Numerical method for solving an initial-boundary value problem for a multidimensional loaded parabolic equation of a general form with conditions of the third kind

Full Text

Введение. Нагруженными дифференциальными уравнениями в литературе принято называть уравнения, содержащие функции от решения на многообразиях меньшей размерности, чем размерность области определения искомой функции [1]. Краевые задачи для нагруженных дифференциальных уравнений возникают при изучении движения подземных вод в задачах управления качеством водных ресурсов, когда в водоем поступает из $n$ источников загрязняющее вещество определенной интенсивности, при построении математической модели переноса дисперсных загрязнений в пограничном слое атмосферы.

Среди таких задач наиболее сложными с точки зрения численной реализации считаются многомерные (по пространственным переменным) задачи. Сложность заключается в значительном увеличении объема вычислений, возникающем при переходе от одномерных задач к многомерным. В этой связи актуальное значение приобретает задача построения экономичных разностных схем для численного решения многомерных задач, обладающих возможностью достаточно эффективной стабилизации решений (устойчивостью) и требующих при переходе со слоя на слой затраты числа арифметических операций $Q$, пропорционального числу узлов сетки, так что $Q=O\left(h^{-p}\right)$, где $h=\underset{1\le i\le p}{}{h}_i$, $p$ — размерность области,  — шаг сетки по направлению $x_i$.

Настоящая работа посвящена построению локально-одномерных (экономичных) разностных схем для численного решения начально-краевой задачи для многомерного нагруженного параболического уравнения общего вида с краевыми условиями третьего рода, суть которой состоит в сведении перехода со слоя на слой к последовательному решению ряда одномерных задач по каждому из координатных направлений. При этом каждая из вспомогательных задач может не аппроксимировать исходную задачу, но в совокупности и в специальных нормах такая аппроксимация имеет место [2-4].

В разработку теории нагруженных дифференциальных уравнений большой вклад внесли идеи работ [5, 6]. Отметим также, что в обзорных работах A. M. Нахушева на многочисленных примерах показана практическая и теоретическая важность исследований нагруженных дифференциальных уравнений. Одним из методов приближенного решения краевых задач для дифференциальных уравнений является предложенный A. M. Нахушевым метод редукции интегро-дифференциальных уравнений к нагруженным дифференциальным уравнениям. В его работе [1] впервые указана связь нелокальных задач с нагруженными уравнениями. Нелокальные задачи типа Бицадзе–Самарского для уравнений Лапласа и теплопроводности эквивалентно редуцированы к локальным задачам для нагруженных дифференциальных уравнений.

1. Постановка задачи. В цилиндре ${\overline{Q}}_T=\overline{G}\times [0\le t\le T]$, основанием которого является $p$-мерный прямоугольный параллелепипед

$\overline{G}=\{x=(x_1,x_2,\dots ,x_p):0\le x_{\alpha }\le l_{\alpha },\alpha =\mathrm{1,2,}\dots ,p\}$

с границей $\mathrm{\Gamma }$, $\overline{G}=G\cup \Gamma ,$ рассматривается задача

$\frac{\partial u}{\partial t}=Lu+f(x,t),(x,t)\in Q_T,$ (1)

$\left\{\begin{array}{c}{k}_{\alpha }(x,t)\frac{\partial u}{\partial x_{\alpha }}={\beta }_{-\alpha }u-{\mu }_{-\alpha }(x,t),x_{\alpha }=\mathrm{0,}0\le t\le T\mathrm{,10}pt\\ -k_{\alpha }(x,t)\frac{\partial u}{\partial x_{\alpha }}={\beta }_{+\alpha }u-{\mu }_{+\alpha }(x,t),x_{\alpha }=l_{\alpha },0\le t\le T,\end{array}\right.$ (2)

$u\left(x\mathrm{,0}\right)=u_0\left(x\right),x\in \overline{G},$ (3)

где

$Lu=\sum _{\alpha =1}^p{L}_{\alpha }u,L_{\alpha }u=\frac{\partial }{\partial x_{\alpha }}\left(k_{\alpha }\right(x,t\left)\frac{\partial u}{\partial x_{\alpha }}\right)+r_{\alpha }(x,t)\frac{\partial u}{\partial x_{\alpha }}-$

$-\sum _{s=1}^m{q}_{s_{\alpha }}(x,t)u(x_1,\dots ,x_{\alpha -1},x_{\alpha }^s,x_{\alpha +1},\dots ,x_p,t),$

$k_{\alpha }(x,t)\in C^{\mathrm{3,1}}\left({\overline{Q}}_T\right);r_{\alpha }(x,t),q_{s_{\alpha }}(x,t),f(x,t)\in C^{\mathrm{2,1}}\left({\overline{Q}}_T\right);$

$0<c_0\le k_{\alpha }(x,t)\le c_1;$

$\left|r_{\alpha }\right(x,t\left)\right|,\left|k_{x_{\alpha }}\right(x,t\left)\right|,\left|r_{x_{\alpha }}\right(x,t\left)\right|,\left|q_{s_{\alpha }}\right(x,t\left)\right|,\left|{\beta }_{\pm \alpha }\right(x,t\left)\right|\le c_2;$

$x_{\alpha }^s$ — фиксированная точка интервала $\left(\mathrm{0,}{l}_{\alpha }\right)$, $s=\mathrm{1,2,}\dots ,m$; $c_0$, $c_1$, $c_2$ — положительные постоянные; $Q_T=G\times (0<t\le T]$; ${\mu }_{\pm \alpha }(x,t)$ — непрерывные функции.

В дальнейшем будем предполагать, что коэффициенты уравнения и граничных условий из задачи (1)–(3) удовлетворяют необходимым по ходу изложения условиям, обеспечивающим нужную гладкость решения $u(x,t)$ в цилиндре ${\overline{Q}}_T$.

С помощью выбора коэффициентов $q_{s_{\alpha }}(x,t)$ можно регулировать интенсивность источников (стоков) в точках $x_{\alpha }^s$.

Далее через $M_i$, $i=\mathrm{1,2,}\dots ,$ будем обозначать положительные постоянные, зависящие только от входных данных исходной дифференциальной задачи (1)–(3).

Допуская существование регулярного решения задачи (1)–(3) в цилиндре ${\overline{Q}}_T$, получим априорную оценку для ее решения. Для получения априорной оценки воспользуемся методом энергетических неравенств. Умножим уравнение (1) скалярно на $u$ и получим энергетическое тождество:

$(\frac{\partial u}{\partial t},u)=\left(\sum _{\alpha =1}^p\frac{\partial }{\partial x_{\alpha }}\right(k_{\alpha }(x,t)\frac{\partial u}{\partial x_{\alpha }}),u)+\left(\sum _{\alpha =1}^p{r}_{\alpha }\right(x,t)\frac{\partial u}{\partial x_{\alpha }},u)-$

$-\left(\sum _{\alpha =1}^p\sum _{s=1}^m{q}_{s_{\alpha }}\right(x,t\left)u\right(x_1,\dots ,x_{\alpha -1},x_{\alpha }^s,x_{\alpha +1},\dots ,x_p,t),u)+\left(f\right(x,t),u).$ (4)

Воспользуемся скалярным произведением и нормой:

$u_x^2=\sum _{\alpha =1}^p{u}_{x_{\alpha }}^2,\parallel u{\parallel }_{L_2\left(\mathrm{0,}{l}_{\alpha }\right)}^2={\int }_0^{l_{\alpha }}{u}^2(x,t)d{x}_{\alpha },$

$(u,v)={\int }_{G}uvdx,(u,u)=\parallel u{\parallel }_0^2,\parallel u{\parallel }_0^2={\int }_G{u}^{2}dx.$

Справедлива следующая [7]

Теорема 1. Пусть $\Omega$ — область с гладкой границей $\partial \Omega .$ Для элементов $u\left(x\right)$ из $W_2^1\left(\Omega \right)$ определены следы на областях $\mathrm{\Gamma }$ гладких гиперповерхностей как элементы $L_2\left(\mathrm{\Gamma }\right),$ и они непрерывно меняются Для них справедливы неравенства вида

${\int }_{\Gamma }{\left[u\right(x+l{e}_1)-u(x\left)\right]}^{2}ds\equiv \parallel u(x+l{e}_1)-u\left(x\right){\parallel }_{\mathrm{2,}\Gamma }^2\le cl{\int }_{Q_l\left(\Gamma \right)}{u}_x^{2}dx,0\le l\le \delta ,$

и

$\parallel u\left(x\right){\parallel }_{\mathrm{2,}\Gamma }^2\le c[\frac{1}{\delta }\parallel u(x){\parallel }_{\mathrm{2,}{Q}_{\delta }\left(\Gamma \right)}^2+\delta \parallel u_x(x\left){\parallel }_{\mathrm{2,}{Q}_{\delta }\left(\Gamma \right)}^2\right],$

где $e_1$ — единичный вектор нормали к $\mathrm{\Gamma }$ в точке $x\mathrm{,}$ а $Q_l\left(\mathrm{\Gamma }\right)$ — криволинейный цилиндр образованный отрезками этих нормалей длины $l$ $(\delta$— наибольшая из тех длин $l$, при которых $Q_l\left(\Gamma \right)\subset \Omega ),$ $c$ — постоянная не зависящая от функции $u\left(x\right).$

Для всех элементов $u\left(x\right)$ из $W_2^1\left(\Omega \right)$ с "кусочно-гладкой границей" справедлива оценка

${\int }_{\partial \Omega }{v}^{2}ds\le {\overline{c}}_1{\int }_{\Omega }\left(\right|v|\cdot |v_x|+v^2)dx\le {\overline{c}}_1{\int }_{\Omega }[\frac{\epsilon }{{\overline{c}}_1}{v}_x^2+(\frac{{\overline{c}}_1}{4\epsilon }+1\left)v^2\right]dx\equiv$

$\equiv {\int }_{\Omega }(\epsilon v_x^2+c_{\epsilon }{v}^2)dx,\epsilon >0.$

Преобразуем интегралы, входящие в тождество (4), с учетом теоремы 1:

$(\frac{\partial u}{\partial t},u)=\frac{1}{2}\frac{\partial }{\partial t}\parallel u{\parallel }_0^2,$ (5)

$\left(\sum _{\alpha =1}^p\frac{\partial }{\partial x_{\alpha }}\right(k_{\alpha }(x,t)\frac{\partial u}{\partial x_{\alpha }}),u)=$

$=\sum _{\alpha =1}^p{\int }_{G^{\text{'}}}{k}_{\alpha }(x,t)u\frac{\partial u}{\partial x_{\alpha }}{|}_0^{l_{\alpha }}d{x}^{\text{'}}-\sum _{\alpha =1}^p{\int }_G{k}_{\alpha }(x,t){\left(\frac{\partial u}{\partial x_{\alpha }}\right)}^{2}dx.$ (6)

 Далее для оценки слагаемых в правой части применим $\epsilon$-неравенство Коши:

$\left(\sum _{\alpha =1}^p{r}_{\alpha }\right(x,t)\frac{\partial u}{\partial x_{\alpha }},u)\le \sum _{\alpha =1}^p\left(r_{\alpha }\right(x,t)\frac{\partial u}{\partial x_{\alpha }},u)\le \epsilon \parallel u_x{\parallel }_0^2+M_1\left(\epsilon \right)\parallel u{\parallel }_0^2,$ (7)

$-\left(\sum _{\alpha =1}^p\sum _{s=1}^m{q}_{s_{\alpha }}\right(x,t\left)u\right(x_1,\dots ,x_{\alpha -1},x_{\alpha }^s,x_{\alpha +1},\dots ,x_p,t),u)=$

$=-\sum _{\alpha =1}^p\sum _{s=1}^{m}u(x_1,\dots ,x_{\alpha -1},x_{\alpha }^s,x_{\alpha +1},\dots ,x_p,t)\left(q_{s_{\alpha }}\right(x,t),u)\le$

$\le \frac{1}{2}\sum _{\alpha =1}^p\sum _{s=1}^m\left(u^2\right(x_1,\dots ,x_{\alpha -1},x_{\alpha }^s,x_{\alpha +1},\dots ,x_p,t)+{\left(q_{s_{\alpha }}\right(x,t),u)}^2)\le$

$\le \frac{1}{2}\sum _{\alpha =1}^p\sum _{s=1}^m(\epsilon \parallel u_x{\parallel }_0^2+c(\epsilon )\parallel u{\parallel }_0^2+M_2(\mathrm{1,}{u}^2\left)\right)\le \epsilon M_3\parallel u_x{\parallel }_0^2+M_4\left(\epsilon \right)\parallel u{\parallel }_0^2,$ (8)

$\left(f\right(x,t),u)\le \frac{1}{2}\parallel f{\parallel }_0^2+\frac{1}{2}\parallel u{\parallel }_0^2,$ (9)

 где $G^{\text{'}}=\{x^{\text{'}}=(x_1,x_2,\dots ,x_{\alpha -1},x_{\alpha +1},\dots ,x_p):0<x_k<l_k,k=\mathrm{1,2,}\dots ,\alpha -1$, $\alpha +\mathrm{1,}\dots ,p\}$, $d{x}^{\text{'}}=d{x}_{1}d{x}_2\cdots d{x}_{\alpha -1}d{x}_{\alpha +1}\cdots d{x}_p$, $c\left(\epsilon \right)=1/l_{\alpha }+1/\epsilon ,$ $\epsilon >0$.

Учитывая преобразования (5)–(9), из (4) получаем неравенство

$\frac{1}{2}\frac{\partial }{\partial t}\parallel u{\parallel }_0^2+\sum _{\alpha =1}^p{\int }_G{k}_{\alpha }(x,t){\left(\frac{\partial u}{\partial x_{\alpha }}\right)}^{2}dx\le$

$\le \sum _{\alpha =1}^p{\int }_{G^{\text{'}}}u{k}_{\alpha }(x,t)\frac{\partial u}{\partial x_{\alpha }}{|}_0^{l_{\alpha }}d{x}^{\text{'}}+\epsilon M_5\parallel u_x{\parallel }_0^2+M_6\left(\epsilon \right)\parallel u{\parallel }_0^2+\frac{1}{2}\parallel f{\parallel }_0^2.$ (10)

Первое слагаемое в правой части (10) с учетом (2) оценим следующим образом:

$\sum _{\alpha =1}^p{\int }_{G^{\text{'}}}u{k}_{\alpha }(x,t)\frac{\partial u}{\partial x_{\alpha }}{|}_0^{l_{\alpha }}d{x}^{\text{'}}=\sum _{\alpha =1}^p{\int }_{G^{\text{'}}}\left(k_{\alpha }\right(l_{\alpha },x^{\text{'}},t\left)u_{x_{\alpha }}\right(l_{\alpha },x^{\text{'}},t\left)u\right(l_{\alpha },x^{\text{'}},t)-$

$-k_{\alpha }(\mathrm{0,}{x}^{\text{'}},t)u_{x_{\alpha }}(\mathrm{0,}{x}^{\text{'}},t)u(\mathrm{0,}{x}^{\text{'}},t))d{x}^{\text{'}}=$

$=\sum _{\alpha =1}^p{\int }_{G^{\text{'}}}\left({\mu }_{+\alpha }\right(l_{\alpha },x^{\text{'}},t\left)u\right(l_{\alpha },x^{\text{'}},t)-{\beta }_{+\alpha }(l_{\alpha },x^{\text{'}},t\left)u^2\right(l_{\alpha },x^{\text{'}},t)-$

$-{\beta }_{-\alpha }\left(\mathrm{0,}{x}^{\text{'}}t\right)u^2(\mathrm{0,}{x}^{\text{'}},t)+{\mu }_{-\alpha }(\mathrm{0,}{x}^{\text{'}},t)u(\mathrm{0,}{x}^{\text{'}},t))d{x}^{\text{'}}.$ (11)

Из (11), пользуясь теоремой 1 и $\epsilon$-неравенством Коши, получим оценку

$\sum _{\alpha =1}^p{\int }_{G^{\text{'}}}u{k}_{\alpha }(x,t)\frac{\partial u}{\partial x_{\alpha }}{|}_0^{l_{\alpha }}d{x}^{\text{'}}\le$

$\le \epsilon M_7\parallel u_x{\parallel }_0^2+M_8\left(\epsilon \right)\parallel u{\parallel }_0^2+\frac{1}{2}\sum _{\alpha =1}^p{\int }_{G^{\text{'}}}({\mu }_{-\alpha }^2+{\mu }_{+\alpha }^2)d{x}^{\text{'}}.$ (12)

Тогда из неравенства (10) с учетом (12) находим

$\frac{1}{2}\frac{\partial }{\partial t}\parallel u{\parallel }_0^2+\sum _{\alpha =1}^p{\int }_G{k}_{\alpha }(x,t){\left(\frac{\partial u}{\partial x_{\alpha }}\right)}^{2}dx\le$

$\le \epsilon M_9\parallel u_x{\parallel }_0^2+M_{10}\left(\epsilon \right)\parallel u{\parallel }_0^2+\frac{1}{2}\sum _{\alpha =1}^p{\int }_{G^{\text{'}}}({\mu }_{-\alpha }^2+{\mu }_{+\alpha }^2)d{x}^{\text{'}}+\frac{1}{2}\parallel f{\parallel }_0^2.$ (13)

Проинтегрируем (13) по $\tau$ от 0 до $t$, тогда получим

$\parallel u{\parallel }_0^2+{\int }_0^t\parallel u_x{\parallel }_0^{2}d\tau \le \epsilon M_{11}{\int }_0^t\parallel u_x{\parallel }_0^{2}d\tau +M_{12}\left(\epsilon \right){\int }_0^t\parallel u{\parallel }_0^{2}d\tau +$

$+M_{13}\left({\int }_0^t\right(\parallel f{\parallel }_0^2+{\int }_{G^{\text{'}}}({\mu }_{-\alpha }^2+{\mu }_{+\alpha }^2)d{x}^{\text{'}})d\tau +\parallel u_0(x\left){\parallel }_0^2\right).$ (14)

Выбирая $\epsilon =1/M_{11},$ из (14) находим

$\parallel u{\parallel }_0^2\le M_{14}{\int }_0^t\parallel u{\parallel }_0^{2}d\tau +M_{15}\left({\int }_0^t\right(\parallel f{\parallel }_0^2+{\int }_{G^{\text{'}}}({\mu }_{-\alpha }^2+{\mu }_{+\alpha }^2)d{x}^{\text{'}})d\tau +\parallel u_0(x\left){\parallel }_0^2\right).$ (15)

На основании леммы Гронуолла [7] из (15) получаем неравенство

$\parallel u{\parallel }_0^2\le M\left({\int }_0^t\right(\parallel f{\parallel }_0^2+{\int }_{G^{\text{'}}}({\mu }_{-\alpha }^2+{\mu }_{+\alpha }^2)d{x}^{\text{'}})d\tau +\parallel u_0(x\left){\parallel }_0^2\right),$ (16)

где $M$ зависит только от входных данных задачи (1)–(3).

Из априорной оценки (16) следует единственность решения исходной задачи (1)–(3), а также непрерывная зависимость решения задачи от входных данных на каждом временном слое в $L_2$-норме.

2. Построение локально-одномерной разностной схемы (ЛОС). Пространственную сетку выберем равномерной по каждому направлению $O{x}_{\alpha }$ с шагом $h_{\alpha }=l_{\alpha }/N_{\alpha }$, $\alpha =\mathrm{1,2,}\dots ,p$:

${\overline{\omega }}_h=\prod _{\alpha =1}^p{\overline{\omega }}_{h_{\alpha }},{\overline{\omega }}_{h_{\alpha }}=\{x_{\alpha }^{\left(i_{\alpha }\right)}=i_{\alpha }{\hslash }_{\alpha }:i_{\alpha }=\mathrm{0,1,}\dots ,N_{\alpha },\alpha =\mathrm{1,2,}\dots ,p\},$

${\hslash }_{\alpha }=\left\{\begin{array}{cc}{h}_{\alpha },& i_{\alpha }=\mathrm{1,2,}\dots ,N_{\alpha }-\mathrm{1,}\\ h_{\alpha }/\mathrm{2,}& i_{\alpha }=\mathrm{0,}{N}_{\alpha }.\end{array}\right.$

По аналогии с [8] на отрезке $\left[\mathrm{0,}T\right]$ также введем равномерную сетку

${\overline{\omega }}_{\tau }=\{t_j=j\tau ,j=\mathrm{0,1,}\dots ,j_0\}$

с шагом $\tau =T/j_0.$ Каждый из отрезков $[t_j,t_{j+1}]$ разобьем на $p$ частей, введя точки $t_{j+\alpha /p}=t_j+\tau \alpha /p$, $\alpha =\mathrm{1,2,}\dots ,p-\mathrm{1,}$ и обозначим через ${\Delta }_{\alpha }=(t_{j+(\alpha -1)/p},t_{j+\alpha /p}]$ полуинтервал, где $\alpha =\mathrm{1,2,}\dots ,p.$

Уравнение (1) перепишем в виде

$\pounds u=\frac{\partial u}{\partial t}-Lu-f=\mathrm{0,}$

или

$\sum _{\alpha =1}^p{\pounds }_{\alpha }u=\mathrm{0,}{\pounds }_{\alpha }u=\frac{1}{p}\frac{\partial u}{\partial t}-L_{\alpha }u-f_{\alpha },$

где $f_{\alpha }(x,t)$, $\alpha =\mathrm{1,2,}\dots ,p,$ — произвольные функции, обладающие той же гладкостью, что и $f(x,t),$ удовлетворяющие условию нормировки ${\sum }_{\alpha =1}^p\text{}{f}_{\alpha }=f.$

На каждом полуинтервале ${\Delta }_{\alpha }$, $\alpha =\mathrm{1,2,}\dots ,p,$ будем последовательно решать задачи

${\pounds }_{\alpha }{\vartheta }_{\alpha }=\frac{1}{p}\frac{\partial {\vartheta }_{\left(\alpha \right)}}{\partial t}-L_{\alpha }{\vartheta }_{\left(\alpha \right)}-f_{\alpha }=\mathrm{0,}x\in G,t\in {\Delta }_{\alpha },\alpha =\mathrm{1,2,}\dots ,p,$ (17)

$\left\{\begin{array}{cc}{k}_{\alpha }\frac{\partial {\vartheta }_{\left(\alpha \right)}}{\partial x_{\alpha }}={\beta }_{-\alpha }{\vartheta }_{\left(\alpha \right)}-{\mu }_{-\alpha }(x,t),& x_{\alpha }=\mathrm{0,}\\ -k_{\alpha }\frac{\partial {\vartheta }_{\left(\alpha \right)}}{\partial x_{\alpha }}={\beta }_{+\alpha }{\vartheta }_{\left(\alpha \right)}-{\mu }_{+\alpha }(x,t),& x_{\alpha }=l_{\alpha },\end{array}\right.$ (18)

полагая при этом [8, с. 522]

${\vartheta }_{\left(1\right)}\left(x\mathrm{,0}\right)=u_0\left(x\right),{\vartheta }_{\left(\alpha \right)}(x,t_{j+(\alpha -1)/p})={\vartheta }_{(\alpha -1)}(x,t_{j+(\alpha -1)/p}),\alpha =\mathrm{2,3,}\dots p,$

${\vartheta }_{\left(1\right)}(x,t_j)={\vartheta }_{\left(p\right)}(x,t_j),j=\mathrm{0,1,}\dots ,j_0.$

Аналогично [8, c. 401] получим для уравнения (17) номера $\alpha$ монотонную схему второго порядка аппроксимации по $h_{\alpha }$. Для этого рассмотрим последнее уравнение при фиксированном $\alpha$ с возмущенным оператором ${\tilde{L}}_{\alpha }$:

$\frac{1}{p}\frac{\partial {\vartheta }_{\left(\alpha \right)}}{\partial t}={\tilde{L}}_{\alpha }{\vartheta }_{(\alpha })+f_{\left(\alpha \right)},t\in {\Delta }_{\alpha },\alpha =\mathrm{1,2,}\dots ,p,$ (19)

где

${\tilde{L}}_{\alpha }{\vartheta }_{\left(\alpha \right)}={\chi }_{\alpha }\frac{\partial }{\partial x_{\alpha }}\left(k_{\alpha }\right(x,t\left)\frac{\partial {\vartheta }_{\left(\alpha \right)}}{\partial x_{\alpha }}\right)+r_{\alpha }(x,t)\frac{\partial {\vartheta }_{\left(\alpha \right)}}{\partial x_{\alpha }}-\sum _{s=1}^m{q}_{s_{\alpha }}{\vartheta }_{\left(\alpha \right)}(x_1,\dots ,x_{\alpha -1},x_{\alpha }^s,x_{\alpha +1},\dots ,x_p,t),$

${\chi }_{\alpha }=\frac{1}{1+R_{\alpha }}$ , $R_{\alpha }=\frac{1}{2}\frac{h_{\alpha }\left|r_{\alpha }\right|}{k_{\alpha }}$ — разностное число Рейнольдса,

$r_{\alpha }^{+}=\frac{1}{2}(r_{\alpha }+|r_{\alpha }\left|\right)\ge \mathrm{0,}{r}_{\alpha }^{-}=\frac{1}{2}(r_{\alpha }-|r_{\alpha }\left|\right)\le \mathrm{0,}{b}_{\alpha }^{+}=\frac{r_{\alpha }^{+}}{k_{\alpha }},b_{\alpha }^{-}=\frac{r_{\alpha }^{-}}{k_{\alpha }},$

$r_{\alpha }=r_{\alpha }^{+}+r_{\alpha }^{-},a^{\left(1_{\alpha }\right)}=a_{i_{\alpha }+1},a_{\alpha }=k_{\alpha }(x_{i_{\alpha }-1/2},\overline{t}),{\phi }_{\alpha }^{j+\alpha /p}=f_{\alpha }(x,\overline{t}),$

${\hslash }_{\alpha }=\left\{\begin{array}{cc}{h}_{\alpha },& i_{\alpha }=\mathrm{1,2,}\dots ,N_{\alpha }-\mathrm{1,}\\ h_{\alpha }/\mathrm{2,}& i_{\alpha }=\mathrm{0,}{N}_{\alpha },\end{array}\right.d_{s_{\alpha }}=q_{s_{\alpha }}(x_{i_{\alpha }},\overline{t}),\overline{t}=t^{j+1/2}.$

Аппроксимируем каждое уравнение (18), (19) номера $\alpha$ двухслойной неявной схемой на полуинтервале $(t_{j+(\alpha -1)/p},t_{j+\alpha /p}]$, тогда получим цепочку из $p$ одномерных разностных уравнений:

$\frac{y^{j+\alpha /p}-y^{j+(\alpha -1)/p}}{\tau }={\tilde{\Lambda }}_{\alpha }{y}^{j+\alpha /p}+{\phi }_{\alpha }^{j+\alpha /p},\alpha =\mathrm{1,2,}\dots ,p,x_{\alpha }\in {\omega }_{h_{\alpha }},$ (20)

${\tilde{\Lambda }}_{\alpha }y={\chi }_{\alpha }{\left(a_{\alpha }{y}_{{\overline{x}}_{\alpha }}^{j+\alpha /p}\right)}_{x_{\alpha }}+b_{\alpha }^{+}{a}_{\alpha }^{(+1_{\alpha })}{y}_{x_{\alpha }}^{j+\alpha /p}+b_{\alpha }^{-}{a}_{\alpha }{y}_{{\overline{x}}_{\alpha }}^{j+\alpha /p}-\sum _{s=1}^m{d}_{s_{\alpha }}(y_{i_{{\alpha }_s}}^{\left(\alpha \right)}{x}_{i_{{\alpha }_s}}^{-}+y_{i_{{\alpha }_s}+1}^{}{x}_{i_{{\alpha }_s}}^{+}),$

К уравнению (20) надо присоединить граничные и начальное условия. Запишем разностный аналог для граничных условий (2):

$\left\{\begin{array}{cc}{a}_{\alpha }^{\left(1\alpha \right)}{y}_{x_{\alpha }\mathrm{,0}}^{j+\alpha /p}={\beta }_{-\alpha }{y}_0^{j+\alpha /p}-{\mu }_{-\alpha },& x_{\alpha }=\mathrm{0,}\\ -a_{\alpha }^{\left(N_{\alpha }\right)}{y}_{{\overline{x}}_{\alpha },N_{\alpha }}^{j+\alpha /p}={\beta }_{+\alpha }{y}_{N_{\alpha }}^{j+\alpha /p}-{\mu }_{+\alpha },& x_{\alpha }=l_{\alpha }.\end{array}\right.$ (21)

Условия (21) имеют порядок аппроксимации $O\left(h_{\alpha }\right).$ Повысим порядок аппроксимации до $O\left(h_{\alpha }^2\right)$ на решениях уравнения (17) при каком-либо $\alpha$:

$a_{\alpha }^{\left(1\alpha \right)}{\vartheta }_{x_{\alpha }\mathrm{,0}}^{j+\alpha /p}={\beta }_{-\alpha }{\vartheta }_0^{j+\alpha /p}-{\mu }_{-\alpha }+O\left(h_{\alpha }\right),$

$a_{\alpha }^{\left(1\alpha \right)}=k_{1/2}^{\left(\alpha \right)}=k_0+{k^{\text{'}}}_0\frac{h_{\alpha }}{2}+k_{{0^{\text{'}}}^{\text{'}}}\frac{h_{\alpha }^2}{8}+O\left(h_{\alpha }^3\right),$

$\frac{{\vartheta }_{\left(\alpha \right)}^1-{\vartheta }_{\left(\alpha \right)}^0}{h_{\alpha }}={\vartheta }_{\left(\alpha \right)x_{\alpha }\mathrm{,0}}={{\vartheta }^{\text{'}}}_{\left(\alpha \right)}+{{{\vartheta }^{\text{'}}}^{\text{'}}}_{\left(\alpha \right)}\frac{h_{\alpha }}{2}+O\left(h_{\alpha }^2\right),$

$a_{\alpha }^{\left(1_{\alpha }\right)}{\vartheta }_{x_{\alpha }\mathrm{,0}}^{j+\alpha /p}=k^{\left(\alpha \right)}{{\vartheta }^{\text{'}}}_{\left(\alpha \right)\mathrm{,0}}+(k^{\left(\alpha \right)}{{\vartheta }^{\text{'}}}_{\left(\alpha \right)}{)}^{\text{'}}\frac{h_{\alpha }}{2}+O(h_{\alpha }^2),$

$k^{\left(\alpha \right)}{{\vartheta }^{\text{'}}}_{\left(\alpha \right)\mathrm{,0}}=a_{\alpha }^{\left(1_{\alpha }\right)}{\vartheta }_{x_{\alpha }\mathrm{,0}}^{j+\alpha /p}-\frac{1}{2}{h}_{\alpha }(k^{\left(\alpha \right)}{{\vartheta }^{\text{'}}}_{\left(\alpha \right)}{)}^{\text{'}}+O(h_{\alpha }^2)=$

$=a_{\alpha }^{\left(1_{\alpha }\right)}{\vartheta }_{x_{\alpha }\mathrm{,0}}^{j+\alpha /p}-\frac{1}{2}{h}_{\alpha }(\frac{1}{p}\frac{\partial {\vartheta }^{j+\alpha /p}}{\partial t}-r_{\alpha }\frac{\partial {\vartheta }_{\left(\alpha \right)}}{\partial x_{\alpha }}+$

$+\sum _{s=1}^m{q}_{s_{\alpha }}{\vartheta }_{\left(\alpha \right)}(x_1,\dots ,x_{\alpha -1},x_{\alpha }^s,x_{\alpha +1},\dots ,x_p,t)-f_{\alpha })+O(h_{\alpha }^2).$

Итак,

$a_{\alpha }^{\left(1_{\alpha }\right)}{\vartheta }_{x_{\alpha }\mathrm{,0}}^{j+\alpha /p}-\frac{1}{2}{h}_{\alpha }(\frac{1}{p}{\vartheta }_{\overline{t}}^{j+\alpha /p}-r_{\alpha }{\vartheta }_{\left(\alpha \right)x_{\alpha }\mathrm{,0}}+$

$+\sum _{s=1}^m{q}_{s_{\alpha }}{\vartheta }_{\left(\alpha \right)}(x_1,\dots ,x_{\alpha -1},x_{\alpha }^s,x_{\alpha +1},\dots ,x_p,t)-f_{\alpha })=$

$={\beta }_{-\alpha }{\vartheta }_0^{j+\alpha /p}-\sum _{s=1}^m{q}_{s_{\alpha }}{\vartheta }_{\left(\alpha \right)}(x_1,\dots ,x_{\alpha -1},x_{\alpha }^s,x_{\alpha +1},\dots ,x_p,t)-{\mu }_{-\alpha }+O\left(h_{\alpha }^2\right)+O\left(h_{\alpha }\tau \right).$ (22)

В (22) отбросим величины порядка малости $O\left(h_{\alpha }^2\right)$ и $O\left(h_{\alpha }\tau \right)$, заменим ${\vartheta }_{\left(\alpha \right)}$ на $y_{\left(\alpha \right)}=y^{j+\alpha /p}$, тогда (22) перепишется так:

$(a_{\alpha }^{\left(1_{\alpha }\right)}+\frac{1}{2}{h}_{\alpha }{r}_{\alpha }^{\left(0\right)})y_{x_{\alpha }\mathrm{,0}}^{j+\alpha /p}-\frac{1}{2}\frac{h_{\alpha }}{p}{y}_{\overline{t}}^{j+\alpha /p}={\beta }_{-\alpha }{y}_0^{j+\alpha /p}+\frac{1}{2}{h}_{\alpha }{d}_{\alpha }^0(y_{i_{{\alpha }_0}}^{\left(\alpha \right)}{x}_{i_{{\alpha }_0}}^{-}+y_{i_{{\alpha }_0}+1}^{\left(\alpha \right)}{x}_{i_{{\alpha }_0}}^{+})-{\mu }_{-\alpha }-\frac{1}{2}{h}_{\alpha }{f}_{\alpha \mathrm{,0}},x_{\alpha }=\mathrm{0,}$

или

$\frac{1}{2}{h}_{\alpha }\frac{y_0^{j+\alpha /p}-y_0^{j+(\alpha -1)/p}}{\tau }={\chi }_{-\alpha }{a}_{\alpha }^{\left(1_{\alpha }\right)}{y}_{x_{\alpha }\mathrm{,0}}^{j+\alpha /p}-{\beta }_{-\alpha }{y}_0^{j+\alpha /p}-$

$-\frac{1}{2}{h}_{\alpha }\sum _{s=1}^m{d}_{s_{\alpha }}^{\left(0\right)}(y_{i_{{\alpha }_s}}^{\left(\alpha \right)}{x}_{i_{{\alpha }_s}}^{-}+y_{i_{{\alpha }_s}+1}^{\left(\alpha \right)}{x}_{i_{{\alpha }_s}}^{+})+{\overline{\mu }}_{-\alpha },$

$\frac{1}{2}{h}_{\alpha }\frac{y_{N_{\alpha }}^{j+\alpha /p}-y_{N_{\alpha }}^{j+(\alpha -1)/p}}{\tau }={\chi }_{+\alpha }-a_{\alpha }^{\left(N_{\alpha }\right)}{y}_{{\overline{x}}_{\alpha },N_{\alpha }}^{j+\alpha /p}-{\beta }_{+\alpha }{y}_{N_{\alpha }}^{j+\alpha /p}-$

$-\frac{1}{2}{h}_{\alpha }\sum _{s=1}^m{d}_{s_{\alpha }}^{\left(N_{\alpha }\right)}(y_{i_{{\alpha }_s}}^{\left(\alpha \right)}{x}_{i_{{\alpha }_s}}^{-}+y_{i_{{\alpha }_s}+1}^{\left(\alpha \right)}{x}_{i_{{\alpha }_s}}^{+})+{\overline{\mu }}_{+\alpha },$

где

${\overline{\mu }}_{-\alpha }={\mu }_{-\alpha }+\frac{1}{2}{h}_{\alpha }{f}_{\alpha \mathrm{,0}},{\overline{\mu }}_{+\alpha }={\mu }_{+\alpha }+\frac{1}{2}{h}_{\alpha }{f}_{\alpha ,N_{\alpha }},{\mu }_{\pm \alpha }={\mu }_{\pm \alpha }\left(t_j\right);$

${\chi }_{-\alpha }={(1+\frac{1}{2}\frac{h_{\alpha }\left|r_{\alpha }^{\left(0\right)}\right|}{k_{\alpha }^{(1/2)}})}^{-1},r_{\alpha }^{\left(0\right)};{\chi }_{+\alpha }\le 0;={(1+\frac{1}{2}\frac{h_{\alpha }\left|r_{\alpha }^{\left(N_{\alpha }\right)}\right|}{k_{\alpha }^{(N_{\alpha }-1/2)}})}^{-1},r_{\alpha }^{\left(N_{\alpha }\right)}\ge 0.$

Таким образом, приходим к цепочке одномерных схем с нелокальными граничными условиями при каждом $\alpha =\mathrm{1,2,}\dots ,p$:

$\frac{y^{j+\alpha /p}-y^{j+(\alpha -1)/p}}{\tau }={\tilde{\Lambda }}_{\alpha }{y}^{j+\alpha /p}+{\phi }_{\alpha }^{j+\alpha /p},\alpha =\mathrm{1,2,}\dots ,p,x_{\alpha }\in {\omega }_{h_{\alpha }},$ (23)

$\left\{\begin{array}{cc}\frac{1}{2}{h}_{\alpha }\frac{y^{j+\alpha /p}-y^{j+(\alpha -1)/p}}{\tau }={\Lambda }_{\alpha }^{-}{y}^{\left(\alpha \right)}+{\overline{\mu }}_{-\alpha },& x_{\alpha }=\mathrm{0,}\\ \frac{1}{2}{h}_{\alpha }\frac{y^{j+\alpha /p}-y^{j+(\alpha -1)/p}}{\tau }={\Lambda }_{\alpha }^{+}{y}^{\left(\alpha \right)}+{\overline{\mu }}_{+\alpha },& x_{\alpha }=l_{\alpha },\end{array}\right.$ (24)

$y\left(x\mathrm{,0}\right)=u_0\left(x\right),$ (25)

где

${\tilde{\Lambda }}_{\alpha }{y}^{\left(\alpha \right)}={\chi }_{\alpha }{\left(a_{\alpha }{y}_{x_{\alpha }}^{\left(\alpha \right)}\right)}_{x_{\alpha }}+b_{\alpha }^{+}{a}_{\alpha }^{(+1_{\alpha })}{y}_{{\overline{x}}_{\alpha }}^{\left(\alpha \right)}+b_{\alpha }^{-}{a}_{\alpha }{y}_{{\overline{x}}_{\alpha }}^{\left(\alpha \right)}-\sum _{s=1}^m{d}_{s_{\alpha }}(y_{i_{{\alpha }_s}}^{\left(\alpha \right)}{x}_{i_{{\alpha }_s}}^{-}+y_{i_{{\alpha }_s}+1}^{\left(\alpha \right)}{x}_{i_{{\alpha }_s}}^{+});$

${\Lambda }_{\alpha }^{-}{y}^{\left(\alpha \right)}={\chi }_{\alpha }{a}_{\alpha }^{\left(1_{\alpha }\right)}{y}_{x_{\alpha }\mathrm{,0}}^{\left(\alpha \right)}-{\beta }_{-\alpha }{y}_0^{\left(\alpha \right)}-\frac{1}{2}{h}_{\alpha }\sum _{s=1}^m{d}_{s_{\alpha }}^{\left(0\right)}(y_{i_{{\alpha }_s}}^{\left(\alpha \right)}{x}_{i_{{\alpha }_s}}^{-}+y_{i_{{\alpha }_s}+1}^{\left(\alpha \right)}{x}_{i_{{\alpha }_s}}^{+}),x_{\alpha }=0;$

${\Lambda }_{\alpha }^{+}{y}^{\left(\alpha \right)}=-{\chi }_{-\alpha }{a}_{\alpha }^{\left(N_{\alpha }\right)}{y}_{{\overline{x}}_{\alpha },N_{\alpha }}^{\left(\alpha \right)}-{\beta }_{+\alpha }{y}_{N_{\alpha }}^{\left(\alpha \right)}-\frac{1}{2}{h}_{\alpha }\sum _{s=1}^m{d}_{s_{\alpha }}^{\left(N_{\alpha }\right)}(y_{i_{{\alpha }_s}}^{\left(\alpha \right)}{x}_{i_{{\alpha }_s}}^{-}+y_{i_{{\alpha }_s}+1}^{\left(\alpha \right)}{x}_{i_{{\alpha }_s}}^{+}),x_{\alpha }=l_{\alpha };$

$\frac{1}{p}{y}_{\overline{t}}^{\left(\alpha \right)}=\frac{y^{j+\alpha /p}-y^{j+(\alpha -1)/p}}{\tau }.$

Задачу (23)–(25) перепишем в операторном виде

$\frac{y^{j+\alpha /p}-y^{j+(\alpha -1)/p}}{\tau }={\overline{\Lambda }}_{\alpha }{y}^{\left(\alpha \right)}+{\Phi }_{\alpha }^{j+\alpha /p},\alpha =\mathrm{1,2,}\dots ,p,x\in {\overline{\omega }}_{h_{\alpha }},$ (26)

$y\left(x\mathrm{,0}\right)=u_0\left(x\right),$

где

${\overline{\Lambda }}_{\alpha }{y}^{\left(\alpha \right)}=\left\{\begin{array}{cc}{\tilde{\Lambda }}_{\alpha }{y}^{\left(\alpha \right)},& x_{\alpha }\in {\omega }_{h_{\alpha }},\\ \frac{1}{0.5h_{\alpha }}{\Lambda }_{\alpha }^{-}{y}^{\left(\alpha \right)},& x_{\alpha }=\mathrm{0,}\\ \frac{1}{0.5h_{\alpha }}{\Lambda }_{\alpha }^{+}{y}^{\left(\alpha \right)},& x_{\alpha }=l_{\alpha },\end{array}\right.{\Phi }_{\alpha }=\left\{\begin{array}{cc}{\phi }_{\alpha },& x_{\alpha }\in {\omega }_{h_{\alpha }},\\ \frac{1}{0.5h_{\alpha }}{\overline{\mu }}_{-\alpha },& x_{\alpha }=\mathrm{0,}\\ \frac{1}{0.5h_{\alpha }}{\overline{\mu }}_{+\alpha },& x_{\alpha }=l_{\alpha }.\end{array}\right.$

3. Погрешность аппроксимации ЛОС. Характеристикой точности решения локально-одномерной схемы является разность $z^{j+\alpha /p}=y^{j+\alpha /p}-u^{j+\alpha /p},$ где $u^{j+\alpha /p}$ — решение исходной задачи (1)–(3). Подставляя $y^{j+\alpha /p}=z^{j+\alpha /p}+u^{j+\alpha /p}$ в разностную задачу (23)–(25), получим задачу для погрешности $z^{j+\alpha /p}$:

$\frac{z^{j+\alpha /p}-z^{j+(\alpha -1)/p}}{\tau }={\tilde{\Lambda }}_{\alpha }{z}^{j+\alpha /p}+{\psi }_{\alpha }^{j+\alpha /p},$ (27)

 где ${\psi }_{\alpha }^{j+\alpha /p}={\tilde{\Lambda }}_{\alpha }{u}^{j+\alpha /p}+{\phi }_{\alpha }^{j+\alpha /p}-\frac{u^{j+\alpha /p}-u^{j+(\alpha -1)/p}}{\tau }.$

Обозначив через

${\psi }_{\alpha }={(L_{\alpha }u+f_{\alpha }-\frac{1}{p}\frac{\partial u}{\partial t})}^{j+1/2}$

и замечая, что ${\sum }_{\alpha =1}^p{\psi }_{\alpha }=\mathrm{0,}$ если ${\sum }_{\alpha =1}^p{f}_{\alpha }=f,$ представим погрешность в (27) в виде суммы ${\psi }_{\alpha }^{j+\alpha /p}={\psi }_{\alpha }+{\psi }_{\alpha }^{*}$:

${\psi }_{\alpha }^{j+\alpha /p}={\tilde{\Lambda }}_{\alpha }{u}^{j+\alpha /p}+{\phi }_{\alpha }^{j+\alpha /p}-\frac{u^{j+\alpha /p}-u^{j+(\alpha -1)/p}}{\tau }+{\psi }_{\alpha }-{\psi }_{\alpha }=$

$=({\tilde{\Lambda }}_{\alpha }{u}^{j+\alpha /p}-L_{\alpha }{u}^{j+1/2})+({\phi }_{\alpha }^{j+\alpha /p}-f_{\alpha }^{j+1/2})-(\frac{u^{j+\alpha /p}-u^{j+(\alpha -1)/p}}{\tau }-\frac{1}{p}{\left(\frac{\partial u}{\partial t}\right)}^{j+1/2})+{\psi }_{\alpha }={\psi }_{\alpha }+{\psi }_{\alpha }^{*}.$

Очевидно, что

${\psi }_{\alpha }^{*}=O(h_{\alpha }^2+\tau ),{\psi }_{\alpha }=O\left(1\right),\sum _{\alpha =1}^p{\psi }_{\alpha }^{j+\alpha /p}=\sum _{\alpha =1}^p{\psi }_{\alpha }+\sum _{\alpha =1}^p{\psi }_{\alpha }^{*}=O\left(\right|h{|}^2+\tau ).$

Запишем граничное условие $x_{\alpha }=0$ так:

$\frac{1}{2}{h}_{\alpha }\frac{y_0^{j+\alpha /p}-y_0^{j+(\alpha -1)/p}}{\tau }={\chi }_{-\alpha }{a}_{\alpha }^{\left(1_{\alpha }\right)}{y}_{x_{\alpha }\mathrm{,0}}^{j+\alpha /p}-{\beta }_{-\alpha }{y}_0^{j+\alpha /p}-\frac{1}{2}{h}_{\alpha }\sum _{s=1}^m{d}_{s_{\alpha }}^{\left(0\right)}(y_{i_{{\alpha }_s}}^{\left(\alpha \right)}{x}_{i_{{\alpha }_s}}^{-}+y_{i_{{\alpha }_s}+1}^{\left(\alpha \right)}{x}_{i_{{\alpha }_s}}^{+})+\frac{1}{2}{h}_{\alpha }{f}_{\alpha \mathrm{,0}}+{\mu }_{-\alpha }.$

Пусть $z^{j+\alpha /p}=y^{j+\alpha /p}-u^{j+\alpha /p}$, где $u$ — решение исходной дифференциальной задачи (1)–(3). Подставляя $y^{j+\alpha /p}=z^{j+\alpha /p}+u^{j+\alpha /p}$, получим

$\frac{1}{2}{h}_{\alpha }\frac{z_0^{j+\alpha /p}-z_0^{j+(\alpha -1)/p}}{\tau }={\chi }_{-\alpha }{a}_{\alpha }^{\left(1_{\alpha }\right)}{z}_{x_{\alpha }\mathrm{,0}}^{j+\alpha /p}-{\beta }_{-\alpha }{z}_0^{j+\alpha /p}-\frac{1}{2}{h}_{\alpha }\sum _{s=1}^m{d}_{s_{\alpha }}^{\left(0\right)}(z_{i_{{\alpha }_s}}^{\left(\alpha \right)}{x}_{i_{{\alpha }_s}}^{-}+z_{i_{{\alpha }_s}+1}^{\left(\alpha \right)}{x}_{i_{{\alpha }_s}}^{+})+$

$+{\chi }_{-\alpha }{a}_{\alpha }^{\left(1_{\alpha }\right)}{u}_{x_{\alpha }\mathrm{,0}}^{j+\alpha /p}-{\beta }_{-\alpha }{u}_0^{j+\alpha /p}-\frac{1}{2}{h}_{\alpha }\sum _{s=1}^m{d}_{s_{\alpha }}^{\left(0\right)}(u_{i_{{\alpha }_s}}^{\left(\alpha \right)}{x}_{i_{{\alpha }_s}}^{-}+u_{i_{{\alpha }_s}+1}^{\left(\alpha \right)}{x}_{i_{{\alpha }_s}}^{+})--\frac{1}{2}{h}_{\alpha }\frac{u_0^{j+\alpha /p}-u_0^{j+(\alpha -1)/p}}{\tau }+\frac{1}{2}{h}_{\alpha }{f}_{\alpha \mathrm{,0}}+{\mu }_{-\alpha }.$

К правой части полученного выражения добавим и вычтем

$\frac{1}{2}{h}_{\alpha }{\psi }_{\alpha }=\frac{1}{2}{h}_{\alpha }\left[\frac{\partial }{\partial x_{\alpha }}\right(k_{\alpha }\frac{\partial u}{\partial x_{\alpha }})+r_{\alpha }(x,t)\frac{\partial u}{\partial x_{\alpha }}-\sum _{s=1}^m{q}_{s_{\alpha }}u(x_1,\dots ,x_{\alpha }^s,\dots ,x_p,t)+f_{\alpha }-\frac{1}{p}\frac{\partial u}{\partial t}{]}_{x_{\alpha }=0}^{j+1/2}.$

Тогда

${\psi }_{-\alpha }=\frac{1}{2}{h}_{\alpha }(f_{\alpha \mathrm{,0}}-\frac{u_0^{j+\alpha /p}-u_0^{j+(\alpha -1)/p}}{\tau })+{\chi }_{-\alpha }{a}_{\alpha }^{\left(1_{\alpha }\right)}{u}_{x_{\alpha }\mathrm{,0}}^{j+\alpha /p}-{\beta }_{-\alpha }{u}_0^{j+\alpha /p}-$