The characteristic Cauchy problem of standard form for describing the outflow of a polytropic gas into vacuum from an obligue wall

Full Text

Введение. В настоящее время в мире проводятся интенсивные исследования в области лазерного управляемого термоядерного синтеза (ЛТС). Перспективность данного научного направления связана с тем, что при успешной реализации ЛТС человечество получает неисчерпаемый источник относительно дешевой энергии. В отличие от зарядов, где зажигание термоядерных реакций осуществляется ядерным взрывом, в ЛТС инициация «горения» легких ядер реализуется за счет воздействия лазерного излучения на DT-мишень. Математическое описание подобных экспериментов привело к возникновению целого направления, объединяющего класс задач, описывающих сжатие мишеней или истечение газа в вакуум [1-4].

Еще в 50-е годы прошлого века стало понятно, что вложение энергии в мишень необходимо осуществлять безударным способом без образования ударной волны (сильного разрыва), что дает существенный энергетический выигрыш. Данную схему пытаются реализовать в экспериментах по ЛТС. Для получения безударной волны сжатия, которая будет сжимать газ до бесконечной плотности, разрабатывают специальные мишени [5, 6], которые имеют сферически или цилиндрически симметричную геометрию. Это связано с тем, что наибольшее количество результатов в области построения аналитических решений было получено для одномерных течений (плоско-, цилиндрически-, сферически симметричные мишени).

Для построения аналитических решений двумерных течений используемый математический аппарат приводил к сложного вида дифференциальным уравнениям, что давало возможность построить только частные решения рассматриваемых уравнений. Так, в 1963 году В. А. Сучков опубликовал работу «Истечение в вакуум на косой стенке» [7]. В ней получено частное точное решение системы уравнений газовой динамики (СУГД), описывающее двумерное течение газа — двойная волна (ДВ) — при выполнении конкретного соотношения между показателем политропы $\gamma$ газа и тангенсом угла $\alpha$ наклона косой стенки:

$t{g}^2\alpha =\frac{\gamma +1}{3-\gamma }\mathrm{.}$ (1)

Метод решения задачи состоял в том, что СУГД сводилась к одному дифференциальному уравнению для функции потенциала $\Phi =\Phi \left(t\mathrm{,}x\mathrm{,}y\right)$, где $u={\Phi }_x$, $v={\Phi }_y$; $u$, $v$ — компоненты вектора скорости газа $V$ в прямоугольной системе координат. Затем с помощью преобразования Лежандра осуществлялся переход к уравнению для функции $\Psi =\Psi \left(u\mathrm{,}v\right)$, для которой и строилось одно конкретное частное решение. Полученное таким образом решение $\Psi =\Psi \left(u\mathrm{,}v\right)$ и связанная с ним функция $c=c\left(u\mathrm{,}v\right)$ — скорость звука газа — определялись в пространстве годографа, то есть в пространстве независимых переменных $u$, $v$. Для нахождения значений газодинамических параметров $u$, $v$, $c$ в пространстве физических переменных $t$, $x$, $y$ необходимо выполнять обратное преобразование Лежандра, которое в общем случае выполнить в явном виде затруднительно.

Связь между задачами сжатия конкретных мишеней и соответствующего истечения газа в вакуум была показана в работе А. Ф. Сидорова [8]. Так, двумерное истечение газа в вакуум с косой стенки в работе [8] было интерпретировано для описания сильного сжатия газа, заполняющего специальный призматический объем, и была установлена принципиально большая степень кумуляции газа, чем при неограниченном сжатии плоских, цилиндрических и сферических объемов газа.

С. П. Баутиным и С. Л. Дерябиным [9, c. 196-214] в пространстве специальных независимых переменных рассмотрена задача об истечении газа в вакуум при произвольном значении угла $\alpha$ ( $0<\alpha <\pi /2$) — наклона косой стенки, не связанном со значением $\gamma$. Доказано существование и единственность локально-аналитических решений соответствующих начально-краевых задач. В случае общих течений связь задач об истечении газа в вакуум и задач о неограниченном сжатии газа в конечный момент времени установлена С. П. Баутиным [3].

В настоящей работе исходная начально-краевая задача для системы уравнений газовой динамики, решение которой описывает истечение политропного газа в вакуум с косой стенки в пространстве физических автомодельных переменных $x/t$, $y/t$ для несогласованного случая, т. е. когда не выполняется равенство (1), сводится в результате двух невырожденных замен к характеристической задаче Коши стандартного вида (ХЗК). Для этой новой начально-краевой задачи доказана теорема существования и единственности решения СУГД в виде сходящихся бесконечных рядов. Описан алгоритм построения коэффициентов ряда.

Необходимо отметить следующий момент. В работе [9] решалась точно такая же задача, что и в данной работе, только решение строилось для функции $\psi$ в пространстве годографа. То есть рассматривалось одно уравнение, а не вся СУГД, и для этого уравнения задача сводилась к ранее доказанной теореме существования и единственности решения. Выполнить переход от функции  в пространстве годографа $u$, $v$ к значениям функций $c$, $u$ и $v$ в пространстве физических автомодельных переменных $x/t$, $y/t$ в аналитическом виде не представляется возможным. При этом проверить отличие от нуля якобиана преобразования независимых переменных из пространства годографа в пространство физических переменных затруднительно, так как решение $\Psi \left(u\mathrm{,}v\right)$ в явном виде в работе [9] не построено. Следовательно, для рассматриваемой задачи теорема существования и единственности решения СУГД в пространстве физических автомодельных переменных не доказана.

Положительный опыт построения аналитических решений СУГД [10, 11] как решения характеристической задачи Коши стандартного вида без сведения СУГД к одному ДУ для функции потенциала дает надежду на получение новых аналитических результатов для задачи истечения газа в вакуум на косой стенке. Ценность полученного результата заключается также в том, что он переносится на случай сжатия призматического объема газа в несогласованном случае [12].

1. Постановка задачи об истечении газа в вакуум с косой стенки. Пусть в момент времени $t=0$ политропный газ со скоростью звука $c$, равной единице, покоится в клиновидной области плоскости $xOy$, затемненной на рис. 1, a и ограниченной двумя прямыми непроницаемыми стенками: вертикальная стенка $x=0$ (при $y\ge 0$), и косая стенка $y=xtg\alpha$.

В момент времени $t=0$ вертикальная стенка $x=0$ мгновенно убирается, после чего начинается истечение газа в вакуум (помечено цифрой 3 на рис. 1) вдоль косой стенки $y=xtg\alpha$.

 

Рисунок 1. Начальная конфигурация в момент t = 0 (a) и конфигурация потока в момент t > 0 (b): 0 — область, в которой находится покоящийся газ; 1 — область течения в виде центрированной волны; 2 — область течения в виде ДВ; 3 — область вакуума

[Figure 1. (a) Initial configuration t = 0; (b) the flow configuration at t > 0: quiescent gas region (0), the flow region in the form of a centered wave (1), the flow region in the form of a double wave (2), and the vacuum region (3)]

 

На рис. 1, b приведена конфигурация течения, имеющего место при истечении газа в вакуум вдоль косой стенки в момент времени $t>0$. В области, помеченной цифрой 0, находится покоящийся однородный газ. Этот покоящийся газ отделен звуковой характеристикой — вертикальной прямой [13]

$AB:x=t$                                               

от области известного течения, то есть от области центрированной волны (ЦВ) Римана, задаваемой следующими формулами [13]:

$c=\frac{\left(\gamma -1\right)}{\left(\gamma +1\right)}\frac{x}{t}+\frac{2}{\left(\gamma +1\right)}\mathrm{,}u=\frac{2}{\left(\gamma +1\right)}\frac{x}{t}-\frac{2}{\left(\gamma +1\right)}\mathrm{,}v=0$.

Течение ЦВ расположено в области, помеченной цифрой 1 (см. рис. 1, b). С другой стороны ЦВ примыкает к вакууму через свободную границу, являющуюся вертикальной прямой $CD$ и распростаняющуюся в вакуум по закону [13]

$CD:x=-\frac{2}{\gamma -1}t\mathrm{.}$

В области, помеченной цифрой 2 (см. рис. 1, b), находится ДВ — искомое двумерное течение. Это течение отделено от ЦВ звуковой характеристикой $AD$, которая в общем случае известна в пространстве годографа [3, 9]. В согласованном случае [7] звуковая характеристика $AD$ является прямой в плоскости переменных $\left(t,x\right)$. Область ДВ примыкает к вакууму через свободную границу, обозначенную на рис. 1, b как линия $DE$. Эта свободная граница в согласованном случае (когда выполняется соотношение (1)) есть прямая в плоскости переменных $\left(t,x\right)$, перпендикулярная непроницаемой стенке $AE$. Поскольку стенка $AE$ является непроницаемой, вектор скорости газа направлен вдоль нее, и поэтому на этой стенке выполняется соотношение (условие непротекания):

$v{\left|{}_{AE}=utg\alpha \right|}_{AE}\mathrm{.}$

В рассматриваемой задаче требуется найти звуковую характеристику $AD$ и параметры течения газа ДВ.

2. Начально-краевая задача для СУГД, описывающей истечение газа с косой стенки в переменных $\mathit{\xi }\mathbf{=}\mathbf{\text{x/t}}$, $\mathit{\eta }\mathbf{=}\mathbf{\text{y/t}}$. Исходная начально-краевая задача для СУГД, описывающей истечение газа в вакуум с косой стенки, в физических автомодельных переменных $\xi =x/t$, $\eta =y/t$ для вектора $U={\left(c\mathrm{,}u\mathrm{,}v\right)}^{\top }$ имеет вид [12]:

$\left\{\begin{array}{l}A{U}_{\xi }+B{U}_{\eta }=0,\\ U{|}_{C^{+}}{U}_0\mathrm{,}\\ v{|}_{y=x\alpha }=u{\alpha }_{y=x\alpha }\mathrm{.}\end{array}\right.$ (2)

Матрицы $A$ и $B$ задачи (2) следующие:

$A=\left(\begin{array}{ccc}u-\xi & \varkappa c& 0\\ c/\varkappa & u-\xi & 0\\ 0& 0& u-\xi \end{array}\right)\mathrm{,}B=\left(\begin{array}{ccc}v-\eta & 0& \varkappa c\\ 0& v-\eta & 0\\ c/\varkappa & 0& v-\eta \end{array}\right)\mathrm{.}$                

 Здесь неизвестная звуковая характеристика $C^{+}$ задается функцией $f\left(\xi \right)$. Для упрощения записи введено обозначение $\varkappa =\left(\gamma -1\right)/2$. Входные данные (начальные и граничные условия, коэффициенты матриц $A$ и $B$) задачи (2) предполагаются аналитическими функциями.

3. Первая замена переменных. Для сведения задачи (2) к ХЗК стандартного вида делается первая замена переменных

$\left\{\begin{array}{l}\vartheta =\eta -f\left(\xi \right),\\ {\xi }^{\text{'}}=\xi \mathrm{,}\end{array}\right.$ (3)

где линия $\vartheta =0$, то есть линия $\eta =f\left(\xi \right)$, задает звуковую характеристику $C^{+}$. Якобиан $J$ замены (3) равен единице:

$J=\left|\begin{array}{cc}{\vartheta }_{\eta }& {\vartheta }_{\xi }\\ {{\xi }^{\text{'}}}_{\eta }& {{\xi }^{\text{'}}}_{\xi }\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc}1& -f^{\text{'}}\\ 0& 1\end{array}\right|=1-0\cdot f^{\text{'}}=1.$                               

При выполнении условия $\left|f^{\text{'}}\right|<\infty$ замена (3) невырожденная. При введенной замене производные в (2) заменяются по следующим формулам:

$\frac{\partial }{\partial \eta }=\frac{\partial }{\partial \vartheta }\mathrm{,}\frac{\partial }{\partial \xi }\text{=}\frac{\partial }{\partial {\xi }^{\text{'}}}-f^{\text{'}}\left({\xi }^{\text{'}}\right)\frac{\partial }{\partial \vartheta }\mathrm{.}$                               

В результате исходная начально-краевая задача (2) будет иметь вид

$\left\{\begin{array}{l}\left[B-\left(f^{\text{'}}\right)\xi A\right]U_{\vartheta }+A{U}_{\xi }=0,\\ U{|}_{\vartheta =0}=U_0\mathrm{,}\\ v{|}_{y=x\alpha }u\alpha {|}_{y=x\alpha }\end{array}\right.$ (4)

При этом вид матрицы $\left[B-f^{\text{'}}\left(\xi \right)A\right]$ следующий:

$\left[B-f^{\text{'}}\left(\xi \right)A\right]=$

$=\left(\text{}\begin{array}{ccc}v-\vartheta -f-f^{\text{'}}\left(u-\xi \right)& -\varkappa c{f}^{\text{'}}& \varkappa c\\ -\frac{c}{\varkappa }{f}^{\text{'}}& v-\vartheta -f-f^{\text{'}}\left(u-\xi \right)& 0\\ \frac{c}{\varkappa }& 0& v-\vartheta -f-f^{\text{'}}\left(u-\xi \right)\end{array}\text{}\right)\mathrm{.}$

4. Нахождение звуковой характеристики $\mathbf{\text{f}}\left(\xi \right)\mathbf{\text{.}}$ После приравнивания к нулю определителя матрицы

$\mathrm{de}\left[tB-f^{\text{'}}\xi A\right]{|}_{U=U_0\begin{array}{c}\\ \vartheta =0\end{array}}\equiv 0$                                     

функция $f\left(\xi \right)$ определяется в явном виде. Найдем определитель матрицы $\left[B-f^{\text{'}}\left(\xi \right)A\right]$ при $U=U_0$, $\vartheta =0$:

$\det {\left[B-f^{\text{'}}\left(\xi \right)A\right]}_{U=U_0\begin{array}{c}\\ \vartheta =0\end{array}}=\left|\begin{array}{ccc}{c}_0{f}^{\text{'}}-f& -\varkappa c_0{f}^{\text{'}}& \varkappa c_0\\ -\frac{c_0}{\varkappa }{f}^{\text{'}}& c_0{f}^{\text{'}}-f& 0\\ \frac{c_0}{\varkappa }& 0& c_0{f}^{\text{'}}-f\end{array}\right|=$

$=\left(c_0{f}^{\text{'}}-f\right)\left[{\left(c_0{f}^{\text{'}}-f\right)}^2-c_0^2{f^{\text{'}}}^2-c_0^2\right].$                               

Здесь $c_0=\left(\varkappa \xi +1\right)\left(\varkappa +1\right)$.

Определитель матрицы $\left[B-f^{\text{'}}\left(\xi \right)A\right]$ тождественно равен нулю, если удовлетворяется одно из уравнений:

$c_0{f}^{\text{'}}-f=0,{\left(c_0{f}^{\text{'}}-f\right)}^2-c_0^2{f^{\text{'}}}^2-c_0^2=0.$

Найдем неизвестную звуковую характеристику $C^{+}$ как решение нелинейного дифференциального уравнения:

${\left(c_0{f}^{\text{'}}-f\right)}^2-c_0^2{f^{\text{'}}}^2-c_0^2=0.$ (5)

После раскрытия скобок в уравнении (5) и приведения подобных слагаемых получим следующее уравнение:

$f^2-2c_{0}f{f}^{\text{'}}-c_0^2=0$. (6)

Справедливо соотношение $2f{f}^{\text{'}}={\left(f^2\right)}^{\text{'}}$, тогда (6) после замены $f^2=y$ преобразуется к виду

$c_0{y}^{\text{'}}-y+c_0^2=0.$ (7)

Получим решение (7) методом вариации постоянной. Вначале построим решение однородного уравнения

$c_0{y}^{\text{'}}-y=0\text{\hspace{1em}или\hspace{1em}}\frac{dy}{y}\text{=}\frac{\left(\varkappa +1\right)d\xi }{\varkappa \xi +1}\mathrm{.}$                               

Решением последнего уравнения будет выражение

$y\left(\xi \right)=C_1{\left[c_0\left(\xi \right)\right]}^{\left(\varkappa +1\right)/\varkappa }\mathrm{,}$ (8)

где $C_1=\text{c}onst$.

Получим решение неоднородного уравнения (7), полагая константу $C_1$ неотрицательной функцией независимой переменной $\xi$, то есть $C_1=C_1\left(\xi \right)$. Подставляя выражение для $y\left(\xi \right)=C_1\left(\xi \right){\left[c_0\left(\xi \right)\right]}^{\left(\varkappa +1\right)/\varkappa }$ в исходное уравнение (7), получим

$c_0{C^{\text{'}}}_1{c}_0^{1+1/\varkappa }+c_0{C}_1\frac{\varkappa +1}{\varkappa }{c}_0^{1/\varkappa }{c^{\text{'}}}_0-C_1{c}_0^{\left(\varkappa +1\right)/\varkappa }+c_0^2=0.$                       

С учетом ${c^{\text{'}}}_0=\varkappa /\left(\varkappa +1\right)$ второе и третье слагаемые в уравнении сокращаются. После сокращения оставшихся слагаемых на $c_0^2$ окончательно получим дифференциальное уравнение для функции $C_1$:

${C^{\text{'}}}_1=-c_0^{-1/\varkappa }\mathrm{.}$ (9)

При $\varkappa =1\left(\gamma =3\right)$ решением (9) будет выражение

$C_1\left(\xi \right)=-2\ln \left(\xi +1\right)+C_2\mathrm{.}$ (10)

Подставим выражение (10) в (8), с учетом замены $y=f^2\left(\xi \right)$ получим выражение для характеристики:

$f\left(\xi \right)=\pm c_0\sqrt{C_2-2\ln \left(\xi +1\right)}\mathrm{.}$

Для функции $f\left(\xi \right)$ область определения $-1<\xi <1$:

• при $\xi =-1$ скорость звука на характеристике $AD$ принимает значение $c_0\left(-1\right)=0$, что задает границу газа с вакуумом;
• при $\xi =1$ скорость звука на характеристике $AD$ принимает значение $c_0\left(1\right)=1$, что задает границу газа с покоем.

 Из данных условий определим константу интегрирования $C_2$.

В результате получим окончательное выражение для характеристики при $\varkappa =1\left(\gamma =3\right)$:

$f\left(\xi \right)=\pm c_0\sqrt{t{g}^2\alpha -2\ln c_0}\mathrm{.}$ (11)

Здесь $c_0=\left(\xi +1\right)/2$. В рассматриваемом диапазоне изменения $\xi$ подкоренное выражение в (11) всегда положительно.

Рассмотрим случай, когда $\varkappa \ne 1\left(\gamma \ne 3\right)$ . Тогда уравнение (9) имеет вид

$\frac{d{C}_1}{d\xi }=-\frac{1}{c_0^{1/\varkappa }}=-\frac{1}{{\left(\frac{\varkappa \xi +1}{\varkappa +1}\right)}^{\varkappa }}\mathrm{.}$                                    

В результате интегрирования дифференциального уравнения получим

$C_1\left(\xi \right)=\beta {\left(\frac{\varkappa \xi +1}{\varkappa +1}\right)}^{1-1/\varkappa }+C_2\mathrm{,}$ (12)

где $\beta =\left(\varkappa +1\right)/\left(1-\varkappa \right)$.

Подставим выражение (12) в (8), с учетом замены $y=f^2\left(\xi \right)$ получим выражение для характеристики:

$f\left(\xi \right)=\pm \sqrt{C_2{\left(\frac{\varkappa \xi +1}{\varkappa +1}\right)}^{\left(\varkappa +1\right)/\varkappa }+\beta {\left(\frac{\varkappa \xi +1}{\varkappa +1}\right)}^2=}\pm c_0\sqrt{\beta +c_0^{\left(1-\varkappa \right)/\varkappa }{C}_2}\mathrm{.}$ (13)

Здесь $c_0=\left(\varkappa \xi +1\right)/\left(\varkappa +1\right)$. При этом $c_0\left(0\right)>0$, т. е. функции $c_0$ и $c_0^{-1}$ являются аналитическими в некоторой окрестности точки $\xi =0$.

Константу $C_2$ в (13) определим из условий на границе с вакуумом $c_0\left(-1/\varkappa \right)=0$ и покоем $c_0\left(1\right)=1$. Окончательное выражение для звуковой характеристики при $\varkappa \ne 1\left(\gamma \ne 3\right)$:

$f\left(\xi \right)=\pm c_0\sqrt{\beta +c_0^{\left(1-\varkappa \right)/\varkappa }\left(t{g}^2\alpha -\beta \right)}\mathrm{.}$ (14)

Функции (11) и (14) также являются аналитическими в некоторой окрестности точки $\xi =0$.

5. Вторая замена переменных. Далее делается новая замена переменных. Вместо переменных $\vartheta$ и $\xi$ по формулам

$\left\{\begin{array}{l}{\vartheta }^{\text{'}}=\vartheta \mathrm{,}\\ \zeta =\vartheta +f\left(\xi \right)-\xi \alpha \end{array}\right.$ (15)

берутся новые независимые переменные ${\vartheta }^{\text{'}}$ и $\zeta$.

Уравнение косой стенки $y=x\alpha$, или $y/t=\left(x/t\right)\alpha$, отсюда $\eta =\xi \alpha$. С учетом замен (3) и (15) эта прямая в переменных $\zeta$ и $\vartheta$ имеет вид $\zeta =0$, то есть при замене (15) косая стенка берется за новую координатную ось.

Якобиан последней замены переменных (15) следующий:

$J_2=\left|\begin{array}{cc}\frac{\partial \zeta }{\partial \vartheta }& \frac{\partial \zeta }{\partial \xi }\\ \frac{\partial {\vartheta }^{\text{'}}}{\partial \vartheta }& \frac{\partial {\vartheta }^{\text{'}}}{\partial \xi }\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc}1& f^{\text{'}}\left(\xi \right)-\alpha \\ 1& 0\end{array}\right|=\alpha -f^{\text{'}}\left(\xi \right).$                          

Чтобы замена (15) была невырожденной, необходимо выполнение следующего неравенства:

$J_2=\alpha -f^{\text{'}}\left(\xi \right)\cancel{=}\mathrm{0,}$ (16)

то есть наклон косой стенки не равен наклону звуковой характеристики, разделяющей ЦВ и ДВ.

Производную функции $f\left(\xi \right)$ можно выразить из уравнения (5):

$f^{\text{'}}\left(\xi \right)=\frac{1}{2}\left(\frac{f}{c_0}-\frac{c_0}{f}\right).$ (17)

Докажем неравенство (16) методом от противного. Пусть $\alpha -f^{\text{'}}\left(\xi \right)=0$ тогда с учетом (17) получим

$\frac{f^2-2c_0\alpha f-c_0^2}{c_{0}f}=0$. (18)

Знаменатель дроби (18) не равен нулю, отсюда получим квадратное уравнение для функции $f\left(\xi \right)$:

$f^2-2c_0\alpha f-c_0^2=0$ (19)

Решением (19) будет выражение для функции $f\left(\xi \right)$:

$f\left(\xi \right)=c_0\left(tg\alpha \pm \sqrt{t{g}^2\alpha +1}\right)$.

Видно, что выражение для функции $f\left(\xi \right)$ не совпадает с полученным ранее (14) и (11), следовательно, неравенство (16) выполняется, что и требовалось доказать.

Из соотношения

$\zeta -\vartheta =f\left(\xi \right)-\xi tg\alpha \mathrm{,}$ (20)

неявно задающего с учетом неравенства (16) функцию $\xi$ от $\left(\zeta -\vartheta \right)$, однозначно определяется равенство

$\xi =\phi \left(\zeta -\vartheta \right)$ (21)

Однако дальше для простоты записи будем сохранять обозначения $f\left(\xi \right)$, $f^{\text{'}}\left(\xi \right)$, $c_0\left(\xi \right)$, естественно, подразумевая наличие связи (21).

При второй замене производные заменяются по следующим формулам:

$\frac{\partial }{\partial \vartheta }=\frac{\partial }{\partial {\vartheta }^{\text{'}}}+\frac{\partial }{\partial \zeta }\mathrm{,}\frac{\partial }{\partial \xi }\text{=}\left[f^{\text{'}}\left(\xi \right)-\alpha \right]\frac{\partial }{\partial \zeta }\mathrm{.}$

В результате система уравнений с частными производными задачи (4) будет иметь следующий вид:

$\left[B-f^{\text{'}}\left(\xi \right)A\right]\left[U_{\vartheta }+U_{\zeta }\right]+\left[f^{\text{'}}\left(\xi \right)-\alpha \right]A{U}_{\zeta }=0$,                         

где штрих у переменной ${\vartheta }^{\text{'}}$ опущен. Отсюда начально-краевая задача (4) будет иметь вид

$\left\{\begin{array}{l}\left[B-f^{\text{'}}\left(\xi \right)A\right]U_{\vartheta }+\left[B-\alpha tgA\right]U_{\zeta }=0,\\ U{|}_{\vartheta =0}=U_0\mathrm{,}\\ v{|}_{\zeta =0}=utg\alpha {|}_{\zeta =0}\mathrm{.}\end{array}\right.$ (22)

При этом вид матрицы $\left[B-\alpha tgA\right]$ следующий:

$\left[B-\alpha tgA\right]=$

$=\left(\text{}\begin{array}{ccc}v-\vartheta -f-tg\alpha \left(u-\xi \right)\text{}& -\varkappa ctg\alpha & \varkappa c\\ -\frac{c}{\varkappa }tg\alpha & \text{}v-\vartheta -f-tg\alpha \left(u-\xi \right)\text{}& 0\\ \frac{c}{\varkappa }& 0& \text{}v-\vartheta -f-tg\alpha \left(u-\xi \right)\end{array}\text{}\right)\mathrm{.}$

6. Приведение начально-краевой задачи к ХЗК стандартного вида. Приведем начально-краевую задачу (22) к ХЗК стандартного вида. Для этого построим две невырожденные матрицы, элементы которых есть функции независимой переменной $\xi$:

$T_1=\left(\text{}\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 1& 0& 0\\ c_0{f}^{\text{'}}-f& \varkappa c_0{f}^{\text{'}}& -\varkappa c_0\end{array}\text{}\right)\mathrm{,}{T}_1^{-1}=\left(\text{}\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 1& 0& 0\\ f^{\text{'}}& \left(c_0{f}^{\text{'}}-c_0\right)\text{/}\varkappa c_0& -1/\varkappa c_0\end{array}\text{}\right)\mathrm{,}$ 

$T_2=\left(\text{}\begin{array}{ccc}1& 0& c_0{f}^{\text{'}}-f\\ 0& 1& c_0{f}^{\text{'}}/\varkappa \\ 0& 0& -c_0/\varkappa \end{array}\text{}\right)\mathrm{,}{T}_2^{-1}=\left(\text{}\begin{array}{ccc}1& 0& \varkappa \left(c_0{f}^{\text{'}}-f\right)/c_0\\ 0& 1& f^{\text{'}}\\ 0& 0& -\varkappa /c_0\end{array}\text{}\right)\mathrm{.}$

СУГД из задачи (22) слева умножается на матрицу $T_1$, а вектор $U$ заменяется новым вектором $W$, который определяется следующим образом:

$W=T_2^{-1}=U=\left(\text{}\begin{array}{c}{w}_1\\ w_2\\ w_3\end{array}\text{}\right)=\left(\text{}\begin{array}{c}c+v\frac{\varkappa }{c_0}\left(c_0{f}^{\text{'}}-f\right)\\ u+v{f}^{\text{'}}\\ -\frac{\varkappa }{c_0}v\end{array}\text{}\right)\mathrm{.}$

Эти преобразования невырожденные. Для вектора $\mathit{W}$ записывается начально-краевая задача — задача (22), приведенная к ХЗК стандартного вида:

$\left\{\begin{array}{l}{T}_1\left[B-f^{\text{'}}\left(\xi \right)A\right]T_2{\mathit{W}}_{\vartheta }+T_1\left[B-\alpha A\right]T_2{\mathit{W}}_{\zeta }+\\ +T_1\left[B-\alpha A\right]\frac{\partial T_2}{\partial \xi }\frac{\mathit{W}}{f^{\text{'}}-\alpha }=0,\\ \mathit{W}{|}_{\vartheta =0}={\mathit{W}}_0\mathrm{,}\\ v{|}_{\zeta =0}=u\alpha {|}_{\zeta =0}\mathrm{.}\end{array}\right.$ (23)

Входные данные задачи (23) являются аналитическими функциями в некоторой окрестности точки $\left(\vartheta =0, \zeta =0\right)$.

Далее используется двойной индекс. Первый из них обозначает номер искомой функции, второй — номер коэффициента в разложении этой функции в степенной ряд по $\vartheta$. Отсюда определяется вектор ${\mathit{W}}_{\mathbf{0}}$:

${\mathit{W}}_{\mathbf{0}}\begin{array}{l}={\left(w_{\mathrm{1,0}}\mathrm{,}{w}_{\mathrm{2,0}}\mathrm{,}{w}_{\mathrm{3,0}}\right)}^T\end{array}={\begin{array}{l}\left(c_0\mathrm{,}{u}_0\mathrm{,}0\right)\end{array}}^{\top }\mathrm{.}$

Построим краевое условие для задачи (23) через компоненты вектора $\mathit{W}$. Поскольку

$w_1=c+\left[c_0\left(\xi \right)f\left({}^{\text{'}}\xi \right)-f\left(\xi \right)\right]\frac{\varkappa }{c_0\left(\xi \right)}v\mathrm{,}{w}_2=u+f^{\text{'}}\left(\xi \right)v\mathrm{,}{w}_3=-\frac{\varkappa }{c_0\left(\xi \right)}v\mathrm{,}$        

можно записать, что

$v=-\frac{\varkappa }{c_0\left(\xi \right)}{w}_3\mathrm{,}u=w_2+\frac{\varkappa }{c_0\left(\xi \right)}{f}^{\text{'}}\left(\xi \right)w_3\mathrm{.}$

Краевое условие (условие непротекания)

$v{|}_{\zeta =0}=u\alpha {|}_{\zeta =0}$                                              

записывается таким образом:

$-\frac{\varkappa }{c_0\left(\xi \right)}{w}_3{|}_{\zeta =0}=\alpha \left[w_2+\frac{\varkappa }{c_0\xi }{f}^{\text{'}}\left(\xi \right)w_3\right]{|}_{\zeta =0}\mathrm{,}$                           

то есть

$-\frac{\varkappa }{c_0\left(\xi \right)}\left[1+f^{\text{'}}\left(\xi \right)\alpha \right]w_3{|}_{\zeta =0}=w_2\alpha {|}_{\zeta =0}\mathrm{,}$                              

или

$w_3{|}_{\zeta =0}=-\frac{c_0\left(\xi \right)}{\varkappa }\frac{\alpha }{1+f^{\text{'}}\left(\xi \right)\alpha }{w}_2{|}_{\zeta =0}.$

Запишем краевое условие задачи (23) с учетом неявной связи между переменными $\zeta$, $\vartheta$ и $\xi$, задаваемой соотношениями (20) и (21):

$w_3{|}_{\zeta =0}=-\left[\frac{c_0\left(\phi \left(\zeta -\vartheta \right)\right)}{\varkappa }\frac{\alpha }{1+{f^{\text{'}}}_{\xi }\left(\phi \left(\zeta -\vartheta \right)\right)\alpha }\right]{|}_{\zeta =0}{w}_2{|}_{\zeta =0}\mathrm{.}$

Множитель, стоящий перед коэффициентом $w_2$, обозначим следующим образом:

$g\left(\vartheta \right)=-\left[\frac{c_0\left(\phi \left(\zeta -\vartheta \right)\right)}{\varkappa }\frac{\alpha }{1+{f^{\text{'}}}_{\xi }\left(\phi \left(\zeta -\vartheta \right)\right)\alpha }\right]{|}_{\zeta =0}\mathrm{.}$ (24)

Окончательно начально-краевая задача имеет вид

$\left\{\begin{array}{l}{T}_1\left[B-f^{\text{'}}\left(\xi \right)A\right]T_2{\mathit{W}}_{\vartheta }+T_1\left[B-\alpha A\right]T_2{\mathit{W}}_{\zeta }+\\ +T_1\left[B-\alpha A\right]\frac{\partial T_2}{\partial \xi }\frac{\mathit{W}}{f^{\text{'}}-\alpha }=0,\\ \mathit{W}{|}_{\vartheta =0}={\mathit{W}}_{\mathbf{0}}\mathrm{,}\\ w_3{|}_{\zeta =0}=g\left(\vartheta \right)w_2{|}_{\zeta =0}\mathrm{.}\end{array}\right.$ (25)

Входные данные задачи (25), включая краевое условие, также являются аналитическими функциями в некоторой окрестности точки $\left(\vartheta =0, \zeta =0\right)$.

Система из задачи (25) на плоскости $\vartheta =0$ имеет вид

$\left(\text{}\begin{array}{ccc}-\frac{c_0}{\varkappa }{f^{\text{'}}}_{\xi }& c_0{f^{\text{'}}}_{\xi }-f& 0\\ c_0{f^{\text{'}}}_{\xi }-f& -\varkappa c_0{f^{\text{'}}}_{\xi }& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\text{}\right)\left(\text{}\begin{array}{l}{w}_{\mathrm{1,1}}\\ w_{\mathrm{2,1}}\\ w_{\mathrm{3,1}}\end{array}\text{}\right)+$

$+\left(\text{}\begin{array}{ccc}\frac{c_0}{\varkappa }\alpha & c_0\alpha -f& -\frac{c_0}{\varkappa }f\left({f^{\text{'}}}_{\xi }-\alpha \right)\\ c_0\alpha -f& -\varkappa c_0\alpha & c_{0}f\left({f^{\text{'}}}_{\xi }-\alpha \right)\\ c_{0}f\left({f^{\text{'}}}_{\xi }-\alpha \right)& -\varkappa c_{0}f\left({f^{\text{'}}}_{\xi }-\alpha \right)& -c_0\left({f^{\text{'}}}_{\xi }-\alpha \right)\left(f^2+c_0^2\right)\end{array}\text{}\right)\left(\text{}\begin{array}{c}{w^{\text{'}}}_{\mathrm{1,0}\zeta }\\ {w^{\text{'}}}_{\mathrm{2,0}\zeta }\\ {w^{\text{'}}}_{\mathrm{3,0}\zeta }\end{array}\text{}\right)+$

$+\left(\text{}\begin{array}{ccc}0& 0& -\frac{\frac{c_0}{\varkappa }{f}^{\text{'}}\alpha +\frac{c_0}{\varkappa }f{f^{\text{'}}}^{\text{'}}+{u^{\text{'}}}_{0}f{f}^{\text{'}}}{{f^{\text{'}}}_{\xi }-\alpha }\\ 0& 0& \frac{c_0{f}^{\text{'}}\alpha -c_{0}f{f^{\text{'}}}^{\text{'}}+{u^{\text{'}}}_{0}f{f}^{\text{'}}-{c^{\text{'}}}_0{c}_0}{{f^{\text{'}}}_{\xi }-\alpha }\\ 0& 0& c_{0}f{f^{\text{'}}}^{\text{'}}\left(c_0-\varkappa \right)-{u^{\text{'}}}_{0}f{f}^{\text{'}}\left(c_0+\varkappa \right)-{c^{\text{'}}}_0{c}_0^2\end{array}\text{}\right)\left(\text{}\begin{array}{l}{w}_{\mathrm{1,0}}\\ w_{\mathrm{2,0}}\\ w_{\mathrm{3,0}}\end{array}\text{}\right)=\left(\text{}\begin{array}{l}0\\ 0\\ 0\end{array}\text{}\right)\mathrm{.}$ (26)

Проверим необходимое условие разрешимости системы (26). Для этого распишем третье уравнение системы:

$0+c_{0}f\left({f^{\text{'}}}_{\xi }-\alpha \right)\left({w^{\text{'}}}_{\mathrm{1,0}\zeta }-\varkappa {w^{\text{'}}}_{\mathrm{2,0}\zeta }\right)-c_0\left({f^{\text{'}}}_{\xi }-\alpha \right)\left(f^2+c_0^2\right){w^{\text{'}}}_{\mathrm{3,0}\zeta }+$

$+\left[c_{0}f{f^{\text{'}}}^{\text{'}}\left(c_0-\varkappa \right)-{u^{\text{'}}}_{0}f{f}^{\text{'}}\left(c_0+\varkappa \right)-{c^{\text{'}}}_0{c}_0^2\right]w_{\mathrm{3,0}}=0.$ (27)

С учетом явного вида $w_{\mathrm{1,0}}$, $w_{\mathrm{2,0}}$, $w_{\mathrm{3,0}}$ будем иметь

$\left({w^{\text{'}}}_{\mathrm{1,0}\zeta }-\varkappa {w^{\text{'}}}_{\mathrm{2,0}\zeta }\right)=\frac{1}{{f^{\text{'}}}_{\xi }-\alpha }\left({w^{\text{'}}}_{\mathrm{1,0}\xi }-\varkappa {w^{\text{'}}}_{\mathrm{2,0}\xi }\right)=\frac{{c^{\text{'}}}_0-\varkappa {u^{\text{'}}}_0}{{f^{\text{'}}}_{\xi }-\alpha }\equiv 0.$

Для второго слагаемого будем иметь

${w^{\text{'}}}_{\mathrm{3,0}\zeta }{=w^{\text{'}}}_{3\zeta }{|}_{\vartheta =0}=-\frac{\varkappa }{c_0}{v^{\text{'}}}_{\zeta }{|}_{\vartheta =0}=-\frac{\varkappa }{c_0}\frac{v_{\xi }{|}_{\vartheta =0}}{{f^{\text{'}}}_{\xi }-\alpha }=-\frac{\varkappa }{c_0}\frac{{v^{\text{'}}}_0}{{f^{\text{'}}}_{\xi }-\alpha }\equiv 0.$

Так как $w_3{|}_{\vartheta =0}=w_{\mathrm{3,0}}=0$, последнее слагаемое уравнения (27) равно нулю, и уравнение (27) обращается в тождество — необходимое условие разрешимости выполняется.

Таким образом, для системы из задачи (26) вид матриц удовлетворяет условиям аналога теоремы Ковалевской [14]:

1. матрица размерностью 3x3 при векторе производных $W_{\vartheta }$ на плоскости $\vartheta =0$ в левом верхнем углу имеет ненулевой минор размерностью $2\times 2$:

$\left|\begin{array}{cc}-\frac{c_0}{\varkappa }{f^{\text{'}}}_{\xi }& c_0{f^{\text{'}}}_{\xi }-f\\ c_0{f^{\text{'}}}_{\xi }-f& -\varkappa c_0{f^{\text{'}}}_{\xi }\end{array}\right|=c_0^2{f^{\text{'}}}_{\xi }^2-{\left(c_0{f^{\text{'}}}_{\xi }-f\right)}^2\cancel{=}0;$                         

 остальные элементы матрицы равны нулю;

2. в матрице, стоящей перед вектором производных ${\mathit{W}}_{\zeta }$, элемент из третьей строки и третьего столбца

$-c_0\left({f^{\text{'}}}_{\xi }-\alpha \right)\left(f^2+c_0^2\right)$                                          

не равен 0, т. к. справедливо неравенство $f^{\text{'}}-\alpha \ne 0$.

Следовательно, получившаяся задача (25) является ХЗК стандартного вида [14]. Таким образом, доказана

Теорема. Поставленная задача (25) при найденной функции $f\left(\xi \right)$ является характеристической задачей Коши стандартного вида и поэтому у нее в некоторой окрестности точки $\left(\zeta =0, \vartheta =0\right)$ существует единственное локально-аналитическое решение, представимое в виде сходящегося ряда

$\mathit{W}\left(\zeta \mathrm{,}\vartheta \right)\underset{k=0}{\overset{\infty }{=\sum }}{\mathit{W}}_k\left(\zeta \right)\frac{{\vartheta }^k}{k!};{\mathit{W}}_k\left(\zeta \right)=\frac{{\partial }^k\mathit{W}}{\partial {\vartheta }^k}{|}_{\vartheta =0}\mathrm{.}$ (28)

7. Алгоритм построения решения рассматриваемой ХЗК. Коэффициенты ряда (28) с номером ноль $w_{\mathrm{1,0}}$, $w_{\mathrm{2,0}}$, $w_{\mathrm{3,0}}$ определяются из начальных условий.

Для определения коэффициентов ряда с номером один в системе из задачи (25) полагается $\vartheta =0$. Тогда из первых двух уравнений системы задачи (25) как из системы линейных алгебраических выражений (СЛАУ) для $w_{\mathrm{1,1}}$, $w_{\mathrm{2,1}}$ находятся в виде аналитических функций коэффициенты ряда (28) с номером один для двух первых искомых функций: $w_{\mathrm{1,1}}$, $w_{\mathrm{2,1}}$.

А третье уравнение из системы задачи(25) при $\vartheta =0$ становится необходимым условием разрешимости рассматриваемой ХЗК — дополнительным соотношением на коэффициенты $w_{\mathrm{1,0}}$, $w_{\mathrm{2,0}}$, $w_{\mathrm{3,0}}$. В данной задаче эти необходимые условия выполняются автоматически, поскольку начальные условия в задаче (25) являются ее частным решением, и это напрямую проверено предыдущими выкладками.

После этого третье уравнение из задачи (25) дифференцируется по $\vartheta$ и полагается $\vartheta =0$. В полученном соотношении коэффициенты перед коэффициентами $w_{\mathrm{1,2}}$, $w_{\mathrm{2,2}}$, $w_{\mathrm{3,2}}$равны нулю. В оставшихся слагаемых величины $w_{\mathrm{1,1}}$, $w_{\mathrm{2,1}}$ и их производные по $\zeta$ известны, а неизвестным является коэффициент $w_{\mathrm{3,1}}$ и его производная по $\zeta$.

Это соотношение рассматривается как обыкновенное дифференциальное уравнение для $w_{\mathrm{3,1}}$ с производной этой искомой функции по переменной $\zeta$ (транспортное уравнение). Для однозначной разрешимости этого уравнения требуются два условия:

1. коэффициент перед соответствующей производной $w_{\mathrm{3,1}\zeta }$, то есть коэффициент $-c_0\left({f^{\text{'}}}_{\xi }-\alpha \right)\left(f^2+c_0^2\right)$, отличен от нуля при $\vartheta =\zeta =0$, поскольку ${f^{\text{'}}}_{\xi }-\alpha \cancel{=}0$;
2. для функции $w_{\mathrm{3,1}}$ задано начальное условие при $\zeta =0$.

Выше показано, что оба условия выполняются. Начальное условие для транспортного уравнения получается следующим образом: краевое условие из задачи (25) дифференцируется по $\vartheta$ и в получившемся соотношении

$w_{3\vartheta }{|}_{\zeta =0}=\left[g^{\text{'}}\left(\vartheta \right)w_2+g\left(\vartheta \right)w_{2\vartheta }\right]{|}_{\zeta =0}$                                 

полагается $\vartheta =0$ 

$w_{\mathrm{3,1}}{|}_{\zeta =0}=\left[g^{\text{'}}\left(0\right)w_{\mathrm{2,0}}+g\left(0\right)w_{\mathrm{2,1}}\right]{|}_{\zeta =0}\mathrm{.}$ (29)

Здесь $g\left(0\right)$ и $g^{\text{'}}\left(0\right)$ — значения функции $g\left(\vartheta \right)$ (24) и ее производной по $\vartheta$ при $\vartheta =0$.

Поскольку коэффициенты $w_{\mathrm{2,0}}$ и $w_{\mathrm{2,1}}$ известны, а значит известны их значения при $\zeta =0$, последнее соотношение (29) и дает начальное условие для обыкновенного дифференциального уравнения для коэффициента $w_{\mathrm{3,1}}$, которое имеет единственное аналитическое решение.

Построение следующих коэффициентов ряда (28) производится следующим образом.

Первые два уравнения системы из задачи (25) дифференцируются $k$ раз по $\vartheta$ и полагается $\vartheta =0$. Из этих двух получившихся соотношений как из СЛАУ с отличным от нуля определителем находятся коэффициенты $w_{\mathrm{1,}k+1}$, $w_{\mathrm{2,}k+1}$ в виде аналитических функций.

После этого третье уравнение системы из задачи (25) дифференцируется $\left(k+1\right)$ раз по $\vartheta$ и полагается $\vartheta =0$. В получившемся соотношении коэффициенты перед величинами $w_{\mathrm{1,}k+2}$, $w_{\mathrm{2,}k+2}$, $w_{\mathrm{3,}k+2}$ равны нулю и это последнее соотношение становится обыкновенным дифференциальным уравнением для искомой функции $w_{\mathrm{3,}k+1}$. Коэффициент перед соответствующей производной отличен от нуля, то есть функция $-c_0\left({f^{\text{'}}}_{\xi }-\alpha \right)\left(f^2+c_0^2\right)$ при $\zeta =0$ отлична от нуля. Поэтому при задании для этого обыкновенного дифференциального уравнения начального условия функция $w_{\mathrm{3,}k+1}$ определится однозначно в виде аналитической функции. Требуемое начальное условие получится после дифференцирования $\left(k+1\right)$ раз по $\vartheta$ краевого условия из задачи (25) и после подстановки в получившееся соотношение значения $\vartheta =0$. Все коэффициенты $w_{\mathrm{2,}l}$, $0\le l\le k+1$ к этому моменту известны.

Построение решения задачи (25) в виде ряда (28) закончено.

Заключение

1. В данной работе поставлена начально-краевая задача для СУГД, решение которой описывает движение газа при истечении в вакуум с косой стенки в пространстве физических автомодельных переменных $x/t$, $y/t$.
2. В результате двух невырожденных замен исходная задача приведена к виду стандартной ХЗК в пространстве переменных $\vartheta$, $\zeta$, где значение $\vartheta =0$ означает, что за новую координатную ось выбирается звуковая характеристика, а значение $\zeta =0$ означает, что за новую координатную ось выбирается косая стенка.
3. Из анализа элементов матриц системы, стоящих перед производными $W_{\vartheta }$ и $W_{\zeta }$ в системе с частными производными, доказана теорема существования и единственности решения начально-краевой задачи для СУГД, решение которой описывает истечение газа с косой стенки в вакуум.

Конкурирующие интересы. Конкурирующих интересов не имею.

Авторская ответственность. Я несу полную ответственность за предоставление окончательной версии рукописи в печать. Окончательная версия рукописи мною одобрена.

Финансирование. Исследование выполнялось без финансирования.

Благодарность. Автор выражает благодарность и признательность своему научному руководителю профессору С. П. Баутину и рецензентам рукописи статьи за внимание, помощь и поддержку.

About the authors

Eugeny I. Pon’kin

Snezhinsk Physic Institute of the National Research Nuclear University MEPhI

Author for correspondence.
Email: epnk@rambler.ru
ORCID iD: 0000-0002-7848-3167
SPIN-code: 5566-8860
Scopus Author ID: 57222760792
http://www.mathnet.ru/person186131

Postgraduate Student

Russian Federation, 8, Komsomolskay st., Snezhinsk, 456776

References

Supplementary files