О влиянии деформаций ползучести материала вращающегося цилиндра на последующее пластическое течение

Полный текст

Введение

На продвигающихся границах областей пластического течения в теории упругопластичности отмечается одномоментная смена в механизмах необратимых деформаций: в активном процессе — с вязкого (ползучесть) на пластический (течение); при разгрузке — наоборот. При этом вязким механизмом до начала пластического течения и при разгрузке, как правило, пренебрегают. Задача с одномоментным переходом при учете и деформаций ползучести, и деформаций пластического течения рассмотрена, по-видимому, впервые в [1]. В рамках теории больших деформаций [2] данная задача рассматривается позднее в [3–5]. В [6] отмечается, что подобная проблема возникает и в классической теории упруговязкопластичности при малых деформациях. Такое замечание делается на основе решения задачи о вращении цилиндра, изготовленного из упругопластического материала и вращающегося вокруг своей оси. Деформации ползучести и последующего вязкопластического течения возникают в материале цилиндра за счет объемных центробежных сил инерции вращения.

Прочностные расчеты материалов вращающихся дисков и валов важны для ряда технических приложений [7] механики деформирования. Соответствующие краевые задачи для упругопластических и упруговязкопластических цилиндров и дисков рассматривались неоднократно [8–14]. Теоретически постановка таких задач обуславливает возможность получения точных решений [10, 12, 14–16]. Данная возможность определяется использованием кусочно =линейных пластических потенциалов, то есть классических условий пластического течения максимальных касательных напряжений (условий Треска–Сен-Венана) [10–14] или максимальных приведенных напряжений (условий Ишлинского–Ивлева) [15, 16]. Ситуация в этом вопросе такая же, как и в теории температурных напряжений в упругопластических телах [17–19].

1. Общие соотношения модели

Будем считать, что материал деформируемого тела обладает упругими, вязкими и пластическими свойствами, где под вязкими свойствами понимается накопление деформаций ползучести. При расчетах будем ограничиваться только малыми деформациями. Тогда полные деформации $\boldsymbol{d}$ можно представить суммой их обратимых (упругих) $\boldsymbol{e}$ и необратимых $\boldsymbol{p}$ составляющих:
\[ \begin{equation*}
\boldsymbol{d} = \boldsymbol{e} + \boldsymbol{p} = \frac12 (\nabla\boldsymbol{u} + \nabla^{\top}\boldsymbol{u} ),
\end{equation*} \]
где $\boldsymbol{u}$ — вектор перемещений. Положим, что напряжения $\boldsymbol{\sigma}$ зависят только от обратимых деформаций $\boldsymbol{e}$. Для задания такой зависимости воспользуемся законом Гука
\[ \begin{equation}
\boldsymbol{\sigma} = \lambda \operatorname{tr}(\boldsymbol{e})\boldsymbol{I} + 2\mu\boldsymbol{e}.
\end{equation} \tag{1} \]
Здесь $\lambda$ и $\mu$ — коэффициенты Ламе. Пластические деформации имеют место в материале в условиях принадлежности напряжений поверхности нагружений (текучести) в пространстве напряжений $f(\boldsymbol{\sigma}, \sigma_0) = 0$ ($\sigma_0$ — предел текучести). В условиях принятия принципа Мизеса [20] функция $f(\boldsymbol{\sigma}, \sigma_0)$ оказывается пластическим потенциалом со следованием ассоциированного с поверхностью нагружения закона пластического течения:
\[ \begin{equation} \label{eq:base:pl:flow}
\boldsymbol{\varepsilon}^p = \frac{d\boldsymbol{p}}{dt} = \phi\frac{\partial f}{\partial \boldsymbol{\sigma}}, \quad \phi > 0.
\end{equation} \tag{2} \]

В качестве условия пластического течения (поверхности нагружения) будем использовать следующее обобщение условия максимальных октаэдрических напряжений Мизеса [21, 22]:
\[ \begin{equation}
f(\boldsymbol{\sigma}, \sigma_0) = \sqrt{\frac32(\boldsymbol{\tau} - \eta\boldsymbol{\theta}){}\boldsymbol{\cdot}{\!\!}\boldsymbol{\cdot}{}(\boldsymbol{\tau} - \eta\boldsymbol{\theta})} - \sigma_0^2, \;\; \boldsymbol{\tau} = \boldsymbol{\sigma} - \frac13 \operatorname{tr}\boldsymbol{\sigma}, \;\;
\boldsymbol{\theta} = \boldsymbol{\varepsilon}^p - \frac13 \operatorname{tr}\boldsymbol{\varepsilon}^p,
\end{equation} \tag{3} \]
где $\eta$ — коэффициент вязкого сопротивления пластическому течению.

Деформации ползучести в материале накапливаются схожим образом [7]:
\[ \begin{equation}
\boldsymbol\varepsilon^v = \frac{d\Phi(\Sigma(\boldsymbol\sigma))}{d\boldsymbol\sigma} = 
\frac{d\Phi}{d\Sigma}\frac{d\Sigma}{d\boldsymbol\sigma}.
\end{equation} \tag{4} \]

Для задания потенциала ползучести $\Phi$ воспользуемся степенным законом Нортона [23] с двумя параметрами $B$ и $n$:
\[ \begin{equation}
\frac{d\Phi}{d\Sigma} = B \Sigma^n.
\end{equation} \tag{5} \]
Значение $\Sigma$ в соотношения (4) и (5) вводится при переходе от одномерного случая к трехмерному [7] и является некой мерой трехмерного напряженного состояния. Далее в качестве этой меры будет использоваться октаэдрическая мера напряжений Мизеса
\[ \begin{equation*}
    \Sigma^2 = \frac32\boldsymbol{\tau}{}\boldsymbol{\cdot}{\!\!}\boldsymbol{\cdot}{}\boldsymbol{\tau}.
\end{equation*} \]

2. Постановка задачи

Рассмотрим полый цилиндр, радиус внутренней полости которого $R_1$. Боковая поверхность данного цилиндра радиусом $R_2$ покрыта жестким слоем, предотвращающим его радиальное расширение. Введем цилиндрическую систему координат $(r, \varphi, z)$, ось $z$ которой проходит через ось симметрии цилиндра. Деформации в цилиндре происходят за счет центробежных сил, возникающих при его вращении вокруг оси симметрии с угловой скоростью $\omega(t)$. Угловым ускорением пренебрегаем. Положим торцы цилиндра зафиксированными, то есть материал цилиндра находится в плоском деформированном состоянии. В этом случае компоненты вектора перемещений и тензора деформаций запишутся в виде
\[ \begin{equation}
    \begin{gathered}
        u_r = u_r(r, t), \quad 
        u_\varphi = u_z = 0, \quad 
        d_{rr} = e_{rr} + p_{rr} = u_{r,r}, \\
        d_{\varphi\varphi} = e_{\varphi\varphi} + p_{\varphi\varphi} = r^{-1}u_r, \quad 
        d_{zz} = e_{zz} + p_{zz} = 0.
    \end{gathered}
\end{equation} \tag{6} \]

Для удобства расчет будем производить в безразмерных переменных:
\[ \begin{equation*}
    \xi = {r}/{R_2}, \quad 
    u = {u_r}/{R_2}, \quad 
    \tau = {t}/{t^*}, \quad 
    \tilde{\sigma}_{ij} = {\sigma_{ij}}/{\sigma_0}
\end{equation*} \]
с безразмерными параметрами:
\[ \begin{equation*}
    \begin{gathered}
        \xi_0 = {R_1}/{R_2} = 0.2, \quad 
        \alpha = {\lambda}/{\sigma_0} = 250, \quad 
        \beta = {\mu}/{\sigma_0} = 195, \\
        \chi = B\sigma_0^n t^* = 0.01, \quad 
        n = 4, \quad 
        \zeta = {\eta}/({\sigma_0 t^*}) = 0.1.
    \end{gathered}
\end{equation*} \]
Здесь $t^*$ — общая продолжительность процесса деформирования, $\tau \in [0{;} 1]$. Для краткости безразмерные переменные в дальнейшем пишем без знака тильды. Уравнение равновесия запишется в виде
\[ \begin{equation}
    \sigma_{rr,\xi} + \xi^{-1}\left(\sigma_{rr} - \sigma_{\varphi\varphi}\right) = -\xi\psi^2,
    \quad \psi^2 = R_2^2\frac{\rho\omega^2}{\sigma_0}.
\end{equation} \tag{7} \]
Граничные условия задачи имеют вид
\[ \begin{equation}
    \sigma_{rr}(\xi_0, \tau) = 0, \quad u(1, \tau) = 0.
\end{equation} \tag{8} \]

3. Первоначальная упругость

Положим, что в начале деформирования напряжения малы и не возникает области пластического течения, а деформации ползучести незначительны и их можно отбросить. Иными словами, необратимые деформации $\boldsymbol p$ будут равны нулю. Тогда уравнение равновесия (7) с учетом закона Гука (1) и кинематических соотношений (6) приведется к виду
\[ \begin{equation*}
    u_{, \xi\xi} + \xi^{-1}u_{, \xi} - \xi^{-2}u = -\frac{\xi\psi^2}{\alpha + 2\beta}.
\end{equation*} \]

Проинтегрировав данное дифференциальное уравнение, с учетом граничных условий (8) получим следующее решение задачи упругого деформирования [24]:
\[ \begin{equation}
    \begin{aligned}
        u &= -\frac{1 - \xi^2}{8\xi}\frac{(2\alpha + 3\beta)\xi_0^4 - \beta\xi^2 + (\alpha + \beta)\xi_0^2(1 + \xi^2)}{(\alpha + 2\beta)((\alpha + \beta)\xi_0^2 + \beta)}\psi^2, \\
        \sigma_{rr} &= -\frac{\xi^2 - \xi_0^2}{4\xi^2}\frac{(2\alpha + 3\beta)(\beta(\xi_0^2 + \xi^2) + (\alpha + \beta)\xi_0^2\xi^2) - \beta(\alpha + \beta)}{(\alpha + 2\beta)((\alpha + \beta)\xi_0^2 + \beta)}\psi^2, \\
        \sigma_{\varphi\varphi} &= - \frac{\xi_0^2(\alpha + \beta)\left(\beta - \xi^4(2\alpha + \beta)\right)}{4\xi^2(\alpha + 2\beta)\left(\xi_0^2(\alpha + \beta) + \beta\right)}\psi^2- \frac{\xi_0^4(2\alpha + 3\beta)\left(\xi^2(\alpha + \beta) - \beta\right)}{4\xi^2(\alpha + 2\beta)\left(\xi_0^2(\alpha + \beta) + \beta\right)}\psi^2 - \frac{\beta\xi^2\left((\alpha + \beta) - \xi^2(2\alpha + \beta)\right)}{4\xi^2(\alpha + 2\beta)\left(\xi_0^2(\alpha + \beta) + \beta\right)}\psi^2, \\
        \sigma_{zz} &= \frac14\frac{\alpha}{\alpha + 2\beta}
        \Bigl(\frac{(2\alpha + 3\beta)\xi_0^4 + \beta}{(\alpha + \beta)\xi_0^2 + \beta} - 2\xi^2\Bigr)\psi^2.
    \end{aligned}
\end{equation} \tag{9} \]

С ростом угловой скорости будут увеличиваться и напряжения, и в определенный момент времени они выйдут на поверхность нагружения (выполнится условие $\Sigma = 1$). Это приведет к появлению области вязкопластического течения наравне с областью упругого деформирования. Из приведенного условия и полученных напряжений (9) найдем соответствующее значение угловой скорости $\psi_p$. Полученная функция может иметь два локальных минимума при $\xi = \xi_0$ и $\xi = 1$. При некотором значении $\xi_0 = \xi_p$ значения параметра нагружения в этих двух точках совпадают, то есть пластическое течение начинается одновременно на внутренней и боковой поверхностях. При меньших значениях $\xi_0 < \xi_p$ пластическое течение впервые начинается на внутренней поверхности ($\xi = \xi_0$), при больших $\xi_0 > \xi_p$ — на боковой ($\xi = 1$):
\[ \begin{equation}
    \begin{aligned}
        \psi_p^2 &= 
        \begin{cases}
            4\dfrac{(\alpha + 2\beta)((\alpha + \beta)\xi_0^2 + \beta)}{\beta(1 - \xi_0^2)^2\sqrt{3\alpha^2 + 6\alpha\beta + 4\beta^2}}, &\xi_0 < \xi_p, \\
            \dfrac{(\alpha + 2\beta)(3\alpha + 8\beta + 4\sqrt{3\alpha^2 + 6\alpha\beta + 4\beta^2})}{4\beta\sqrt{3\alpha^2 + 6\alpha\beta + 4\beta^2}}, &\xi_0 = \xi_p, \\
            2\dfrac{(\alpha + 2\beta)((\alpha + \beta)\xi_0^2 + \beta)}{\beta(1 - \xi_0^2)((2\alpha + 3\beta)\xi_0^2 + \beta)}, &\xi_0 > \xi_p,
        \end{cases} \\
        \xi_p^2 &= \frac{\sqrt{3\alpha^2 + 6\alpha\beta + 4\beta^2} - 2\beta}{\sqrt{3\alpha^2 + 6\alpha\beta + 4\beta^2} + 4\alpha + 6\beta}.
    \end{aligned}
\end{equation} \tag{10} \]

Заметим, что при замене параметров Ламе на коэффициент Пуассона $\nu$ и модуль Юнга $E$:
\[ \begin{equation*}
    \lambda = \frac{E\nu}{(1 - 2\nu)(1 + \nu)}, \quad 
    \mu = \frac{E}{2(1 + \nu)}
\end{equation*} \]
скорости в (10) будут зависеть только от $\nu$ и $\xi_0$:
\[ \begin{equation*}
    \begin{aligned}
        \psi_p^2 &= 
        \begin{cases}
            4\dfrac{(1 - \nu)(\xi_0^2 + 1 - 2\nu)}{(1 - 2\nu)(1 - \xi_0^2)^2\sqrt{1 - \nu + \nu^2}}, &\xi_0 < \xi_p, \\
            \dfrac{(1 - \nu)(4 - 5\nu + 4\sqrt{1 - \nu + \nu^2})}{2(1 - 2\nu)\sqrt{1 - \nu + \nu^2}}, &\xi_0 = \xi_p, \\
            4\dfrac{(1 - \nu)(\xi_0^2 + 1 - 2\nu)}{(1 - 2\nu)(1 - \xi_0^2)((3 - 2\nu)\xi_0^2 + 1 - 2\nu)}, &\xi_0 > \xi_p,
        \end{cases} \\
        \xi_p^2 &= \frac{\sqrt{1 - \nu + \nu^2} - 1 + 2\nu}{\sqrt{1 - \nu + \nu^2} + 3 - 2\nu}.
    \end{aligned}
\end{equation*} \]

Рис. 1. Деформирование упругого материала. Зависимость скорости вращения $\psi_p$, при которой начнется пластическое течение, от положения внутренней полости $\xi=\xi_0$ (a). Место начала пластического течения в зависимости от $\xi_p$ и $\nu$ (b): $in$ - на внутренней полости, $out$ - на боковой поверхности, $both$ - одновременно на внутренней полости и боковой поверхности. Распределение напряжений (c) и перемещений (d) в цилиндре в момент начала пластического течения
    [Figure 1. Elastic material deformation. Variation of plastic flow onset angular velocity $\psi_p$ with position of the internal cavity $\xi = \xi_0$ (a). Location of beginning of plastic flow depending on $\xi_p$ and $\nu$ (b): $in$ — on the inner cavity, $out$ — on the lateral surface, $both $ — simultaneously on the inner cavity and side surface. Distribution of stresses (c) and displacements (d) in the cylinder at $\psi = \psi_p$]

На рис. 1 графически представлены зависимости скорости вращения, при которой начинается пластическое течение $\psi_p$, от положения внутренней полости $\xi_0$ при $\nu = 28/89$ (рис. 1, a), и места начала пластического течения как от $\xi_0$, так и от $\nu \in (-1; 0.5)$ (рис. 1, b), где под «$in$» подразумевается случай начала пластического течения на внутренней полости $\xi = \xi_0$, под «$out$» — на боковой поверхности $\xi = 1$, а под «$both$» — одновременное начало на двух поверхностях. На двух оставшихся графиках приведены распределения напряжений и перемещений в материале цилиндра при $\psi = \psi_p$ и 
\[ \begin{equation*}
    \xi_0 = {R_1}/{R_2} = 0.2, \quad 
    \alpha = {\lambda}/{\sigma_0} = 250, \quad 
    \beta = {\mu}/{\sigma_0} = 195.
\end{equation*} \]
Значение угловой скорости при таких параметрах $\psi_p \approx 1.95263$.

4. Пластическое (вязкопластическое) течение

При дальнейшем росте угловой скорости $\psi(\tau) > \psi_p$ в материале цилиндра развивается область вязкопластического течения. Для описания механизма накопления пластических деформаций в этой области воспользуемся теорией пластического течения (2) с обобщенным потенциалом Мизеса на случай вязкопластического течения (3), которые примут вид [25]
\[ \begin{equation}
    \begin{aligned}
        \frac{dp_{rr}}{d\tau} = \varepsilon_{rr}^p &= \frac{1}{3\zeta}\frac{\Sigma - 1}{\Sigma}\left(2\sigma_{rr} - \sigma_{\varphi\varphi} - \sigma_{zz}\right), \\
        \frac{dp_{\varphi\varphi}}{d\tau} = \varepsilon_{\varphi\varphi}^p &= \frac{1}{3\zeta}\frac{\Sigma - 1}{\Sigma}\left(2\sigma_{\varphi\varphi} - \sigma_{rr} - \sigma_{zz}\right), \\
        \frac{dp_{zz}}{d\tau} = \varepsilon_{zz}^p &= \frac{1}{3\zeta}\frac{\Sigma - 1}{\Sigma}\left(2\sigma_{zz} - \sigma_{rr} - \sigma_{\varphi\varphi}\right), \\
        \Sigma &= \frac{1}{\sqrt{2}}\sqrt{\left(\sigma_{rr} - \sigma_{\varphi\varphi}\right)^2 + \left(\sigma_{\varphi\varphi} - \sigma_{zz}\right)^2 + \left(\sigma_{zz} - \sigma_{rr}\right)^2}.
    \end{aligned}
\end{equation} \tag{11} \]
В этом случае уравнение равновесия (7) сведется к виду
\[ \begin{equation}
u_{, \xi\xi} + \xi^{-1}u_{, \xi} - \xi^{-2}u = \xi^{-1}\frac{2\beta}{\alpha + 2\beta}\left(p_{rr} - p_{\varphi\varphi}\right)
+ p_{rr, \xi} + \frac{\alpha}{\alpha + 2\beta}\left(p_{\varphi\varphi, \xi} + p_{zz, \xi}\right) - \frac{\xi\psi^2}{\alpha + 2\beta}.
\end{equation} \tag{12} \]

Представив левую часть данного уравнения (12) в форме [26]
\[ \begin{equation*}
    u_{, rr} + r^{-1}u_{, r} - r^{-2}u = \frac{d}{dr}\Bigl(\frac1r\frac{d}{dr}(ur)\Bigr),
\end{equation*} \]
проинтегрируем его и получим соотношение для нахождения компоненты вектора перемещений [27]:
\[ \begin{equation}
    \begin{gathered}
        u(\xi, \tau) = \frac12 C_1(\tau)\xi + C_2(\tau)\xi^{-1} + \frac{\beta}{\alpha + 2\beta}\xi I_1(\xi, t) + \xi^{-1}I_2(\xi, t) - \frac18\frac{\xi^3\psi^2}{\alpha + 2\beta}, \\
        I_1(\xi, \tau) = \int_{\xi_0}^\xi x^{-1}\bigl(p_{rr}(x, \tau) - p_{\varphi\varphi}(x, \tau)\bigr)\,dx, \\
        I_2(\xi, \tau) = \int_{\xi_0}^\xi x\Bigl(\frac{\alpha + \beta}{\alpha + 2\beta}(p_{rr}(x, \tau) + p_{\varphi\varphi}(x, \tau)) + \frac{\alpha}{\alpha + 2\beta}p_{zz}(x, \tau)\Bigr)\,dx.
    \end{gathered}
\end{equation} \tag{13} \]

Ненулевые компоненты тензора напряжений примут следующий вид:
\[ \begin{equation}
    \begin{aligned}
        \sigma_{rr} &= (\alpha + \beta)C_1 - 2\beta C_2 \xi^{-2} + 2\beta\frac{\alpha + \beta}{\alpha + 2\beta}I_1 - 2\beta \xi^{-1} I_2 - \frac14\frac{2\alpha + 3\beta}{\alpha + 2\beta}\xi^2\psi^2, \\
        \sigma_{\varphi\varphi} &= (\alpha + \beta)C_1 + 2\beta C_2 \xi^{-2} + 2\beta\frac{\alpha + \beta}{\alpha + 2\beta}I_1 + 2\beta \xi^{-1} I_2
- \frac{2\beta}{\alpha + 2\beta}\left(\alpha p_{zz} + 2(\alpha + \beta)p_{\varphi\varphi}\right) - \frac14\frac{2\alpha + \beta}{\alpha + 2\beta}\xi^2\psi^2, \\
        \sigma_{zz} &= \alpha C_1 + 2\beta\Bigl(\frac{\alpha}{\alpha + 2\beta}I_1 - 2\frac{\alpha + \beta}{\alpha + 2\beta}p_{zz} - \frac{\alpha}{\alpha + 2\beta}p_{\varphi\varphi}\Bigr) - \frac12\frac{\alpha}{\alpha + 2\beta}\xi^2\psi^2.
    \end{aligned} \!\!
\end{equation} \tag{14} \]

Подставив полученные значения перемещения (13) и напряжений (14) в граничные условия (8), найдем
\[ \begin{equation*}
    \begin{gathered}
        C_1(\tau) = \Bigl(\frac{(2\alpha + 3\beta)\xi_0^4 + \beta}{4(\alpha + 2\beta)}\psi^2 - 2\beta I_3(\tau)\Bigr)\bigl((\alpha + \beta)\xi_0^2 + \beta\bigr)^{-1}, \\
        C_2(\tau) = -\Bigl(\frac{(2\alpha + 3\beta)\xi_0^2 - (\alpha + \beta)}{8(\alpha + 2\beta)}\xi_0^2\psi^2 + (\alpha + \beta)\xi_0^2I_3(\tau)\Bigr)\bigl((\alpha + \beta)\xi_0^2 + \beta\bigr)^{-1}, \\
        I_3(\tau) = \frac{\beta}{\alpha + 2\beta}I_1(1, \tau) + I_2(1, \tau).
    \end{gathered}
\end{equation*} \]

В итоге имеем следующие зависимости для перемещения:
\[ \begin{equation}
        u(\xi, \tau) = \frac{\beta\xi}{\alpha + 2\beta}I_1(\xi, t) + \xi^{-1}I_2(\xi, t) - \left(\beta\xi + (\alpha + \beta)\xi_0^2\xi^{-1}\right)I_3(\tau)
- \frac{1 - \xi^2}{8\xi}\frac{(2\alpha + 3\beta)\xi_0^4 - \beta\xi^2 + (\alpha + \beta)\xi_0^2(1 + \xi^2)}{(\alpha + 2\beta)((\alpha + \beta)\xi_0^2 + \beta)}\psi^2
\end{equation} \tag{15} \]
и напряжений:
\[ \begin{equation}
    \begin{aligned}
        \sigma_{rr} &= 2\beta\frac{\alpha + \beta}{\alpha + 2\beta}I_1 - 2\beta \xi^{-2} I_2 - 2\beta(\alpha + \beta)\frac{\xi^2 - \xi_0^2}{\xi^2}I_3 - \frac{\xi^2 - \xi_0^2}{4\xi^2}\frac{(2\alpha + 3\beta)(\beta(\xi_0^2 + \xi^2) + (\alpha + \beta)\xi_0^2\xi^2) - \beta(\alpha + \beta)}{(\alpha + 2\beta)((\alpha + \beta)\xi_0^2 + \beta)}\psi^2, \\
        \sigma_{\varphi\varphi} &= 2\beta\frac{\alpha + \beta}{\alpha + 2\beta}I_1 + 2\beta \xi^{-1} I_2 - 2\beta(\alpha + \beta)\frac{\xi^2 + \xi_0^2}{\xi^2}I_3 - \frac{2\beta}{\alpha + 2\beta}\left(\alpha p_{zz} + 2(\alpha + \beta)p_{\varphi\varphi}\right)- \\
        & - \frac{\xi_0^2(\alpha + \beta)\left(\beta - \xi^4(2\alpha + \beta)\right)}{4\xi^2(\alpha + 2\beta)\left(\xi_0^2(\alpha + \beta) + \beta\right)}\psi^2
        - \frac{\xi_0^4(2\alpha + 3\beta)\left(\xi^2(\alpha + \beta) - \beta\right)}{4\xi^2(\alpha + 2\beta)\left(\xi_0^2(\alpha + \beta) + \beta\right)}\psi^2 - \frac{\beta\xi^2\left((\alpha + \beta) - \xi^2(2\alpha + \beta)\right)}{4\xi^2(\alpha + 2\beta)\left(\xi_0^2(\alpha + \beta) + \beta\right)}\psi^2, \\
        \sigma_{zz} &= 2\beta\Bigl(\frac{\alpha}{\alpha + 2\beta}I_1 - \alpha I_3 - 2\frac{\alpha + \beta}{\alpha + 2\beta}p_{zz} - \frac{\alpha}{\alpha + 2\beta}p_{\varphi\varphi}\Bigr) + \frac14\frac{\alpha}{\alpha + 2\beta}
\Bigl(\frac{(2\alpha + 3\beta)\xi_0^4 + \beta}{(\alpha + \beta)\xi_0^2 + \beta} - 2\xi^2\Bigr)\psi^2.
    \end{aligned}
\end{equation} \tag{16} \]

Используя полученные соотношения (15), (16), можно найти распределения перемещений и напряжений в материале цилиндра в заданный момент времени при известных значениях угловой скорости $\psi(\tau)$ и накопленных необратимых деформациях $\boldsymbol{p}$, а с помощью соотношений (11) — прирост необратимых деформаций на следующем временном шаге. При расчетах принимаем, что коэффициент вязкости $\zeta = 0.1$, а угловая скорость 
\[ \begin{equation}
    \psi(\tau) = 
    \begin{cases}
        3.2 (2\tau - \frac1{2\pi} \sin{4\pi\tau} ), &0 \leqslant \tau \leqslant 1/2, \\
        3.2, & \phantom{ 0 \leqslant {}} \tau > 1/2.
    \end{cases}
\end{equation} \tag{17} \]

Рис. 2. Деформирование упругопластического материала. Движение упругопластических границ в материале (b). Распределение интенсивности напряжений в определенные моменты времени (a), а также остаточные напряжения (c), перемещения (d) и необратимые деформации (e)
    [Figure 2. Deformation of an elastic-plastic material. Evolution of elastoplastic boundaries in a material (b). Distribution of stress intensity at certain points in time (a). Distribution of residual stresses (c), displacements (d) and irreversible strains (e)]

Приведенные на рис. 2 результаты расчетов показывают следующее. Пластическое течение начинается у внутренней полости $\xi = \xi_0$, затем у боковой поверхности $\xi = 1$. При увеличении скорости вращения границы этих областей $\xi = m_1(\tau)$ и $\xi = m_2(\tau)$ движутся навстречу друг другу и в определенный момент эти области объединяются в одну. При достижении угловой скоростью фиксированного значения $\psi(\tau) = 3.2$ уровень напряжений сокращается (уменьшается величина разницы $\Sigma - 1$), что приводит к сокращению скоростей пластического течения вплоть до нуля. Хотя это и происходит практически одновременно, все же можно заметить, что скорости пластического течения сначала обращаются в нуль у боковой поверхности $\xi = 1$, а затем граница обнуления скоростей пластического течения $\xi = m_3(\tau)$ быстро продвигается в направлении внутренней полости $\xi = \xi_0$. Когда $m_3$ становится равным $\xi_0$, пластическое течение в среде полностью останавливается.

5. Учет ползучести до начала пластического течения

Рассмотрим деформирование материала, обладающего вязкими свойствами. Ползучесть, в отличие от пластического течения, начинает проявлять себя при наличии напряжений в материале, то есть еще на стадии упругого деформирования. В этом случае необратимые деформации в материале цилиндра будут накапливаться с момента начала его вращения и их скорость накопления будет соответствовать скорости накопления деформаций ползучести. Для их нахождения воспользуемся теорией течения (4) со степенным законом Нортона (5) в качестве потенциала. После преобразований получим [28]:
\[ \begin{equation}
    \begin{aligned}
        \frac{dp_{rr}}{d\tau} = \varepsilon_{rr}^v &= \frac{\chi}2 \Sigma^{n-1}
         (2{\sigma}_{rr} - {\sigma}_{\varphi\varphi} - {\sigma}_{zz} ), \\
        \frac{dp_{\varphi\varphi}}{d\tau} = \varepsilon_{\varphi\varphi}^v &= \frac{\chi}
        2\Sigma^{n-1} (2{\sigma}_{\varphi\varphi} - {\sigma}_{rr} - {\sigma}_{zz} ), \\
        \frac{dp_{zz}}{d\tau} = \varepsilon_{zz}^v &= \frac{\chi}2 \Sigma^{n-1}
         (2{\sigma}_{zz} - {\sigma}_{rr} - {\sigma}_{\varphi\varphi} ).
    \end{aligned}
\end{equation} \tag{18} \]

Данный случай математически схож со случаем упругопластического деформирования, то есть перемещения и напряжения в материале в текущий момент времени будут рассчитываться в соответствии с формулами (15) и (16) при известных угловой скорости $\psi$ и накопленных необратимых деформациях $\boldsymbol{p}$, но прирост необратимых деформаций на следующем шаге будет определяться в соответствии с формулами (18).

Рис. 3. Деформирование вязкоупругого материала. Распределение в материале напряжений при $\tau=0.1$ (a) и $\tau=1$ (b), перемещений при $\tau=0.1$ (c) и $\tau=1$ (d) и необратимых деформаций при $\tau=0.1$ (e) и $\tau=1$ (f)
    [Figure 3. Deformation of a viscoelastic material. Distribution of stresses at $\tau = 0.1$ (a) and $\tau = 1$ (b), displacements at $\tau = 0.1$ (c) and $\tau = 1$ (d), irreversible strains at $\tau = 0.1$ (e) and $\tau = 1$ (f)]

Рис. 4. Деформирование упругопластического материала с учетом вязких свойств. Движение упругопластических границ в материале (b). Распределение интенсивности напряжений в определенные моменты времени (a), а также остаточные напряжения (c), перемещения (d) и необратимые деформации (e)
    [Figure 4. Deformation of an elastic-plastic material with viscous properties. Evolution of elastoplastic boundaries in a material (b). Distribution of stress intensity at certain points in time (a). Distribution of residual stresses (c), displacements (d) and irreversible strains (e)]

На рис. 3 представлены результаты расчетов при росте угловой скорости согласно
\[ \begin{equation*}
    \psi(\tau) = 
    \begin{cases}
        1.95263\left(10\tau - \frac{1}{2\pi}\sin{20\pi\tau}\right), &0 \leqslant \tau \leqslant 0.1, \\
        1.95263, & \phantom{0 \leqslant {}} \tau > 0.1.
    \end{cases}
\end{equation*} \]

Если сравнить полученные решения в момент времени $\tau = 0.1$ с аналогичными для случая упругого деформирования (рис. 1), то можно видеть, что ползучесть за время разгона успевает оказать достаточное влияние на распределение напряжений, в связи с чем их выхода на поверхность нагружения при $\psi(0.1) = \psi_p$ не происходит. С течением времени, при зафиксированной скорости вращения $\psi(\tau) = \psi_p$ напряжения продолжают релаксировать за счет значительного прироста необратимых деформаций. Это также приводит к росту перемещений в материале.

6. Учет ползучести при пластическом течении

Если же угловая скорость не остановится на значении $\psi_p$ и продолжит расти, то в определенный момент времени напряжения все-таки выйдут на поверхность нагружения и в материале цилиндра начнется вязкопластическое течение. В области его влияния в образовании необратимых деформаций будут принимать участие уже два механизма. Положим, что скорости необратимых деформаций в области вязкопластического течения будут находиться в виде суммы скоростей деформаций ползучести и пластического течения:
\[ \begin{equation}
    \begin{aligned}
        \frac{dp_{rr}}{d\tau} = \varepsilon_{rr}^v + \varepsilon_{rr}^p &= 
        \Bigl(\frac{1}{3\zeta}\frac{\Sigma - 1}{\Sigma} + \frac{\chi}2\Sigma^{n-1}\Bigr) (2\sigma_{rr} - \sigma_{\varphi\varphi} - \sigma_{zz} ), \\
        \frac{dp_{\varphi\varphi}}{d\tau} = \varepsilon_{\varphi\varphi}^v + \varepsilon_{\varphi\varphi}^p &= \Bigl(\frac{1}{3\zeta}\frac{\Sigma - 1}{\Sigma} + \frac{\chi}2\Sigma^{n-1}\Bigr) (2\sigma_{\varphi\varphi} - \sigma_{rr} - \sigma_{zz} ), \\
        \frac{dp_{zz}}{d\tau} = \varepsilon_{zz}^v + \varepsilon_{zz}^p &= \Bigl(\frac{1}{3\zeta}\frac{\Sigma - 1}{\Sigma} + \frac{\chi}2\Sigma^{n-1}\Bigr) (2\sigma_{zz} - \sigma_{rr} - \sigma_{\varphi\varphi} ).
    \end{aligned}
\end{equation} \tag{19} \]
Соответственно, получим, что перемещения и напряжения находятся в соответствии с формулами (15) и (16), а прирост необратимых деформаций определяется либо по формулам (19) в области пластического течения, либо по формулам (18) вне данных областей. Результаты подобного расчета при значениях угловой скорости, приведенных в соотношениях (17), графически показаны на рис. 4.

Как видно из представленных графиков, области пластического течения появляются позже, развиваются медленнее и сход напряжений с поверхности нагружения начинается еще до распространения пластического течения на весь материал цилиндра. При более тщательном изучении (уменьшении шага по времени) было замечено, что сход напряжений с поверхности нагружения во второй области пластического течения у боковой поверхности начинается не со стороны упругопластической границы $\xi = m_2(\tau)$ и не с боковой поверхности $\xi = 1$. На рис. 4 хорошо видно, что условие прекращения пластического течения $\Sigma < 1$ впервые выполняется внутри области пластичности $m_2(\tau) < \xi < 1$. Она разбивается на две области $m_2(\tau) < \xi < m_4(\tau)$ и $m_3(\tau) < \xi < 1$. Первой исчезает область $m_2(\tau) < \xi < m_4(\tau)$, а затем граница $m_3(\tau)$ достигает боковой поверхности $\xi = 1$ и пропадает вторая область.

7. Сравнение двух решений с оценкой влияния первоначальной ползучести

Учет вязких свойств (ползучести) приводит к более позднему появлению области пластического течения, что наиболее отчетливо видно по движению границы $m_2(\tau)$. С ростом напряжений увеличивается скорость деформаций ползучести, из-за чего увеличивается скорость релаксации напряжений. Это приводит к замедлению движения упругопластических границ, а с замедлением скорости роста угловой скорости напряжения начинают сходить с поверхности нагружения, и области пластического течения сокращаются. Однако пластическое течение заканчивается не во всей области деформирования, как было в случае упругопластического материала. Из-за перераспределения напряжений в окрестности внутренней полости поддерживается более высокий уровень напряжений. В связи с этим область пластического течения у внутренней полости, хотя и сокращается со временем, но все же сохраняется и при $\tau = 1$.

Конкурирующие интересы. Конкурирующих интересов не имею.
Авторский вклад и ответственность. Я несу полную ответственность за предоставление окончательной версии рукописи в печать. Окончательная версия рукописи мною одобрена.
Финансирование. Выполнено в рамках госзадания ХФИЦ ДВО РАН.

Об авторах

Сергей Викторович Фирсов

Институт машиноведения и металлургии Дальневосточного отделения Российской академии наук Федерального государственного бюджетного учреждения науки Хабаровского Федерального исследовательского центра Дальневосточного отделения Российской академии наук

Автор, ответственный за переписку.
Email: firsov.s.new@yandex.ru
ORCID iD: 0000-0001-7446-6231

младший научный сотрудник; лаб. проблем создания и обработки материалов и изделий

Россия, 681005, Комсомольск-на-Амуре, Металлургов, 1

Список литературы

Дополнительные файлы