Mathematical model of thermal drift of fiber optic gyroscope taking into account quadrupole spooling of fiber

Full Text

Введение

Датчики первичной инерциальной информации, или гироскопические датчики, – это одни из основных элементов систем управления, стабилизации и навигации подвижных объектов. Существует несколько разновидностей таких датчиков – поплавковые, роторные динамически настраиваемые, электростатические, волновые твердотельные, волоконно-оптические, микромеханические гироскопы и акселерометры, которые различаются принципом действия и классом точности [1–4].

В настоящей работе рассматривается волоконно-оптический гироскоп (ВОГ), представляющий собой оптико-электронный прибор и служащий для измерения абсолютной относительно инерциального пространства угловой скорости, принцип действия которого основан на известном эффекте Саньяка. Одними из достоинств ВОГ являются отсутствие механических частей, высокая надежность, точность и сравнительно невысокая стоимость. Чувствительным элементом является цилиндрическая катушка с намотанным на нее оптическим волокном. ВОГ широко применяется в системах ориентации и управления широкого класса подвижных объектов наземного и космического (невесомость, вакуум) применения. Кроме того, ВОГ используются в том числе на буровом оборудовании или инклинометрах [5–7] и др.

Одной из основных проблем при разработке ВОГ по-прежнему является борьба с температурными погрешностями, которые характерны для такого типа датчиков [5–10]. В настоящее время успешно применяются пассивные и активные способы борьбы [11–20 и др.] с температурными воздействиями, такие как алгоритмическая термокомпенсация, специальные способы намотки волокна, тепловое шунтирование элементов, усовершенствования катушки и др. Касательно специальных способов намотки волокна известны различные способы, среди которых наиболее распространенным является квадрупольный способ [1, 2, 6, 7, 21].

Не последнее место в разработке способов повышения точности ВОГ занимают исследования, направленные на создание математических моделей нестационарных температурных полей и температурных погрешностей, которые на этапе проектирования и испытания ВОГ помогают оценить влияние конструктивных особенностей ВОГ на его точность и чувствительность к температурным воздействиям.

В настоящее время существует достаточно большое количество работ, в том числе и авторов настоящей статьи, посвященных математическому моделированию температурных полей и температурного дрейфа ВОГ [10–16, 20–28].

Целью данной работы является разработка математической модели теплового дрейфа ВОГ, обусловленного термооптическим эффектом, учитывающей квадрупольный способ намотки волокна на катушку.

Основной задачей при достижении поставленной цели является определение функции, характеризующей распределение температуры вдоль нити волокна для квадрупольного способа намотки при радиальном температурном градиенте.

Математическая модель теплового дрейфа ВОГ, обусловленного термооптическим эффектом

Как было отмечено выше, наиболее распространенным способом намотки волокна на катушку является квадрупольный способ. Цель такой намотки – минимизация погрешности ВОГ в результате температурного воздействия. Суть состоит в том, чтобы обеспечить такое расположение витков волокна на катушке, при котором равноудаленные от середины участки волокна прилегают друг к другу, обеспечивая тем самым минимизацию погрешности. На рис. 1 показана схема классической квадрупольной намотки [2, 7, 21].

 

Рис. 1. Квадрупольная намотка волокна

 

Угловая скорость теплового дрейфа ВОГ, обусловленного термооптическим эффектом (эффект Шупе, далее по тексту тепловой дрейф), определяется известным интегралом [5–8]:

${\Omega }_T=\frac{1}{4N{S}_B}\underset{0}{\overset{L}{\int }}\left(\frac{d{n}_1}{dT}+n_1{\alpha }_T\right)n_1\left(2l-L\right)\frac{\partial T\left(t,l\right)}{\partial t}dl$, (1)

где N – количество витков на катушке; S_B – площадь одного витка; n₁ – температурозависимый показатель преломления сердечника волокна; α_Т – температурный коэффициент линейного расширения; L – длина волокна.

Нестационарное температурное поле в (1) является функцией двух переменных: времени t и координаты l по длине волокна [0, L].

Показатель преломления является функцией температуры:

$n_1=n_{10}+h_{T}T\left(t,l\right)$, (2)

где $n_{10}$ – номинальное значение показателя преломления; $h_T$ – температурный коэффициент показателя преломления.

Известно [9], что наибольший вклад в тепловой дрейф ВОГ, обусловленный термооптическим эффектом, дают радиальные температурные градиенты в катушке (рис. 2). Именно на минимизацию радиальных градиентов направлен квадрупольный способ намотки волокна.

 

Рис. 2. Схематическое изображение поперечного среза катушки с волокном. Снизу обозначен номер слоя волокна

 

Положим, что температуры на внутренней (T_in) и внешней стороне (T_out) волоконной бухты являются функциями времени:

$\begin{array}{l}{T}_{out}=f_{out}\left(t\right);\\ T_{in}=f_{in}\left(t\right).\end{array}$ (3)

Далее положим, что в радиальном направлении катушки температура изменяется линейно. В общем случае это, конечно, может не соответствовать действительности, но в рассматриваемом случае для реальных условий эксплуатации и типовых конструкций катушки это утверждение обоснованно. Покажем это на простом примере.

Массив нитей волокна на катушке представляет собой периодическую структуру, образованную слоями волокна с одинаковыми геометрическими размерами и теплофизическими характеристиками. Увеличением радиуса на диаметр волокна и, соответственно, площади слоя можно пренебречь, т. к. эта величина много меньше радиуса катушки.

Рассчитаем температуры в каждом слое волоконной бухты, используя метод балансов [9]. Для этого представим массив волокна в виде n слоев, каждый из которых является отдельным «элементарным объемом» с одинаковыми теплофизическими параметрами – массой, теплоемкостью и эквивалентной термопроводимостью (рис. 3).

 

Рис. 3. Тепловая модель волоконной бухты

 

Система дифференциальных уравнений тепловых балансов для такой упрощенной модели с учетом (3) имеет вид [9]:

$\begin{array}{l}c{\dot{T}}_1=-q(T_1-T_2)-q(T_1-f_{in}(t\left)\right);\\ c{\dot{T}}_2=-q(T_2-T_1)-q(T_2-T_3);\\ \mathrm{............}\\ c{\dot{T}}_{n-1}=-q(T_{n-1}-T_{n-2})-q(T_{n-1}-T_n);\\ c{\dot{T}}_n=-q(T_n-T_{n-1})-q(T_n-f_{out}(t\left)\right),\end{array}$ (4)

где n – число слоев волокна; q – эквивалентный коэффициент термопроводимости одного слоя; с – теплоемкость; T_i – температура i-го слоя.

Решим систему (4) для катушки c размерами, близкими к реальным: диаметр $D=100$ мм и высота $h=10$ мм. Также для расчетов параметров волокна будем использовать кварцевое одномодовое волокно марки PM40-810, которое применяется в ВОГ. Диаметр такого волокна равен 80 мкм. Рассчитанные значения теплоемкости и эквивалентной термопроводимости для принятой конфигурации катушки для каждого слоя волокна имеют значения $q\approx 4$ Вт/°С, $c\approx 0.318$ Дж/°С.

В реальном ВОГ функции температур (3) качественно повторяют закон изменения температуры окружающей среды. Например, для гармонического закона функции температур (3) отличаются от него значениями амплитуды и фазы. Это подтверждено многократными расчетами на моделях реальных ВОГ [9, 16, 23, 25 и др.].

Исходя из этих рассуждений для примера примем гармонический закон изменения температур на внутренней и внешней стороне катушки:

$\begin{array}{l}{T}_{out}=f_{out}\left(t\right)=20+40\sin \left(0.00116t\right);\\ T_{in}=f_{in}\left(t\right)=20+40\sin (0.00116t+\pi /4).\end{array}$

Для наглядности фазовый сдвиг принят равным π/4 (в модели реального ВОГ он много меньше), а частота соответствует периоду колебаний в 90 мин. Такой период соответствует минимальному времени облета спутником Земли на низких орбитах. Численное решение системы (4) для $n=20$, выполненное в специально разработанном программном обеспечении, в котором реализованы функции графического вывода результатов расчета, представлено на рис. 4.

 

Рис. 4. Диаграмма изменения температур слоев во времени (а), температуры слоев волокна (б); графики температур в радиальном направлении в некоторые фиксированные моменты времени (в)

 

Как можно видеть из приведенной диаграммы и графиков на рис. 4, температура в слоях волоконной бухты распределена линейно в радиальном направлении. Вычислительные эксперименты на базе системы (4) для других законов изменения температур (например, нагрева с постоянной скоростью) показывают сходные результаты.

На основании изложенного будем полагать, что в реальных условиях эксплуатации ВОГ при сравнительно невысокой скорости изменения температуры окружающей среды температура в волоконной бухте в радиальном направлении изменяется по линейному закону. Тогда с учетом изложенного функцию нестационарной температуры в волоконной бухте можно записать в виде

$T(t,l)=\frac{T_n\left(t\right)-T_1\left(t\right)}{n}f\text{(}l\text{)}+T_1\text{(}t\text{)}$, (5)

где $f\left(l\right)$ – функция, отражающая распределение температуры вдоль нити волокна; n – число слоев волокна на катушке.

Таким образом, для вычисления интеграла (1) необходимо определить функцию $f\left(l\right)$ с учетом квадрупольного способа намотки волокна. При этом температуры на внешней и внутренней стороне катушки либо задаются известной функцией, либо вычисляются путем решения нестационарной задачи теплопроводности.

Обозначим длину участка волокна в одном слое за l_c:

$l_c=2\pi Rm$, (6)

где m – число витков в одном слое на катушке, которое определяется как отношение ширины бухты катушки к толщине волокна; R – радиус катушки.

Для определения функции $f\left(l\right)$ представим графически, как выглядит распределение температуры при радиальном перепаде по длине волокна при квадрупольной намотке. Поскольку мы рассматриваем радиальные температурные градиенты, температура на участке волокна, принадлежащего одному слою, будет близка к постоянной в силу существенно большей площади теплового контакта в радиальном направлении по сравнению с вертикальным. Тогда распределение температур вдоль нити волокна схематично будет выглядеть, как показано на рис. 5.

 

Рис. 5. Иллюстрация распределения радиального перепада температуры вдоль волокна при квадрупольной намотке

 

Здесь на графике i – номер слоя; l – координата по нити волокна; Т – некоторая условная температура.

Таким образом, задача сводится к определению зависимости номера слоя i от координаты l, которая и определяет функцию $f\left(l\right)$. В общем случае для квадрупольной намотки эту зависимость можно определить следующей формулой:

$f\text{(}l\text{)}=i=\left\{\begin{array}{l}\left[\frac{\left(\frac{L}{2}-l_c-l\right)}{l_c}\right]+2\left[\frac{\left(\frac{L}{2}+l_c-l\right)}{2l_c}\right]\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}при\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}0\le l<\frac{L}{2};\\ \left[\frac{\left(l-\frac{L}{2}\right)}{l_c}\right]+2\left[\frac{\left(l-\frac{L}{2}\right)}{2l_c}\right]\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}при\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}\frac{L}{2}\le l\le L.\end{array}\right.$ (7)

Квадратными скобками здесь обозначена целая часть от вычисленного значения заключенного в них выражения.

Используя полученную формулу, можно построить распределение температуры по длине нити волокна в некоторый фиксированный момент времени для катушки с волокном произвольных размеров.

Построим график распределения температуры в волоконной бухте некоторой абстрактной катушки с теми же параметрами, что были приняты для вычисления системы (4). Тогда при данной геометрии и длине волокна в 1 км число слоев волокна $n=24$, число витков в одном слое $m=125$ и длина участка волокна в одном слое $l_c\approx 40$ м.

Пусть в некоторый момент времени $T_n=25$°C и $T_1=20$°C. Тогда с учетом (5), применяя формулу (7), построим график температур вдоль волокна (рис. 6).

 

Рис. 6. Распределение радиального перепада температуры вдоль волокна при квадрупольной намотке

 

Полученный график иллюстрирует распределение температуры вдоль нити волокна при температурном градиенте в радиальном направлении для конкретных параметров катушки и оптического волокна.

Обозначим разницу температур на внешней и внутренней стороне волоконной бухты в (5):

$\Delta T_R\left(t\right)=T_n\left(t\right)-T_1\left(t\right)$.

Преобразуем интеграл (1) с учетом (2), (5), пренебрегая членами второго порядка малости:

${\Omega }_T=\frac{\left(h_T+n_{10}{\alpha }_T\right)n_{10}}{4N{S}_B}\Delta {\dot{T}}_R\text{(}t\text{)}\underset{0}{\overset{L}{\int }}(2l-L)f\left(l\right)dl$. (8)

Входящие в (8) параметры для одномодового волокна обычно имеют следующие значения [5, 21]:

$h_T={10}^{-5}1/°C;{\alpha }_T=5\cdot {10}^{-7}1/°C;n_{10}=1.45$.

Тогда с учетом числовых значений параметров волокна и геометрии катушки получим выражение для теплового дрейфа:

${\Omega }_T=6.5\cdot {10}^{-9}\Delta {\dot{T}}_R\text{(}t\text{)}\underset{0}{\overset{L}{\int }}(2l-L)f\left(l\right)dl$. (9)

Численное интегрирование (9) методом трапеций с шагом Dl = 0.5 м с учетом принятых геометрических параметров катушки дает следующий результат:

${\Omega }_T\approx 0.00004\Delta {\dot{T}}_R\text{(}t{\text{)\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}c}}^{-1}.$ (10)

Как можно видеть из полученного выражения, при радиальном температурном перепаде тепловой дрейф ВОГ, обусловленный термооптическим эффектом, прямо пропорционален скорости его изменения. Например, при нагреве ВОГ с постоянной скоростью через какое-то время от начала нагрева в результате переходных процессов $\Delta T_R\left(t\right)$ установится в постоянное значение и дрейф будет нулевым. Это утверждение подтверждается результатами расчетов других авторов. Например, в [21], показано, что при постоянном нагреве термооптическая составляющая дрейфа имеет небольшой всплеск в начале разогрева и по мере выравнивания температур стремится к нулю, а основной вклад в тепловой дрейф вносит упругооптический эффект.

Таким образом, мы получили математическую модель составляющей теплового дрейфа ВОГ, обусловленного термооптическим эффектом, которая дополняет модель теплового дрейфа прибора учетом особенностей квадрупольной намотки волокна, геометрических параметров катушки и оптического волокна.

Управление тепловым дрейфом ВОГ

Рассмотрим возможное применение полученной модели в одной из задач управления тепловым дрейфом ВОГ путем применения алгоритмической компенсации. Суть ее в следующем.

В блок управления ВОГ закладываются основные формулы и алгоритмы построенной математической модели теплового дрейфа. Поскольку рассматриваются радиальные градиенты температур в чувствительной катушке ВОГ, значения температуры снимаются с термодатчиков, расположенных максимально близко к ее внешней и внутренней поверхностям, вычисляется величина теплового дрейфа по формулам математической модели для конкретной конструкции ВОГ и подается на вход регулятора, компенсируя «уход» прибора.

Для примера используем упрощенную модель – будем идеализировать ВОГ в виде двух «элементарных объемов», соответствующих внутренней и наружной поверхностям катушки с волоконной бухтой, с эквивалентными теплофизическими характеристиками. Будем также предполагать, что на внутренней и наружной поверхностях катушки установлены идеальные термодатчики, измеряющие «внутреннюю» T₁ и «наружную» T₂ температуры в зоне волоконной бухты.

Уравнения тепловых балансов такой системы имеют вид:

$\begin{array}{l}c{\dot{T}}_1+q(T_1-T_2)+q_c(T_1-T_{in})=\mathrm{0,}\\ c{\dot{T}}_2+q(T_2-T_1)+q_c(T_2-T_{out})=\mathrm{0,}\end{array}$ (11)

где с – эффективные теплоемкости; $q,q_c$ – термопроводимости; $T_{in}$, $T_{out}$ – «внутренняя» и «наружная» температуры окружающей среды.

Угловую скорость дрейфа в соответствии с полученным выражением (8) представим в виде

${\Omega }_T=A\cdot \Delta {\dot{T}}_R,$ (12)

где $A=\frac{\left(h_T+n_{10}{\alpha }_T\right)n_{10}}{4N{S}_B}\underset{0}{\overset{L}{\int }}(2l-L)f\left(l\right)dl$, $\Delta {\dot{T}}_R\text{(}t\text{)}={\dot{T}}_n\text{(}t\text{)}-{\dot{T}}_1\text{(}t\text{)}$.

При этом коэффициент А вычисляется для конкретной конструкции ВОГ и параметров применяемого оптического волокна.

В соответствии с (12) угловая скорость дрейфа в приборе запишется как

${\Omega }_T^{П}=A\cdot \Delta {\dot{T}}_R^{П}.$

Положим для определенности, что используется пропорциональный закон регулирования. Сформируем сигнал по двум термодатчикам, расположенным в радиальном направлении в зоне волоконной бухты:

${\Omega }_T=k\cdot A\cdot \Delta {\dot{T}}_R,$

где k – коэффициент усиления.

Это угловая скорость теплового дрейфа, определяемая по полученной математической модели.

Образуем разность

$\Delta {\Omega }_T={\Omega }_T^{П}-{\Omega }_T=A(\Delta {\dot{T}}_R^{П}-k\Delta {\dot{T}}_R)$.

Далее определим коэффициент усиления k, минимизирующий $\Delta {\Omega }_T$.

Решение системы уравнений тепловых балансов (11) при нулевых начальных условиях в рассматриваемом случае примет вид

$\Delta T_R=T_1-T_2=\frac{q_c\Delta T_c}{2q+q_c}\left(1-e^{-\frac{2q+q_c}{c}t}\right)$, $\Delta {\dot{T}}_R=\frac{q_c\Delta T_c}{c}{e}^{-\frac{2q+q_c}{c}t}$,

где $\Delta T_c=T_{in}-T_{out}$.

Пусть температурный перепад и его производная по времени в реальном приборе имеют вид

$\Delta T_R^{П}=\Delta T_R^0\left(1-e^{-\gamma t}\right)$, $\Delta {\dot{T}}_R^{П}=\Delta T_R^0\gamma e^{-\gamma t}$.

Тогда

$\Delta {\Omega }_T=A\left(\Delta T_R^0\gamma e^{-\gamma t}-k\frac{q_c\Delta T_c}{c}{e}^{-\frac{2q+q_c}{c}t}\right).$

Отсюда видно, что если постоянные времени реального прибора и модели совпадают, т. е. $\gamma =(2q+q_c)/c$, то можно добиться «идеальной» компенсации:

$\Delta {\Omega }_T=0$, при $k=\frac{\Delta T_R^0}{\Delta T_c}\cdot \frac{2q+q_c}{q_c}$.

Отметим, что для реальных конструкций такая идеализация будет ограничена в силу погрешностей термодатчиков, затруднительности их произвольного размещения, погрешностей при дифференцировании сигналов, допущений, принятых для математической модели температурного дрейфа, однако применение предлагаемого алгоритма управления совместно с предварительной калибровкой прибора позволит обеспечить поддержание его теплового дрейфа на минимальном уровне в процессе эксплуатации.

Заключение. В работе была построена математическая модель теплового дрейфа ВОГ, обусловленного термооптическим эффектом, учитывающая особенности квадрупольной намотки волокна, для произвольных геометрических параметров катушки и оптического волокна. Построенная модель адаптирована для радиальных градиентов температуры, которые дают наибольший вклад в тепловой дрейф.

Расчет теплового дрейфа с помощью полученной модели для некоторого произвольно выбранного волоконного контура ВОГ хорошо согласуется с результатами расчетов других авторов, например с работой пермских разработчиков ВОГ [21], использующих САПР на основе методов конечно-элементного моделирования.

Кроме того, полученная модель вносит уточнение и дополнение в работу [9], в которой дана обобщенная математическая модель теплового дрейфа ВОГ для различной пространственной конфигурации теплового поля, но имеющая недостаток – она не учитывает особенности намотки волокна на катушку и ее геометрические размеры.

Авторами накоплен большой опыт применения модифицированного метода «элементарных» балансов [9, 16, 22–25 и др.] для решения задач анализа нестационарных температурных полей различных многокомпонентных приборов, устройств и отдельных датчиков. Предложенная модель для расчета теплового дрейфа ВОГ расширяет и дополняет возможности метода «элементарных» балансов. В комплексе эти методики позволят в процессе расчета нестационарных температурных полей оценить тепловой дрейф практически любого ВОГ типовой конструкции благодаря возможности реализовать простой и эффективный алгоритм расчета, не требующий привлечения дорогостоящих программных продуктов.

Показан пример возможного управления тепловым дрейфом ВОГ путем применения алгоритмической компенсации с использованием полученной математической модели.

About the authors

Aleksey V. Golikov

Federal Research Center "Saratov Scientific Center of the Russian Academy of Sciences"

Author for correspondence.
Email: golikov@iptmuran.ru

Institute for Precision Mechanics and Control Problems of the Russian Academy of Sciences, Ph.D. (Techn.), Leading Researcher, Lab. of Analysis and Synthesis of Dynamic Systems in Precision Mechanics

Russian Federation, 24, Rabochaya St., Saratov, 410028

Viktor S. Popov

Federal Research Center "Saratov Scientific Center of the Russian Academy of Sciences"; Yuri Gagarin State Technical University of Saratov

Email: vic_p@bk.ru

Institute for Precision Mechanics and Control Problems of the Russian Academy of Sciences, Dr. Sci. (Techn.), Professor, Professor, Dept. of Applied Mathematics and Systems Analysis Department, Chief Researcher, Lab. of Analysis and Synthesis of Dynamic Systems in Precision Mechanics

Russian Federation, 24, Rabochaya St., Saratov, 410028; 77, Politekhnicheskaya St., Saratov, 410054

Elena V. Pankratova

Federal Research Center "Saratov Scientific Center of the Russian Academy of Sciences"

Email: pankratova@iptmuran.ru

Institute for Precision Mechanics and Control Problems of the Russian Academy of Sciences, Ph.D. (Techn.), Senior Researcher, Lab. of Analysis and Synthesis of Dynamic Systems in Precision Mechanics

Russian Federation, 24, Rabochaya St., Saratov, 410028

References

Supplementary files