Long-term fracture of a composite rod under tension in creep conditions in the presence of an active medium

Full Text

Введение

Актуальность исследований высокотемпературной прочности материалов и конструкций [1], в том числе находящихся в условиях воздействия активных сред [2, 3], не подлежит сомнению. Современные материалы и элементы конструкций должны обеспечивать надежность и работоспособность изделий в течение всего срока службы в рабочих условиях с учетом их взаимодействия с внешними и/или рабочими средами. Наиболее часто для дополнительной защиты элементов конструкций от деструктивного воздействия внешней активной среды применяются типовые элементы составного типа. Внешний слой такой составной конструкции, как правило, контактирует с агрессивным веществом и защищает основные элементы конструкции от его разрушительного воздействия.

В статье [4] рассмотрено напряженно-деформированное состояние, кинетика накопления повреждений в процессе ползучести и определены времена до разрушения составного стержня при различных значениях материальных констант в уравнениях состояния ползучести и длительного разрушения его элементов.

В работе [5] проведен анализ влияния эксплуатационных условий на работу лопаток турбины в составе двигателя. Авторы отмечают, что особенностью работы лопаток турбин практически всех двигателей являются переменные нагрузки, высокие температуры газа перед турбиной, наличие высокоскоростного газового потока, которые в значительной мере усложняют условия работы лопаток, а совместное действие температуры, напряжений и окислительной среды приводит к диффузионным процессам в поверхностных слоях лопаток, ограничивающих их долговечность.

В статье [6] приведены результаты экспериментальных исследований влияния высокотемпературных покрытий на лопатках турбины и компрессора из жаропрочных никелевых и титановых сплавов на характеристики долговечности при газовой коррозии, термических и термомеханических циклических нагрузках: количественные характеристики трещиностойкости, вязкости разрушения, циклической долговечности.

В исследовании [7] определены условия, при которых обработка оболочек тепловыделяющих элементов (ТВЭЛ) из сплава Э110 мощным ультрафиолетовым или инфракрасным лазерным излучением приводит к повышению коррозионной стойкости при высокотемпературном (1100 °C) окислении, моделирующем условия аварии с потерей теплоносителя. Исследовано поведение защитных покрытий $\mathrm{Al}$, $\mathrm{Al}_2\mathrm{O}_3$ и $\mathrm{Cr}$, нанесенных методом импульсного лазерного осаждения на сталь ЭП823. Показаны методы практически полного подавления коррозии в жидком свинце до температуры 720 °C.

В статье [8] рассматривается радиационная ползучесть ТВЭЛа из двухслойной оболочки UN-SiC. Проведены исследования параметров с точки зрения скорости ползучести SiC при облучении и скорости отжига. Авторы отмечают тепловую эффективность оболочки SiC.

Монография [9] демонстрирует методы противодействия тепловым эффектам быстрой коррозии и деградации открытых материалов и оборудования, которые могут возникнуть при высоких рабочих температурах. Это первое настоящее практическое руководство по использованию термозащитных покрытий для применения в условиях высоких температур, включая последние разработки в области создания материалов, используемых для защитных покрытий.

Настоящая статья посвящена исследованию напряженно-деформированного состояния и моделированию процессов разрушения такой типовой конструкции, как составной стержень, находящийся в условиях ползучести [1] при растяжении и воздействии на части стержня активной среды [2, 3].

1. Постановка задачи

Рассматривается составной призматический стержень длиной $L$ прямоугольного поперечного сечения $H{\times}b$, $L\gg H\gg b$, в системе координат $Oxyz$ (рис. 1), находящийся в состоянии установившейся ползучести под действием постоянной растягивающей силы $P$, приложенной к его торцам. Расположение частей симметрично относительно срединной плоскости $Oxz$. Материалы центральной (1) и периферийной (2) частей составного стержня (см. рис. 1) удовлетворяют разным законам ползучести. Дополнительно примем следующее условие: все части составного стержня жестко, без проскальзывания соединены между собой.

Рис. 1. Схема расположения частей в составном стержне
[Figure 1. Scheme of the arrangement of parts in a composite rod]

Рассмотрим ползучесть данного составного стержня, который дополнительно к действию растягивающей силы находится в активной среде. Влияние активной среды определяется ее диффузионным проникновением в материал составных элементов стержня. Поскольку $L\gg H\gg b$, влиянием диффузии с торцов стержня можно пренебречь, аналогично, влиянием продольной координаты стержня на диффузионный процесс можно пренебречь. Таким образом, процесс диффузии является одномерным по координате $z$. Ввиду принятых одинаковых граничных условий диффузии на гранях стержня в плоскости $xOy$ процесс диффузии является симметричным относительно оси $Oy$. Примем различные характеристики диффузионного процесса для центральной части и двух крайних частей стержня. Пусть активная среда проникает в центральную часть (1) с коэффициентом диффузии $D_{1} ={\rm const}$, а в крайние части (2) — с коэффициентом диффузии $D_{2} ={\rm const}$.

Таким образом, распределение концентрации элементов активной среды в каждой части составного стержня подчиняется одномерным уравнениям диффузии:
\[ \begin{equation}
\frac{\partial \bar{c}}{\partial \tilde{t}_i} =
\frac{1}{12} \frac{\partial ^{2} \bar{c}}{\partial \bar{z}^{2} }, \quad
\bar{c}=\bar{c} (\bar{z}, \tilde{t}_i), \quad
0\leqslant \bar{z}\leqslant 1, \quad
0\leqslant \tilde{t}_i<\infty, \quad i=1, 2,
\end{equation} \tag{1} \]
где $\bar{z}= {2z}/{b}$, $\tilde{t}_i={48D_i}t/{b^2}$, $\bar{c}={c}/{c_0}$; $c_0$ — равновесная концентрация (экспериментальная константа), достигаемая при ${t\to\infty}$. Начальные и граничные условия записываются в виде
\[ \begin{equation*}
\bar{c}(\bar{z}, 0)=0, \quad \bar{c}(1, 0)=1 , \quad
\frac{\partial \bar{c}}{\partial \bar{z}} (0, \tilde{t}_i)=0.
\end{equation*} \]
Предполагается наличие скачка концентрации на границе раздела активной окружающей среды и материала стержня в момент времени $\tilde{t}_i=0$.

Предлагается приближенный метод решения уравнения диффузии (1), основанный на введении диффузионного фронта, который подробно описан в [2, 3, 10]. Такой подход позволяет разделить весь материал стержня на возмущенную (где среда уже проникла в материал) и невозмущенную (где еще нет проникновения среды) области и затем определять движение границы между этими областями во времени. Решение (распределение концентрации по координатам и времени) ищется в виде полинома, коэффициенты которого в общем виде являются функциями пространственных координат и времени. При этом граничные и начальное условия выполняются точно, а уравнение диффузии удовлетворяется интегрально во всем объеме стержня.

Рассматриваются две последовательные стадии процесса диффузии: стадия проникновения фронта (первая стадия) и стадия насыщения (вторая стадия). На первой стадии невозмущенная и возмущенная области стержня разделены движущейся границей $x=l(t)$, соответствующей диффузионному фронту; на второй стадии концентрация среды распространяется на весь стержень.

На основе предлагаемого подхода получено соотношение для интегрально средних безразмерных концентраций $\bar{c}_{mi}$, определяемых соотношением
\[ \begin{equation*}
\bar{c}_{mi} =
\bar{c}_{m} (\tilde t _i ) \equiv \int _{0}^{1}\bar{c}(\bar z, \tilde t _i) d\bar{z} , \quad i =1, 2.
\end{equation*} \]
Для рассматриваемой задачи
\[ \begin{equation}
\bar{c}_{mi} =\bar{c}_{m}(\tilde{t}_i)=
\begin{cases}
\phantom{1-{}}
\frac{1}{3} \sqrt{ \tilde{t}_i }, & 0\leqslant \tilde{t}_i \leqslant 1, \\
1-\frac{2}{3}\exp\bigl(\frac{1-\tilde{t}_i}4\bigr), & \tilde{t}_i>1.
\end{cases}
\end{equation} \tag{2} \]

2. Определяющие и кинетические соотношения

Используя принятое условие длинномерности стержня, а также учитывая принцип Сен–Венана, рассмотрим напряженно-деформированное состояние вдали от мест приложения силы к торцам стержня. Аналогично [4] и с дополнительным условием симметрии диффузионного процесса относительно центральной плоскости симметрии примем одномерный вид напряженно-деформированного состояния в составном стержне.

Пусть соотношения, описывающие скорость деформации ползучести соответственно первой (центральной) и двух крайних частей, имеют вид
\[ \begin{equation}
\dot{p}_i = \frac{B_i \sigma_i^n}{(1-\omega_i)^n} , \quad i =1, 2,
\end{equation} \tag{3} \]
где $\sigma_1$ — напряжение в первой (центральной) части стержня, $\sigma_2$ — напряжения в двух крайних частях стержня; $\omega_1$, $\omega_2$ — соответствующие параметры поврежденности; $B_1$, $B_2$, $n$ — материальные константы; точка означает производную по времени $t$.

Введем безразмерные переменные:
\[ \begin{equation*}
\bar{\sigma}_1= {\sigma_1}/{\sigma_0} , \quad
\bar{\sigma}_2= {\sigma_2}/{\sigma_0} , \quad
\bar{t}=B_1\sigma_0^n t,
\end{equation*} \]
где $\sigma_0$ — некоторое характерное напряжение, например, половина предела кратковременной прочности $\sigma_B$ ($\sigma_0= \sigma_B/2$) при соответствующей температуре. Тогда определяющие соотношения (3) будут иметь следующий вид:
\[ \begin{equation*}
\frac{dp_1}{d\bar{t}}=\frac{\bar{\sigma}_1^n}{(1-\omega_1)^n}, \quad
\frac{dp_2}{d\bar{t}} =\frac{\bar B\bar{\sigma}_2^n}{(1-\omega_2)^n},
\end{equation*} \]
где $ \bar B= {B_2}/{B_1}$.

3. Учет влияния активной среды

Большинство экспериментальных данных показывает, что активная среда деструктивно влияет на материал, уменьшает время до разрушения по сравнению с эксплуатацией материалов и элементов конструкций в нейтральных условиях.

Процессы разрушения инициируются ростом повреждений в материале. Учтем влияние активной среды в кинетических уравнениях накопления поврежденности:
\[ \begin{equation}
\dfrac{d\omega_i}{dt}= \dfrac{A \sigma_i^m}{(1-\omega_i)^m} f_i(\bar{c}_{mi}), \quad i = 1, 2;
\end{equation} \tag{4} \]
\[ \begin{equation*}
\omega_i(0)=0, \quad \omega_i(t_i^*)=1,
\end{equation*} \]
где $\omega_i=\omega_i(t)$; $t_1^*$ — время до разрушения центральной части стержня, $t_2^*$ — время до разрушения крайних частей стержня; $A$, $m$ — материальные константы, которые определяются на основе испытаний на длительную прочность без влияния активной среды (в нейтральных условиях), при этом $f_i(\bar{c}_{mi})=1$.

В уравнениях (4) введены возрастающие функции от интегрально средних концентраций $f_i(\bar{c}_{mi})$ такие, что $f_i(0)=1$.

С учетом единого для определяющих и кинетических уравнений безразмерного времени $\bar{t}$ уравнения (4) примут следующий вид:
\[ \begin{equation}
\frac{d\omega_i}{d\bar{t}}= \frac{ \bar C \bar{\sigma}_i^m }{(1-\omega_i)^m} f_i(\bar{c}_{mi}) , \quad i=1, 2,
\end{equation} \tag{5} \]
где $\bar C = {A} \sigma_0^{m-n}/ B_1$.

Поскольку кинетические соотношения (5) и соотношения (2) для интегрально средней концентрации $\bar{c}_{m} $ записаны в различных безразмерных временах $\bar{t}$, $\tilde{t}_1$ и $\tilde{t}_2$, для дальнейших расчетов необходимо перейти к одному единому безразмерному времени для задачи $\bar{t}$:
\[ \begin{equation*}
\tilde{t}_i=K_i\bar{t}, \quad K_i=\frac{48D_i}{B_1\sigma_0^nb^2}, \quad i =1, 2.
\end{equation*} \]
Отметим, что ${K_2} / {K_1}= {D_2} /{D_1} = \bar D $.

Тогда соотношения (2) примут вид ($i=1, 2$)
\[ \begin{equation}
\bar{c}_{mi}(\bar{t})=
\begin{cases}
\phantom{1-{}}\frac{1}{3}\sqrt{K_i\bar{t}}, & 0\leqslant \bar{t}\leqslant 1/K_i, \\
1-\frac{2}{3}\exp \bigl(\frac{1- K_i\bar{t} }4 \bigr), & \bar{t}>1/K_i.
\end{cases}
\end{equation} \tag{6} \]
Кинетические соотношения для первой (центральной) и двух вторых (крайних) частей составного стержня в едином безразмерном времени $\bar{t}$ примут вид
\[ \begin{equation*}
\frac{d\omega_i}{d\bar{t}}= \frac{\bar C \bar{\sigma}_i^m}{(1-\omega_i)^m} f_i(\bar{c}_{mi}(\bar{t})),
\quad i =1, 2,
\end{equation*} \]
где $\bar{c}_{mi}(\bar{t})$ определены в (6).

Принятое условие жесткого соединения частей стержня без проскальзывания и гипотеза плоских сечений дают возможность принять условие $p_1(\bar t) =p_2(\bar t)$. С учетом этого факта и заданного начального условия $p_i(0)=0$, $i=1, 2$, имеем
\[ \begin{equation}
\int_0^{\bar{t}}\frac{\bar{\sigma}_1^n}{(1-\omega_1)^n}d \bar \tau=
\bar B \int_0^{\bar{t}}\frac{\bar{\sigma}_2^n}{(1-\omega_2)^n}d \bar \tau.
\end{equation} \tag{7} \]

Выпишем уравнение равновесия с учетом выражений для безразмерных напряжений $\bar{\sigma}_1$ и $\bar{\sigma}_2$:
\[ \begin{equation}
\Sigma_0= \alpha\bar{\sigma}_1+(1-\alpha)\bar{\sigma}_2,
\end{equation} \tag{8} \]
где $\Sigma_0= {P}/({bH\sigma_0})$, $\alpha= {2h_1}/{H}$.

Выразим $\bar{\sigma}_2$ из (8):
\[ \begin{equation*}
\bar{\sigma}_2=\frac{\Sigma_0-\alpha\bar{\sigma}_1 }{1-\alpha}.
\end{equation*} \]
С учетом уравнений (5)–(7) получим систему уравнений:
\[ \begin{equation}
\frac{d\omega_1}{d\bar{t}}= \frac{\bar C \bar{\sigma}_1^m}{(1-\omega_1)^m} f(\bar{c}_{m1}(\bar{t})) , \quad \omega_1(0)=0;
\end{equation} \tag{9} \]
\[ \begin{equation}
\frac{d\omega_2}{d\bar{t}}=\frac{ \bar C (\Sigma_0-\alpha\bar{\sigma}_1)^m}{(1-\alpha)^m(1-\omega_2)^m}f(\bar{c}_{m2}(\bar{t})), \quad \omega_2(0)=0;
\end{equation} \tag{10} \]
\[ \begin{equation}
\int_0^{\bar{t}}\frac{\bar{\sigma}_1^n }{(1-\omega_1)^n}d\bar{\tau}=
\bar B\int_0^{\bar{t}} \frac{(\Sigma_0-\alpha\bar{\sigma}_1)^n}{(1-\alpha)^n(1-\omega_2)^n} d\bar{\tau},
\end{equation} \tag{11} \]
где $\omega_1=\omega_1(\bar{t})$, $\omega_2=\omega_2(\bar{t})$ и $\bar{\sigma}_1=\bar{\sigma}_1(\bar{t})$ — неизвестные величины.

В расчетах принят линейный вид функции от интегрально средних концентраций $f(\bar{c}_{mi})$:
\[ \begin{equation*}
f(\bar{c}_{mi}(\bar{t}))=1+a \bar{c}_{mi}(\bar{t}),
\quad
i =1, 2,
\end{equation*} \]
где константа $a$ определяется из эксперимента на длительную прочность образцов материала, находящихся в активной среде. В [11] для испытаний на длительную прочность образцов из углеродистой стали, находящихся в высокотемпературной воздушной среде [12], определено значение данной величины, равное $a=9.5$.

Разрушение каждой части стержня определяется условиями $\omega_1(\bar{t}_1^*)=1$ и $\omega_2(\bar{t}_2^*)=1$. Общее время до разрушения всего составного стержня определяется величиной $\bar{t}^*=\min\{\bar{t}_1^*, \bar{t}_2^*\}$.

Результатом решения задачи являются зависимости величин $\bar{\sigma}_i=\bar{\sigma}_i(\bar{t})$, $\omega_i=\omega_i(\bar{t})$, $i=1, 2$.

4. Пример численного расчета

Численное решение задачи (9)–(11) осуществлялось методом «шагами по времени», широко применяемым в теории неупругого реологического деформирования.

В качестве примера для численного расчета использовались следующие модельные значения параметров, фигурирующие в соотношениях (9)–(11):
\[ \begin{equation*}
m=n=3, \quad \bar C=2, \quad K_1=1, \quad K_2=2, \quad \bar B=2, \quad \alpha=0.5, \quad \Sigma_0=0.5.
\end{equation*} \]

Типичные расчетные зависимости для величин $\bar{\sigma}_i=\bar{\sigma}_i(\bar{t})$, $\omega_i=\omega_i(\bar{t})$, $i=1, 2$, показаны на рис. 2.

Рис. 2. Графики зависимостей величин $\bar{\sigma}_i=\bar{\sigma}_i(\bar{t})$, $\omega_i=\omega_i(\bar{t})$, $i=1, 2$
[Figure 2. Graphs of dependences of quantities $\bar{\sigma}_i=\bar{\sigma}_i(\bar{t})$, $\omega_i=\omega_i(\bar{t})$, $i=1, 2$]

5. Анализ полученных результатов

Выполнен параметрический анализ задачи для различных значений $m$, $n$, $K_1$, $K_2$, $\alpha$ и $\Sigma_0$. 

Предварительный анализ показал следующее:

1. с ростом значения $\bar D = D_2 /D_1$, характеризующего отношение коэффициентов диффузии активной среды в части составного стержня, время до разрушения $\bar{t}^*$ составного стержня уменьшается;
2. с ростом показателей степеней $n=m$ в определяющих и кинетических соотношениях время до разрушения составного стержня увеличивается.

В статье [4] выполнено исследование аналогичного составного стержня без влияния активной среды и показано, что коэффициент $\bar B =B_2/B_1$ влияет на характер накопления поврежденности и на очередность разрушения частей составного стержня. Этот характер влияния коэффициента $\bar B$ на очередность разрушения частей составного стержня также справедлив и для настоящего исследования. Но в отличие от [4] в настоящей статье определение времен до разрушения составного стержня дополнительно зависит еще от диффузионных процессов в частях составного стержня.

Заключение

Проведено исследование напряженно-деформированного состояния и определено время до разрушения составного стержня при ползучести в условиях воздействия на него активной окружающей среды и растягивающей нагрузки.

Изучение и моделирование таких процессов является предварительным опорным исследованием перспективной задачи о защите внешних частей составного стержня при его контакте с рабочей активной средой в условиях длительного действия нагрузки и повышенных температур.

На основе кинетической теории ползучести и длительной прочности Ю. Н. Работнова получены зависимости накопления поврежденности от времени в элементах составного стержня, при этом учтено диффузионное проникновение элементов активной среды в части стержня с различными коэффициентами диффузии.

В результате проведенного исследования проанализировано влияние параметров моделей ползучести и длительной прочности, коэффициентов диффузии на время до разрушения составного стержня. Такого рода исследования могут способствовать рациональному выбору необходимых материалов составных конструкций, работающих в активной среде.

Результаты настоящей работы могут быть применены в энергетическом машиностроении, авиационно-космической отрасли, судостроении и нефтехимическом машиностроении.

Конкурирующие интересы. Заявляем, что в отношении авторства и публикации этой статьи конфликта интересов не имеем.
Авторский вклад и ответственность. Все авторы принимали участие в разработке концепции статьи; все авторы сделали эквивалентный вклад в подготовку публикации. Авторы несут полную ответственность за предоставление окончательной рукописи в печать. Окончательная версия рукописи была одобрена всеми авторами.
Финансирование. Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (номер проекта 20-08-00387) и госбюджетной НИР (номер ЦИТИС АААА-А16-116021110204-3; АААА-А19-119012990120-9).

About the authors

Leonid V. Fomin

Lomonosov Moscow State University, Institute of Mechanics

Author for correspondence.
Email: fleonid1975@mail.ru
ORCID iD: 0000-0002-9075-5049
SPIN-code: 7186-8776
Scopus Author ID: 55815905900
ResearcherId: R-7182-2017
http://www.mathnet.ru/person50057

Cand. Phys. & Math. Sci.; Leading Researcher; Lab. of Design and Applied Methods of Calculation of Composite Structures

Russian Federation, 119192, Moscow, Michurinsky prospekt, 1

Yuriy G. Basalov

Lomonosov Moscow State University, Institute of Mechanics

Email: basalov@yandex.ru
ORCID iD: 0000-0002-1416-3690
Scopus Author ID: 57217958651
http://www.mathnet.ru/person50756

Lead Engineer; Lab. of Design and Applied Methods of Calculation of Composite Structures

Russian Federation, 119192, Moscow, Michurinsky prospekt, 1

References

Supplementary files