Efficency analysis of closed loop control systems for distributed parameter objects with interval uncertainty of the plant characteristics

Full Text

Одной из наиболее сложных и актуальныхзадач в современной теории автоматического управления объектами с распределенными параметрами является синтез управляющих алгоритмов в условиях ограниченной (интервальной) неопределенности параметрических характеристик объекта,вся информация о которых исчерпывается заданными границами диапазона изменения их возможных значений. В работах[1, 7, 8] предлагается метод решенияуказанной задачи структурно-параметрического синтеза замкнутых систем оптимального быстродействия для линейной модели объекта управления с распределенными параметрами параболического типа. Показано применение разработанной методики и алгоритмов управления для решения задач оптимального быстродействия применительно кпроцессам индукционного нагрева металлических полуфабрикатов перед обработкой давлением. В данной статье предлагается методика сравнительного анализа систем управления с детерминированным регулятором и систем управления с автокоррекцией коэффициентов обратных связей, дается оценка эффективности полученных в [1, 8] замкнутых систем в условиях интервальнойнеопределенности характеристик объекта, в качестве которых принимаются начальная температура и коэффициент тепловых потерь, по сравнению с системой управления, синтезированной вусловиях полной информации об объекте. Температурное поле в процессе индукционного нагрева металлических изделий цилиндрической формы с сосредоточенным управляющим воздействием по мощности внутреннего тепловыделения описывается в зависимости от времени t и радиальной координаты x в первомприближении линейным, неоднородным и пространственно-одномерным уравнением теплопроводности в цилиндрических координатах следующего вида [2]: (1) с граничными условиями третьего рода и равномерным распределением начальной температуры по радиусу заготовки (2) На управляющее воздействие u(t) накладывается следующее ограничение: (3) Здесь R - радиус цилиндра; - удельная теплоемкость и плотность нагреваемого материала; - коэффициенты конвективной теплоотдачи и теплопроводности; - температура окружающей среды; - максимальная поверхностная плотность мощности нагрева; -функция пространственного распределения порадиусу цилиндра внутренних электромагнитных источников тепла, определяемая путем решения уравнений электромагнитного поля индуктора по выражению[3]: , (4) где f - частота питающего индуктор тока; - электропроводность нагреваемого материала; - абсолютная магнитная проницаемость нагреваемого материала; - функции Кельвина и их первые производные. Для объекта (1), (2) рассматривается задача оптимального по быстродействию управления, когда , в условиях интервальной неопределенности начальной температуры и уровня тепловых потерь, оцениваемых по величине критерия Био: , (5) при заданных типичных требованиях достижения в конечный момент времени минимальной погрешности равномерного приближения к заданной температуре для всех возможных величин неопределенных факторов (6) с предельно достижимой величиной точностинагрева в классе оптимальных двухинтервальных управляющих воздействий (рис. 1), стесняемых ограничениями (3). Рис. 1. Оптимальное по быстродействию двухинтервальное управление по мощности внутренних источников тепла Решение такой задачи для детерминированного объекта при фиксированном значении вектора неопределенных параметров приводит к оптимальной программе релейной формы (7) Длительности первого () и второго () интервалов постоянства оптимального программного управления могут быть найдены известным альтернанснымметодом[3]. В соответствии с предлагаемой в [1, 7, 8] методикой синтеза замкнутых систем управления объектом (1), (2) получен следующий алгоритм оптимального управления с идентификацией параметрических характеристик объекта по неполному измерению состояния: (8) Здесь - функция переключения оптимального управления (8), формируемая по измеряемым температурам на поверхности и в центре нагреваемого изделия: (9) где и - значения коэффициентов обратных связей и заданных конечных температурных состояний, определяемые согласно следующимзависимостям: (10) . (11) Здесь - результирующие значения температур на поверхности и в центре нагреваемого изделия в конце оптимального процесса, рассчитанные в точке; - нетривиальные решения однородной системы линейных уравнений (12) рассчитанные при;- расчетный момент времени переключения оптимальной программы . Далее в (10), (11) - наблюдаемые в заранее фиксируемые на протяжении первого () интервала постоянства управления моменты времени при значения температуры в точках x1 = R и x2 = 0 при реализуемых значениях . Значения , рассчитываются по формуле[3] (13) Здесь -моды функции (4), - функция Бесселя нулевого порядка; - бесконечно возрастающая последовательность корней уравнения . Параметры в (10), (11) рассчитаны по предложенной в [1] методике: (14) где и находятся путем дифференцирования выражения(13). Рассматриваемая задача была дополнена типовым для технологическихпроцессов нагрева металла ограничением на максимальное значение температуры в процессе нагрева, которое не должно превышать заданного допустимого уровня [4, 5]: (15) В этом случае оптимальное по быстродействию программное управление для детерминированного объекта дополняется участком управлениядвижением по ограничению после достижения равенствав момент: (16) В первом приближении управление описывается известной зависимостью экспоненциального характера[4, 5], что позволяет определить отличныеот в (7) значения длительностей интервалов программы (16)по схеме альтернансного метода[3]. В итоге алгоритм синтеза замкнутой системы оптимальногопо быстродействию управления с учетом фазового ограничения (15) дополняется промежутком поддержания на предельно допустимом уровне и принимает следующий вид[3]: (17) Здесь сохраняется в форме (9) и остаются справедливыми выражения (10) и (11) для линейных приближений , c новыми значениями , , рассчитываемыми по известным параметрам оптимальной программы (16). Поддержание температуры на специальном участке в структуре замкнутой системы реализуется с использованием задержанной обратной связи по температуре на поверхности заготовки с заранее рассчитанным коэффициентом передачи , обеспечивающим требуемую точность поддержания равенства [2]. В целях апробации полученных алгоритмов было выполнено компьютерное моделирование соответствующих им замкнутых структур, где объектпредставлен в форме 30 параллельно соединенных апериодических звеньевс предварительно рассчитанными коэффициентами передачи и постояннымивремени[6, 8]. Сравнительный анализ результатов работы алгоритмов оптимального управления с автокоррекцией коэффициентов обратных связей (8), (17) и детерминированного оптимального программного управления (6), (17) предлагается провести в соответствии со следующим алгоритмом[8]. 1. Для каждого из фиксируемых значений в заданном диапазоне их изменения (5) решается задача оптимального по быстродействию программного управления объектом (1), (3) по методике в [3]и строятся результирующие распределения температурпо радиусу слитка в конце оптимального процесса. Найденные указанным путем характеристики оптимальных процессов будем считать эталонными. 2. Производится расчет параметров модели объекта при фиксированных номинальных значениях неопределенных параметров. Полученная модель объекта затем используется в замкнутой системе оптимального по быстродействию управления процессом индукционного нагрева не полностью определенными моделями с идентификацией неопределенных параметров. 3. По результатам компьютерного моделирования строятся результирующие распределения температур для всех значений неопределенных параметров , отличных от номинальных. 4. Производится оценка эффективности замкнутой системы управления с идентификатором путем сравнения полученных результатов с эталонными характеристиками по степени сокращения длительности интервала выравнивания температур и точности равномерного приближения результирующих температурных распределений по радиусу цилиндра. Для исходных номинальных данных объекта (1), (2), отвечающих процессу индукционного нагрева цилиндрических слитков из титановых сплавов диаметром 0,54 м перед последующей операцией горячего прессования [4, 5], получены следующие значения параметров идентификатора (14) и функции переключения оптимального регулятора (9) в задаче без учета фазовых ограничений: В задаче с учетом фазовых ограничений (15): Полученные в результате выполнения сравнительного анализа данные (рис. 2,3) свидетельствуют об удовлетворительной точности приближения оптимального процесса в замкнутом контуре с идентификатором (14) в характерном для типовых ситуаций широком диапазоне изменения значения и к детерминированному оптимальному программному алгоритму управления (6), полученному в условиях полной информации об объекте при соответствующих заранее фиксируемых значениях и . Рис. 2. Результирующее распределение температур порадиусу слитка прив оптимальном по быстродействию процессе сдвухинтервальным управлением (сплошные линии) и в системе оптимального по быстродействию управления процессом индукционного нагрева для неполностью определенных (пунктир) моделей ОРПпри : 1 - 2 -3- Рис. 3. Результирующее распределение температур порадиусу слитка прив оптимальном по быстродействию процессе сдвухинтервальным управлением (сплошные линии) и в системе оптимального по быстродействию управления процессом индукционного нагрева для неполностью определенных (пунктир) моделей ОРПпри : 1 - ; 2 - Рис. 4. Результирующее распределение температур порадиусу слитка прив оптимальном по быстродействию процессе сдвухинтервальным управлением (сплошные линии) с учетом фазовых ограничений и в системе оптимального по быстродействию управления процессом индукционного нагрева для неполностью определенных (пунктир) моделей ОРПпри : 1 -2 - Аналогичным образом, сопоставлены результаты моделирования (рис. 4, 5) замкнутой системы управления с идентификатором (17) в случаеучета фазового ограничения (15) при заданном диапазоне изменения значения и с результатами моделирования детерминированного оптимального программного управления (16) с участком стабилизации температуры на допустимом уровне для зафиксированных значенийи . В замкнутой системе с идентификатором достигается существенный выигрыш по точности приближения ктребуемому конечному температурному состоянию (до 40 %), а также сокращение длительности интервала выравнивания температур (до 70 %) по сравнению с программным управлением по принципу гарантированного результата вусловиях интервальной неопределенности характеристик объекта, предельныевозможности которого ограничиваются достижением наилучших показателей покритерию оптимальности при наиболее неблагоприятном сочетании неопределенных факторов в (5). Рис. 5. Результирующее распределение температур порадиусу слитка прив оптимальном по быстродействию процессе сдвухинтервальным управлением (сплошные линии) с учетом фазовых ограничений и в системе оптимального по быстродействию управления процессом индукционного нагрева для неполностью определенных (пунктир) моделей ОРПпри : 1 -; 2 - Полученные результаты позволяют сделать вывод о преимуществах предлагаемого метода по сравнению с программным управлением ансамблем траекторий по принципу гарантированного результата.

About the authors

Ilia S Levin

SamaraStateTechnicalUniversity

Email: levin_ilja@yahoo.com
244, Molodogvardeyskaya st., Samara, 443100, Russian Federation

References

Supplementary files