Analytical calculation of equivalent circuit parameters for three phase asynchronous motors of АИР-series

Full Text

Разработка методики расчета параметров схемы замещения асинхронных электродвигателей является актуальной проблемой, так как существующие методики не дают однозначного решения либо позволяют решить эту задачу с большой погрешностью. В источниках [1-5] приводятся различные методики расчета параметров схемы замещения, используются методы подбора, упрощения расчетов, и практически во всех работах проверка результатов производится по справочнику [6]. Целесообразно рассмотреть достоверность справочных данных для одного из двигателей с короткозамкнутым ротором серии 4А. Серия АИР состоит из серий 4А и 5А. В справочнике [6] для упрощенной схемы замещения (рис. 1) приводятся параметры всех сопротивлений в относительных единицах. Например, для двигателя типа 4А132М4У3, PН = 11,0 кВт, U1Н = 220 В (фазное напряжение), ηН = 0,875, cosφН = 0,87, SН = 0,028, кратность максимального момента kmax = 3, ɷ0 = 157,5 рад/с, приводятся: Xμ = 3,2, R′1 = 0,043, X′1 = 0,085, R′′2 = 0,032, X′′2 = 0,13. По формулам определяются: ; . Затем находятся действительные параметры сопротивлений, Ом, по формулам: ; . Для данного двигателя по каталожным данным произведен расчет номинального тока I1Н = 21,8938 А; активной мощности, потребляемой из сети на одну фазу, PC = 4190,5 Вт; реактивной мощности, потребляемой из сети, QC = 2373,1 вАр. Затем определены токи для схемы замещения с учетом вычисленных сопротивлений, получены активная мощность на фазу P = 3946,35 Вт, реактивная мощность на фазу Q = 2178,5 вАр. Погрешности по активной мощности ∆Р = 6,1 %, по реактивной мощности ∆Q = 8,84 %. Погрешность для трех фаз 671,0 Вт недопустима, тогда как магнитные потери ≈200,0 Вт. В данной работе предлагается аналитический метод определения параметров схемы замещения асинхронных электродвигателей по каталожным данным так, чтобы в схеме замещения с минимальными погрешностями <1 % выполнялись законы Кирхгофа; баланс активных и реактивных мощностей, потери мощности должны соответствовать КПД двигателя, механическая характеристика должна иметь каталожные значения скольжения и максимального момента. Определение параметров схемы замещения асинхронных электродвигателей производится для Т-образной схемы замещения (рис. 2), векторная диаграмма на комплексной плоскости для которой приведена на рис. 3. Здесь приняты следующие обозначения: U1H - фазное номинальное напряжение статора; I1 - фазный ток статора; приведенный ток ротора; I0 - ток цепи намагничивания; X1 - индуктивное сопротивление рассеяния обмотки статора; индуктивное сопротивление рассеяния обмотки ротора, приведенное к сопротивлению обмотки статора. Рис. 1. Упрощенная схема замещения асинхронного двигателя Рис. 2. Т-образная схема замещения асинхронного двигателя Рис. 3. Векторная диаграмма асинхронного двигателя R0 и X0 - активное и индуктивное сопротивления цепи намагничивания, R1 - активное сопротивление обмотки статора, - приведенное к обмотке статора активное сопротивление обмотки ротора, Em - ЭДС цепи намагничивания, S - скольжение двигателя. Схема замещения справедлива при следующих допущениях: параметры всех цепей постоянны, каталожные данные двигателя соответствуют номинальному режиму в нагретом состоянии. На основании Т-образной схемы замещения можно записать три уравнения Кирхгофа, в которых известен только номинальный ток статора IН и его активная и реактивная составляющие, неизвестны все сопротивления, поэтому в расчете используется только одно уравнение для проверки: (1) Расчет параметров производится с использованием формул, отражающих характеристики двигателя. При этом принимаются средние значения потерь в двигателе на основании известных данных. Ниже приводятся контрольные результаты вычислений для электродвигателя с самовентиляцией со следующими каталожными данными: - тип двигателя - АИР1З2М4 - РН, кВт - 11,00 - КПД, % - 87,5 - соs φ - 0,87 - SН, % - 3,5 - МП/МН - 2,0 - Мmах/МН - 2,7 - Mmin/МН - 1,6 - IП/IН - 7,5 - момент инерции, кг·м2 - 0,04 - масса, кг - 70 Расчет механических, магнитных и добавочных потерь Анализ заданных и расчетных величин [1, 7, 8, 9] позволяет принять средние значения потерь для двигателей с скоростью вращения 157,5 рад/с: добавочные потери ∆PD = 0,005PН, механические потери ∆PM = 0,0124PН, механические и добавочные потери ∆PMD = 0,0174PН, магнитные потери ∆РМG = 0,022PН. Механические и добавочные потери. В [8, 9] приводятся формулы для расчета мощности механических потерь, которые пропорциональны скорости вращения во второй степени и диаметру ротора в четвертой степени, поэтому расчет механических и добавочных потерь можно производить по формуле для двигателей серии АИР , (2) где h1 - высота оси вращения рассчитываемого двигателя с синхронной скоростью ɷHC; h2 - высота оси вращения двигателя такой же мощности с синхронной скоростью 157,5 рад/с. Если неизвестны высоты осей вращения валов двигателей серии АИР, то можно применять приближенную формулу при синхронных скоростях 315 и 78,75 рад/с. Учитывая, что с увеличением скорости, например, в два раза высота вала двигателя может уменьшиться на габарит, что приведет к снижению потерь примерно в два раза, которые за счет увеличения скорости увеличиваются в четыре раза, расчет механических потерь можно производить по формуле , (3) где n = 1 при синхронных скоростях 315 и 78,75 рад/с и n = 2 при 105 и 157,5 рад/с. Магнитные потери. На основании анализа формул и данных [6, 8, 9, 10, 11], а также справочных данных двигателей серии АИР [12] магнитные потери пропорциональны массе магнитопровода, которая пропорциональна массе двигателя: , (4) где m1 - масса двигателя при расчетной синхронной скорости; m2 - масса двигателя при синхронной скорости 157,5 рад/с. Если массы двигателей неизвестны, то можно применять приближенную формулу. Величина массы с увеличением скорости в 4 раза уменьшается у двигателей мощностью ≤7,5 кВт примерно в 2,5 раза, а у двигателей мощностью ≥11,0 кВт - примерно в 1,75 раза. Магнитные потери двигателей серии АИР (5) где n = 2/3 для двигателей мощностью меньше или равной 7,5 кВт и n = 2/5 для двигателей большей мощности. Замечание: приближенной формулой можно пользоваться для расчета потерь двигателей, кроме имеющих скорость вращения 315,0 рад/с, мощность от 11,0 до 37,0 кВт, у которых масса практически такая же, как у двигателей со скоростью 157,5 рад/с. Расчет каталожных параметров двигателя для одной фазы На основании известных формул [7, 11] и выражений (2), (4) производится расчет для одной фазы: - номинальный ток , (6) где U1H = 220 В - номинальное фазное напряжение, получено I1H = 21,894 А; - номинальная мощность на валу (7) - потребляемая активная мощность из сети (8) - полная мощность из сети (9) - реактивная мощность из сети (10) - суммарные потери (11) - полные потери для одной фазы . (12) Механические и добавочные потери для одной фазы при ɷ = 157,5 рад/с, h1 = h2 в рассматриваемом примере составляют ∆PMD = 0,0174PНF. (13) Магнитные потери для одной фазы при ɷ = 157,5 рад/с, m1 = m2 в рассматриваемом примере составляют . (14) В [7, 11] приведены соотношения, позволяющие определить: - механическую мощность ; (15) - электромагнитную мощность ; (16) - электрические потери в статоре (17) Определяется активное сопротивление обмотки статора: . (18) Технические данные для примера приводятся в табл. 1. Таблица 1 Данные двигателя для одной фазы ∆PF ∆PMD ∆РМG ∆РEL PC NC QF PHF PMX PEM R1 523,7 63,8 80,67 244,04 4190 4817 2375 3667 3730 3866 0,509 Вт Вт Вт Вт Вт ВА ВАр Вт Вт Вт Ом Определение соответствия параметров коэффициенту С1 В уравнение электромагнитного момента [7, 11, 12] вводится коэффициент С1: , (19) где m = 3 - число фаз. Физический смысл коэффициента С1 - это отношение номинального напряжения U1H к ЭДС цепи намагничивания Em0 в режиме идеального холостого хода [7]; фактически он учитывает падение напряжения в статорной цепи от тока намагничивания. Коэффициент C1 находится в пределах 1,02…1,06 [7], 1,02…1,05 [11], и его можно найти по приближенным формулам [11], где необходимыми составляющими являются ток цепи намагничивания I0 и кратность пускового тока kI, величина которой задается не для всех двигателей в каталожных данных. Целесообразно этот коэффициент определить расчетным путем. Выражение (19) в [7, 11] получено на основании приведенного тока ротора: , (20) где XКН = X1 + С1X΄2. Приведенный ток ротора из уравнения электромагнитной мощности [7] . (21) Очевидно, что токи, определяемые по (20) и (21), должны быть равны, в противном случае величина скольжения будет отличаться от номинального значения. Приравняв эти выражения, после преобразований получим (22) где ; ; . (23) Из выражения максимального электромагнитного момента [7] для двигательного режима ; (24) принимая Mmax = MК, определим коэффициент . (25) Величину этого коэффициента можно находить по преобразованной формуле . (26) Суммарное индуктивное сопротивление . (27) Задаваясь крайними значениями коэффициента С11 = 1,02 и С12 = 1,06, определяем соответствие параметров этим коэффициентам в ограниченной области, в которой они могут вычисляться с высокой точностью по формулам линейной интерполяции. В этом заключается сущность нового метода. Для двух значений С11 = 1,02 и С12 = 1,06 по (26) определяются два значения А11 и А12, по (27) два значения ХКН1 и ХКН2. Затем рассчитываются соответствующие коэффициенты a11, b11, d11 и a12, b12, d12 по (23). Дважды решается уравнение (22) и находятся два значения R′21 и R′22, например . Затем по (21) определяются токи I′21 и I′22, например . Для рассматриваемого двигателя получено: С11 = 1,02; А11 = 2,312; ХКН1 = 1,73; R′21 = 0,376 Ом; I′21 = 18,97 А. С12 = 1,06; А12 = 2,225; ХКН2 = 1,639; R′22 = 0,348 Ом; I′22 = 19,72 А. Таким образом, получена область варьирования параметров. При других параметрах в области определения можно использовать линейную интерполяцию: ; (28) . (29) ЭДС цепи намагничивания можно найти по двум формулам [1, 7]: ; (30) . (31) Из этих выражений найдем ток I′2 и приравняем к выражению (21), получим выражение . После преобразований получим уравнение , (32) где ; ; . (33) Вычисляются коэффициенты по формулам (33): a21, b21, d21 при R′21, ХКН1, С11 и коэффициенты a22, b22, d22 при R′22, ХКН2, С12. Решая уравнение (32) дважды при найденных соответствующих коэффициентах (для С11 = 1,02 и С12 = 1,06), получим соответствующие значения X11 и X12. Для рассматриваемого двигателя получено: X11 = 0,485 Ом, X12 = 1,43 Ом. В области определения параметры находятся по формулам линейной интерполяции: ; (34) . (35) Предварительный расчет Целью предварительного расчета является приближенное определение параметров цепи намагничивания и приведенного тока ротора с учетом магнитных потерь в номинальном режиме. Параметр X1 в области определения варьирует в наиболее широких пределах, поэтому целесообразно задаться этим параметром [1, 6, 7] (с последующим уточнением) равным X13 = 0,42ХКН3, (36) где принимается среднее значение . (37) На основании полученных данных определяются: - коэффициент С13 по (35) ; - приведенное активное сопротивление ротора R′23 по (29) ; - приведенный ток ротора по (21) ; - приведенное индуктивное сопротивление ротора . (38) Для рассматриваемого примера получено: С13 = 1,0294; ХКН3 = 1,6845 Ом; R′23 = 0,3564 Ом; I′23 = 19,536 А; Х13 = 0,707 Ом; C13X′21 = 0,9775 Ом; X′21 = 0,9496 Ом. Вычисляются углы на векторной диаграмме для номинального режима, при этом подставляются полученные выше параметры: ; (39) . (40) Находим ток цепи намагничивания на основании векторной диаграммы, принимая приближенно равными полный ток и реактивную составляющую I0≈I0P: . (41) По (30) вычисляется ЭДС цепи намагничивания: . Затем определяются: - сопротивление цепи намагничивания ; (42) - значение активного сопротивления в цепи намагничивания ; (43) - активная составляющая тока цепи намагничивания . (44) Результаты предварительного расчета приведены в табл. 2. Таблица 2 Результаты предварительного расчета φ31 φ41 Em1 I01 Z01 R01 I0A1 5,354 27,29 202,82 8,2155 24,69 1,195 0,3976 В А Ом Ом А Первый уточняющий расчет Приведенный ток ротора . (45) На основании полученного значения тока ротора по (27) вычисляется С14: . На основании полученных значений I′24 и С14 находятся параметры: ; (46) ; (47) . (48) Затем определяются: ; (49) . (50) Находится ЭДС цепи намагничивания на основании данных табл. 3: . Можно ли не делать второй уточняющий расчет? Определим отношение (см. табл. 3) X14/ХКН4 = 0,4113. Таблица 3 Результаты первого уточняющего расчета Еm2 I′24 А13 С14 R′24 ХКН4 X14 X′22 C14X′22 202,864 19,143 2,292 1,02923 0,369 1,709 0,703 0,9774 1,006 В А о.е. Ом Ом Ом Ом Ом Погрешность к отношению, равному 0,42, которым задавались, составляет ≈2,06 %. Если допустима такая точность расчета, то можно не делать второй уточняющий расчет. Второй предварительный расчет Производится предварительное вычисление по формулам (38 - 44) с подстановкой данных из табл. 3. Результаты приведены в табл. 4. Таблица 4 Результаты второго предварительного расчета φ32 φ42 Em2 I02 Z02 R02 I0A2 5,297 27,31 202,864 8,278 24,506 1,117 0,377 В А Ом Ом А Второй уточняющий расчет Второй уточняющий расчет производится на основании данных табл. 4 по формулам, аналогичным первому уточняющему расчету. Во втором уточняющем расчете на основании данных табл. 5 дополнительно определяется Em3 для проверочного расчета: . Таблица 5 Результаты второго уточняющего расчета I′25 А14 Em3 С15 R′25 ХКН5 X15 X′23 C15X΄23 19,158 2,29 202,696 1,03 0,3687 1,706 0,72 0,957 0,986 А В о.е. Ом Ом Ом Ом Ом Проверочный расчет Определяется приведенный ток ротора: , (51) получено I′26 = 19,157 А. Определяется приведенный ток ротора по формуле, где уточненное значение Em3 взято из табл. 5: (52) получено I′27 = 19,162 А (различие <0,05 %, что вполне допустимо). Намагничивающий ток из уравнения первого закона Кирхгофа (1): ; 19,453 - j10,045 - 19,075 + j1,168; I0 = I0А - jIP0 = 0,378 - j8,877; I0 = 8,885 А. Баланс активной мощности . (53) PC = 4186,5 Вт (4190 Вт - различие <0,1 %). Баланс реактивной мощности схемы замещения при Z0 ≈ X0 . (54) QF = 2375,56 ВАр (2375 ВАр - различие <0,05 %, что вполне допустимо). Получена удовлетворительная сходимость результатов расчета, имеет место полное соответствие параметров схемы замещения и уравнений механических характеристик электродвигателя. Расчеты по приведенной методике параметров схемы замещения для различных типов двигателей показали удовлетворительные результаты. Построение механических характеристик по полученным параметрам показывает их соответствие каталожным данным.

About the authors

Vyacheslav S Osipov

Samara State Technical University

(Ph.D. (Techn.)), Associate Professor 244, Molodogvardeyskaya st., Samara, 443100, Russian Federation

References

Supplementary files