Creep and long-term fracture of a narrow rectangular membrane inside a rigid low matrix with proportional dependence on the transverse pressure on time

Full Text

Введение

Рассмотрим ползучесть вплоть до разрушения длинной узкой прямоугольной мембраны, закрепленной вдоль длинных сторон и нагруженной равномерным поперечным давлением $q$, которое возрастает пропорционально времени $t$. Решение этой задачи при постоянной и кусочно-постоянной зависимостях $q(t)$ при различных физических и геометрических условиях приведено в монографиях Л. М. Качанова [1], Одквиста (F.K.G. Odqvist) [2], Сторакерса (B. Storåkers) [3], Н. Н. Малинина [4] и др. Особый интерес представляет исследование ползучести рассматриваемой мембраны внутри жесткой матрицы. В монографиях [4, 5] рассмотрен цикл задач о ползучести такой мембраны внутри жесткой матрицы. В [5] приведены решения задач при учете различных форм матриц: клиновидной, криволинейной и прямоугольной при двух типах контактных условий на границе мембраны: идеальное скольжение и прилипание. В [6] исследуется ползучесть длинной узкой мембраны внутри низкой жесткой матрицы при кусочно-постоянной зависимости величины поперечного давления от времени, исследование проведено при двух вариантах контакта матрицы и мембраны: идеальное скольжение и прилипание. В [7] проведено исследование установившейся ползучести мембраны внутри низкой жесткой матрицы при пропорциональной зависимости величины поперечного давления от времени. Расчеты проводятся до времени практически полного прилегания мембраны к матрице. Проведено сравнение этих времен при различных контактных условиях. А. Б. Ефимов с соавторами [8] составили обзор основных феноменологических закономерностей, описывающих постановку задачи контактного взаимодействия общего вида. Во всех этих работах исследуется только ползучесть мембраны, длительное разрушение не рассматривается. 

В конце 50-х годов ХХ века Л. М. Качанов и Ю. Н. Работнов пришли к выводу, что используемые в то время термины механики деформируемого твердого тела (тензоры напряжений и деформаций и вектор перемещений) недостаточны для описания процесса длительного разрушения материалов и элементов конструкций в условиях ползучести. Ими был предложен новый подход к исследованию длительной прочности, этот подход был назван кинетическим. Он основан на использовании введенного Л. М. Качановым [9] и Ю. Н. Работновым [10] параметра поврежденности и разработанной впоследствии Ю. Н. Работновым [11] кинетической теории ползучести и длительной прочности.

Основой этого подхода при одноосном растяжении является введение скалярного параметра поврежденности $\omega(t)$, характеризующего структурное состояние материала при произвольном значении времени $t$. Исходному состоянию материала (при $t=0$) соответствует значение $\omega=0$, при разрушении (при $t=t^*$) поврежденность ${\omega(t^*) =1}$. При рассмотрении длительной прочности в случае одноосного растяжения Л. М. Качанов [9] дополнил уравнение ползучести дифференциальным кинетическим уравнением, характеризующим изменение параметра $\omega$ во времени, а Ю. Н. Работнов [12] дополнительно ввел параметр $\omega$ в уравнение ползучести (для учета влияния процесса накопления поврежденности в процессе ползучести).

В настоящей работе этот подход применяется к решению краевой задачи реологического деформирования и разрушения узкой прямоугольной мембраны внутри жесткой матрицы при заданном давлении.

 

1. Постановка задачи

В работе изучается процесс деформирования длинной узкой прямоугольной мембраны в условиях ползучести вплоть до ее разрушения (рис. 1).  Мембрана закреплена вдоль своих длинных сторон и расположена внутри низкой жесткой матрицы прямоугольной формы. $H_0$ — толщина мембраны; $2a$ — ширина мембраны и матрицы; $L$  — длина мембраны и матрицы; $b$ — высота матрицы, при этом справедливы следующие неравенства: $2a/L \ll 1$,  $b/a\leqslant 1$ (низкая матрица).

 

Рис. 1. Общая схема деформирования прямоугольной мембраны внутри жесткой матрицы
[Figure 1. General scheme of deformation of a rectangular membrane inside a rigid matrix]

 

Величина поперечного давления $q$ зависит от времени $t$ пропорционально:
\[
q(t)=\dot{q}t,
\] 
где $\dot{q}={\rm const}$ — скорость возрастания величины $q$, точкой всюду обозначаются производные по времени $t$.

Деформирование мембраны в условиях ползучести рассматривается как последовательность трех стадий. На первой стадии мембрана деформируется в свободных условиях вплоть до касания поперечной стороны жесткой матрицы. На второй стадии она деформируется при касании поперечной стенки матрицы вплоть до касания ее продольных стенок. На третьей стадии она уже деформируется при одновременном касании продольных и поперечной стенок матрицы.

Задача рассматривается в стандартной цилиндрической системе координат, поэтому при моделировании напряженно-деформированного состояния при $t>0$ рассматриваются радиальное $\sigma _{rr} $, окружное $\sigma _{\theta \theta } $ и осевое $\sigma _{zz} $ главные напряжения и соответствующие компоненты тензора деформаций ползучести $p_{rr} $, $p_{\theta \theta } $ и $p_{zz} $. Недиагональные компоненты тензоров напряжений и деформаций равны нулю.

Рассмотрим элемент мембраны [4]. Принимаем напряжения в элементе равномерно распределенными по толщине и, записывая уравнения равновесия в проекциях на нормаль и касательную, получаем
\[\begin{equation} \tag{1}
{\sigma }_{\theta \theta }={q\rho}/{H}, \quad d(\sigma_{\theta\theta}H)=0,
\end{equation}\] 
где $\rho $ — радиус кривизны срединной поверхности, $H$ — толщина мембраны. Следовательно,
\[\begin{equation} \tag{2}
\sigma _{\theta \theta } H={\rm const}. 
\end{equation} \]

Сопоставляя равенства (1) и (2), заключаем, что рассматриваемый радиус кривизны срединной поверхности мембраны $\rho ={\rm const}$ во всех ее точках, т.е. срединная поверхность мембраны при ее деформировании, является частью поверхности кругового цилиндра с углом раствора $2\alpha $ [4]. Следствием принятых предположений является то, что толщина мембраны постоянна по своей длине в процессе деформации ползучести. Следовательно, согласно равенству (1), окружное напряжение $\sigma _{\theta \theta } $ по длине окружности радиуса $\rho $ не изменяется.

Целью данного исследования является определение зависимости времени до разрушения мембраны $t^*$ от величины скорости возрастания величины поперечного давления $\dot{q}$, в случае разрушения на $i$-той стадии  эти параметры будем обозначать через $t^*_i$ и ${\dot{q}}_i$ соответственно, $i=1, 2, 3$.

Для учета накопления поврежденности в материале мембраны в процессе ползучести вводится тензорный параметр поврежденности $\omega_{ij}(t)$, который при активном нагружении ($\dot{q}>0$) удовлетворяет следующим уравнениям:
\[\begin{equation}
\tag{3}
\frac{d{\omega}_{ij}}{dt}=\frac{3}{2} F(\sigma_{ij}, \omega_{ij}, t)s_{ij} \text{  при  } s_{ij} >0, 
\quad  \frac{d\omega _{ij}}{dt}=0 \text{  при  } s_{ij}\leqslant 0,  
\end{equation}\]
где $s_{ij}$ — компоненты девиатора напряжений.

Для описания ползучести мембраны при $t>0$  с учетом накопления поврежденности материала вплоть до ее разрушения рассмотрим гипотезу пропорциональности девиаторов напряжений и девиаторов скоростей деформаций ползучести при учете несжимаемости материала в следующем виде (в дальнейшем $\omega_u$ представляет собой аналог интенсивности напряжений $\sigma_u$):
\[\begin{equation} 
\tag{4}
\begin{cases}
\dot{p}_{ij}=\dfrac{3}{2}\dfrac{A{\sigma }^{n-1}_u}{{ (1-{\omega }_{u} )}^n}s_{ij},\quad p_{ij}(0)=0;
\\
{\sigma }_u=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\sqrt{{({\sigma }_{rr}-{\sigma }_{\theta \theta })}^2+{({\sigma }_{\theta \theta }-{\sigma }_{zz})}^2+{({\sigma }_{zz}-{\sigma }_{rr})}^2}; 
\\
{\omega }_u=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\sqrt{{({\omega }_{rr}-{\omega }_{\theta \theta })}^2+{({\omega }_{\theta \theta }-{\omega }_{zz})}^2+{({\omega }_{zz}-{\omega }_{rr})}^2},
\end{cases}
\end{equation}\]
где $p_{ij}$ — компоненты тензора деформаций ползучести; $A$, $n$ — постоянные величины соответствующей размерности.

В рассматриваемом плоском деформированном состоянии скорость осевой деформации ползучести $\dot{p}_{zz}$ принимается равной нулю:
\[\begin{equation} \tag{5}
\dot{p}_{zz} =0. 
\end{equation} \]
Примем, как обычно для тонкостенных цилиндрических оболочек, равенство
\[\begin{equation} \tag{6} 
\sigma _{rr} =0.
\end{equation} \]
В этом случае из гипотезы пропорциональности девиаторов напряжений и скоростей деформаций ползучести (4) при учете (5), (6) следует
\[
\sigma_{zz} =\frac{1}{2} \sigma _{\theta \theta } ,\quad  {\sigma }_u=\frac{\sqrt{3}}{2}{\sigma }_{\theta \theta }. 
\] 
Компоненты девиатора напряжений $s_{ij} $ в мембране определяются соотношениями
\[
s_{\theta \theta } =\frac{\sigma _{\theta \theta } }{2} >0,\quad 
s_{zz} =0,\quad 
s_{rr} =-\frac{\sigma _{\theta \theta } }{2} <0,\quad 
s_{\theta z} =s_{rz} =s_{r\theta } =0.
\] 
Следовательно, в соответствии с (3) в тензоре поврежденности $\omega_{ij}$ только одна компонента $\omega_{\theta\theta}$ — ненулевая, т.е. параметр поврежденности в данной задаче имеет скалярный характер: $\omega=\omega(t)$. Примем кинетическое уравнение (3) в форме
\[\begin{equation} 
\tag{7}
\frac{d\omega }{dt}=\frac{B{\sigma }_{\theta \theta }^k}{{\left(1-\omega \right)}^m},\quad \omega(0)=0.  
\end{equation} \]

Таким образом, ползучесть мембраны внутри прямоугольной матрицы вплоть до разрушения определяется из системы 
определяющего уравнения
\[\begin{equation} 
\tag{8}
\dot{p}_{\theta\theta}=\frac{3}{2}\frac{A\sigma_{u}^{n-1}}{(1-\omega)^{n}} s_{\theta\theta} =
\frac{\sqrt{3}}{2}\frac{A\bigl(\frac{\sqrt{3}}{2}\sigma _{\theta\theta}\bigr)^{n}}{(1-\omega)^{n}} ,\quad p_{\theta \theta }(0)=0 ,
\end{equation} \]
и кинетического уравнения (7), а момент разрушения $t=t^{*}$ характеризуется условием
\[\begin{equation} \tag{9}
\omega(t^*)=1.  
\end{equation} \]

Из уравнения (7) после серии преобразований получаем
\[\begin{equation}
\tag{10}
(1-\omega)^n=\biggl( 1-(m+1)B\int^t_0 {\sigma }_{\theta \theta } ^kdt \biggr)^{\frac{n}{m+1}}.
\end{equation}\]
Подставляя выражение $(1-\omega)^n$ в уравнение (8), получаем выражение для скорости окружной компоненты тензора деформации ползучести:
\[\begin{equation} 
\tag{11}
{\dot{p}}_{\theta \theta }=\frac{\sqrt{3}}{2}A \Bigl(\frac{\sqrt{3}}{2}{\sigma }_{\theta \theta }\Bigr)
^n 
\biggl( 1-(m+1)B\int^t_0 {\sigma }_{\theta \theta } ^kdt \biggr)^{-\frac{n}{m+1}}.   
\end{equation} \]
Дальнейшей целью исследований является определение зависимости окружного напряжения $\sigma_{\theta\theta}$ (1) от скорости возрастания давления $\dot{q}$ при обоих рассматриваемых контактных условиях (идеальное скольжение и прилипание), а затем с помощью (7) и (9) — анализ задачи о возможности разрушения на той или иной стадии ползучести.

2. Разрушение мембраны в процессе свободного деформирования в условиях ползучести (первая стадия)

На первой стадии мембрана (плоская в начальном состоянии) под действием давления $q(t)$ приобретает форму незамкнутой цилиндрической оболочки с центральным углом $2\alpha$ (см. рис. 2). На этой стадии мембрана деформируется в условиях установившейся ползучести вплоть до касания поперечной стенки жесткой матрицы.

 

Рис. 2. Схема деформации прямоугольной мембраны на первой стадии
[Figure 2. The scheme of deformation of a rectangular membran at the first stage]

 

Введем безразмерные переменные:
\[\begin{equation} 
\tag{12}
\overline{H}_i= {H_i}/{H_0},\quad 
\overline{H}_0= {H_0}/{a},\quad 
\overline{b}= {b}/{a},\quad 
\overline{\rho }= {\rho }/{a}, 
\end{equation} \]
где $H_0$ — начальная толщина мембраны, $H_i$ — толщина мембраны на $i$-той стадии, $i=1, 2, 3$. 

Далее черточки над всеми безразмерными переменными опустим. В этом пункте рассматривается длительное разрушение мембраны при постоянной скорости возрастания поперечного давления $\dot{q}_1={\rm const}$.

Рассматривая два близких деформированных состояния мембраны, определим приращение окружной компоненты деформации ползучести:
\[
dp_{\theta\theta}=\frac{(\rho +d\rho)(\alpha+d\alpha)-\rho\alpha}{\rho\alpha}=\frac{d\rho}{\rho}+\frac{d\alpha}{\alpha} .
\] 
Следовательно, для скорости окружной компоненты деформации ползучести имеем
\[\begin{equation} 
\tag{13}
\dot{p}_{\theta\theta}=\frac{\dot{\rho}}{\rho} +\frac{\dot{\alpha }}{\alpha } . 
\end{equation} \]
Поскольку
\[\begin{equation} 
\tag{14}
\rho\sin\alpha =1, 
\end{equation}\] 
то
\[
\dot{\rho}\sin\alpha+\rho\dot{\alpha}\cos\alpha =0.
\] 
Поэтому выражение (13) преобразуется к виду
\[\begin{equation} \tag{15} 
\dot{p}_{\theta \theta } = ({\alpha }^{-1} -ctg \alpha  )\dot{\alpha }. 
\end{equation} \]

Из условия несжимаемости в случае плоского деформированного состояния получаем: \[\dot{p}_{rr}+\dot{p}_{\theta\theta}+\dot{p}_{zz} =0,\quad \dot{p}_{zz} =0,\quad \dot{p}_{rr} =-\dot{p}_{\theta \theta } .\] Так как скорость радиальной компоненты деформации ползучести 
\[\begin{equation} 
\tag{16}
\dot{p}_{rr} = {\dot{H}_{1} } /{H_{1} } , 
\end{equation} \]
согласно равенствам (15), (16), с учетом $\dot{p}_{rr} =-\dot{p}_{\theta \theta } $ получаем
\[\begin{equation} 
\tag{17}
\dot{p}_{\theta \theta } =-\frac{\dot{H}_{1} }{H_{1} } =
 ( {\alpha }^{-1} -ctg\alpha  )\dot{\alpha }.  
\end{equation} \]
Интегрируя (17) при начальном условии $H_1(0)=1$, $\alpha(0)=0$, получаем
\[\begin{equation} 
\tag{18}
H_1(\alpha)=\frac{\sin\alpha}{\alpha}.
\end{equation} \]
При
\[
\alpha =\alpha_1=\arcsin \frac{2b}{1+b^2} 
\]
из (18) имеем 
\[
H_1(\alpha_1)=\frac{2b}{(1+b^2)\alpha_1 }=H^0_1,
\]
где $H^0_1$ — значение толщины мембраны в конце первой стадии, т.е. при ${\alpha=\alpha_1}$. Величина $\sigma_{\theta\theta}$, определяемая (1), при учете (12), (14) и (18) принимает следующий вид:
\[
\sigma_{\theta\theta}=\frac{q_1\rho}{H_0H_1}=\frac{\dot{q}_1t}{H_0}\frac{\alpha}{\sin^2\alpha}.  
\]
Подставляя выражение (11) в (17), получаем
\[\begin{equation} 
\tag{19} 
\frac{d\alpha}{dt}= ({  {\alpha } ^{-1}-ctg\alpha })^{-1}
\frac{\sqrt{3}}{2}A \Bigl(\frac{\sqrt{3}}{2}\sigma_{\theta\theta}\Bigr)^n
\biggl( 1-(m+1)B\int^t_0  \sigma_{\theta\theta} ^kdt \biggr)^{-\frac{n}{m+1}}, 
\end{equation}\]
\[
\alpha(0)=0.
\]

В конце первой стадии ($t=t_1$) раствор мембраны $2\alpha(t_1)=2\alpha_1$ в случае ее неразрушения удовлетворяет равенству $2\alpha_1=2\arcsin \frac{2b}{1+b^2} $. Момент времени $t_1$, при котором происходит окончание первой стадии, 
и толщина мембраны $H^0_1=H(t_1)$ вычисляются согласно зависимости (18):
\[
t_1=t(\alpha_1), \quad H_1^0=H_1(t_1)=\frac{\sin\alpha_1}{\alpha_1}= 
\frac{2b}{(1+b^2) \alpha_1 } .
\] 
Определим скорость увеличения поперечного давления $\dot{q}_1$, при котором мембрана разрушается в процессе первой стадии ($t=t^*_1$). Для этого воспользуемся уравнением (19), начальное значение $\alpha(0)=0$. Конечное значение $\alpha^*=\alpha(t_1^*)$ определяется с помощью уравнения (10):
\[
\omega(t^*_1)=1=1-\biggl(1-(m+1)B\int^{t^*_1}_0{\sigma_{\theta\theta}^kdt}\biggr)^{ \frac{1}{m+1} }, 
\] 
отсюда
\[
(m+1)B\int^{t^*_1}_0{\sigma_{\theta\theta}^kdt}=1.
\] 
Далее рассматривается ползучесть мембраны внутри жесткой матрицы при различных контактных условиях. 

3. Идеальное скольжение мембраны вдоль сторон матрицы

Введем координаты поперечного сечения матрицы $x$ и $y$ (см. рис. 2) и дополнительные безразмерные координаты:
\[
\bar{x}=\frac{x}{a}, \quad \bar{y}=\frac{y}{a}, \quad \bar{b}=\frac{b}{a}, \quad \bar{x}_{0}=\frac{x_{0}}{a}, \quad \bar{y}_{0}=\frac{y_{0}}{a},
\]
где $x_{0}$, $y_{0} $ — координаты точек касания мембраны и матрицы; далее черточки над этими безразмерными переменными также будем опускать.

3.1. Деформирование и разрушение мембраны в процессе второй стадии $\boldsymbol{(0\le  {x}_0\leqslant x_ 0^*)}$. Рассмотрим характеристики разрушения мембраны $\dot{q}_2$ и $t^*_2$ в процессе второй стадии (рис. 3). Здесь $x_ 0^* = 1 - b$ определяется положением мембраны в конце второй стадии, при этом центр кривизны срединной поверхности мембраны (в угловой части матрицы) расположен на оси $x$ в точке $ x_0^*$. Исследование ползучести проводится сначала на первой стадии ($0\le t\le t_1$), а затем на второй стадии $t_1\le t\le t^*_2$.

 

Рис. 3. Схема деформации прямоугольной мембраны на второй стадии (идеальное скольжение и прилипание)
[Figure 3. The scheme of deformation of a rectangular membran at the second stage (ideal slip and sticking)]

 

Ползучесть мембраны на первой стадии описывается дифференциальным уравнением (19) при $\alpha(0)=0$ и $\alpha(t_1)=\alpha_1$, при этом
\[
\sigma_{\theta\theta}(\alpha)=\frac{\dot{q}_2\alpha t}{H_0\sin^2\alpha}. 
\]

Поврежденность материала в конце первой стадии согласно (10) выражается соотношением
\[\begin{equation} 
\tag{20}
\omega(t_1)=1-\biggl(1-(m+1)B\int^{t_1}_0{\sigma_{\theta\theta}^kdt}\biggr)^{ \frac{1}{m+1} }=\omega_1. 
\end{equation} \]

После окончания первой стадии ползучести ($t=t_1$) наступает вторая стадия ($t_1\leqslant t\leqslant t^*_2$, $0\leqslant x_0\leqslant x^*_0$, $\omega_1\leqslant \omega \leqslant 1$).

Решение задачи имеет различный характер для относительно  высокой  матрицы ($b\geqslant 1$) и относительно низкой матрицы ($b\leqslant 1$). Для определенности в данной работе будет рассмотрена ползучесть мембраны внутри относительно низкой матрицы.

В связи с осевой симметрией мембраны и матрицы далее рассматривается ползучесть правой половины мембраны в координатах $0\le x\le 1$, $0\le y\le b$ (см. рис. 3).

 При $t>t_1$ часть поверхности мембраны прилегает к внутренней поперечной поверхности матрицы.

При исследовании второй стадии ползучести мембраны выделим два близких деформированных состояния: одно характеризуется длиной участка контакта $x_0$, а другое — длиной участка контакта $(x_0+dx_0)$. С помощью геометрических соотношений получим соотношение для приращения окружной деформации ползучести $dp_{\theta \theta }$ в виде 
\[\begin{equation} 
\tag{21}
{dp}_{\theta\theta}=\frac{(\rho d\alpha+\alpha d\rho)+dx_0}{\rho\alpha+x_0}=\frac{D_1(x_0)dx_0}{D_2(x_0)}=-\frac{dH_2}{H_2},
\end{equation} \]
где  
\[
D_1(x_0)dx_0=\rho d\alpha+\alpha d\rho+dx_0=
-\frac{1-x_0}{b}  arctg  \frac{1-x_0}{(1-x_0)^2-b^2} dx_0+2dx_0,
\]
\[
D_2(x_0)=\rho\alpha+x_0=\frac{ (1-x_0)^2+b^2 }{2b} 
arctg \frac{2b(1-x_0)}{(1-x_0)^2-b^2} +x_0.
\] 

Из условия несжимаемости с учетом (16) получаем, что $d\dot{p}_{\theta \theta}=-d\dot{p}_{rr}$.

Согласно определению $\dot{p}_{rr} $, имеем $\dot{p}_{rr}= {\dot{H}_2}/{H_2}$. Следовательно, 
\[\begin{gather} 
\dot{p}_{\theta\theta}=-\frac{\dot{H}_2}{H_2}, \quad dp_{\theta\theta}=\frac{D_1(x_0)dx_0}{D_2(x_0)}=-\frac{dH_2}{H_2}, 
\\ 
\int_{H_1^0}^{H_2(x_0)}\frac{dH_2}{H_2} = - \int_0^{x_0}\frac{D_1(x_0)dx_0}{D_2(x_0)}, 
\\
H_2(x_0)=H_1^0\exp\biggl(-\int_0^{x_0}\frac{D_1(x_0)dx_0}{D_2(x_0)}\biggr).
 \tag{22}
\end{gather} \]

Толщина в конце второй стадии определяется согласно (22):
\[\begin{equation} 
\tag{23}
H_2^0=H_2(t_2)=\frac{1}{ 1-b+ \pi b /2 } . 
\end{equation} \]
Окончание второй стадии ($t=t_2$) наступает при разрушении мембраны, т.е. когда $\omega(t^*_2)=1$.

Рассмотрим зависимость параметра поврежденности на второй стадии от времени. Из (7) следует, что
\[\begin{gather*}
\frac{d\omega }{dt}=\frac{B\sigma_{\theta\theta}^k}{(1-\omega)^m}, \\ 
\int^{\omega}_{\omega_1}{(1-\omega)^md\omega}=\frac{(1-\omega_1)^{m+1}-(1-\omega)^{m+1}}{m+1}=B\int^t_{t_1}\sigma_{\theta\theta}^k dt,
\\
\omega(t)=1-\biggl((1-\omega_1)^{m+1}-(m+1)B\int^t_{t_1}{\sigma_{\theta\theta}^kdt}\biggr)^{ \frac{1}{m+1}}.
\end{gather*}\]
Учитывая, что $\omega(t_2^*)=1$, находим
\[\begin{equation}
\tag{24}
(1-\omega_1)^{m+1}=(m+1)B\int^{t^*_2}_{t_1}{\sigma_{\theta\theta}^kdt}. 
\end{equation} \]
Из (21) следует
\[
\frac{dx_0}{dt}=\frac{D_2(x_0)}{D_1(x_0)}\dot{p}_{\theta \theta } .
\]
Отсюда с учетом (11) получаем
\[\begin{equation} 
\tag{25}
\frac{dx_0}{dt}=
\frac{D_2(x_0)}{D_1(x_0)}
\frac{\sqrt{3}}{2}A \Bigl(\frac{\sqrt{3}}{2}\sigma_{\theta\theta}\Bigr)^n
\biggl((1-\omega_1)^{m+1}-(m+1)B\int^t_{t_1}{\sigma_{\theta\theta}^kdt}\biggr) ^{-\frac{n}{m+1}} .
\end{equation} \]
Окружное напряжение на второй стадии определяется соотношениями (1) и (22):
\[\begin{equation} 
\tag{26}
\sigma_{\theta\theta}(x_0)=\frac{q\rho}{H_0H_2(x_0)}=\frac{\dot{q}_2t\rho}{H_0H_2(x_0)} .
\end{equation} \]

Определим теперь зависимость времени разрушения $t^*_2$ от скорости возрастания величины поперечного давления $\dot{q}_2$. Задавая произвольное значение $\dot{q}_2$ ($\dot{q}_2\le\dot{q}_1$) и подставляя его в выражение (26), решаем дифференциальное уравнение (25) при $t_1\leqslant t\leqslant t^*_2$. При этом начальное значение $x_0(t_1)=0$, а конечное значение $t=t^*_2$ определяется с помощью уравнения (24).

3.2. Деформирование и разрушение мембраны в процессе третьей стадии ($\boldsymbol{1- {b}\leqslant  {x}_0\leqslant  {x}^*_0}$). Рассмотрим процесс разрушения мембраны при $\dot{q}_3$ ($\dot{q}_3<\dot{q}_2$) на третьей стадии в предположении, что на второй стадии разрушения не произошло (рис. 4). Этот процесс состоит из последовательности реализации первой, второй и третьей стадий.

 

Рис. 4. Схема деформации прямоугольной мембраны на третьей стадии (идеальное скольжение и прилипание)
[Figure 4. The scheme of deformation of a rectangular membran at the third stage (ideal slip and sticking)]

 

Ползучесть мембраны в процессе первой стадии описывается дифференциальным уравнением (19) при условиях
\[
\alpha(0)=0, 
\quad 
\alpha(t_1)=\alpha_1, 
\quad  
\sigma_{\theta\theta}(\alpha)=\frac{\dot{q}_3\alpha t}{H_0\sin^2\alpha}. 
\]
В конце первой стадии (при $t=t_1$) поврежденность материала мембраны определяется равенством (20).

Вторая стадия процесса ползучести характеризуется следующими значениями параметров:
\[
t_1\leqslant t\leqslant t_2, \quad 
0 \leqslant x_0 \leqslant 1-b, \quad 
\omega_1\leqslant \omega \leqslant \omega_2.
\] 

Толщина мембраны $H_2(x)$ на второй стадии ползучести и ее значение в конце второй стадии $H^0_2$ определяются равенствами (22) и (23) соответственно.

Процесс ползучести мембраны на второй стадии определяется следующим дифференциальным уравнением:
\[\begin{gather}
\frac{dx_0}{dt}=\frac{D_2(x_0)}{D_1(x_0)}\frac{\sqrt{3}}{2}A
\Bigl(\frac{\sqrt{3}}{2}\sigma_{\theta\theta}\Bigr)^n
\biggl((1-\omega_1)^{m+1}-(m+1)B\int^t_{t_1} \sigma_{\theta\theta}^kdt \biggr)^{-\frac{n}{m+1}};
\\
x_0(t_1)=0,\quad x(t_2)=1-b,\quad \sigma_{\theta\theta}(x_0)=\frac{\dot{q}_3t}{H_0H_2(x_0)};
\\
H_2(x_0)=H_1^0\exp\biggl(-\int_0^{x_0}\frac{D_1(x_0)dx_0}{D_2(x_0)}\biggr).
\end{gather}\]
Поврежденность материала мембраны $\omega_2=\omega_2(t)$ в конце второй стадии определяется с помощью интегрирования дифференциального уравнения (7) при $t>t_1$:
\[\begin{equation} 
\tag{27}
\omega_2=1-\biggl((1-\omega_1)^{m+1}-(m+1)B\int^{t_2}_{t_1}{\sigma_{\theta\theta}^kdt}\biggr)^{\frac{1}{m+1}} .
\end{equation} \]

Третья стадия ползучести мембраны характеризуется параметрами:
\[
t_2\leqslant t\leqslant t^*_3, \quad  
1-b\leqslant x_0\leqslant x^*_0,   \quad 
\omega_2\leqslant \omega\leqslant 1.
\]
Накопление параметра $\omega(t)$ в процессе третьей стадии определяется из дифференциального уравнения (7) при $t>t_2$:
\[\begin{equation*}
\omega(t)=1-\biggl((1-\omega_2)^{m+1}-(m+1)B\int^t_{t_2} \sigma_{\theta\theta}^kdt \biggr)^{\frac{1}{m+1}}.
\end{equation*}\]
Отсюда, учитывая, что в момент разрушения $t=t_3^*$ поврежденность ${\omega(t_3^*)=1}$, получаем
\[\begin{equation} 
\tag{28}
(1-\omega_2)^{m+1}=(m+1)B\int^{t^*_3}_{t_2}{\sigma_{\theta\theta}^kdt}. 
\end{equation} \]
На этой стадии мембрана касается обеих сторон матрицы:
\[\begin{gather*}
dp_{\theta\theta}=\frac{(2- \pi/2)dx_0}{b+ \pi/2-1+(2- \pi/2)x_0 } ,
\\
p_{\theta\theta}=-\int _{H_2^0}^{H_3(x_0)}\frac{dH_3}{H_3}=
\ln\frac{H_2^0}{H_3(x_0)}=
\ln \frac{b+ \pi/2-1+(2- \pi/2)x_0}{1-b+ b\pi/2} , 
\\ 
H_3(x_0)=\frac{1}{b+ \pi/2-1+(2- \pi/2)x_0} ,
\\
\dot{x}_0=\frac{b+\pi/2-1 +(2-\pi/2)x_0}{2-\pi/2}\dot{p}_{\theta \theta } .
\end{gather*}\]
Подставляя в последнее уравнение выражение (8) при учете (10) вместо $\dot{p}_{\theta \theta }$, получаем
\[\begin{multline} 
\tag{29} 
\dot{x}_0=\frac{b+ {\pi}/{2}-1+ (2- {\pi }/{2} )  x_0}{ 2- {\pi }/{2} }
\frac{\sqrt{3}}{2}A 
\Bigl(\frac{\sqrt{3}}{2}{\sigma }_{\theta \theta }\Bigr)^n \times{}
\\
{}
\times 
\biggl((1-\omega_2)^{m+1}-(m+1)\int^t_{t_2} B\sigma_{\theta\theta}^kdt \biggr)^{-\frac{n}{m+1}} ,
\end{multline}\]
\[
\sigma_{\theta \theta }(x_0)=\frac{\dot{q}_3t}{H_0}(1-x_0).
\]
При решении дифференциального уравнения (29) начальное значение  $x_0(t_2) =1-b$, а конечное значение $t^*_3$ удовлетворяет равенству (28).

4. Деформирование и разрушение мембраны в условиях прилипания мембраны вдоль сторон матрицы

Как и для предыдущего случая граничных условий рассмотрим вторую и третью стадии деформирования мембраны в условиях ползучести и определим условия ее разрушения.

4.1. Деформирование и разрушение мембраны в процессе второй стадии ($\boldsymbol{0\leqslant  x_0 \leqslant 1- b}$). Чтобы определить условия разрушения мембраны в процессе ее деформирования на второй стадии  при ${\dot{q}}_2$ необходимо последовательно рассмотреть ее ползучесть на первой и второй стадиях.

Ползучесть мембраны на первой стадии при условии ее неразрушения ($0\leqslant t\leqslant t_1$, $0\leqslant \alpha\leqslant \alpha_1$, $0\leqslant \omega\leqslant \omega_1$) описывается дифференциальным уравнением (19) при условиях
\[
\alpha(0)=0, \quad  \alpha(t_1)=\alpha_1= \arcsin \frac{2b}{1+b^2} , \quad  
\sigma_{\theta\theta}(\alpha)=\frac{\dot{q}_2\alpha t}{H_0\sin^2\alpha}.
\] 
Поврежденность материала мембраны в конце первой стадии определяется равенством (20).

В процессе второй стадии ползучести мембраны зависимость параметра поврежденности от времени определяется соотношением (24). В случае постепенного прилипания материала мембраны к матрице ее контактная часть (с переменной толщиной) не деформируется, а свободная часть (с постоянной толщиной) представляет собой часть дуги окружности. Окружная деформация в свободной части мембраны имеет вид
\[
dp_{\theta\theta}=\frac{(\rho d\alpha+\alpha d\rho)+dx_0}{\rho\alpha} =\frac{D_1(x_0)dx_0}{D_3(x_0)}. 
\] 
Аналогично (21) можно получить выражение
\[
D_3(x_0)=\rho\alpha=\frac{(1-x_0)^2+b^2 }{2b}  arctg \frac{2b(1-x_0)}{(1-x_0)^2-b^2} .
\] 
Как показано ранее, $\dot{p}_{rr}= {\dot{H}_2}/{H_2}$. Из условия несжимаемости $\dot{p}_{\theta\theta}=-\dot{p}_{rr}$, поэтому
\[\begin{gather}
\dot{p}_{\theta\theta}=-\frac{\dot{H}_2(x_0)}{H_2(x_0)},\quad 
dp_{\theta\theta}=-\frac{dH_2}{H_2}=\frac{D_1(x_0)dx_0}{D_3(x_0)},
\\
\int_{H_1^0}^{H_2(x_0)}\frac{dH_2}{H_2}=-\int_0^{x_0}\frac{D_1(x_0)dx_0}{D_3(x_0)}, \quad 
H_2(x_0)=H_1^0\exp\biggl(-\int_0^{x_0}\frac{D_1(x_0)dx_0}{D_3(x_0)}\biggr),  
\\
H_2^0=H_2(1-b). 
\end{gather}\]

Интенсивности $\sigma_u$  и $\dot{p}_u$ определяются соотношениями 
\[
\sigma_u=\frac{\sqrt{3}}{2}\sigma_{\theta\theta}=\frac{\sqrt{3}}{2}\frac{q\rho}{H_0H_2(x_0)}, \quad 
\dot{p}_u=\frac{2}{\sqrt{3}}\dot{p}_{\theta\theta}.
\] 
Также имеем 
\[\begin{equation}
\tag{30}
\sigma_{\theta\theta}(x_0)=\frac{q\rho}{H_0H_2(x_0)}=\frac{\dot{q}_2t\rho}{H_0H_2(x_0)} ,
\end{equation}\]
\[\begin{multline}
\tag{31}
\frac{dx_0}{dt}=\frac{D_3(x_0)}{D_1(x_0)}\frac{dp_{\theta\theta}}{dt}
=\frac{D_3(x_0)}{D_1(x_0)}\frac{\sqrt{3}}{2}A\Bigl(\frac{\sqrt{3}}{2}\sigma_{\theta\theta}\Bigr)^n
\times{}
\\
{}
\times \biggl((1-\omega_1)^{m+1}-(m+1)B\int^t_{t_1}{\sigma_{\theta\theta}^kdt}\biggr)^{-\frac{n}{m+1}} .
\end{multline} \]

Подставляя (30) в (31), получаем дифференциальное уравнение относительно $x_0$, при этом начальное значение равно $x_0(t_1)=0$, конечное значение $t^*_2$ определяется с помощью уравнения (24).

4.2. Деформирование и разрушение мембраны в процессе третьей стадии ($\boldsymbol{1-b\leqslant x_0\leqslant x^*_0}$). Рассмотрим ползучесть мембраны при $\dot{q}_3$ последовательно на первой, второй и третьей стадиях в случае, если разрушение не произошло на первой и второй стадии.

Ползучесть мембраны в процессе первой стадии описывается дифференциальным уравнением (19) при условиях
\[
\alpha(0)=0, \quad 
\alpha(t_1)=\alpha_1, \quad  
\sigma_{\theta\theta}(\alpha)=\frac{\dot{q}_3\alpha t}{H_0\sin^2\alpha}.
\] 
В конце первой стадии (при $t=t_1$) поврежденность  $\omega_1(t_1)=\omega_1$ материала мембраны  задается соотношением
\[
\omega_1=1-\biggl(1-(m+1)B\int^{t_1}_0{\sigma_{\theta\theta}^kdt}\biggr)^{\frac{1}{m+1}}.
\] 

Вторая стадия процесса ползучести характеризуется следующими значениями параметров:
\[
t_1\leqslant t\leqslant t_2, \quad  
0\leqslant x_0 \leqslant 1-b,\quad 
\omega_1 \leqslant \omega \leqslant \omega_2.
\] 
Процесс ползучести на второй стадии определяется следующим дифференциальным уравнением: 
\[\begin{gather}
\frac{dx_0}{dt}=\frac{D_3}{D_1}A\Bigl(\frac{\sqrt{3}}{2}\sigma_{\theta \theta }\Bigr)^n
\biggl((1-\omega_1)^{m+1}-(m+1)B\int^t_{t_1}{\sigma_{\theta\theta}^kdt}\biggr)^{-\frac{n}{m+1}},
\\
x_0(t_1)=0,\quad x_0(t_2)=1-b,
\\
\sigma_{\theta\theta}(x_0)=\frac{\dot{q}_2t}{H_0H_2(x_0)}.
\end{gather}\]
Поврежденность материала мембраны в конце второй стадии $\omega(t_2)=\omega_2$ определяется из уравнения (27).

Третья стадия деформирования мембраны характеризуется параметрами:
\[
t_2\leqslant t\leqslant t^*_3, \quad 
1-b\leqslant x_0\leqslant x^*_0,\quad 
\omega_2\leqslant \omega \leqslant 1.
\] 
На этой стадии ползучесть мембраны при касании ею обеих сторон матрицы описывается следующим уравнением:
\[
dp_{\theta\theta}=F(x_0)dx_0, \quad F(x_0)= \frac{4-\pi }{\pi (1-x_0)}.
\]
В результате зависимость $ {dp_{\theta\theta}}/{dt}$ примет следующий вид:
\[
\frac{dp_{\theta\theta}}{dt}= F(x_0) \frac{dx_0}{dt} ;
\]
\[
p_{\theta\theta}=-\int _{H_2^0}^{H_3(x_0)}\frac{dH_3}{H_3}=
\int_{1-b}^{x_0}F(x_0)dx_0=
\ln\frac{H_2^0}{H_3(x_0)}=
\frac{4-\pi}{\pi}\ln \frac{b}{1-x_0} , 
\]
\[\begin{multline}
\dot{x}_0=\frac{\dot{p}_{\theta\theta}}{F(x_0)}
=\frac{\sqrt 3 A }{2 F(x_0)}  \Bigl(\frac{\sqrt{3}}{2}\sigma_{\theta \theta}\Bigr)^n 
\times{} \hspace{5cm}
\\
{}
\times \biggl((1-\omega_2)^{m+1}-(m+1)B\int^t_{t_2}{\sigma_{\theta\theta}^kdt}\biggr)^{-\frac{n}{m+1}} ;
\tag{32}
\end{multline}\]
\[\begin{equation}
\tag{33}
\frac{H_2^0}{H_3(x_0)}=\Bigl(\frac{b}{1-x_0}\Bigr)^{\frac{4-\pi}{\pi}},
\quad 
H_3(x_0)=H_2^0\Bigl(\frac{b}{1-x_0}\Bigr)^{-\frac{4-\pi}{\pi } }.  
\end{equation}  \]
Окончание третьей стадии происходит при значении $x^*_0$, соответствующем значению  $t^*$. Интенсивность напряжений определяется соотношением
\[\begin{equation} 
\tag{34}
\sigma_u(x_0)=\frac{\sqrt{3}}{2}\frac{q\rho}{H_3(x_0)H_0}\Big|_{\rho=1-x_0} =
\frac{\sqrt{3}}{2}\frac{\dot{q}t}{H_0} \frac{1-x_0}{H_3(x_0)}. 
\end{equation} \]
Интенсивность скоростей деформаций ползучести задается соотношением
\[
\dot{p}_u=\frac{2}{\sqrt{3}} F(x_0) \frac{dx_0}{dt}. 
\] 

Подставим (33) в (34), затем в (32). С помощью интегрирования дифференциального уравнения (7) при $t>t_2$ выпишем зависимость $\omega(t)$ на третьей стадии процесса деформирования:
\[
\omega(t)=1- \biggl( (1-\omega_2)^{m+1}-(m+1)B\int^t_{t_2}{\sigma_{\theta\theta}^kdt}
\biggr)^{\frac{1}{m+1}}.
\] 
С учетом равенства $\omega(t_3^*)=1$ для времени разрушения $t_3^*$ получаем
\[\begin{equation} 
\tag{35}
(1-\omega_2)^{m+1}=(m+1)B\int^{t^*_3}_{t_2}{\sigma_{\theta\theta}^kdt} .
\end{equation} \]
Вычисление значений $\dot{q}_3$ и $t^*_3$, соответствующих разрушению в процессе третьей стадии для прилипания, производится аналогично случаю идеального скольжения.

Дифференциальное уравнение (32) решается при $t_2\le t\le t^*_3$, начальное условие $x_0(t_2)=1-b$, конечное значение $t=t^*_3$ удовлетворяет условию (35).

5. Приложение

В качестве примера рассмотрим ползучесть и длительное разрушение прямоугольной мембраны, изготовленной из хромомолибденовой стали 2.15Cr-1Mo steel и деформируемой при $600\,^\circ$C внутри жесткой матрицы высотой $b=0.5$.

Химический состав этой стали [13]:
\[\begin{gather*}
{\rm C=0.06\,\%,\ \ Si=0.18\,\%,\ \ Mn=0.48\,\%,\ \ P=0.008\,\%,\ \ S=0.008\,\%,} \\ 
{\rm Cr=2.18\,\%,\ \ Mo=0.93\,\%,\ \ Fe-\text{баланс}}.
\end{gather*}\]
Материальные константы этой стали, используемые в кинетической модели ползучести и длительной прочности (7), (8), имеют следующие значения [13]:
\[
A  =9.17 \cdot {10}^{-17} \text{МПа}/\text{ч},   
B  =0.91 \cdot {10}^{-17} \text{МПа}/\text{ч},   
n=6.0,   m=4.8,   k=6.7. 
\]
Кроме того, во всех вычислениях в качестве безразмерной начальной толщины мембраны  использовано значение $H_0=0.01$.

В табл. 1–3 приведены основные характеристики длительного разрушения мембраны на первой, второй и третьей стадиях деформирования соответственно.

 

Таблица 1. Характеристики длительного разрушения мембраны на первой стадии [Characteristics of long-term destruction of the membrane at the first stage of deformation]

${\dot{q}}_1,$ MPa/hr	$t^*$, hr	${\alpha }^*$
700	0.003	0.906
500	0.0046	0.92
300	0.0073	0.925

 

Таблица 2. Характеристики длительного разрушения мембраны на второй стадии [Characteristics  of long-term destruction of the membrane at the second stage of deformation]

$\dot{q}_2$,  MPa/hr	$x_0^*$	$t^*_2$, hr	$t^*-t_1$, hr	${\omega }_1$
case of ideal slip
250	0.337	0.00865	0.000002	0.894
200	0.435	0.01059	0.00001	0.874
100	0.500	0.01985	0.00009	0.865
case of sticking
250	0.289	0.00865	0.000003	0.894
200	0.366	0.01059	0.00001	0.874
100	0.408	0.01983	0.00004	0.865
50	0.445	0.037	0.00006	0.858

 

Таблица 3. Характеристики длительного разрушения мембраны на третьейстадии [Characteristics  of long-term destruction of the membrane at the third stage of deformation]

$\dot{q}_3$,  MPa/hr	$x_0^*$	$t^*_3$, hr	$t^*-t_2$, hr	${\omega }_1$	${\omega }_2$
case of ideal slip
50	0.549	0.037	0.00015	0.858	0.925
10	0.787	0.165	0.0066	0.823	0.905
5	0.907	0.405	0.106	0.813	0.898
case of sticking
20	0.504	0.0851	0.00063	0.841	0.929
10	0.542	0.159	0.0012	0.827	0.923
5	0.587	0.299	0.003	0.813	0.914
1	0.719	1.3	0.024	0.778	0.892
0.1	0.83	10.9	0.75	0.722	0.858
0.01	0.98	164	84.7	0.662	0.812

 

На рис. 5 приведены вычисленные зависимости угла раствора $\alpha (t)$ мембраны для различных значений скоростей нарастания давления $q$ в процессе первой стадии деформирования мембраны.

 

Рис. 5. Зависимость $\alpha(t)$ в процессе первой стадии деформирования мембраны для различных значений скорости $\dot q_1$ (в МПа/ч): 1 — $\dot q_1 = 300$, 2 — $\dot q_1 = 500$, 3 — $\dot q_1 = 700$
[Figure 5. Dependence  $\alpha (t)$ during the first stage of membrane deformation for different values of the rate  $\dot q_1$ (in MPa/hr): 1 — $\dot q_1 = 300$, 2 — $\dot q_1 = 500$, 3 — $\dot q_1 = 700$]

 

На рис. 6 представлена зависимость  $x_0(t)$ в процессе второй стадии деформирования мембраны для   $\dot q_1 = 100$ МПа/ч при при идеальном скольжении (1) и при прилипании (2). Аналогичные результаты для $x_0(t)$, вычисленные для второй и третьей стадий процесса деформирования мембраны при  $\dot q_1 = 10$ МПа/ч, представлены на рис. 7.

 

Рис. 6. Зависимость $x_0(t)$ в процессе второй стадии деформирования мембраны для $\dot{q}_1=100$ МПа/ч: 1 — при идеальном скольжении; 2 — при прилипании
[Figure 6.  Dependence  $x_0(t)$ during the second stage of membrane deformation for  $\dot q_1 =100$ MPa/hr: 
1 — case of ideal slip, 2 — case of sticking]

 

Рис. 7. Зависимость $x_0(t)$ в процессе второй и третьей стадий деформирования мембраны для $\dot{q}_1=10$ МПа/ч: 1 — при идеальном скольжении; 2 — при прилипании
[Figure 7. Dependence  $x_0(t)$ during the second and third stages of membrane deformation for  $\dot q_1 =10$ MPa/hr:  1 — case of ideal slip, 2 — case of sticking]

 

На рис. 8 в логарифмических координатах приведена зависимость времени до разрушения мембраны $t^*$ от величины $\dot q$, полученная при анализе результатов ползучести мембраны на всех трех стадиях. Здесь результаты вычислений на первой стадии обозначены треугольниками, на второй и третьей стадиях при идеальном скольжении результаты вычислений обозначены кружками и цифрой 1, а при прилипании — крестиками и цифрой 2.  

 

Рис. 8. Зависимость $\dot{q}(t^*)$ в логарифмических координатах: 1 — при идеальном скольжении; 2 — при прилипании
[Figure 8. Dependence   $\dot{q}(t^*)$ in logarithmic coordinates: 1 — case of ideal slip, 2 — case of sticking]

 

Проведем анализ полученных результатов. Для удобства введем обозначения основных характеристик решения: индексом (1) будем обозначать характеристики при идеальном скольжении, индексом (2) — характеристики решения при прилипании. При задании в качестве исходных параметров величины скорости давления $\dot q_1$ получены равные значения времен до разрушения на первой стадии в случае скольжения и прилипания: $t^*_{1(1)}  = t^*_{1(2)}$. При задании в качестве исходных параметров величины скорости давления $\dot q_2$ получены следующие оценки основных характеристик: предельное значение величины $x_0^*$ в случаях скольжения и прилипания удовлетворяют неравенству $x^*_{0(1)}  > x^*_{0(2)}$, аналогично и с временами до разрушения: $t^*_{2(1)}  > t^*_{2(2)}$. Значения полученных характеристик при задании скорости $\dot q_3$ удовлетворяют следующим неравенствам: $x^*_{0(1)}  > x^*_{0(2)}$, $\omega_{3(1)} < \omega_{3(2)}$, $t^*_{3(1)}  > t^*_{3(2)}$.

Исходя из вышеизложенного можно сделать вывод, что  величины времен до разрушения $t^*$ при одном и том же фиксированном значении скорости нарастания давления $\dot q$ удовлетворяют неравенству $t^*_{(1)} (\dot q)  \geqslant  t^*_{(2)} (\dot q)$.

Заключение

Исследован процесс деформирования узкой мембраны внутри низкой прямоугольной матрицы вплоть до ее разрушения при пропорциональной зависимости величины поперечного давления от времени. Рассмотрены два типа контактных условий: идеальное скольжение мембраны относительно матрицы и прилипание мембраны к матрице. Для описания процесса накопления поврежденности материала мембраны использована кинетическая теория Ю. Н. Работнова, при этом параметр поврежденности материала в данной задаче имеет скалярный характер. Решение системы, состоящей из определяющего и кинетического уравнений, проводится  последовательно для первой, второй и третьей стадий деформирования. 

В результате решения системы определяющего и кинетического уравнений получены значения параметра поврежденности, накопленной в течение каждой стадии деформирования, а также величины времени до разрушения мембраны (см. табл. 1–3).

Результаты  исследования показывают, что в случае разрушения мембраны на первой стадии (оно происходит при высоких скоростях нарастания давления $\dot q$)  время $t^*(\dot q)$ не зависит от вида контактных условий, а при разрушении мембраны на второй и третьей стадиях деформирования время $t^*$ в случае идеального скольжения  не меньше, чем в случае прилипания. 

Конкурирующие интересы. Заявляем, что в отношении авторства и публикации этой статьи конфликта интересов не имеем.
Авторский вклад и ответственность. Все авторы принимали участие в разработке концепции  статьи; все авторы сделали эквивалентный вклад в подготовку публикации. Авторы несут полную ответственность за предоставление окончательной рукописи в печать. Окончательная версия рукописи была одобрена всеми авторами.
Финансирование. Исследование выполнено при частичной финансовой поддержке РФФИ (проект № 20–80–00387_а).

About the authors

Alexander M. Lokoshchenko

Lomonosov Moscow State University, Institute of Mechanics

Email: loko@imec.msu.ru
ORCID iD: 0000-0002-5462-6055
SPIN-code: 4869-1610
Scopus Author ID: 55991237700
ResearcherId: S-2938-2017
http://www.mathnet.ru/person54499

Dr. Phys. & Math. Sci., Professor

Russian Federation, 119192, Moscow, Michurinsky prospekt, 1

Leonid V. Fomin

Lomonosov Moscow State University, Institute of Mechanics

Email: fleonid1975@mail.ru
ORCID iD: 0000-0002-9075-5049
SPIN-code: 7186-8776
Scopus Author ID: 55815905900
ResearcherId: R-7182-2017
http://www.mathnet.ru/person50057

Cand. Phys. & Math. Sci.; Leading Researcher; Lab. of Creep and Long-Term Strength

Russian Federation, 119192, Moscow, Michurinsky prospekt, 1

Alexander F. Akhmetgaleev

Lomonosov Moscow State University, Institute of Mechanics

Email: achmet206a@yandex.ru
ORCID iD: 0000-0002-7999-6079
https://www.mathnet.ru/person188666

Leading Engineer; Lab. of Elasticity and Plasticity

Russian Federation, 119192, Moscow, Michurinsky prospekt, 1

Denis D. Makhov

Lomonosov Moscow State University, Institute of Mechanics; Lomonosov Moscow State University, Department of Mechanics and Mathematics

Author for correspondence.
Email: monyamail@yahoo.com
ORCID iD: 0000-0001-7748-3934
https://www.mathnet.ru/person188668

Leading Engineer; Lab. of Creep and Long-Term Strength¹; Student; Dept. of Mechanics and Mathematics²

Russian Federation, 119192, Moscow, Michurinsky prospekt, 1; 119991, Moscow, Leninskie Gory, 1

References

Supplementary files