Синтез распределенной системы управления упругой конструкцией

Полный текст

Введение В авиационной и ракетной технике широко используются упругие конструкции, что вызвано стремлением увеличить скорость полета, уменьшить вес и увеличить длину летательного аппарата. При соответствующих условиях полета, особенно по мере выработки топлива, возникают упругие колебания несущей конструкции, которые по частоте и амплитуде соизмеримы с угловыми колебаниями летательного аппарата. Упругие колебания воздействуют на датчики системы управления, а следовательно, на органы управления. Эти возмущения могут приводить к потере точности и устойчивости процесса управления полетом [1, 2]. Поэтому возникает проблема создания такого закона управления летательным аппаратом, чтобы он парировал не только внешние возмущения, но и упругие колебания корпуса. Современные космические аппараты имеют на борту не только жесткие элементы, но и упругие конструкции - антенны, солнечные батареи, выносные штанги с измерительными приборами. Пассивная или активная стабилизация этих устройств необходима для нормальной работы космического аппарата. Большинство работ по управлению упругими конструкциями и их стабилизации выполнено на основе современной теории аналитического конструирования оптимальных регуляторов для систем с распределенными параметрами [3, 4]. Необходимо отметить, что для объектов, описываемых системой дифференциальных или интегро-дифференциальных уравнений с частными производными, оптимизационная система уравнений, определяющая управление, представляет собой нелинейную систему дифференциальных или интегро-дифференциальных уравнений с частными производными [3]. Решение данной системы представляет собой достаточно сложную задачу по реализации вычислительных процедур и поиску алгоритмов, дающих хорошую сходимость полученных решений. В данной работе ставится следующая задача. Для упругого распределенного объекта (фюзеляжа самолета или корпуса ракеты) с параметрами, зависящими от пространственной переменной, и с учетом внутреннего сопротивления по Фойгхту [2] осуществить переход от дифференциальных уравнений с частными производными к бесконечной системе обыкновенных дифференциальных уравнений в форме пространства состояний с использованием спектрального метода теории управления [5, 6]; синтезировать закон управления для подавления колебаний и выполнить анализ замкнутой системы. 1. Математическая модель объекта управления Будем считать, что упругие колебания фюзеляжа самолета и корпуса ракеты достаточно точно описываются уравнением упругой балки переменного сечения с учетом внутреннего сопротивления по Фойгхту, которое согласно [2] имеет вид (1) где - пространственная переменная; - время; - прогиб оси балки, измеренный в перпендикулярном к недеформированной оси балки направлении; - масса единицы длины; - изгибная жесткость; - модуль упругости; - момент инерции поперечного сечения балки относительно нейтральной оси сечения, перпендикулярной к плоскости колебаний; - внешняя распределенная поперечная нагрузка, отнесенная к единице длины балки; - коэффициент внутреннего сопротивления по Фойгхту. Уравнение (1) представим в виде (2) Будем рассматривать (2) как математическую модель объекта управления с начальными условиями (3) и граничными условиями (4) Приведем к безразмерному виду дифференциальное уравнение (2), начальные условия (3) и граничные условия (4). Введем безразмерные переменные (5) где - некоторые номинальные значения соответствующих переменных. В новых переменных (5) дифференциальное уравнение объекта управления будет иметь вид (6) Коэффициенты уравнения (6) определяются выражениями (7) Начальные условия: (8) Граничные условия: (9) Далее, опираясь на свойства спектральных характеристик [5], получим выражения для матриц спектрального представления объекта управления. 2. Спектральное представление задачи Будем полагать, что функция, описывающая состояние объекта управления , является вещественной однозначной ограниченной с интегрируемым квадратом в области пространственной переменной , граничные условия прикладываются в точках , , . Функцию с учетом граничных условий можно представить в виде (10) где - функция, совпадающая с функцией на интервале ; - значение единичной скачкообразной функции на границе ; - значение единичной скачкообразной функции на границе ; Обобщенная производная [7] от функции (10) по x будет иметь вид Для m-ной производной можно записать следующее выражение: Функцию разложим в ряд Фурье по системе ортонормированных функций на интервале изменения , . (11) С использованием свойств спектральных характеристик и с учетом осуществим переход от дифференциального уравнения с частными производными (2) при начальных условиях (3) и граничных условиях (4) к системе обыкновенных дифференциальных уравнений (12) где - вектор спектральной характеристики функции с компонентами - бесконечномерные квадратные операционные матрицы первого сомножителя спектральных характеристик функций соответственно, элементы которых вычисляются по выражениям - бесконечномерные квадратные операционные матрицы сомножителей , элементы которых определяются выражением - вектор спектральной характеристики функции с компонентами - бесконечномерные квадратные операционные матрицы дифференцирования с элементами, вычисляемыми в соответствии с выражением - векторы спектральных характеристик граничных условий с элементами - операционные матрицы, описывающие скачки функции на интервале , вычисляемые по выражению Преобразуем выражение (12) к виду (13) Введем новую переменную и представим уравнение (13) в виде системы векторно-матричных уравнений в форме Коши: (14) В качестве управляющих воздействий будем рассматривать значение момента и его производную по времени на правой границе объекта. Введем обозначения: (15) В выражениях (15) используются обозначения векторов , . С учетом обозначений (15) система (14) может быть записана в векторно-матричной форме (16) где - вектор состояний; - вектор управлений; - вектор возмущений. Матрицы A, B, M имеют вид (17) Таким образом, осуществлен переход от описания объекта управления уравнением с частными производными (2) с заданными начальными и граничными условиями (3), (4) к системе обыкновенных дифференциальных уравнений (16) в форме пространства состояний с постоянными коэффициентами. Дополним (16) выражением (18) где - вектор измеряемых переменных - значений в тех точках, где размещены датчики; D - матрица, строки которой составлены из ортонормированных функций , по которым проводится разложение в ряд Фурье (11), вычисленных в точках измерения. Анализ спектрального представления объекта управления (14) показывает, что граничные условия задачи входят в уравнения объекта, что позволяет осуществить управление с границ объекта. В качестве управляющего воздействия на концах балки могут быть приложены изгибающий момент и поперечная сила, поэтому в выражениях (14) учитываются члены, пропорциональные второй и третьей производной функции по пространственной переменной x на правой границе объекта. 3. Вычисление матриц спектрального представления объекта управления и синтез регулятора Рассмотрим распределенный объект управления (2)-(4) с коэффициентами, являющимися функциями пространственных координат, при следующих исходных данных: (19) Распределение массы и жесткости имеет вид: (20) Получим безразмерные коэффициенты (7), выбрав следующие номинальные значения: Для выбранных значений (20) относительное распределение массы и жесткости будет иметь вид а числовые значения коэффициентов (7) будут следующими: В качестве системы ортонормированных функций будем использовать (21) Приведем значения матриц объекта управления, учитывая выражения (17), а при вычислении матрицы D также то, что измерения производятся в точке : (22) (23) Для объекта управления (16) с матрицами (22), (23) был выполнен синтез непрерывного регулятора на основе LQ-оптимизации и теории наблюдающих устройств в соответствии с процедурой, изложенной в [6]. Уравнения регулятора имеют вид (24) где - вектор состояний регулятора, - числовые матрицы. При выполнении вычислений было учтено 5 амплитуд пространственных мод. Приведем значения матриц регулятора: На рис. 1, 2 представлены результаты анализа замкнутой системы. Рис. 1. Значение регулируемой переменной в точке x = 0.7 Из графика переходного процесса, представленного на рис. 1, следует, что возмущающее воздействие компенсируется с ошибкой не более 3 %. Управляющие воздействия, приложенные на правой границе упругого объекта, действуют в течение 1.5 с и по модулю не превышают допустимых значений. а б Рис. 2. Управляющие воздействия: а - момент u1(t) на правой границе объекта; б - производная по времени u2(t) = ¶u1(t)/¶t на правой границе объекта Заключение На основании спектрального метода теории управления осуществлен переход от уравнения с частными производными, описывающего упругие колебания летательного аппарата с учетом внутреннего сопротивления по Фойгхту и с неравномерным распределением массы и жесткости по конструкции, к бесконечной системе обыкновенных дифференциальных уравнений в форме Коши. С использованием LQ-оптимизации и теории наблюдающих устройств синтезирован регулятор и построен наблюдатель с коррекцией по ошибке восстановления. Полученные результаты могут быть использованы при построении систем управления летательными аппаратами с активной динамической компенсацией упругих колебаний, что дает возможность улучшить динамику летательного аппарата, уменьшить навигационные ошибки, снизить нагрузки и напряжения в конструкции.

Об авторах

Владимир Александрович Коваль

Саратовский государственный технический университет имени Ю.А. Гагарина

Автор, ответственный за переписку.
Email: journal@eco-vector.com

(д.т.н., проф.), профессор кафедры «Радиоэлектроника и телекоммуникации».

Россия, 410054, г. Саратов, ул. Политехническая, 77

Ольга Юрьевна Торгашова

Саратовский государственный технический университет имени Ю.А. Гагарина

Email: journal@eco-vector.com

(д.т.н., проф.), профессор кафедры «Радиоэлектроника и телекоммуникации».

Россия, 410054, г. Саратов, ул. Политехническая, 77

Михаил Федорович Степанов

Саратовский государственный технический университет имени Ю.А. Гагарина

Email: journal@eco-vector.com

(д.т.н., проф.), профессор кафедры «Радиоэлектроника и телекоммуникации».

Россия, 410054, г. Саратов, ул. Политехническая, 77

Список литературы

Дополнительные файлы