Sampling errors estimation in the determination of codes extreme values in systems for measurements of radial clearances in compressors of turbomachines

Full Text

Введение Известны системы измерения радиальных зазоров (РЗ) между торцами рабочих лопаток ротора и статором авиационных газотурбинных двигателях (ГТД), предназначенные для экспериментальных исследований ГТД в стендовых условиях [1-8]. В таких системах применяются одновитковые вихретоковые датчики (ОВТД) с чувствительными элементами (ЧЭ) в виде отрезка проводника, способные работать в экстремальных условиях высоких температур газовоздушного тракта ГТД [1, 8, 9]. Информативным параметром ОВТД является изменениеего эквивалентной индуктивности, зависящее от величины РЗ от ЧЭ до контролируемой лопатки. Датчики включаются в измерительные цепи (ИЦ) с импульсным питанием, которые реализуют известный метод первой производной [1].Далее напряжение на выходе ИЦ преобразуется в цифровые коды, которые в виде входного потока с дискретизацией по времени поступают в систему обработки. В процессе вращения ротора турбомашины торцы контролируемых лопаток поочередно проходят зону чувствительности ОВТД, что приводит к формированию на выходе ИЦ напряжения, представляющего собой последовательность «импульсов»колоколообразной формы, амплитуда которых характеризует искомый РЗ. Очевидно, что при отсутствии синхронизации моментов опроса ОВТД с частотой вращения ротора турбомашины дискретный характер получения информации о РЗ является причиной возникновения соответствующей погрешности [10], которая носит случайный характер и может быть классифицирована как инструментальная. Настоящая статья посвящена статистическому анализу погрешностей дискретизации в системах измерения РЗ на основе ОВТД. Это, по мнению авторов, позволит оценить требуемые вычислительные ресурсы при практической реализации систем измерения РЗ в компрессорах ГТД и, как следствие, оптимизировать аппаратную часть систем (по крайней мере, в части блока предварительной обработки информации и данных с ОВТД). Анализ погрешностей дискретизации в системах измерения с ОВТД На рис. 1,а представлено семейство кривых в виде зависимостей кодов АЦП (C) при прохождении торцом компрессорной лопатки зоны чувствительности ОВТД для различных значений РЗ (0,5; 1,0; 1,5; 2,0; 2,5 мм). Для получения указанных характеристик использовалось специализированное лабораторное автоматическое градуировочное устройство, обеспечивающее контролируемое перемещение торца лопатки относительно ЧЭ ОВТД по трем осям координат с заданной точностью [11].При этом вращательное движение лопатки относительно ЧЭ ОВТД на реальной силовой установке имитировалось на стенде ее линейным перемещением по оси Z, что при больших радиусах лопаточных колес компрессора ГТД (порядка 0,5 м и более) и малой зоне чувствительности датчика (не более ±7,5 мм для рассматриваемого варианта конструкции ОВТД) вполне оправдано. Имитация изменений РЗ осуществлялась путем перемещения лопатки относительно ЧЭ ОВТД по оси Y. Начало системы отсчета OXYZпривязано к геометрическому центру ЧЭ ОВТД. а б Рис. 1.Зависимость кодов АЦП при прохождении торцом компрессорной лопатки зоны чувствительности ОВТД при различных РЗ (а) и ошибка определения экстремума, связанная с дискретизацией отсчетов по времени (б) Приведенные на рис. 1, азависимости C(y, z) хорошо аппроксимируются кривыми, представленными в виде разделенной формы двух независимых компонент: (1) где y- значение РЗ;A(y) - амплитуда кривой, зависящая от величины РЗ; sz - параметр, характеризующий ширинугауссовойкривой (для рассматриваемого варианта компрессорной лопатки sz = 1,8мм). Следует отметить, что аппроксимация зависимостей вида рис. 1, а с помощью выражения (1) применима для компрессорных лопаток с наиболее типичными формами пера и торцевой части. В общем случае для произвольной формы лопатки вид аппроксимационной зависимости должен выбираться индивидуально. Для определения погрешности дискретизации удобно использовать нормированнуюотносительно максимального значения A(y)компонентувыражения (1), задающую только форму огибающей при движении лопатки под ЧЭ ОВТД: (2) На рис. 1,б в более детальном виде представлена окрестность экстремума , попадающая в зону между двумя соседними отсчетами, а также даны пояснения для расчета относительной погрешности дискретизации. Как видно из графика рис. 1, б, погрешность дискретизации распределена в диапазоне и принимает свое максимальное значение (d0) в случае, когда координата экстремума попадает на середину интервала дискретизации Dz: (3) Для малых Dz (это соответствует практически важному критерию обеспечения d0 £ 5 %)с учетом (2) выражение (3)можно представить в упрощенном виде: (4) Очевидно, что величина Dzопределяется частотой дискретизации АЦП (f) и зависит от скорости вращения лопаточного колеса (n). Для заданных f [Гц] и n [об/мин]Dzможно найти из (5) где R - радиус лопаточного колеса по торцам рабочих лопаток. Предполагая равновероятный характер попадания экстремума в интервалдискретизацииDz, по известной методике [12] можно получить выражениядля плотности распределения вероятности погрешности дискретизации: (6) а также интегральной функции ее распределения: (7) Следует отметить, что распределение W(d) является усеченным по границе максимальной погрешности и справедливо только для конкретной скорости вращения лопаточного колеса и частоты дискретизации. Примеры графиков функций W(d) и F(d), нормированной относительно максимального значения погрешности d0 , приведены на рис. 2. Результаты получены для случая измерений РЗ на лопаточном колесе компрессора радиусом R=420 мм, вращающегося со скоростями 10000 и 20000 об/мин соответственно. Частота дискретизации АЦП составляла 1 МГц. а б Рис. 2.Плотность распределения вероятности погрешности дискретизации (а) и интегральная функция ее распределения (б) На основе плотности вероятности могут быть определены другие статистические характеристики для погрешности дискретизации, и в частности математическое ожидание (МО,M) и среднеквадратическое отклонение (СКО,S): (8) В табл. 1 приведены оценки вероятности попадания погрешности дискретизации в характерные интервалы, а на рис. 3 - зависимости максимальной погрешности (d0), МО (M) и СКО (S) от скорости вращения лопаточного колеса компрессора для тех же исходных данных (R = 420 мм, f = 1 МГц), что использовались в примере на рис. 2. Таблица1 Вероятность попадания погрешности дискретизации в характерный интервал Интервал Вероятность 0,58 0,79 0,96 Рис. 3. Зависимости максимальной погрешности(d0), МО (M) и СКО (S) от скорости вращения лопаточного колеса Как видно из представленных на рис. 3 графиков, указанные характеристики существенно зависят от скорости вращения лопаточного колеса, квадратично возрастая с ее увеличением. Оценка вычислительных ресурсов системы измерения Результаты вычисления статистических характеристик распределения случайной погрешности дискретизации позволяют оценить вычислительные ресурсы системы измерения РЗ, необходимые для предварительной обработки данных. В основу расчета может быть положено условие , (9) где e0 - допустимое СКО, при котором остаточной погрешностью можно пренебречь. С учетом (4), (5) выражение для СКО (8) можно представить в виде (10) где - число отсчетов за полный оборот ротора;- константа, содержащая геометрические параметры ротора и лопатки, определяемая в соответствии с выражением . (11) Тогда в соответствии с условием (9) и выражением (10) минимальное число отсчетов АЦП за один оборот ротора турбокомпрессора, необходимое для обеспечения требуемой точности определения экстремального значения кода, соответствующего искомым РЗ, можно определить исходя из условия . (12) Условие (12) определяет минимально допустимый объем буферной памяти, необходимой для хранения требуемой выборки кодов в системе. Так, например, для рассматриваемого случая измерений РЗ на лопаточном колесе компрессора радиусом R = 420 мм, вращающегося со скоростью до 20000 об/мин, для восстановления экстремума огибающей кодов АЦП не хуже e0 = 0,25 % в памяти системы необходимо хранить N0 ³ 5660 отсчетов. Зависимость N(e0)для выбранной задачи измерения представлена на рис. 4. Полученные оценки позволяют также определить требования к быстродействию системы, и в частности рассчитать требуемую частоту дискретизации АЦП. Легко показать, что для рассматриваемого примера на максимальной скорости вращения лопаточного колеса nmax = 20000 об/мин частота дискретизации АЦП должна быть не менее 1,9 МГц. Очевидно, что при условии сохранения постоянной частоты дискретизации во всем диапазоне изменений скоростей вращения ротора турбомашины на низких оборотах будет передискретизация и потребуется необоснованно завышенный объем буферной памяти. Избежать этого при несинхронизированном с периодом вращения ротора опросом ОВТД и при невозможности динамически менять частоту дискретизации АЦП можно путем прореживания входного потока данных, полученных на максимальной частоте преобразования. Рис. 4.Зависимость числа отсчетов от заданной погрешности дискретизации В основу операции сокращения избыточности положено равенство числа отсчетов (N) во всем диапазоне скоростей вращения колеса турбокомпрессора, что позволяет определить требуемый коэффициент прореживания кодов (K). Очевидно, что K должен быть целым числом; кроме того, для удобства дальнейшей практической реализации алгоритма прореживания в системе измерения удобно, чтобы он был кратным степени 2. Тогда для текущей i-той скорости вращения колеса турбокомпрессора коэффициент прореживания может быть определен исходя из выражения , (13) где nmax - максимальная скорость вращения колеса. Очевидно, что целочисленностьKприводит к некоторым издержкам и для нормальной работы алгоритма сжатия требует удвоенного объема буферной памяти. Так, например, для рассмотренного выше примера с учетом использования 14-разрядного АЦП требуемая емкость буфера памяти составит байт. Ниже приводится оценка распределения СКО погрешности дискретизации в полном диапазоне скоростей вращения ротора с учетом неучтенных дробных частей в аргументе логарифма выражения (15). Для этого введем обобщенную функцию x(х), равную , (14) где . Тогда СКО может быть рассчитано по формуле . (15) Распределение СКО в зависимости от скорости вращения лопаточного колеса применительно к рассматриваемому примеру для e0 = 0,25 % представлено на рис. 5. Рис. 5.Распределение СКО погрешности дискретизации в зависимости от скорости вращения лопаточного колеса турбокомпрессора Заключение Рассмотрены случайные погрешности, обусловленные дискретным характером поступления информации от ОВТД, для которых получены закон распределения вероятностей и основные статистические характеристики. На основе полученных статистических результатов предложена методика оценкивычислительных ресурсов системы измерения.

About the authors

Valentin N Belopukhov

Institute for the Control of Complex Systems of Russian Academy of Sciences

Email: 61. Sadovaya str.. Samara. 443020. Russian Federation
(Ph.D. (Techn.)), Senior Scientist

Sergey Yu Borovik

Institute for the Control of Complex Systems of Russian Academy of Sciences

Email: 61. Sadovaya str.. Samara. 443020. Russian Federation
(D.Sc. (Techn.)), Leading Scientis

Petr E Podlipnov

Institute for the Control of Complex Systems of Russian Academy of Sciences

Email: 61. Sadovaya str.. Samara. 443020. Russian Federation
Scientist

References

Supplementary files