Dynamics of an exactly solvable model of cavity quantum electrodynamics

Full Text

Введение

Перепутанные состояния являются основным ресурсом современных квантовых технологий и устройств квантовой информатики, таких как квантовые компьютеры и квантовые сети [1]. Поэтому крайне важно не только детально изучать природу и свойства перепутанных состояний, но и уметь управлять и манипулировать перепутанными состояниями кубитов различной физической природы. Таким образом, исследование наиболее эффективных схем генерации, механизмов контроля и сохранения перепутанных состояний кубитов является одной из основных задач в физике квантовых вычислений и квантовой обработки информации. Для квантовых вычислений и квантовых коммуникаций требуются максимально перепутанные кубит-кубитные стабильные состояния с большими временами декогеренции. Для генерации таких состояний можно использовать взаимодействие естественных и искусственных атомов (нейтральных ридберговских атомов и ионов в резонаторах и ловушках, примесных спинов, квантовых точек, сверхпроводящих колец с джозефсоновскими контактами, гибридных и оптомеханических систем, азотозамещенных вакансий в алмазе и др.) с электромагнитными полями [2–8]. Обычно для теоретического исследования динамики кубитов, взаимодействующих с электромагнитными полями, используются модели квантовой электродинамики резонаторов [2]. Кубиты в квантовых устройствах всегда взаимодействуют с окружающей их средой. Хорошо известно, что это взаимодействие обычно приводит к декогерентности и исчезновению перепутанности кубитов. Однако в ряде случаев взаимодействие с окружающей средой может, наоборот, являться источником перепутывания. В частности, перепутывание кубитов может быть вызвано тепловым шумом резонатора. Возможность перепутывания двух двухуровневых атомов (кубитов) в рамках простейшей двухчастичной однофотонной модели квантовой электродинамики резонаторов с тепловым полем была показана П. Найтом (P. Knight) и др. [9]. Перепутывание, индуцированное тепловыми шумами в двухкубитных моделях с двухфотонными переходами, исследовано в работах [10–14]. При этом было установлено, что двухфотонное взаимодействие может значительно увеличить степень перепутывания кубитов, индуцированного тепловым шумом, в сравнении с однофотонным взаимодействием. В работaх [15–17] было также показано, что наличие расстройки частот переходов в кубитах и тепловой моды резонатора и диполь-дипольного взаимодействия кубитов может существенно увеличить максимальную степень теплового перепутывания кубитов.

Одним из препятствий на пути реализации эффективных и надежных протоколов физики квантовых вычислений и квантовых коммуникаций является также эффект внезапной смерти перепутывания кубитов, заключающийся в исчезновении перепутывания кубитов на временах, меньших времени декогеренции системы, за счет взаимодействия кубитов с полями резонаторов. Такой эффект теоретически впервые был предсказан Ю (T. Yu) и Эберли (J. Eberly) [18, 19] при изучении унитарной динамики двух кубитов в резонаторе. Позднее указанный эффект наблюдался экспериментально для кубитов различной физической природы [20–23].

Таким образом, изучение механизмов, способствующих исчезновению или ослаблению эффекта мгновенной смерти перепутывания кубитов, становится одной из приоритетных задач квантовой информатики. В настоящее время экспериментально получены перепутанные состояния кубитов различной физической природы в резонаторах при различных температурах [4–6]. Это означает наличие тепловых фотонов в резонаторах таких квантовых устройств. Поэтому представляет значительный интерес исследование механизмов, позволяющих предотвратить внезапную смерть перепутывания, индуцированного тепловыми полями резонаторов. В настоящее время предложены различные способы устранения эффекта мгновенной смерти перепутывания, индуцированного тепловым шумом, такие как включение расстройки частот кубитов и поля, прямого диполь-дипольного и изинговского взаимодействия кубитов, штарковского сдвига и др. (см. ссылки в [22]). В последнее время большое количество работ было посвящено исследованию динамики кубитов в моделях квантовой электродинамики резонаторов со средой Керра [24–29]. Указанные исследования были стимулированы экспериментальной работой, в которой был впервые реализован однофотонный режим для сверхпроводящего кубита-транзмона в резонаторе со средой Керра [30]. В нашей работе [31] была показана возможность исчезновения эффекта мгновенной смерти перепутывания кубитов, взаимодействующих с модой теплового поля резонатора посредством однофотонных переходов, за счет использования керровской среды в резонаторе. Представляет большой интерес изучение возможности подавления эффекта мгновенной смерти теплового перепутывания в нелинейной двухфотонной модели со средой Керра. Заметим, что результаты исследования динамики перепутывания кубитов в нелинейной двухфотонной модели, индуцированного тепловым шумом, для случая слабых тепловых полей представлены в тезисе [32]. При этом основное внимание было уделено изучению влияния нелинейности на перепутывание кубитов, индуцированного тепловым шумом, в случае начального сепарабельного состояния кубитов.

В настоящей работе нами найдено в представлении «одетых» состояний точное решение квантового уравнения Лиувилля для матрицы плотности двухфотонной модели квантовой электродинамики резонаторов, состоящей из двух идентичных кубитов, взаимодействующих с одномодовым тепловым полем идеального резонатора со средой Керра посредством вырожденных двухфотонных переходов. В качестве начальных состояний кубитов выбраны перепутанные состояния белловского типа. На основе точного решения нам удалось получить выражение для критерия перепутывания двух кубитов — параметра Переса – Хородецких, или отрицательности, и исследовать влияние керровской нелинейности на динамику кубит-кубитного перепутывания. При этом показано, что внедрение керровской среды в резонатор приводит к исчезновению эффекта мгновенной смерти перепутывания.

1. Модель и точное решение временного уравнения Шредигера для фоковского состояния поля

Рассмотрим систему, состоящую из двух идентичных кубитов $Q_1$ и $Q_2$ с энергетической щелью $\hbar \omega_0$, нерезонансно взаимодействующих посредством двухфотонных вырожденных переходов с полем одномодового резонатора частоты $\omega$. Положим, что константы связи между кубитами и полем резонатора равны. Предположим также, что в резонаторе имеется дополнительная среда Керра. Тогда гамильтониан взаимодействия для рассматриваемой модели в системе отсчета, вращающейся с удвоенной частотой моды поля $2\omega$, можно записать в виде
\[ \begin{equation}
H=\sum\limits_{i=1}^2 \hbar \Delta \sigma_i^z /2 +\sum\limits_{i=1}^2 \hbar g(\sigma_{i}^{+} a^2 +\sigma_{i}^{-} a^{\dagger2})+ \hbar X a^{\dagger2} a^2,
\end{equation} \tag{1} \]
где $\sigma_i^z$ — операторы разности населенностей для возбужденного $| +\rangle_{i}$ и основного $| -\rangle_{i}$ состояний в $i$-том кубите ($i=1, 2$), $\sigma_{i}^{+}= | +\rangle_{ii}\left<-\right|$ и $\hat{\sigma}_{i}^{-} = | -\rangle_{ii}\left<+\right|$ — повышающий и понижающий операторы в $i$-том кубите, $a^{\dagger}$ и $a$ — операторы рождения и уничтожения фотонов резонаторной моды, $g$ — константа двухфотонного взаимодействия между кубитами и полем резонатора, $\Delta=\omega_0 - 2 \omega$ — параметр расстройки и $X$ — константа нелинейности Керра.

Будем полагать, что в начальный момент времени кубиты приготовлены в одном из перепутанных состояний белловского типа:
\[ \begin{equation}
|\Psi(0)\rangle^{(1)}_{Q_1\,Q_2}=\cos \theta |+,-\rangle +\sin \theta |-,+\rangle,
\end{equation} \tag{2} \]
или
\[ \begin{equation}
|\Psi(0)\rangle^{(2)}_{Q_1\,Q_2}=\cos \theta |+,+\rangle +\sin \theta |-,-\rangle,
\end{equation} \tag{3} \]
где $\theta$ — параметр, определяющий степень начального перепутывания кубитов $Q_1$ и $Q_2$. Максимальной степени перепутывания кубитов соответствует значение $\theta=\pi/4$. Такие начальные состояния для кубитов в резонаторах можно получить с помощью микроволновых импульсов определенной длительности [33].

В качестве начального состояния поля выберем одномодовое тепловое состояние с матрицей плотности вида
\[ \begin{equation}
\rho_{F}(0)=\sum\limits_{n}p_{n} | {n}\rangle\left<{n}\right|.
\end{equation} \tag{4} \]
Здесь весовые функции $p_n$ в формуле (4) имеют вид
\[ \begin{equation*}
p_{n}=\frac{{\bar{n}}^{n}}{\left(1+{\bar{n}}\right)^{n+1}},
\end{equation*} \]
где $\bar{n}$ — среднее число тепловых фотонов, определяемое формулой Бозе– Эйнштейна
\[ \begin{equation*}
\bar{n}=\left(\exp\left[\hbar\omega/k_{B}T\right]-1\right)^{-1},
\end{equation*} \]
$k_{B}$ — постоянная Больцмана и $T$ — температура микроволнового резонатора. В зависимости от физической природы кубитов, взаимодействующих с полями резонаторов, температура резонатора может меняться от комнатных температур для азотозамещенных вакансий в алмазе до нК в случае нейтральных атомов и ионов в магнитных ловушках [4]. Поэтому в резонаторе всегда имеются тепловые фотоны.

Поставим перед собой задачу найти точную динамику рассматриваемой модели. Для решения поставленной задачи будем следовать общей схеме, предложенной в работе [17]. Начнем решение задачи для случая фоковского начального состояния электромагнитного поля резонатора, а затем обобщим эти результаты на случай теплового поля.

В случае фоковского начального состояния поля волновая функция есть
\[ \begin{equation*}
|\Psi(0)\rangle_{F}=|n\rangle \quad (n=0,1,2, \dots).
\end{equation*} \]

Состояние полной системы, включающей кубиты и моду поля резонатора, мы можем в произвольный момент времени $t$ задать с помощью волновой функции $|\Psi(t)\rangle_n$, удовлетворяющей временному уравнению Шредингера вида
\[ \begin{equation}
\imath \hbar \frac{\partial |\Psi(t)\rangle_n}{\partial t} = H |\Psi(t)\rangle_n
\end{equation} \tag{5} \]
c начальным условием
\[ \begin{equation*}
|\Psi(0)\rangle_n = |\Psi(0)\rangle_{Q_1\,Q_2} \otimes |\Psi(0)\rangle_{F} = |\Psi(0)\rangle_{Q_1\,Q_2} \otimes |n\rangle 
\end{equation*} \]
и стандартными для квантовой механики граничными условиями.

Формальное решение уравнения (5) можно представить в виде
\[ \begin{equation}
|\Psi(t)\rangle_n= e^{-\imath H t/\hbar} |\Psi(0)\rangle_n. 
\end{equation} \tag{6} \]
Эволюция волнового вектора $|\Psi(t)\rangle_n $ происходит в 4-мерном гильбертовом пространстве. Предположим, в начальный момент времени волновая функция системы имеет вид $|+,+,n\rangle$, $|+,-,n+2\rangle$, $|-,+,n+2\rangle$, $|-,-,n+4\rangle$ или их суперпозиции, где $n=0, 1, 2, \dots$. Тогда в качестве базиса гильбертова пространства, в котором эволюционирует волновая функция системы, мы можем выбрать векторы вида
\[ \begin{equation}
 |-,-,n+4\rangle,\quad |+,-,n+2\rangle,\quad |-,+,n+2\rangle,\quad |+,+,n\rangle.
\end{equation} \tag{7} \]

Для нахождения явного вида вектора состояния $|\Psi(t)\rangle_n $ удобно использовать так называемые «одетые» состояния, т.е. собственные функции гамильтониана (1). В базисе (7) собственные функции имеют вид
\[ \begin{equation}
|\Phi_{in}\rangle=w_{in}\bigl(C_{i1n}|-,-,n+4\rangle + C_{i2n} |+,-,n+2\rangle+C_{i3n}|-,+,n+2\rangle + C_{i4n}|+,+,n\rangle\bigr) \quad 
 (i=1, 2, 3, 4 ), 
\end{equation} \tag{8} \]
где
\[ \begin{equation*}
w_{in}=1/\sqrt{ | C_{i1n} |^{2}+ | C_{i2n} |^{2}+ | C_{i3n} |^{2}+ | C_{i4n} |^{2}},
\end{equation*} \]
\[ \begin{equation*}
C_{11,n}=0,\quad C_{12,n}=-1,\quad C_{13,n}=1, \quad C_{14,n}=0,
\end{equation*} \]
\[ \begin{equation*}
C_{i1,n}= \frac{
 -12 \delta \,{-}\,7 n \delta \,{-}\,n^2 \delta \,{+}\,12 n \chi \,{-}\,5 n^2 \chi \,{-}\,6 n^3 \chi 
 \,{-}\,n^4 \chi \,{+}\,12 E_{in}\,{+}\,7 n E_{in}\,{+}\,n^2 E_{in}}{\sqrt{2+3
  n+n^2} \sqrt{12+7 n+n^2} (-\delta +12 \chi +7 n \chi +n^2 \chi - E_{in})},
\end{equation*} \]
\[ \begin{equation*}
C_{i2,n}= \frac{
 \alpha_{in} \gamma_{in}}{
 (-12-7 n-n^2) \beta_{in}}, \quad C_{i3,n}= -\frac{\alpha_{in}
}{
 \beta_{in}}, \quad C_{i4,n}=1,
\end{equation*} \]
\[ \begin{equation*}
\alpha_{in}{=}(-12-7 n-n^2) \bigl(\delta +(-1+n) n \chi -E_{in}\bigr)-(1+n) (2+n) 
\bigl(-\delta +(3+n) (4+n) \chi -E_{2n}\bigr),
\end{equation*} \]
\[ \begin{equation*}
\beta_{in} = \sqrt{(1+n) (2+n)} (-12-7 n-n^2)-\sqrt{(1+n) (2+n)} \gamma_{in},
\end{equation*} \]
\[ \begin{equation*}
\gamma_{in}= -(3+n) (4+n)+ \bigl((1+n) (2+n) \chi -E_{in} \bigr) 
\bigl(-\delta +(3+n) (4+n) \chi - E_{in}\bigr),
\end{equation*} \]
и $\chi = X/\hbar g$, $ \delta =\Delta/g$.

Соответствующие собственные значения энергии есть
\[ \begin{equation*}
E_{1n} =(2+3n+n^{2} )\chi,
\qquad 
E_{2n} = \frac13 \left(A_{n} +B_{n} /G_n +G_n \right ),
\end{equation*} \]
\[ \begin{equation*}
E_{3n} = \frac{1}{12} \operatorname{ Re} \bigl[ 4 A_n - 2i (-i+\sqrt{3} ) B_{n} /G_n +2i(i+\sqrt{3} ) G_n \bigr] ,
\end{equation*} \]
\[ \begin{equation*}
E_{4n} = \frac{1}{12} \operatorname{ Re} \bigl[ 4 A_n + 2i (-i+\sqrt{3} ) B_{n} /G_n -2i(i+\sqrt{3} ) G_n \bigr ] ,
\end{equation*} \]
где
\[ \begin{equation*}
G_n=\Bigl(C_{n} +\frac{1}{2} \sqrt{ D_{n} +S_{n} }\Bigr)^{1/3}, 
\quad 
A_{n} =(14 +9n +3n^{2}) \chi,
\end{equation*} \]
\[ \begin{equation*}
B_{n} =3\left(28+4n(5+n)+\delta ^{2} \right)-12(3+2n)\delta \chi +4(31+12n(3+n))\chi ^{2},
\end{equation*} \]
\[ \begin{equation*}
C_{n} =36(31+2n(19+5n))\chi +36\delta ^{2} \chi +16(7+6n)(11+6n)\chi ^{3} -18\delta (15+6n+8(3+2n)\chi ^{2} ),
\end{equation*} \]
\[ \begin{equation*}
D_{n} =-4(3(28+4n(5+n)+\delta ^{2} ) -12(3+2n)\delta \chi +4(31+12n(3+n))\chi ^{2} )^{3},
\end{equation*} \] 
\[ \begin{equation*}
S_{n} =16 (27(5+2n)\delta -18(31+2n(19+5n)+\delta ^{2} )\chi + 72(3+2n)\delta \chi ^{2} -8(7+6n)(11+6n)\chi ^{3} )^{2}.
\end{equation*} \]

Теперь для нахождения явного вида временной волновой функции достаточно выразить начальный вектор состояния через собственные функции гамильтониана (8). Выполним это действие для начального состояния вида $|\Psi(0)\rangle = |+,-,n+2\rangle$. Имеем
\[ \begin{equation}
|+,-,n+2\rangle = C^*_{12n}|\Phi_{1n}\rangle + C^*_{22n}|\Phi_{2n}\rangle + C^*_{32n}|\Phi_{3n}\rangle + C^*_{42n}|\Phi_{4n}\rangle. 
\end{equation} \tag{9} \]

Подставляя представление (9) в правую часть формулы (6), получаем окончательно явный вид временной волновой функции в случае начального состояния ${|+,-,n+2\rangle}$:
\[ \begin{equation*}
|\Psi(t)\rangle^{(+-)}_{n}= Z_{12,n} | -,-,n+4\rangle+Z_{22,n} | +,-,n+2 \rangle + Z_{32,n} | -,+,n+2\rangle+Z_{42,n} | +,+,n \rangle, 
\end{equation*} \]
где
\[ \begin{equation}
Z_{i2,n}=e^{-\imath E_{1n}t/\hbar}\, w_{1n}\, C^*_{i2n}\, C_{1in} + e^{-\imath E_{2n}t/\hbar}\, w_{2n}\, C^*_{i2n}\, C_{2in}+{}
\\
{}
+e^{-\imath E_{3n}t/\hbar}\, w_{3n}\, C^*_{i2n}\, C_{3in} + e^{-\imath E_{4n}t/\hbar}\, w_{4n}\, C^*_{i2n}\, C_{4in}
\quad (i=1, 2, 3, 4).
\end{equation} \tag{10} \]
Для начального состояния $|-,+,n+2\rangle $ для временной волновой функции можно получить выражения вида
\[ \begin{equation*}
|\Psi(t)\rangle^{(-+)}_{n}= Z_{13,n} | -,-,n+4\rangle+Z_{23,n} | +,-,n+2 \rangle + Z_{33,n} | -,+,n+2\rangle+Z_{43,n} | +,+,n \rangle, 
\end{equation*} \]
где коэффициенты $Z_{i3,n}$ имеют вид (10) при замене $C^*_{i2n}$ на $C^*_{i3n}$. Аналогично для начальных состояний $|+,+,n\rangle$ и $|-,-,n+4$ получаем
\[ \begin{equation*}
|\Psi(t)\rangle^{(++)}_n= Z_{14,n} | -,-,n+4\rangle+Z_{24,n} | +,-,n+2 \rangle + Z_{34,n} | -,+,n+2\rangle+Z_{44,n} | +,+,n \rangle,
\end{equation*} \]

\[ \begin{equation*}
|\Psi(t)\rangle^{(–)}_{n}= Z_{13,n} | -,-,n+4\rangle+Z_{23,n} | +,-,n+2 \rangle + Z_{33,n} | -,+,n+2\rangle+Z_{43,n} | +,+,n \rangle
\end{equation*} \]
соответственно. Коэффициенты $Z_{i4,n}$ и $Z_{i1,n}$ имеют вид (10) при замене $C^*_{i2n}$ на $C^*_{i4n}$ или $C^*_{i1n}$ соответственно.

Для начальных состояний изучаемой системы $|+,-,0\rangle$ и $|+,-,1\rangle$ временные волновые функции могут быть записаны как
\[ \begin{equation*}
|\Psi(t)\rangle^{(+-)}_0= G_{12} | -,-,2\rangle+G_{22} | +,-,0 \rangle+G_{32,n} | -,+,0\rangle, 
\end{equation*} \]
где
\[ \begin{equation*}
G_{12}=-\frac{2 \sqrt{2} e^{\frac{1}{2} i t (\delta -2 \chi )} {\rm sin} \left (\frac{1}{2} \Omega_1 t \right )}{\Omega_1^2},
\end{equation*} \]
\[ \begin{equation*}
G_{22}=\frac{i e^{- \frac{1}{2} i t (\Omega_1+2 \chi )} 
\bigl(2 e^{ \frac{1}{2} i t (\Omega_1+2 \chi )} \Omega_1^2+ 
e^{\frac{1}{2} i t ( \delta + 2\Omega_1) } (16+\zeta_1)+
e^{\frac{1}{2} i t \delta } (16 +\zeta_2) \bigr)}{4  \Omega_1^2},
\end{equation*} \]
\[ \begin{equation*}
G_{32}=\frac{ e^{- \frac{1}{2} i t (\Omega_1+2 \chi )} 
\bigl(-2 e^{\frac{1}{2} i t (\Omega_1+2 \chi )} \Omega_1^2+ 
e^{\frac{1}{2} i t ( \delta + 2\Omega_1) } (16+\zeta_1)+
e^{\frac{1}{2} i t \delta } (16 +\zeta_2) \bigr)}{4  \Omega_1^2},
\end{equation*} \]
\[ \begin{equation*}
\Omega_1=\sqrt{16+(\delta-2\chi)^2}, \quad \zeta_1 =(\delta -2 \chi ) (\delta +\Omega_1 -2 \chi ),
\end{equation*} \]
\[ \begin{equation*}
\zeta_2= (\delta -2 \chi ) (\delta -\Omega_1 -2 \chi )
\end{equation*} \]
и
\[ \begin{equation*}
|\Psi(t)\rangle^{(+-)}_1= F_{12} | -,-,3\rangle+F_{22} | +,-,1 \rangle+F_{32,n} | -,+,1\rangle, 
\end{equation*} \]
где
\[ \begin{equation*}
F_{12}=-\frac{2 i \sqrt{6} e^{\frac{1}{2} i t (\delta -6 \chi )} \sin (\frac{1}{2} \Omega _2 t )}{\Omega _2},
\end{equation*} \]
\[ \begin{equation*}
F_{22}=\frac{e^{-\frac{1}{2} i t (\Omega _2+6 \chi )} \bigl(2 e^{ \frac{1}{2} i t (\Omega _2+6 i \chi )} \Omega_2^2+
e^{\frac{1 }{2} i t \delta} (48+\xi _1 ) + e^{\frac 12 i t ( \delta +2\Omega _2 )} (48+\xi _2 )\bigr)}{4 \Omega _2^2},
\end{equation*} \]
\[ \begin{equation*}
F_{32}=\frac{e^{-\frac{1}{2} i t (\Omega _2+6 \chi )} \bigl(-2 e^{\frac{1}{2} i t (\Omega _2+6 i \chi )} \Omega_2^2+
e^{\frac{1 }{2} i t \delta} (48+\xi _1 )+e^{\frac 12 i t ( \delta +2\Omega _2 )} (48+\xi _2 )\bigr)}{4 \Omega _2^2},
\end{equation*} \]
\[ \begin{equation*}
\Omega _2=\sqrt{48+(\delta -6 \chi )^2},\quad \xi _1=(\delta -6 \chi ) (\delta +\Omega _2-6 \chi ),
\end{equation*} \]
\[ \begin{equation*}
\xi _2=(\delta -6 \chi ) (\delta -\Omega _2-6 \chi )
\end{equation*} \]
соответственно.

Для начальных состояний изучаемой системы $|-,+,0\rangle$ и $|-,+,1\rangle$ временные волновые функции могут быть записаны как
\[ \begin{equation*}
|\Psi(t)\rangle^{(-+)}_0= G_{13} | -,-,2\rangle+G_{23} | +,-,0 \rangle+
G_{33,n} | -,+,0\rangle, 
\end{equation*} \]
где $G_{13}=G_{12}$, $G_{23}=G_{22}$, $G_{33}=G_{32}$;
\[ \begin{equation*}
|\Psi(t)\rangle^{(-+)}_1= F_{13} | -,-,2\rangle+F_{23} | +,-,0 \rangle+
F_{33,n} | -,+,0\rangle, 
\end{equation*} \]
где $F_{13}=F_{12}$, $F_{23}=F_{22}$, $F_{33}=F_{32}$.

Наконец, для начальных состояний системы $|-,-,0\rangle$, $|-,-,1\rangle$, $|-,-2\rangle$ и $ |-,-,3\rangle$ временные волновые функции есть
\[ \begin{equation*}
|\Psi(t)\rangle^{(–)}_0= e^{- i t \delta } |-,-,0\rangle,
\quad 
|\Psi(t)\rangle^{(–)}_1= e^{- i t \delta } |-,-,1\rangle,
\end{equation*} \]
\[ \begin{equation*}
|\Psi(t)\rangle^{(–)}_2= P_1|-,-,2\rangle + P_2 |+,-,0\rangle + P_3 |-,+,0\rangle, 
\end{equation*} \]
где
\[ \begin{equation*}
P_1=\frac{ e^{-\frac{1}{2} i t (- \delta +\Omega _1+2 \chi )} 
\bigl(16+\zeta _2+e^{i t \Omega _1} (16+\zeta _1 ) \bigr)}{2 \Omega_1^2}, 
\end{equation*} \]
\[ \begin{equation*}
P_2=P_3= -\frac{2 i \sqrt{2} e^{\frac{1}{2} i t (\delta -2 \chi )} \sin (\frac{1}{2}\Omega _1 t )}{\Omega _1};
\end{equation*} \]

\[ \begin{equation*}
|\Psi(t)\rangle^{(–)}_3= Q_1|-,-,1\rangle + Q_2 |+,-,1\rangle + Q_3 |-,+,1\rangle,
\end{equation*} \]
где
\[ \begin{equation*}
Q_1= \frac{e^{- \frac{1}{2} i t (- \delta +\Omega_2 + 6 \chi )} \bigl(48+\xi _2+e^{i t \Omega_2} (48+\xi _1)\bigr)}{2 \Omega_2^2},
\end{equation*} \]
\[ \begin{equation*}
Q_2=Q_3=-\frac{2 i \sqrt{6} e^{ \frac{1}{2} i t (\delta -6 \chi ) } \sin (\frac{1}{2}\Omega_2 t )}{\Omega_2}.
\end{equation*} \]

Используя полный набор собственных функций гамильтониана (8), мы можем найти явный вид временной волновой функции для начального состояния (2):
\[ \begin{equation}
\begin{array}{l}
|\Psi(t)\rangle^{(1)}_n= \cos \theta |\Psi\rangle^{(+-)}_{n-2}+\sin \theta |\Psi\rangle^{(-+)}_{n-2} \text{ для } n\geqslant 2,
\\
|\Psi(t)\rangle^{(1)}_1= \cos \theta |\Psi\rangle^{(+-)}_{1}+\sin \theta |\Psi\rangle^{(-+)}_{1},
\\
|\Psi(t)\rangle^{(1)}_0= \cos \theta |\Psi\rangle^{(+-)}_{0}+\sin \theta |\Psi\rangle^{(-+)}_{0}.
\end{array}
\end{equation} \tag{11} \]

Аналогично для состояния (3) получаем
\[ \begin{equation}
\begin{array}{l}
|\Psi(t)\rangle^{(2)}_n= \cos \theta |\Psi\rangle^{(++)}_{n}+\sin \theta |\Psi\rangle^{(–)}_{n-4} 
\text{ для } n\geqslant 4, 
\\
|\Psi(t)\rangle^{(2)}_3= \cos \theta |\Psi\rangle^{(++)}_{3}+\sin \theta |\Psi\rangle^{(–)}_{3},
\\
|\Psi(t)\rangle^{(2)}_2= \cos \theta |\Psi\rangle^{(++)}_{2}+\sin \theta |\Psi\rangle^{(–)}_{2},
\\
|\Psi(t)\rangle^{(2)}_1= \cos \theta |\Psi\rangle^{(++)}_{1}+\sin \theta |\Psi\rangle^{(–)}_{1},
\\
|\Psi(t)\rangle^{(1)}_0= \cos \theta |\Psi\rangle^{(++)}_{0}+\sin \theta |\Psi\rangle^{(–)}_{0}.
\end{array}
\end{equation} \tag{12} \]

2. Точное решение квантового уравнения Лиувилля для теплового состояния поля

Имея явные выражения для временных волновых функций системы (11) и (12), мы можем найти временную матрицу плотности, являющуюся решением уравнения Лиувилля 
\[ \begin{equation*}
\imath \hbar \frac{\partial \rho(t)}{\partial t} = [H, \rho(t)] 
\end{equation*} \]
c начальными условиями
\[ \begin{equation*}
\rho(0)\rangle_n = |\Psi(0)\rangle^{(i)}_{Q_1\,Q_2\,\,\,\,Q_1\,Q_2}\langle \Psi(0)|^{(i)} \otimes \rho(0)_{F} \qquad (i=1,2).
\end{equation*} \]

Решение квантового уравнения Лиувилля для начальных состояний (2) и (3) и теплового состояния поля (4) можно записать в виде
\[ \begin{equation}
\rho(t)=\sum _{n=0}^{\infty } p_{n} |\Psi (t)\rangle^{(1)}_{n\,n} \langle \Psi (t)|^{(1)},
\end{equation} \tag{13} \]
\[ \begin{equation}
\rho(t)=\sum _{n=0}^{\infty } p_{n} |\Psi (t)\rangle^{(2)}_{n\,n} \langle \Psi (t)|^{(2)} 
\end{equation} \tag{14} \]
соответственно.

Полученные точные решения (13) и (14) могут быть использованы для получения временных зависимостей любых наблюдаемых для подсиcтемы кубитов и резонаторного поля. В настоящей работе мы воспользуемся точными решениями для полной матрицы плотности для нахождения временной зависимости параметра перепутывания кубитов. Для этого нам необходимо получить из полной матрицы плотности $\rho(t)$ редуцированную двухкубитную матрицу плотности путем усреднения полной матрицы плотности по переменным поля 
\[ \begin{equation*}
\rho_{Q_1\,Q_2}(t) = \operatorname{Tr}_F \rho(t) = \sum\limits_{n=0}^{\infty} \langle n|\rho(t)|n\rangle.
\end{equation*} \]
Удобно записать редуцированную матрицу плотности $\rho_{Q_1\,Q_2}(t)$ в матричной форме, используя двухкубитный базис
\[ \begin{equation*}
|-,-\rangle, \quad |+,-\rangle, \quad |-,+\rangle, \quad |+,+\rangle.
\end{equation*} \]
Для начальных состояний (2) и (3) редуцированные двухкубитные матрицы плотности имеют вид 
\[ \begin{equation}
 \rho_{Q_1\,Q_2}(t) = \left (
 \begin{array}{cccc}
 \rho_{11}^{(1)} & 0 & 0 & 0\\
 0 & \rho_{22}^{(1)} & \rho_{23}^{(1)} & 0\\
 0 & (\rho_{23}^{(1)})^* & \rho_{33}^{(1)} & 0\\
 0 & 0 & 0 & \rho_{44}^{(1)}\\
 \end{array} \right )
\end{equation} \tag{15} \]
и
\[ \begin{equation}
 \rho_{Q_1\,Q_2}(t) = \left (
 \begin{array}{cccc}
 \rho_{11}^{(2)} & 0 & 0 & \rho_{14}^{(2)}\\
 0 & \rho_{22}^{(2)} & \rho_{23}^{(2)} & 0\\
 0* & (\rho_{23}^{(2)})^* & \rho_{33}^{(2)} & 0\\
 (\rho_{14}^{(2)})^* & 0 & 0 & \rho_{44}^{(2)}\\
\end{array} \right )
\end{equation} \tag{16} \]
соответственно.

Нами найдены явные выражения для элементов редуцированных матриц плотности (15) и (16), однако здесь они не приводятся ввиду их чрезвычайно громоздкого вида.

3. Вычисление отрицательности

Для двухкубитной системы, описываемой редуцированной двухкубитной матрицей плотности $\rho_{Q_1\,Q_2}(t)$, в качестве критерия перепутывания кубитов может быть выбран параметр Переса – Хородецких, или отрицательность [34, 35], которая может быть определена через отрицательные собственные значения $\mu _{i}^{ -}$ частичной транспонированной по переменным одного кубита редуцированной двухкубитной матрицы плотности $\rho_{Q_1\,Q_2}^{T_{1} } $:
\[ \begin{equation}
\varepsilon =-2\sum _{i} \mu _{i}^{-}.
\end{equation} \tag{17} \]

Для начальных состояний кубитов (2) и (3) и теплового состояния поля частично транспонированные по переменным одного кубита редуцированные двухкубитные матрицы плотности имеют вид
\[ \begin{equation}
\rho_{Q_1\,Q_2}^{T_{1} }(t)=\left(\begin{array}{cccc} \rho _{11}^{(1)} & 0 & 0 & (\rho_{23}^{(1)})^{*} \\ 0 & \rho_{22}^{(1)} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \rho_{33}^{(1)} & 0 \\ \rho_{23}^{(1)} & {0} & {0} & \rho_{44}^{(1)} \end{array}\right)
\end{equation} \tag{18} \]
и
\[ \begin{equation}
\rho_{Q_1\,Q_2}^{T_{1} }(t)=\left(\begin{array}{cccc} \rho _{11}^{(2)} & 0 & 0 & (\rho_{23}^{(2)})^{*} \\ 0 & \rho_{22}^{(2)} & (\rho_{14}^{(2)})^* & 0 \\ 0 & \rho_{14}^{(2)} & \rho_{33}^{(2)} & 0 \\ \rho_{23}^{(2)} & {0} & {0} & \rho_{44}^{(2)} \end{array}\right)
\end{equation} \tag{19} \]
соответственно.

Матрица (18) имеет всего одно собственное значение, которое может принимать отрицательные значения. Соответственно, отрицательность (17) для начального состояния кубитов (2) и начальной полевой матрицы плотности (4) может быть записана в виде
\[ \begin{equation}
\varepsilon (t )=\sqrt{(\rho _{11}^{(1)}-\rho_{44}^{(1)} )^{2} +4 | \rho_{23}^{(1)} |^{2} } - \rho_{11}^{(1)} -\rho_{44}^{(1)}.
\end{equation} \tag{20} \]
Матрица (19) имеет два собственных значения, которые могут принимать отрицательные значения. Соответственно, отрицательность (17) для начального состояния (3) и начальной полевой матрицы плотности (4) может быть записана в виде
\[ \begin{equation}
\varepsilon(t)=\sqrt{(\rho _{11}^{(2)}-\rho_{44}^{(2)} )^{2} +4 | \rho_{23}^{(2)} |^{2} } - \rho_{11}^{(2)} -\rho_{44}^{(2)} +\sqrt{(\rho _{22}^{(2)}-\rho_{33}^{(2)} )^{2} +4 | \rho_{14}^{(2)} |^{2} } - \rho_{22}^{(2)} -\rho_{33}^{(2)}.
\end{equation} \tag{21} \]

4. Результаты и обсуждение

Результаты численного моделирования отрицательности (20) и (21) представлены на рис. 1 и 2. На рис. 1 показана временная зависимость отрицательности (20) для начального перепутывания кубитов (2) и различных значений расстройки и среднего числа тепловых фотонов в моде резонатора. На рисунках сплошные линии показывают поведение параметра перепутывания для резонаторов со средой Керра, а штриховые линии соответствуют модели в отсутствие керровской нелинейности. При этом представлено поведение отрицательности как для слабого теплового поля (a, b), так и для интенсивного теплового поля резонатора (c, d). Наконец, представлено поведение параметра перепутывания как для резонансного (a, c), так и для нерезонансного взаимодействия кубитов с тепловым полем (b, d). Из рисунков видно, что для слабых тепловых полей нет эффекта мгновенной смерти перепутывания как в отсутствие, так и в присутствии керровской нелинейности. 
При этом наличие керровской нелинейности в резонансом случае приводит к существенному уменьшению амплитуд осцилляций Раби параметра перепутывания, т.е. способствует стабилизации наведенного начального перепутывания кубитов. При этом для нерезонансного случая эффект стабилизации начального перепутывания кубитов не наблюдается. По мере увеличения расстройки указанный эффект постепенно исчезает. Для интенсивных тепловых полей резонатора, напротив, имеет место эффект мгновенной смерти перепутывания в случае как резонансного, так и для нерезонансного взаимодействия кубитов. Керровская нелинейность приводит не только к исчезновению указанного эффекта, но и к стабилизации начального перепутывания кубитов. При этом влияние керровской нелинейности на поведение параметра перепутывания схоже как для резонансного, так и для нерезонансного кубит-полевого взаимодействия.

На рис. 2 показана временная зависимость отрицательности (21) для начального перепутывания кубитов (3) и различных значений расстройки и среднего числа тепловых фотонов в моде резонатора. Как и в предыдущем случае, сплошные линии показывают поведение параметра перепутывания для резонаторов со средой Керра, а штриховые линии соответствуют модели без керровской нелинейности. При этом представлено поведение отрицательности как для слабого теплового поля (a, b), так и для интенсивного теплового поля резонатора (c, d). Наконец, представлено поведение параметра перепутывания как для резонансного (a, c), так и для нерезонансого взаимодействия кубитов с тепловым полем (b, d). Для рассматриваемого начального состояния наличие керровской нелинейности не приводит, в отличие от предыдущего случая, к существенному уменьшению амплитуд осцилляций Раби параметра перепутывания в случае как  слабых, так и интенсивных тепловых полей резонатора. Наиболее интересным является результат, состоящий в исчезновении эффекта мгновенной смерти перепутывания при включении керровской нелинейности в случае интенсивного теплового поля резонатора и нерезонансого взаимодействия кубитов и поля.

Рис. 1. Отрицательность как функция безразмерного времени \(gt\) для начального перепутанного состояния кубитов (2). Сплошные линии соответствуют модели с керровской нелинейностью \(\chi=5\), штриховые линии соответствуют модели с \(\chi=0\). Среднее число тепловых фотонов \(\bar{n}=0.1\) (a, b) и \(\bar{n}=5\) (c, d). Безразмерный параметр расстройки \(\delta=0\) (a, c) и \(\delta=5\) (b, d)
[Figure 1. Negativity vs scaled time $gt$ for initial entangled qubits state (2). The solid lines correspond to the model with the Kerr nonlinearity $\chi=5$, the dashed lines correspond to the model with $\chi=0$. The mean thermal photon numbers are $\bar n =0.1$ (a, b) and $\bar n =5$ (c, d). Scaled detuning parameter $\delta=0$ (a, c) and $\delta=5$ (b, d)]

Рис. 2. Отрицательность как функция безразмерного времени \(gt\) для начального перепутанного состояния кубитов (3). Cплошные линии соответствуют модели с керровской нелинейностью \(\chi=5\), штриховые линии соответствуют модели с \(\chi=0\). Среднее число тепловых фотонов \(\bar{n}=0.1\) (a, b) и \(\bar{n}=5\) (c, d). Безразмерный параметр расстройки \(\delta=0\) (a, c) и \(\delta=5\) (b, d)
[Figure 2. Negativity vs scaled time $gt$ for initial entangled qubits state (3). The solid lines correspond to the model with the Kerr nonlinearity $\chi=5$, the dashed lines correspond to the model with $\chi=0$. The mean thermal photon numbers are $\bar n =0.1$ (a, b) and $\bar n =5$ (c, d). Scaled detuning parameter $\delta=0$ (a, c) and $\delta=5$ (b, d)]

Заключение

Таким образом, в настоящей работе мы нашли точное решение квантового уравнения эволюции для матрицы плотности системы двух кубитов, взаимодействующих посредством вырожденных двухфотонных переходов с тепловым полем резонатора со средой Керра. Полученное точное решение использовано для анализа временной динамики перепутывания кубитов, индуцированного тепловым полем резонатора, для перепутанных начальных состояний кубитов белловского типа. Показано, что наличие среды Керра в случае интенсивных тепловых полей резонатора приводит к исчезновению эффекта мгновенной смерти перепутывания. Для некоторых типов начальных перепутанных состояний кубитов керровская нелинейность приводит также к существенной стабилизации начального перепутывания кубитов. Полученные результаты могут быть полезны при выборе оптимальных режимов функционирования квантовых устройств, таких как квантовые компьютеры и квантовые сети.

Конкурирующие интересы. Конкурирующих интересов не имею.
Авторская ответственность. Я несу полную ответственность за предоставление окончательной версии рукописи в печать. Окончательная версия рукописи мною одобрена.
Финансирование. Исследование выполнялось без финансирования.
Благодарность. Автор благодарен рецензенту за тщательное прочтение статьи и ценные предложения и комментарии.

About the authors

Eugene K. Bashkirov

Author for correspondence.
Email: bashkirov.ek@ssau.ru
ORCID iD: 0000-0001-8682-4956
SPIN-code: 8870-9442
https://www.mathnet.ru/php/person.phtml?option_lang=rus&personid=23894

Dr. Phys. & Math. Sci., Professor, Professor, Dept. of General and Theoretical Physics

References

Supplementary files

Supplementary Files

Action

1. JATS XML

Download

2. Figure 1. Negativity vs scaled time \(gt\) for initial entangled qubits state (2). The solid lines correspond to the model with the Kerr nonlinearity \(\chi=5\), the dashed lines correspond to the model with \(\chi=0\). The mean thermal photon numbers are \(\bar{n}=0.1\) (a, b) and \(\bar{n}=5\) (c, d). Scaled detuning parameter \(\delta=0\) (a, c) and \(\delta=5\) (b, d)

Download (574KB)

Indexing metadata

3. Figure 2. Negativity vs scaled time \(gt\) for initial entangled qubits state (3). The solid lines correspond to the model with the Kerr nonlinearity \(\chi=5\), the dashed lines correspond to the model with \(\chi=0\). The mean thermal photon numbers are \(\bar{n}=0.1\) (a, b) and \(\bar{n}=5\) (c, d). Scaled detuning parameter \(\delta=0\) (a, c) and \(\delta=5\) (b, d)

Download (349KB)

Indexing metadata