Моделирование температурного поля потока с переменной скоростью в Simulink

Полный текст

Некоторые технологические объекты могут быть описаны гиперболическим уравнением первого порядка [1], в частности аппараты воздушного охлаждения масла и газа [2, 3], проходные индукционные и газовые печи [4], химические реакторы [5]. В работах [2, 3] рассматривается задача управления температурой потока на выходе теплообменника при постоянной скорости потока. Объект описывается уравнением (1) , , , (1) с краевыми и начальными условиями (2) , , (2) где v - скорость потока; β - коэффициент теплообмена; - температура внешней среды; L - общая длина трубки теплообменника; - начальное распределение температуры; g(t) - функция изменения температуры потока на входе теплообменника. В случае переменной скорости потока, v = v(t), уравнение (1) не имеет аналитического решения, поэтому исследование объекта управления при подобных параметрических возмущениях предполагает либо линеаризацию уравнения [4], либо использование спектральной теории распределённых систем [6-8]. Уравнение (1) в спектральной форме имеет вид [6]: , (3) где - матрица спектральных характеристик функции Q(l,t), компоненты матрицы определяются как , ; (4) - матрица спектральных характеристик внешнего воздействия , компоненты матрицы определяют как , ; (5) , , - квадратные матрицы, соответствующие коэффициентам дифференциального уравнения (1): , , ; (6) - операционная матрица дифференцирования первого порядка [6] функции Q(l,t) по пространственной переменной, компоненты которой определяются как , , ; (7) - матрица граничных условий, её компоненты определяются как , . (8) В качестве системы разложения выбрана система функций [7] . (9) Уравнение в спектральной форме (3) может быть приведено к виду . (10) Решение уравнения (1) определяется выражением . (11) В случае, когда температура потока контролируется на выходе теплообменника, можно ввести обозначения , (12) где - вектор, составленный из значений функций (9), для фиксированной точки расчёта L. Введя обозначения , , , , , и приняв нулевыми граничные условия, систему уравнений (10), (12) можно привести к виду (13) (14) Таким образом, при изменении скорости происходит изменение матрицы A представления объекта в пространстве состояний (13)-(14), а изменение температуры среды приводит к изменению вектора u. Компоненты вектора u, согласно (5), могут быть рассчитаны как , (15) где - вектор, состоящий из компонентов , . (16) Система компьютерного моделирования динамических систем MATLAB Simulink позволяет реализовать модель произвольного объекта, представленного в пространстве состояний с помощью блока S-функция (S-function) [9]. Расчёт Simulink-модели осуществляется в несколько этапов [9]. На первом этапе производится инициализация модели, определяются: порядок обхода блоков, параметры блоков, размерности сигналов, шаг модельного времени. Затем Simulink переходит в режим выполнения циклов моделирования. На каждом цикле для каждого блока вызываются подпрограммы, которые вычисляют текущие значения переменных состояния, их производных и выходов блока. Процесс продолжается, пока не будет достигнут конец временного интервала моделирования. При описании S-функции определяются соответствующие подпрограммы, куда в качестве параметров передаются: текущее время расчёта t, вектор состояний x и вектор входных значений. Вектор входных значений S-функции, моделирующей поведение температуры потока на выходе теплообменника, состоит из двух компонентов: и v(t) - значения температуры среды на текущем шаге расчёта и скорости потока. Выходной вектор S-функции состоит из одного компонента - - температуры потока на выходе теплообменника. Тело S-функции состоит из трёх подпрограмм: 1) подпрограмма инициализации S-функции, осуществляет расчёт компонентов матриц , , , , в соответствии с заданным количеством членов ряда разложения по выражениям (16), (9), (7), (6); 2) подпрограмма расчёта производных вектора состояний, вычисляет значения компонентов матрицы A в зависимости от текущего значения скорости v(t) с учётом (6) и (7), а также значения компонентов вектора u в зависимости от текущего значения температуры среды по формуле (15) и рассчитывает значения производных вектора состояний по формуле (13); 3) подпрограмма расчёта выходных значений, рассчитывает значение температуры на выходе согласно выражению (14). Качество полученной модели оценивалось по сравнению с аналитическими решениями, полученными для уравнения (1) при постоянной скорости потока. При нулевых начальных и граничных условиях решение уравнения (1) имеет вид [2] . (17) Параметры модели: v1 = 0.1 м/с, v2 = 0.05 м/с, β = 0.1 с-1, L = 1 м, = 100 °С, g(t) = 0 °С, N = 100. Графики изменения температуры на выходе потока приведены на рисунке. Переходные процессы моделей на основе операторного и спектрального методов Анализ переходных процессов показывает, что в установившемся режиме при одинаковых значениях скорости потока обе модели имеют одинаковое значение температуры на выходе. Длительность переходного процесса при смене скорости соответствует времени прохождения потока по длине теплообменника.

Об авторах

Иван Александрович Данилушкин

Самарский государственный технический университет

( к.т.н.), доцент кафедры автоматики и управления в технических системах 443100, Самара, ул. Молодогвардейская, 244

Константин Валерьевич Кавкаев

Самарский государственный технический университет

магистрант 443100, Самара, ул. Молодогвардейская, 244

Список литературы

Дополнительные файлы