Автоматическая компенсация термодеформационных помех в информационно-измерительных системах космических аппаратов

Полный текст

Введение

Рассматривается малый орбитальный космический аппарат (КА), на несущей конструкции (НК) которого размещена информационно-измерительная система (ИИС), содержащая тепловыделяющую аппаратуру, включающую оптические приборы. На рис. 1 схематично представлены фрагменты отсека КА, который включает в себя следующие элементы:

• внешний защитный кожух с многослойной изоляцией;
• несущая конструкция;
• ИИС, содержащая тепловыделяющую информационно-измерительную аппаратуру, включающую пассивные и активные оптические системы (ОС) – зеркала, фотоаппаратуру, линзы.

 

Рис. 1. Общий вид отсека космического аппарата: а – отсек в сборе; б – размещение аппаратуры в КА; в – размещение ИИС на НК; г – НК в сборе

 

Значительную долю в общей измерительной информации составляет информация, полученная от оптических компонентов ИИС. Оптические системы КА широко используются в различных областях, например в сельскохозяйственном, природоохранном и экологическом мониторинге.

Для проведения измерений в защитном кожухе имеются люки, которые открываются и закрываются в ходе работы ОС. При открытии люков НК нагревается солнечными лучами (прямыми или отраженными) или охлаждается космическим пространством. Это вместе с локальными тепловыделениями ИИС вызывает термодеформацию НК и с учетом расстояния КА от объекта измерений является источником значительной погрешности ОС. Так, например, угловое смещение оптической оси на 1 градус вызывает линейное смещение изображения точки съемки относительно оригинала на поверхности Земли более чем на 8,7 км при высоте орбиты КА 500 км.

С целью уменьшения погрешности показаний ОС ИИС разработана система автоматической термоградиентной стабилизации (СТГС) температуры НК КА [1]. СТГС состоит из локальных автономных систем автоматического управления (САУ) температурой в контрольной точке НК (рис. 2) с помощью управляемых теплоисточников (УИТ).

 

Рис. 2. Фрагмент структурной схемы стабилизации температурного поля

 

Исполнительный элемент УИТ представляет собой теплорассеивающую подложку размером 30×10 мм, на которую крепятся пленочные электронагреватели размером 20×20 мм и термодатчики размером 5×5 мм. Коэффициент передачи термодатчика входит в передаточную функцию объекта управления $W_{oy}\left(p\right)$.

Система управления температурным полем

Принцип управления температурным полем иллюстрируется структурной схемой САУ (рис. 2). Каждая локальная САУ представляет собой следящую систему, замкнутую по отклонению управляемой температуры, например для k-ой точки НК – T_k. График $U_k\left(\tau \right)$ изменения температуры задания каждой k-й локальной САУ задается управляющим модулем бортового компьютера по специальному алгоритму [2], учитывающему изменение градиента температурного поля НК в ходе эксплуатации ИИС КА. На рис. 3 показано расположение элементов УИТ на НК. Количество и место установки элементов УИТ выбрано таким образом (по 32 шт. на двух сторонах НК), чтобы наилучшим образом обеспечивать равномерное распределение температур по объему НК в заданном диапазоне [7, 8, 10, 12, 19].

 

Рис. 3. Расположение элементов УИТ на НК

 

Математическая модель объекта управления

Математическую модель ОУ, содержащую однородное параболическое уравнение и неоднородные краевые условия, для удобства дальнейшего использования при синтезе и анализе САУ с помощью аппарата передаточных функций целесообразно представить в отклонениях $\Theta \left(x,y,z,\tau \right)=T\left(x,y,z,\tau \right)-T_0$ температурного поля $T\left(x,y,z,\tau \right)$ в НК от начального значения в форме неоднородного уравнения теплопроводности [2–4]

$\frac{\partial \Theta \left(x,y,z,\tau \right)}{\partial \tau }-a\left[\frac{\partial {\Theta }^2\left(x,y,z,\tau \right)}{\partial x^2}+\frac{\partial {\Theta }^2\left(x,y,z,\tau \right)}{\partial y^2}+\frac{\partial {\Theta }^2\left(x,y,z,\tau \right)}{\partial z^2}\right]=\omega \left(x,y,z,\tau \right)$ (1)

и однородных краевых условий

${\left.\frac{\partial \Theta \left(x,y,z,\tau \right)}{\partial x}\right|}_{x=0}={\left.\frac{\partial \Theta \left(x,y,z,\tau \right)}{\partial y}\right|}_{y=0}={\left.\frac{\partial \Theta \left(x,y,z,\tau \right)}{\partial z}\right|}_{z=0}=0$ (2)

${\left.\Theta \right|}_{\tau =0}=0$ (3)

со стандартизирующей функцией:

$\omega \left(x,y,z,\tau \right)=Q_{X_1}\left(y,z,\tau \right)\delta \left(x\right)+Q_{X_2}\left(y,z,\tau \right)\delta \left(x-R_1\right)+$

$+Q_{Y_1}\left(x,z,\tau \right)\delta \left(y\right)+Q_{Y_2}\left(x,z,\tau \right)\delta \left(y-R_2\right)+$

$+Q_{Z_1}\left(x,y,\tau \right)\delta \left(z\right)+Q_{Z_2}\left(x,y,\tau \right)\delta \left(z-R_3\right)$. (4)

Здесь $Q_{X_1}\left(y,z,\tau \right)$, $Q_{X_2}\left(y,z,\tau \right)$, $Q_{Y_1}\left(x,z,\tau \right)$, $Q_{Y_2}\left(x,z,\tau \right)$, $Q_{Z_1}\left(x,y,\tau \right)$, $Q_{Z_2}\left(x,y,\tau \right)$ – обобщенные тепловые потоки на соответствующие грани НК, $\delta \left(*\right)$ – дельта-функция Дирака.

В составе обобщенных потоков $Q_{Z_1}\left(x,y,\tau \right)$, $Q_{Z_2}\left(x,y,\tau \right)$ в качестве компонент содержатся тепловые потоки $q_{ti}\left(\tau \right)$ и $q_{tui}\left(\tau \right)$, $i=\overline{\mathrm{1,}N}$ $N=32$ соответствующих УИТi, размещенных симметрично на противоположных гранях $z=0$ и $z=R_3$ НК.

Эти потоки представляют собой дискретно распределенные управляющие воздействия, причем для каждой i-й контрольной точки, совмещенной с i-м УИТ, остальные j-е потоки q_i j-х УИТ, $j\ne i$ являются возмущениями.

В силу того, что для рассматриваемой математической модели объекта управления управляющие воздействия и возмущения представляют собой потоки тепла на гранях НК, т. е. формируют граничные условия 2-го рода, температурное поле рассматриваемой краевой задачи представляется суммой температурных полей соответствующих одномерных пластин:

$\Theta \left(x,y,z,\tau \right)={\Theta }_x^{\left(2\right)}\left(x,\tau \right)+{\Theta }_y^{\left(2\right)}\left(y,\tau \right)+{\Theta }_z^{\left(2\right)}\left(z,\tau \right)$. (5)

Здесь ${\Theta }_x^{\left(2\right)}\left(x,\tau \right)$, ${\Theta }_y^{\left(2\right)}\left(y,\tau \right)$, ${\Theta }_z^{\left(2\right)}\left(z,\tau \right)$ – решение трех одномерных задач:

$\frac{\partial {\Theta }_x^{\left(2\right)}\left(x,\tau \right)}{\partial \tau }-a\frac{{\partial }^2{\Theta }_x^{\left(2\right)}\left(x,\tau \right)}{\partial x^2}=0$, $\tau >0$, $x\in \left(\mathrm{0,}{R}_1\right)$; (6)

${\left.{\Theta }_x^{\left(2\right)}\left(x,\tau \right)\right|}_{\tau =0}=0$, $x\in \left[\mathrm{0,}{R}_1\right]$; (7)

${\left.\lambda \frac{\partial {\Theta }_x^{\left(2\right)}\left(x,\tau \right)}{\partial x}\right|}_{x=0}={\left.Q_{x1}\left(\tau \right)\right|}_{x=\mathrm{0,}{q}_{x1}=0}$, $\tau \ge 0$; (8)

${\left.\lambda \frac{\partial {\Theta }_x^{\left(2\right)}\left(x,\tau \right)}{\partial x}\right|}_{x=R_1}={\left.Q_{x2}\left(\tau \right)\right|}_{x=R_2,q_{x2}=0}$, $\tau \ge 0$; (9)

$\frac{\partial {\Theta }_y^{\left(2\right)}\left(y,\tau \right)}{\partial \tau }-a\frac{{\partial }^2{\Theta }_y^{\left(2\right)}\left(y,\tau \right)}{\partial y^2}=0$, $\tau >0$, $y\in \left(\mathrm{0,}{R}_2\right)$; (10)

${\left.{\Theta }_y^{\left(2\right)}\left(x,\tau \right)\right|}_{\tau =0}=0$, $y\in \left[\mathrm{0,}{R}_2\right]$; (11)

${\left.\lambda \frac{\partial {\Theta }_y^{\left(2\right)}\left(y,\tau \right)}{\partial y}\right|}_{y=0}={\left.Q_{y1}\left(\tau \right)\right|}_{y=\mathrm{0,}{q}_{y1}=0}$, $\tau \ge 0$; (12)

${\left.\lambda \frac{\partial {\Theta }_y^{\left(2\right)}\left(y,\tau \right)}{\partial y}\right|}_{x=R_2}={\left.Q_{y2}\left(\tau \right)\right|}_{y=R_2,q_{y2}=0}$, $\tau \ge 0$; (13)

$\frac{\partial {\Theta }_z^{\left(2\right)}\left(z,\tau \right)}{\partial \tau }-a\frac{{\partial }^2{\Theta }_z^{\left(2\right)}\left(z,\tau \right)}{\partial z^2}=0$, $\tau >0$, $z\in \left(\mathrm{0,}{R}_3\right)$; (14)

${\left.{\Theta }_z^{\left(2\right)}\left(z,\tau \right)\right|}_{\tau =0}=0$, $z\in \left[\mathrm{0,}{R}_3\right]$; (15)

${\left.\lambda \frac{\partial {\Theta }_z^{\left(2\right)}\left(z,\tau \right)}{\partial z}\right|}_{z=0}={\left.Q_{z1}\left(\tau \right)\right|}_{z=\mathrm{0,}{q}_{z1}=0}$, $\tau \ge 0$; (16)

${\left.\lambda \frac{\partial {\Theta }_z^{\left(2\right)}\left(z,\tau \right)}{\partial z}\right|}_{z=R_3}={\left.Q_{z2}\left(\tau \right)\right|}_{z=R_3,q_{z2}=0}$, $\tau \ge 0$. (17)

Передаточную функцию для каждой из компонент ${\Theta }_x^{\left(2\right)}\left(x,\tau \right)$, ${\Theta }_y^{\left(2\right)}\left(y,\tau \right)$, ${\Theta }_z^{\left(2\right)}\left(z,\tau \right)$ в (5) можно получить, используя преобразование Лапласа функций Грина для вспомогательных краевых задач (6)–(17), предполагая управляющими и возмущающими воздействиями соответствующие тепловые потоки, источниками которых являются УИТ, тепловыделяющая аппаратура ИИС, прямые и отраженные потоки тепла через открытые люки кожуха. Функции Грина для каждой из одномерных краевых задач (6)–(17) имеют вид [3, 4]:

$G_n\left(x,{\xi }_x,\tau -t\right)=\sum _{n=0}^{\infty }{G}_n^{\left(\tau \right)}\left({\mu }_n,\tau -t\right){\phi }_n\left({\mu }_n,x\right){\phi }_n\left({\mu }_n,{\xi }_x\right)$; (18)

$G_m\left(y,{\xi }_y,\tau -t\right)=\sum _{m=0}^{\infty }{G}_m^{\left(\tau \right)}\left({\psi }_m,\tau -t\right){\phi }_m\left({\psi }_m,y\right){\phi }_m\left({\psi }_m,{\xi }_y\right)$; (19)

$G_{\chi }\left(z,{\xi }_z,\tau -t\right)=\sum _{\chi =0}^{\infty }{G}_{\chi }^{\left(\tau \right)}\left({\gamma }_{\chi },\tau -t\right){\phi }_{\chi }\left({\gamma }_{\chi },z\right){\phi }_{\chi }\left({\gamma }_{\chi },{\xi }_z\right)$. (20)

Здесь ${\mu }_n$, ${\psi }_m$, ${\gamma }_{\chi }$ – собственные числа, полученные решением соответствующей задачи Штурма – Лиувилля каждой краевой задачи (6)–(17) для граничных условий 2-го рода. Трансформанта Лапласа функций Грина (18)–(20) примет следующий вид:

$G_x\left(x,p\right)=a{\lambda }^{-1}\left(W_x^{\left(2\right)}\left(x,{\xi }_x,p\right)\right)={\left(c\rho R_1\right)}^{-1}\times$

$\times \left\{\frac{1}{p}+2\sum _{n=1}^{\infty }{\left(-1\right)}^n\text{cos}\left(\pi n\frac{x}{R_1}\right)R_1^2{\left(a{\pi }^2{n}^2\right)}^{-1}{\left[R_1^2{\left(a{\pi }^2{n}^2\right)}^{-1}p+1\right]}^{-1}\right\}$;

 

$G_y\left(y,p\right)=a{\lambda }^{-1}\left(W_y^{\left(2\right)}\left(y,{\xi }_y,p\right)\right)={\left(c\rho R_2\right)}^{-1}\times$

$\times \left\{\frac{1}{p}+2\sum _{m=1}^{\infty }{\left(-1\right)}^m\text{cos}\left(\pi n\frac{x}{R_2}\right)R_2^2{\left(a{\pi }^2{m}^2\right)}^{-1}{\left[R_2^2{\left(a{\pi }^2{m}^2\right)}^{-1}p+1\right]}^{-1}\right\}$ (21)

$G_z\left(z,p\right)=a{\lambda }^{-1}\left(W_z^{\left(2\right)}\left(z,{\xi }_z,p\right)\right)={\left(c\rho R_3\right)}^{-1}\times$

$\times \left\{\frac{1}{p}+2\sum _{\chi =1}^{\infty }{\left(-1\right)}^{\chi }\text{cos}\left(\pi \chi \frac{x}{R_3}\right)R_3^2{\left(a{\pi }^2{\chi }^2\right)}^{-1}{\left[R_3^2{\left(a{\pi }^2{\chi }^2\right)}^{-1}p+1\right]}^{-1}\right\}$

Тогда с учетом (5) рассматриваемый объект управления с распределенными параметрами допускает структурное представление по каждой координате x, y, z в виде параллельного соединения интегрирующего звена и бесконечного числа типовых апериодических звеньев и для любых двух точек N (x, y, z) и $M\left({\xi }_x,{\xi }_y,{\xi }_z\right)$ имеет передаточную функцию $W\left(x,{\xi }_x,y,{\xi }_y,z,{\xi }_z,p\right)=\frac{\Theta \left(p\right)}{Q_z\left(p\right)}$, если рассматривать все компоненты $Q_z\left(p\right)$, кроме $q_{ti}\left(\tau \right)$ и $q_{tui}\left(\tau \right)$, в качестве неконтролируемых возмущений [13–15, 17, 18]:

$W\left(M,N,p\right)=\frac{1}{cp{R}_1}\left[\frac{1}{p}+\sum _{n=1}^{\infty }\frac{K_{x,{\xi }_x}}{T_{xn}p+1}\right]+\frac{1}{cp{R}_2}\left[\frac{1}{p}+\sum _{m=1}^{\infty }\frac{K_{y,{\xi }_y}}{T_{ym}p+1}\right]+$

$+\frac{1}{cp{R}_3}\left[\frac{1}{p}+\sum _{k=1}^{\infty }\frac{K_{z,{\xi }_z}}{T_{zk}p+1}\right]$. (22)

Ограничивая бесконечные ряды в (22) тремя первыми членами N=3, M=3, K=3, получим структурное представление объекта управления [4].

На рис. 4 коэффициенты

$k_n\left(x,{\xi }_x,p\right)=2\frac{\text{cos}\left(\pi n\frac{x}{R_1}\right)\text{cos}\left(\pi n\frac{{\xi }_x}{R_1}\right)R_1^2}{a{\pi }^2{n}^2}$, $n=\overline{\mathrm{1,}N}$;

$k_m\left(y,{\xi }_y,p\right)=2\frac{\text{cos}\left(\pi m\frac{x}{R_2}\right)\text{cos}\left(\pi m\frac{{\xi }_y}{R_2}\right)R_2^2}{a{\pi }^2{m}^2}$, $m=\overline{\mathrm{1,}M}$;

$k_{\chi }\left(z,{\xi }_z,p\right)=2\frac{\text{cos}\left(\pi \chi \frac{z}{R_3}\right)\text{cos}\left(\pi \chi \frac{{\xi }_z}{R_3}\right)R_3^2}{a{\pi }^2{\chi }^2}$, $\chi =\overline{\mathrm{1,}K}$

и постоянные времени

$T_{xn}=\frac{R_1^2}{a\pi n^2}$; $T_{ym}=\frac{R_2^2}{a\pi m^2}$; $T_{zk}=\frac{R_3^2}{a\pi k^2}$

определяются согласно (21), (22), $a=\frac{\lambda }{cp}$.

 

Рис. 4. Структурное представление объекта управления N=3, M=3, K=3

 

Очевидно, в силу наличия в передаточной функции объекта управления $W_{oy}\left(p\right)$ интегрирующего звена $\frac{1}{p}$ (22) объект управления $W_{oy}\left(p\right)$ и соответственно передаточная функция разомкнутой каждой локальной САУ $W_{pc}\left(p\right)=W_{рег}\left(p\right)K_{уит}{W}_{oy}\left(p\right)$ имеют первый порядок астатизма даже в случае выбора пропорционального регулятора $W_{рег}\left(p\right)=K_{рег}$. Однако динамический характер возмущений соседних локальных САУ (например, m-й САУ_M на САУ_K), которые проходят через астатическое звено $W_{возм}^{MK}\left(p\right)$, имеющее такую же структуру, как и $W_{oy}\left(p\right)$ (рис. 5), а также сложный динамический характер других возмущений от тепловыделяющей аппаратуры требуют для удовлетворительной работы САУ как минимум второго порядка астатизма $W_{pc}\left(p\right)$. Поэтому в качестве регулятора целесообразно использовать пропорционально-интегральный (ПИ) регулятор или пропорционально-интегрально-дифференциальный регулятор (ПИД).

Моделирование реакции САУ на динамические возмущения

В условиях существенных допущений приближенные значения коэффициентов динамических ошибок для медленно меняющихся возмущений получены в ряде работ [1, 5-6, 9, 11, 16] путем разложения в ряд Маклорена передаточной функции соответствующей ошибки. Однако допущения в определении этих коэффициентов и сложность передаточных функций, их высокий порядок делают погрешность в определении этих коэффициентов недопустимо большой. Поэтому для расчета параметров регулятора САУ и анализа ее статических и динамических свойств использован раздел Simulink программного пакета Matlab. На рис. 5 представлена схема моделирования САУ температурой одной из точек контроля для определения настроек ПИ-регулятора $K_p^{ПИ}$ и $T_p^{ПИ}$ в линейной области работы САУ в программной среде Matlab в разделе Simulink. Модель каждой k-й САУ по управлению и по возмущению согласно структурным схемам (см. рис. 2, 4) имеет вид, представленный на рис. 5.

 

Рис. 5. Расчетная схема моделирования локальной САУ с ПИ-регулятором

 

С помощью коэффициента ${\nu }_{spec}$ корректируется скорость изменения входного сигнала, а с помощью ${\nu }_{возм}$ – сигнала возмущения.

Настройка параметров регулятора $W_{рег}^{ПИ}$ производится с помощью программного модуля Simulink системы Matlab из условия удовлетворения заданным показателям качества САУ: перегулирование $\sigma \le 30$%, степень затухания $\psi \ge 97$%, невязка температуры за заданное время ${\tau }_k$ регулирования  ${\left.\Delta T\right|}_{\tau ={\tau }_k}\le 4$ºК. При этом необходимо обеспечить в установившемся режиме работы САУ ${\tau }_k\to \infty$ нулевую статическую ошибку ${\left.\Delta T\right|}_{{\tau }_k\to \infty }=0$ для возмущения в форме функции Хевисайда.

На рис. 6 представлены результаты моделирования переходного процесса в САУ по возмущению: а) при единичном ступенчатом входном сигнале УИТ $t1{\Theta }_{upr}=1\left(\tau \right)$; б) при линейно нарастающем сигнале УИТ $t1$ со скоростью $\frac{\partial {\Theta }_{upr}}{\partial \tau }=1$К/с.

 

Рис. 6. Результаты моделирования переходного процесса в САУ по возмущению: а – переходный процесс по возмущению в точке 1; б – реакция САУ с ПИ-регулятором на возмущение при линейно нарастающем сигнале управления в точке 1

 

Параметры ПИ-регулятора определены в программе Simulink $K_p^{ПИ}=5.3$, $T_p^{ПИ}=52.6$.

Для сравнения на рис. 7 представлены результаты моделирования переходного процесса по возмущению в той же САУ с ПИД-регулятором: а) при единичном ступенчатом входном сигнале ${\Theta }_{upr}=1\left(\tau \right)$; б) при линейно нарастающем входном сигнале $\frac{\partial {\Theta }_{upr}}{\partial \tau }=1$К/с.

 

Рис. 7. Результаты моделирования переходного процесса в САУ по возмущению с ПИД-регулятором: а – переходный процесс по возмущению в точке 1; б – реакция САУ с ПИД-регулятором на возмущение при линейно нарастающем сигнале управления в точке 1

 

Параметры ПИД-регулятора: $K_p^{ПИ}=3.8$, $T_{Д}^{ПИД}=0.0001$, $K_{Ф}=4.05$, $T_U^{ПИД}=66.7$.

На рис. 8 представлены реакции САУ на возмущение с увеличенной скоростью сигнала управления до 2K/c.

 

Рис. 8. Реакции САУ на возмущение с увеличенной скоростью сигнала управления до 2K/c: а – реакция САУ на возмущение с ПИ-регулятором; б – реакция САУ на возмущение с ПИД-регулятором

 

На рис. 9 представлена реакция САУ на возмущение с ПИ и ПИД регулятором со скоростью изменения входного сигнала 5 К/c.

 

Рис. 9. Реакция на возмущение: а – САУ с ПИ-регулятором; б – САУ с ПИД-регулятором

 

На рис. 10 представлена реакция САУ на возмущение при скорости изменения входного сигнала 10 К/c.

 

Рис. 10. Реакция САУ с ПИ-регулятором по возмущению: а – САУ с ПИ-регулятором; б – САУ с ПИД-регулятором

 

На рис. 11 представлены графики зависимости перерегулирования $\sigma$ от скорости изменения сигнала возмущения $\Theta {\left(p\right)}_{vozm}$.

 

Рис. 11. Зависимость перерегулирования σ от скорости изменения сигнала возмущения $\mathit{\Theta }{\mathit{\left(}\mathit{p}\mathit{\right)}}_{\mathit{v}\mathit{o}\mathit{z}\mathit{m}}$: а – САУ с ПИ-регулятором; б – САУ с ПИД-регулятором

 

Заключение

В ходе моделирования выявлены зависимости качественных показателей системы автоматического управления температурным полем несущей конструкции космического аппарата от характерных динамических возмущений. Полученные результаты позволят планировать управление работой информационно-измерительной системы и не проводить оптические измерения до достижения установившихся процессов при стабилизации температурного поля несущей конструкции.

Об авторах

Борис Борисович Бородулин

Самарский государственный технический университет

Автор, ответственный за переписку.
Email: borodulinbb@gmail.com

кандидат технических наук, доцент кафедры управления и системного анализа теплоэнергетических и социотехнических комплексов

Россия, 443100, Самара, ул. Молодогвардейская, 244

Михаил Юрьевич Лившиц

Самарский государственный технический университет

Email: mikhaillivshits@gmail.com

доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой управления и системного анализа теплоэнергетических и социотехнических комплексов

Россия, 443100, Самара, ул. Молодогвардейская, 244

Список литературы

Дополнительные файлы