видно, что погрешность резко возрастает (достигает 7 %) при значениях ωΔt, близких к 0°, и минимальна (около 2 %) при значениях ωΔt = 90°. Следовательно, при определении активной мощности при использовании метода, основанного на сравнении ортогональных составляющих гармонических сигналов, наименьшая погрешность измерения достигается при соответствии угловой частоты входного сигнала ω и интервала Δt значению ωΔt=90°, а также при фазовом сдвиге между входными сигналами напряжения и тока, равном 120°. График погрешности gQ приведен на рис. 4. Из рисунка видно, что погрешность минимальна (около 1 %) при значениях ωΔt, близких к 0°. Следовательно, при определении реактивной мощности при использовании метода, основанного на сравнении ортогональных составляющих гармонических сигналов, наименьшая погрешность измерения достигается при соотношении угловой частоты ω входного сигнала и интервала времени Δt ωΔt=0°, а также при фазовом сдвиге между входными сигналами напряжения и тока, равном 90°. Рис. 4. Приведенная погрешность определения реактивной мощности Анализ зависимостей, представленных на рис. 2-4, показывает, что погрешность измерения можно существенно снизить за счет выбора соотношения угловой частоты ω входного сигнала и интервала времени Δt. Таким образом, можно сделать следующие выводы. Погрешности определения СКЗ тока, активной и реактивной мощности зависят от угла сдвига фаз между напряжением и током и соотношения ωΔt, то есть периода входного сигнала и интервала времени Δt. Поскольку угол сдвига фазы φ в общем случае является случайной величиной, то снижение погрешностей может быть достигнуто за счет соответствующего выбора интервала времени Δt. На основании полученных выше результатов можно отметить, что наименьшая погрешность измерения достигается при соотношении ωΔt = 90°. Полученные результаты могут быть использованы для определения частотной области применения метода при известных спектрах входных сигналов.

About the authors

Nadezhda E Karpova

Samara State Technical University

(Ph.D. (Techn.)), Associate Professor 244, Molodogvardeyskaya st., Samara, 443100, Russian Federation

References

Supplementary files