Optimization design and operating parameters of induction heat-ing system for hardening

Full Text

Оптимизация конструктивных и режимных параметров индукционной нагревательной установки для закалки*

Введение

Шестерни, подшипники, валы и другие металлические детали различного назначения во время работы испытывают постоянные значительные осевые или радиальные нагрузки. Для повышения надежности и срока службы такие детали подвергаются термической обработке. Поверхностная закалка представляет собой один из наиболее распространенных способов термообработки, при котором металлическая деталь нагревается до определенной температуры, выдерживается заданное время при этой температуре и охлаждается со скоростью, необходимой для образования требуемых микроструктурных свойств. Поверхностное упрочнение позволяет получить сочетание требуемой твердости поверхностного слоя и необходимой прочности, ударной вязкости и пластичности сердцевины детали. Стадия нагрева технологии поверхностной закалки часто реализуется индукционным способом при использовании токов высокой частоты.

Основной целью исследования является оптимизация конструктивных и режимных параметров индукционной нагревательной установки для обеспечения максимально достижимой равномерности температурного распределения в поверхностном закаливаемом слое стального цилиндрического вала, содержащего переход с малого диаметра на большой [1].

Обеспечение равномерного заданного температурного распределения в поверхностном слое заготовок сложной геометрической формы является нетривиальной задачей, решение которой с требуемой точностью позволяет уменьшить растягивающие эквивалентные нагрузки и снизить риск появления микротрещин в процессе эксплуатации, что существенно улучшает качество изготавливаемых деталей в соответствии с постоянно возрастающими технологическими требованиями, предъявляемыми к ним. 

Исследование влияния конструктивных и режимных параметров на равномерность температурного поля

Для исследования влияния конструктивных и режимных параметров на равномерность температурного поля в поверхностном слое заготовки, имеющей переход с одного диаметра на другой, в процессе ее нагрева под закалку были разработаны двумерные нелинейные численные модели в ППП ANSYS Mechanical APDL [1, 2].

Процесс моделирования включает несколько этапов. На первом этапе задаются необходимые физические свойства в ППП ANSYS Mechanical APDL [3, 4]. Далее по исходным данным (табл. 1) строится осесимметричная двумерная геометрия модели, выполняется присвоение заранее внесенных свойств материалов соответствующим областям, накладывается конечно-элементная сетка по специальному алгоритму, состоящему из набора инструментов и функций, предлагаемых программным пакетом. Далее решаются взаимосвязанные электромагнитная и тепловая задачи, которые в общем случае описываются известной системой взаимосвязанных уравнений Максвелла и Фурье [1, 5–9]. Общий вид исходной геометрии системы «индуктор – заготовка» с типовой квадратной формой витков индуктора представлен на рис. 1.

Таблица 1. Исходные данные для моделирования

Рис. 1. Двумерная осесимметричная модель системы «индукционный нагреватель – стальная заготовка» с типовой квадратной формой витков: а – общий вид с обозначением конструктивных параметров; б – наложенная конечно-элементная сетка в ППП ANSYS

На рис. 1а показаны следующие конструктивные параметры, влияние которых на температурное поле исследуется в работе: p₁ (размер квадратного сечения витков), p₃ (расстояние, характеризующее положение витков относительно заготовки, – воздушный зазор), p₄ (расстояние между витками 1 и 2), p₅ (расстояние между витками 2 и 3). Кроме того, исследовалось влияние режимных параметров процесса нагрева: p₂ (силы тока на витках 1 и 3) и p₆ (силы тока на витке 2). Исходные данные для моделирования представлены в табл. 1.

Анализ результатов численного моделирования процесса индукционного нагрева заготовки, имеющей переход с одного диаметра на другой, демонстрирует сильное влияние угловой зоны на распределение электромагнитного поля, связанное с существенной вариацией плотности магнитного потока в указанной области, вследствие чего температурное распределение в этой области становится крайне неравномерным. При этом в области внутреннего угла заготовки, образованного границей закаливаемого слоя вдоль точек 13, 19 и 20 (рис. 2), наблюдается недопустимый недогрев, а внешний угол, образованный точками 23, 31 и 32 (рис. 2), недопустимо перегревается. При начальных значениях параметров $p_1-p_6$ (табл. 2) максимальное отклонение температуры на границе закаливаемого слоя от требуемого значения T* составило более 200 °С, что совершенно недопустимо.

Рис. 2. Геометрия угловой зоны стальной заготовки с обозначениями точек в ППП ANSYS

Таблица 2. Начальные и конечные значения исследуемых параметров

Варьирование исследуемых параметров $p_1-p_6$ в широком диапазоне позволило снизить температурное отклонение только до ±156°С, что также совершенно не удовлетворяет технологическим требованиям. Соответствующие значения исследуемых параметров также представлены в табл. 2 (строка 2).

Результаты моделирования привели к выводам, что квадратная форма геометрии витков, представленная на рис. 1, не дает возможности обеспечить требуемую равномерность нагрева закаливаемого поверхностного слоя стальной заготовки сложной формы. Поэтому предлагается перейти к более сложной геометрической форме витка 2 индуктора с выступающей внешней частью для уменьшения резкого отклонения температуры в угловой зоне заготовки. Общий вид системы «индуктор – заготовка» с витком усложненной формы представлен на рис. 3а. На рис. 3б представлена геометрия данной системы с наложенной конечно-элементной сеткой.

Рис. 3. Двумерная осесимметричная модель системы «индукционный нагреватель – стальная заготовка» с усложненной геометрией витка 2: а – общий вид с обозначением конструктивных параметров; б – наложенная конечно-элементная сетка в ППП ANSYS

Для оптимизации конструктивных и режимных параметров ИНУ, представленной на рис. 3, далее формулируется задача оптимизации, которая решается на базе альтернансного метода оптимизации систем с распределенными параметрами [9]. 

Постановка задачи оптимального проектирования

Для формулировки задачи оптимизации стадии нагрева индукционная нагревательная система (рис. 3) рассматривается в качестве объекта управления с распределенными параметрами, который описывается представленной выше нелинейной двумерной численной моделью взаимосвязанных электромагнитных и температурных полей, разработанной в ППП ANSYS Mechanical APDL.

Оптимизируемый вектор $\overline{P}$ параметров включает следующие конструктивные характеристики (рис. 3): p₁ – расстояние между витком 1 и заготовкой; p₂ – расстояние между витком 1 и координатой Y=0; p₃ – расстояние между витком 3 и заготовкой; p₄ – высота витка 1. Кроме того, вектор $\overline{P}$ включает следующие режимные параметры процесса нагрева: p₅ – силу тока витка 2; p₆ – силу тока витка 1. Значение силы тока для витка 3 было найдено ранее и определено в качестве константы $I_3=\mathrm{1020,24}А$.

Требование к результирующему температурному распределению в поверхностном слое заготовки в конце стадии предварительного нагрева металла под закалку целесообразно формулировать в виде задания максимально допустимой величины ε абсолютного отклонения результирующего температурного распределения от заданного значения T*. В соответствии с этим в качестве критерия оптимизации предлагается рассматривать критерий, минимизирующий температурные отклонения в пределах границы закаливаемого слоя, показанного пунктирной линией на рис. 1а и 3а и находящегося на глубине С=2 мм от поверхности, который может быть записан в виде [10, 11]:

$J=\underset{l\in \left[\mathrm{0,}L\right]}{\max }\left|T\left(X,{\tau }^0,l_j^{},{\overline{P}}^{}\right)-T*\right|\to \underset{\overline{P}}{\min }$, (1)

где $T\left(X,{\tau }^0,l_j^{},{\overline{P}}^{}\right)$ – температура в конце стадии нагрева на границе закаливаемого слоя с координатой $X$, располагающейся на глубине С от поверхности заготовки;

τ⁰ – время нагрева;

T* – требуемая температура на границе поверхностного слоя [10, 11].

На выбранные оптимизируемые конструктивные и режимные параметры $\overline{P}$ накладываются ограничения:

$p_{1\min }\le p_1\le p_{1\max },p_{2\min }\le p_2\le p_{2\max },p_{3\min }\le p_3\le p_{3\max },p_{4\min }\le p_4\le p_{4\max },$ (2)

$I_{1\min }\le I_1\le I_{1\max },I_{2\min }\le I_2\le I_{2\max }.$

Задача оптимального проектирования индукционной нагревательной установки заключается в поиске таких значений параметров $\overline{P^{\text{опт}}}=\left(p_1^{\text{опт}},p_2^{\text{опт}},p_3^{\text{опт}},p_4^{\text{опт}},{I_1}^{опт},{I_2}^{опт}\right)$, на которые наложены ограничения (2), обусловленные характеристиками нагревательной системы, которые за установленное время τ⁰ обеспечат перевод объекта, описываемого нелинейной численной двумерной ANSYS моделью, из исходного состояния в требуемое конечное состояние, соответствующее минимальному значению критерия оптимальности (1) [10, 11]. 

Решение задачи оптимизации на основе альтернансного метода

Положительный опыт использования алгоритма на основе альтернансного метода для оптимизации температурного поля модели индукционного нагрева стальной заготовки цилиндрической формы позволяет сделать вывод о возможности его применения для работы с заготовкой сложной геометрической формы [1, 9, 10, 11, 12, 13]. Используемый метод в работе опирается на установленные свойства пространственных распределений температуры по объему заготовки в конце оптимальных процессов индукционного нагрева металла, подобные известным в математике свойствам наилучших приближений заданных функций к нулю. Теория альтернансного метода позволяет произвести процедуру точной редукции исходной задачи оптимизации к решению трансцендентных систем уравнений, замкнутых относительно всех искомых параметров [10, 11].

Согласно альтернансному методу, основное свойство распределения $T\left(X,{\tau }^0,l_j^{},{\overline{P}}^{}\right)$ состоит в том, что число К точек $l_j^{\text{опт}}$ в сечениях обрабатываемой заготовки вдоль границы закаливаемого слоя с координатой X, в которых достигаются предельно достижимые абсолютные отклонения конечной температуры от требуемой T*, равные ε, всегда оказываются не меньше числа N искомых оптимизируемых параметров процесса, причем эти отклонения $T\left(X,{\tau }^0,l_j^{},{\overline{P}}^{}\right)-T*$ являются знакочередующимися в точках $l_j^{\text{опт}}$,$j=\overline{\mathrm{1,}K};\psi =\pm 1$, т. е. обладают альтернансным свойством [9].

Для оптимального проектирования конструкции и нахождения оптимальных режимных значений параметров нагревательной установки скомпонован вектор из шести оптимизируемых параметров, и, следовательно, прогнозируется формирование семи точек с максимальным отклонением температуры от требуемой. С учетом вышеописанного по данному методу за эталонную кривую принята форма конечного температурного распределения, которая представлена на рис. 4 [10, 11].

Рис. 4. Эталонная форма конечного температурного распределения в классе задач с шестью оптимизируемыми параметрами по критерию точности нагрева ${\epsilon }_{\min }^{\left(6\right)}$

На основании альтернансного метода для сформулированной задачи составлена система из 14 уравнений, замкнутая относительно всех неизвестных:

$T\left(X,{\tau }^0,l_j^{\text{опт}},P^{\text{опт}}\right)-T*={\left(-1\right)}^j\psi {\epsilon }_{\min }^{\left(6\right)}j=\mathrm{1,7};\psi =\pm 1;$

$\overline{P^{\text{опт}}}=\left(p_1^{\text{опт}},p_2^{\text{опт}},p_3^{\text{опт}},p_4^{\text{опт}},{I_1}^{опт},{I_2}^{опт}\right)$

$0=l_1^{\text{опт}}\le l_2^{\text{опт}}\le l_3^{\text{опт}}\le l_4^{\text{опт}}\le l_5^{\text{опт}}\le l_6^{\text{опт}}\le l_7^{\text{опт}}=L;$ (3)

$\frac{\partial T\left(l_m^{\text{опт}},P^{\text{опт}}\right)-T*}{\partial l}=0;m=\mathrm{1,7,}$

где $l_1^{\text{опт}},l_2^{\text{опт}},l_3^{\text{опт}},l_4^{\text{опт}},l_5^{\text{опт}},l_6^{\text{опт}},l_7^{\text{опт}}$ – координаты точек экстремума, ${\epsilon }_{\min }^{\left(6\right)}$ – значение предельно достижимой точности нагрева в классе задач с шестью неизвестными оптимизируемыми параметрами.

Система уравнений, составленная на основе альтернансного метода, решается в программном пакете MATLAB. Нахождение вектора оптимальных значений искомых параметров обеспечивается стандартной функцией MATLAB – LSQnonlin, которая позволяет решить задачу нахождения точки минимума некоторой целевой нелинейной функции f(x) методом наименьших квадратов или подгонки кривой наименьших квадратов. При этом целевая функция формируется следующим образом:

$\underset{x}{\min }{||f\left(x\right)||}_2^2=\underset{x}{\min }(f_1{\left(x\right)}^2+f_2{\left(x\right)}^2+\mathrm{...}+f_n{\left(x\right)}^2),$ (4)

где в общем случае f(x) – вектор-функция; х – вектор-столбец искомых переменных [14, 15].

Численное решение задачи оптимизации

Исходные данные для численного решения задачи оптимизации представлены в табл. 3.

Таблица 3. Исходные данные для решения задачи оптимизации

Значения конструктивных параметров витка 2 сложной геометрической формы представлены в табл. 4.

Таблица 4. Геометрические характеристики витка сложной формы

Следующим шагом производится запуск расчета оптимизационной процедуры, которая работает следующим образом (рис. 6). В ПП МАТЛАБ алгоритм создает файлы и прописывает в них значения исходных параметров. Далее ANSYS считывает эти файлы, строит и рассчитывает модель. Формируется температурное распределение. Затем в МАТЛАБ передается этот массив данных из ППП ANSYS, производится программный анализ и численное дифференцирование температурного распределения. Решается система из 14 уравнений по альтернансному методу и производится анализ результатов оптимизируещей функцией LSQnonlil.

Рис. 6. Структура численной оптимизационной процедуры

Геометрия витка № 2 с обозначениями в ППП ANSYS представлена на рис. 5.

Рис. 5. Геометрия витка № 2 с обозначениями точек в ППП ANSYS

В процессе изменения значений координат витков может произойти наложение точек, определяющих геометрию, друг на друга, вследствие чего ANSYS выдаст сообщение об ошибке построения геометрии. По этой причине, а также для исключения выхода значений силы тока за пределы рабочего диапазона источников питания и корректного определения прогнозируемых координат точек экстремума на оптимизируемые параметры были наложены ограничения вида:

$0.01\le p_1\le \mathrm{10,}\stackrel{}{}0.01\le p_2\le \mathrm{20,}\stackrel{}{}0.01\le p_3\le \mathrm{20,}\stackrel{}{}0.01\le p_4\le 10;$

$10\le I_1\le \mathrm{1200,}\stackrel{}{}10\le I_2\le 1400;\stackrel{}{}0.01\le l_0\le \mathrm{10.189,}\stackrel{}{}10.189\le l_1\le \mathrm{22.9,}$

$22.9\le l_2\le \mathrm{29.62,}\stackrel{}{}29.62\le l_3\le \mathrm{36.36,}\stackrel{}{}36.36\le l_4\le \mathrm{44.44,}\stackrel{}{}44.44\le l_5\le \mathrm{54.9,}$

$54.9\le l_6\le 59.8;\stackrel{}{}10\le \epsilon \le 500.$ (5)

При нахождении целевой функцией локального минимума производится анализ сформировавшегося температурного распределения вдоль границы закаливаемого слоя, по которому определяется, удовлетворяет ли полученное решение системы уравнений условию существованию глобального оптимума. При этом для получения решения приходилось неоднократно изменять начальные значения компонент вектора оптимизируемых параметров.

В табл. 5 представлены оптимальные значения параметров конструкции индуктора со сложной геометрией витка № 2.

Таблица 5. Конечные оптимальные значения параметров

Координаты точек экстремумов температурного распределения при использовании сложной формы витка представлены в табл. 6.

Таблица 6. Координаты точек экстремумов оптимального температурного распределения по длине закаливаемого слоя

В результате решения системы уравнений по альтернансному методу максимальное температурное отклонение составило  ${\epsilon }_{\min }^{\left(6\right)}$=51,87 °С.

На рис. 7 представлено температурное распределение по границе закаливаемого слоя стальной заготовки, имеющей переход с одного диаметра на другой, полученное в конце стадии нагрева в индукторе с квадратной формой витков (кривая 1), в сравнении с температурным распределением, достигаемым при оптимальных значениях конструктивных и режимных параметров (кривая 2) в индукторе с усложненной геометрической конструкцией витка № 2.

Рис. 7. Результирующее температурное распределение по границе закаливаемого слоя заготовки: 1 – для индуктора с квадратной формой витков; 2 – после оптимизации параметров индуктора со сложной с формой витка № 2

Сравнение двумерных температурных полей, полученных в конце стадии нагрева заготовки в продольном ее сечении, представлено на рис. 8.

Температурные поля (рис. 8 а, б) были получены в индукторе с квадратной формой витков с начальными и варьированными значениями конструктивных и режимных параметров.

Рис. 8. Результирующее распределение температуры в продольном сечении заготовки: а – для параметров индуктора, представленных в табл. 2 (строка 1); б – для параметров индуктора, представленных в табл. 2 (строка 2); в – для оптимальных параметров индуктора

Выводы

Анализ результатов моделирования выявил необходимость перехода к более сложной геометрической форме витка индуктора, находящегося в зоне наибольшей неравномерности электромагнитного поля в процессе поверхностного нагрева стальной заготовки, имеющей переход с одного диаметра на другой. Решение задачи оптимального проектирования позволило обеспечить значительное снижение максимального температурного отклонения от заданного значения на границе закаливаемого слоя ±156 °С до ±51,9 °С при отсутствии перегрева поверхности.

Таким образом, оптимизация конструктивных и режимных параметров индуктора на базе альтернансного метода приводит к значительному увеличению равномерности распределения температурных полей в пределах упрочняемого слоя заготовки сложной геометрической формы в конце стадии нагрева, что значительно улучшает качество процесса закалки в целом.

Дальнейшее улучшение равномерности нагрева поверхностного слоя возможно путем решения сформулированной задачи при расширении вектора оптимизируемых параметров, в том числе за счет дальнейшего усложнения геометрической формы витков индуктора, применения локальных магнитных концентраторов и увеличения числа режимных технологических параметров стадии нагрева.

В этом случае oптимизируемый вектор $\overline{P}$ параметров может включать в себя следующие конструктивные характеристики:

– пространственно-варьируемый зазор между заготовкой и индуктором;

– оптимальная частота;

– электрический ток индуктора;

– время нагрева;

– возможность применения локальных концентраторов, способных локально фокусировать электромагнитное поле.

Однако ожидаемые улучшения нетривиальны, нуждаются в подтверждении и могут являться темой отдельного исследования.

* Работа выполнена при поддержке гранта РФФИ 19-08-00232

About the authors

Aleksey V. Pavlushin

Author for correspondence.
Email: alex1995i79@gmail.com
ORCID iD: 0000-0003-1645-5803

Postgraduate Student

References

Supplementary files

Supplementary Files

Action

1. JATS XML

Download

2. Fig. 1

Download (328KB)

Indexing metadata

3. Fig. 2

Download (59KB)

Indexing metadata

4. Fig. 3

Download (303KB)

Indexing metadata

5. Fig. 4

Download (46KB)

Indexing metadata

6. Fig. 5

Download (16KB)

Indexing metadata

7. Fig. 6

Download (108KB)

Indexing metadata

8. Fig. 7

Download (73KB)

Indexing metadata

9. Fig. 8

Download (375KB)

Indexing metadata