On the completeness of a pair of biorthogonally conjugated systems of functions

Full Text

При доказательстве единственности решения краевых задач для дифференциальных уравнений в частных производных можно применять метод © 2015 Самарский государственный технический университет. Образец для цитирования Г и м а л т д и н о в а А. А., К у р м а н К. В. О полноте одной пары биортогонально сопряженных систем функций // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2015. T. 19, № 1. С. 7-18. doi: 10.14498/vsgtu1385. ∗ Настоящая статья представляет собой расширенный вариант доклада [1], сделанного авторами на Четвёртой международной конференции «Математическая физика и её приложения» (Россия, Самара, 25 августа - 1 сентября 2014). 7 Г и м а л т д и н о в а А. А., К у р м а н К. В. В. И. Ильина [2], использующий полноту в L2 соответствующей системы собственных функций. Таким методом, например, исследована задача Дирихле для уравнений смешанного типа с одной линией изменения типа в прямоугольной области в работах [3, 4]. При изучении задачи Дирихле для уравнения Лаврентьева-Бицадзе с двумя линиями изменения типа Lu ≡ (sign x)uxx + (sign y)uyy = 0 в прямоугольной области D = {(x, y) ∈ R2 | -1 < x < 1, -α < y < β}, α, β > 0, возникает следующая спектральная задача. Задача. Найти значения λ = µ2 ∈ C и соответствующие функции X(x), удовлетворяющие условиям: (sign x)X + λX = 0, x ∈ (-1, 0) ∪ (0, 1), X(0 + 0) = X(0 - 0), X (0 + 0) = X (0 - 0), X(1) = X(-1) = 0. (1) (2) В работе [5] изучена похожая задача, найдена система собственных функций и исследована на полноту, только коэффициент при старшей производной в дифференциальном уравнении был кусочно-постоянным с положительными значениями. Ранее в работе [6] доказана полнота и базисность в L2 (0, 1) одной системы разрывных собственных функций для оператора второго порядка с постоянным коэффициентом при старшей производной, но с нелокальными условиями. Уравнение (1) можно записать в виде X + λ(sign x)X = 0, то есть имеем задачу с условиями сопряжения во внутренней точке для уравнения со знакопеременной весовой функцией. В работе [7] изучались спектральные задачи для обыкновенных дифференциальных операторов второго и четвёртого порядка с условиями сопряжения во внутренней точке и с кусочно-постоянным весовым коэффициентом, но система собственных функций не исследована на полноту. В работе [8] рассмотрены спектральные задачи с незнакоопределенной весовой функцией для самосопряжённого эллиптического оператора, приведены примеры из математической физики, иллюстрирующие возникновение таких задач. В нашей работе будет построена система собственных функций, соответствующая ей биортогональная система и проведено её исследование на полноту. Решениями уравнения (1), удовлетворяющими условиям (2), являются функции C1 cos µx + C2 sin µx, x > 0, X(x) = C1 ch µx + C2 sh µx, x < 0, где C1 , C2 - произвольные постоянные, µ является решением уравнения tg µ = - th µ. (3) Лемма 1. Уравнение tg(az) = - th(bz), 8 a, b ∈ R, a, b > 0, (4) О полноте одной пары биортогонально сопряженных систем функций имеет счётное множество корней, состоящее из нуля, простых попарно противоположных действительных и попарно противоположных чисто мнимых корней, для которых справедливо асимптотическое представление π π + k + O e-2πkb/a , 4a a π π = ±i - + k + O e-2πka/b , k ∈ N. 4b b (1),(2) zk (3),(4) zk =± - Д о к а з а т е л ь с т в о. Очевидно, z = 0 является корнем уравнения (4). Пусть далее z = 0, z = x + iy, x, y ∈ R. 1. Пусть y = 0. Найдём корни уравнения tg(ax) = - th(bx). (5) Рассмотрим x > 0, т. к., очевидно, корни попарно противоположны. Из графиков функций tg(ax) и - th(bx) видно, что уравнение имеет ровно по одному корню в каждом из интервалов - π π π + k < xk < k, 2a a a k = 1, 2, . . . . Рассмотрим tg a xk - - π π + k 2a a = - ctg(axk ) = тогда axk + поэтому π π - πk → , 2 4 π π + k 4a a xk → - 1 → 1 при k → ∞, th(bxk ) при k → ∞. Пусть π π + k + ε(k), 4a a где limk→∞ ε(k) = 0. Подставим их в уравнение (5): xk = - tg - π πb πbk + πk + aε = - th - + + bε . 4 4a a Обозначим πb πbk + = s, 4a a тогда последнее равенство приводится к виду - 1 - tg(aε) 1 + th s · th(bε) = 1 + tg(aε) th s + th(bε) . Используя асимптотические равенства tg x = x + o(x), th x = x + o(x) при x → 0, 9 Г и м а л т д и н о в а А. А., К у р м а н К. В. th s = 1 - e-2s = 1 - 2e-2s + o(e-2s ) при s → +∞, 1 + e-2s после преобразований получим ε(k) = 1 b(-2πk+π/2)/a e + o(e-2πkb/a ). a Тогда π 1 π + k + eb(-2πk+π/2)/a + o(e-2πkb/a ) 4a a a или π π xk = - + k + O(e-2πkb/a ). 4a a 2. При x = 0 получим tg(aiy) = - th(biy) или th(ay) = - tg(by), откуда найдём π π yk = - + k + O(e-2πka/b ). 4b b 3. Докажем, что исходное уравнение не имеет других корней. Пусть z = = x + iy, x = 0, y = 0. Используя формулы xk = - tg(x + iy) = sin 2x + i sh 2y , cos 2x + ch 2y th(x + iy) = sh 2x + i sin 2y , ch 2x + cos 2y из (4) получим     sh 2bx sin 2ax =- , cos 2ax + ch 2ay ch 2bx + cos 2by sh 2ay sin 2by   =- .  cos 2ax + ch 2ay ch 2bx + cos 2by Очевидно, x = πn/(2a), y = πm/(2b), n, m ∈ Z, тогда из последней системы получим уравнение sh(2bx) sin(2by) = . (6) sin 2ax sh 2ay Пусть 2ax = t, 2ay = z, b/a = k, рассмотрим уравнение sh(kt) sin(kz) = . k sin t k sh z Докажем, что для функции f (t) = sh(kt) k sin t неравенство |f (t)| > 1 справедливо для всех t ∈ R\{πn}. 1. Пусть t ∈ (0, π), тогда sin t > 0. Для функции f1 (t) = sh(kt) - k sin t имеем f1 (t) = k(ch kt - cos t) > 0, т. е. f1 (t) > f1 (0) = 0, поэтому sh(kt) > k sin t 10 или sh(kt) > 1. k sin t О полноте одной пары биортогонально сопряженных систем функций 2. Пусть t ∈ (π, 2π), тогда sin t < 0. Для функции f2 (t) = sh(kt) + k sin t справедливо f2 (t) = k(ch kt + cos t) > 0, т. е. f2 (t) > f2 (π) = sh πk, поэтому sh(kt) > -k sin t + sh πk > -k sin t или sh(kt) > 1. -k sin t Аналогично можно показать выполнение неравенства |f (t)| > 1 на всех промежутках (πn, (n + 1)π), n 2, а в силу чётности функции f (t) оно справедливо и при отрицательных t. С другой стороны, для функции g(z) = sin(kz) k sh z справедливо |g(z)| < 1 при y ∈ R\{0}, что доказывается аналогично. Таким образом, уравнение (6) не имеет корней. В силу леммы 1 уравнение (3) имеет счётное множество отличных от нуля корней µk и iµk , причём для положительных µk справедливо асимптотическое представление π µk = - + πk + O(e-2πk ), k ∈ N. 4 Тогда постоянная λ может принимать значения λk = µ2 > 0 и λk = -µ2 < 0, k k и решениями задачи (1), (2) будут соответственно функции    sin[µk (x - 1)]  sh[µk (x - 1)]   , x > 0, , x > 0,   cos µk ch µk (1) (2) Xk (x) = Xk (x) =  sh[µk (x + 1)]  sin[µk (x + 1)]     , x < 0, , x < 0. ch µk cos µk (1) (2) Легко убедиться, что система Xk (x), Xk (x) неортогональна в пространстве L2 [-1, 1]. Поэтому рассмотрим сопряжённую задачу: sgn x · Z + d · Z = 0, Z(0 - 0) = -Z(0 + 0), Z (0 - 0) = -Z (0 + 0), Её решениями являются функции   sin[µk (x - 1)]  - , x > 0,  cos µk (1) Zk (x) =  sh[µk (x + 1)]   , x < 0, ch µk Система (1) Xk ; (1) (2) Zk ; Zk x ∈ (-1, 0) ∪ (0, 1), Z(-1) = Z(1) = 0.   sh[µk (x - 1)]  - , x > 0,  ch µk (2) Zk (x) =   sin[µk (x + 1)] , x < 0.  cos µk является биортогонально сопряжённой к системе (2) Xk , в чём можно убедиться по определению, вычислив соответствующие интегралы. Лемма 2. Система (1) (2) Zk , Z k полна в пространстве L2 [-1, 1]. 11 Г и м а л т д и н о в а А. А., К у р м а н К. В. Д о к а з а т е л ь с т в о проводится аналогично работе [5] на основании работы [9]. Рассмотрим оператор L, порождённый дифференциальными операциями ˜ ˜ ˜ ˜ lX = -X при x ∈ (-1, 0) и lX = X при x ∈ (0, 1) на множестве функций, абсолютно непрерывных вместе со своей первой производной на [-1, 0), (0, 1] и удовлетворяющих условиям (2). Рассмотрим оператор L-λI = L-µ2 I, где λ ∈ C не является собственным значением оператора L, и обратим его. ˜ Пусть функция X ∈ D(L) почти всюду на G = (-1, 1) является решением уравнения ˜ ˜ lX - µ2 X = f (x), f ∈ L2 (G). (7) Найдём фундаментальную систему решений однородного уравнения, соответствующего (7): ˜ ˜ X1 (x) = exp(iµx), X2 (x) = exp(-iµx), ˜ ˜ X3 (x) = exp(µx), X4 (x) = exp(-µx), x ∈ (-1, 0), x ∈ (0, 1). Используя метод вариации произвольных постоянных, получим общее решение уравнения (7) в виде x ˜ ˜ ˜ X(x) = C1 X1 (x) + C2 X2 (x) + f (ξ) -1 = C1 exp(iµx) + C2 exp(-iµx) + x 1 µ f (ξ) sin µ(x - ξ)dξ, x ∈ [-1, 0], -1 1 ˜ ˜ ˜ X(x) = C3 X3 (x) + C4 X4 (x) + ˜ ˜ ˜ ˜ X1 (x)X2 (ξ) - X1 (ξ)X2 (x) dξ = ˜ ˜ ˜ ˜ X1 (ξ)X2 (ξ) - X1 (ξ)X2 (ξ) f (ξ) x ˜ ˜ ˜ ˜ X3 (ξ)X4 (x) - X3 (x)X4 (ξ) dξ = ˜ ˜ ˜ ˜ X3 (ξ)X4 (ξ) - X3 (ξ)X4 (ξ) 1 µ = C3 exp(µx) + C4 exp(-µx) + 1 f (ξ) sh µ(ξ - x)dξ, x ∈ [0, 1], x где C1 , C2 , C3 , C4 - произвольные постоянные. Подставляя найденные функции в условия (2), получим систему уравнений C1 + C2 - 0 1 µ f (ξ) sin(µξ)dξ = C3 + C4 + -1 1 µ 1 f (ξ) sh(µξ)dξ, 0 0 C1 iµ - C2 iµ + 1 f (ξ) cos(µξ)dξ = C3 µ - C4 µ - -1 µ f (ξ) ch µξdξ, 0 C3 e + C4 e-µ = 0, C1 e-iµ + C2 eiµ = 0, которая имеет следующее решение: C2 = 1 - e2µ µA 0 1 f (ξ) cos(µξ)dξ + -1 + 12 1 + e2µ µA f (ξ) ch(µξ)dξ + 0 0 1 f (ξ) sin(µξ)dξ + -1 f (ξ) sh(µξ)dξ , 0 О полноте одной пары биортогонально сопряженных систем функций C3 = 1 0 1 - e2iµ µA f (ξ) ch(µξ)dξ - f (ξ) cos(µξ)dξ + -1 0 0 i(1 + e2µ ) µA - 1 f (ξ) sin(µξ)dξ + f (ξ) sh(µξ)dξ , -1 0 C4 = -C3 e2µ , C1 = -C2 e2iµ , где A = (1 + e2µ )(1 - e2iµ ) + i(1 + e2iµ )(1 - e2µ ). Тогда решение для x ∈ [-1, 0] имеет вид ˜ µX(x) = + 1 - e2µ A 1 + e2µ A 0 1 f (ξ) cos(µξ)dξ + e-iµx - e2iµ+iµx + f (ξ) ch(µξ)dξ -1 0 1 0 f (ξ) sin(µξ)dξ + -1 e-iµx - e2iµ+iµx + f (ξ) sh(µξ)dξ 0 x f (ξ) sin(µ(x - ξ))dξ (8) + -1 и для x ∈ [0, 1] соответственно, ˜ µX(x) = - i(1 + e2iµ) A 1 0 1 - e2iµ A f (ξ) cos(µξ)dξ + eµx - e2µ-µx - f (ξ) ch(µξ)dξ -1 0 0 1 f (ξ) sin(µξ)dξ + -1 eµx - e2µ-µx + f (ξ) sh(µξ)dξ 0 1 f (ξ) sh(µ(ξ - x))dξ. (9) + x Преобразуем (8) следующим образом: ˜ µX(x) = + 1 e-iµx - e2iµ+iµx A f (ξ) sin(µ(x - ξ))dξ+ -1 0 0 0 f (ξ) cos µξdξ + (1 + e2µ ) -1 f (ξ) sin µξdξ = -1 1 x f (ξ)(eµξ - e2µ-µξ )dξ + f (ξ) sin(µ(x - ξ))dξ+ -1 0 e-iµx - e2iµ+iµx (1 - e2µ ) A + x f (ξ)(eµξ - e2µ-µξ )dξ + e-iµx - e2iµ+iµx (1 - e2µ ) A = + e-iµx - e2iµ+iµx A x x f (ξ) cos µξdξ + (1 + e2µ ) e-iµx - e2iµ+iµx (1 - e2µ ) A -1 0 f (ξ) sin µξdξ + -1 0 f (ξ) cos µξdξ + (1 + e2µ ) x f (ξ) sin µξdξ . x Сгруппируем в последней сумме слагаемые с интегралами от -1 до x, тогда получим ˜ µX(x) = e-iµx - e2iµ+iµx A 1 f (ξ)(eµξ - e2µ-µξ )dξ+ 0 13 Г и м а л т д и н о в а А. А., К у р м а н К. В. (1 - e2µ )(eiµx + e-iµx ) - i(1 + e2µ )(eiµx - e-iµx ) 2A + e-iµx - e2iµ+iµx + (1 - e2µ ) A x f (ξ)(e-iµξ -e2iµ+iµξ )dξ+ -1 0 f (ξ) cos µξdξ+ x 0 +(1 + e2µ ) f (ξ) sin µξdξ , x ∈ [-1,0]. (10) x ˜ Найдём оценку решения µX(x) в полуплоскости Imµ < 0. Пусть µ = µ1 + + iµ2 , µ1 , µ2 ∈ R. Оценим модули выражений из (10) при µ2 < 0. В таблице ниже приведены оценки роста указанных величин для µ1 > 0 и µ1 < 0. № 1 2 3 Выражение e-iµx - e2iµ+iµx , µ1 > 0, µ2 < 0 µ1 < 0, µ2 < 0 Ce-µ2 (2+x) Ce2µ1 -2µ2 Ceµ1 (2-ξ) Ce-µ2 (2+x) Ce-2µ2 Ceµ1 ξ Ce2µ1 C Ce2µ1 Ceµ2 ξ Ce2µ1 Ceµ2 ξ Ceµ2 x Ceµ2 x Ce-µ2 (2+ξ) Ce-µ2 (2+ξ) Ce-µ2 (2+x) Ce-µ2 (2+x) Ceµ2 x Ceµ2 x x<0 A eµξ - e2µ-µξ , ξ > 0 1 f (ξ)(eµξ - e2µ-µξ )dξ 4 5 6 0 e2µ cos µξ, sin µξ, ξ < 0 0 0 7 f (ξ) cos(µξ)dξ, 8 f (ξ) sin(µξ)dξ e-iµξ - e2iµ+iµξ , ξ x x x 9 0 f (ξ)(e-iµξ - e2iµ+iµξ )dξ -1 10 eiµx ± e-iµx , -1 x 0 С учётом полученных оценок можно убедиться, что все слагаемые, входящие в (10), ограничены, более того, являются убывающими. Поэтому для решения (10) справедлива оценка ˜ |µX(x)| C = const, (11) равномерная по µ при µ2 < 0 и x ∈ [-1, 0], Аналогично преобразуем (9) к виду ˜ µX(x) = eµx - e2µ-µx A 0 f (ξ)(e-iµξ - e2iµ+iµξ )dξ+ -1 (1 - e2iµ )(eµx + e-µx ) - i(1 + e2iµ )(eµx - e-µx ) 1 + f (ξ)(eµξ - e2µ-µξ )dξ+ 2A x x eµx - e2µ-µx + (1 - e2iµ ) f (ξ) ch µξdξ- A 0 x - i(1 + e2iµ ) f (ξ) sh µξdξ , x ∈ [0, 1]. (12) 0 Аналогично найдём оценку решения (12). В следующей ниже таблице приведены оценки роста модулей выражений, входящих в (12), при µ2 < 0 (µ1 > 0 14 О полноте одной пары биортогонально сопряженных систем функций и µ1 < 0). Таким образом, справедлива оценка (11), равномерная по µ при µ2 < 0 и x ∈ [0, 1]. № 1 2 3 Выражение eµx - µ1 > 0, µ2 < 0 0 Ceµ1 x Ce-2µ2 Ce-µ2 (2+ξ) Ce-2µ2 Ce-2µ2 Ce-2µ2 Ceµ1 ξ Ce-2µ2 Ce-µ1 ξ Ceµ1 x Ce-µ1 x Ceµ1 (2-ξ) Ceµ1 ξ Ceµ1 (2-x) Ceµ1 x Ceµ1 x Ce-µ1 x f (ξ)(e-iµξ - e2iµ+iµξ )dξ -1 2iµ e ch µξ, sh µξ, ξ > 0 0 x f (ξ) ch(µξ)dξ, 7 8 Ce2µ1 -2µ2 Ce-µ2 (2+ξ) x>0 µ1 < 0, µ2 < 0 Ceµ1 (2-x) A e-iµξ - e2iµ+iµξ , ξ < 0 4 5 6 e2µ-µx , x eµξ f (ξ) sh(µξ)dξ 0 - e2µ-µξ , ξ 0 1 f (ξ)(eµξ - e2µ-µξ )dξ 9 x 10 eµx ± e-µx , 0 x 1 Итак, для решения уравнения (7), удовлетворяющего условиям (2), справедлива оценка (11), равномерная по µ при µ2 < 0 и x ∈ [-1, 1]. Аналогично работе [9] можно установить, что в окрестности каждого соб˜ ственного значения ν оператора L для функции X(x) справедливо представление ˜ X(x) = - 1 X(x) λ-ν 1 f (ξ)Z(ξ)dξ + R(x, λ), (13) -1 где X(x), Z(x) - собственные функции операторов L и L∗ , отвечающие собственному значению ν, а R(x, λ) - аналитическая по λ в окрестности точки ν функция. Пусть f (x) - функция из L2 (G), ортогональная всем собственным функциям {Z(x)} оператора L∗ . Согласно (13), главная часть резольвенты опе˜ ратора L - λI обратится в нуль и функция X(x) будет аналитической на всей комплексной плоскости. Но тогда по теореме Фрагмена-Линделефа [10] оценка (11) верна на всей комплексной плоскости (λ), поэтому в силу анали˜ ˜ ¯ тичности X(x) будем иметь тождество X(x) ≡ 0, x ∈ G. Тогда из (7) получим, ¯ что f (x) = 0 на G. (1) (2) Таким образом, система Zk , Zk полна в пространстве L2 [-1, 1]. (1) (2) Замечание. Из полноты системы {Zk , Zk } в L2 [-1, 1] следует замкну(1) (2) тость системы Xk , Xk в L2 [-1, 1].

About the authors

Alfira A Gimaltdinova

Samara State Academy of Social and Humanities

Email: alfiragimaltdinova@mail.ru
(Cand. Phys. & Math. Sci.; alfiragimaltdinova@mail.ru; Corresponding Author), Doctoral Candidate, Dept. of Mathematics and methods of teaching 65/67, M. Gorky st., Samara, 443099, Russian Federation

Ksenija V Kurman

Sterlitamak Branch of Bashkir State University

Email: kseniakurman@yandex.ru
Postgraduate Student, Dept. of Mathematical Analysis 47 a, Lenin st., Sterlitamak, 453103, Russian Federation

References

Supplementary files