On the completeness of a pair of biorthogonally conjugated systems of functions

Abstract


In this paper we studied the spectral problem for an ordinary second order differential equation on a finite interval with a discontinuous coefficient of the highest derivative. At the ends of the segment the boundary conditions of the first kind are given. We found eigenvalues with their asymptotic behavior as the roots of the transcendental equation. The system of eigenfunctions is the trigonometric sine on one half of the segment, and the hyperbolic sine on the other. The system of eigenfunctions is not orthogonal in the space of square integrable functions. The corresponding biorthogonal system of functions was built as a solution to the dual problem. In the proof of the completeness of the biorthogonal system we used well known Keldysh theorem about the completeness of the eigenfunctions system of a nonselfadjoint operator.

Full Text

При доказательстве единственности решения краевых задач для дифференциальных уравнений в частных производных можно применять метод © 2015 Самарский государственный технический университет. Образец для цитирования Г и м а л т д и н о в а А. А., К у р м а н К. В. О полноте одной пары биортогонально сопряженных систем функций // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2015. T. 19, № 1. С. 7-18. doi: 10.14498/vsgtu1385. ∗ Настоящая статья представляет собой расширенный вариант доклада [1], сделанного авторами на Четвёртой международной конференции «Математическая физика и её приложения» (Россия, Самара, 25 августа - 1 сентября 2014). 7 Г и м а л т д и н о в а А. А., К у р м а н К. В. В. И. Ильина [2], использующий полноту в L2 соответствующей системы собственных функций. Таким методом, например, исследована задача Дирихле для уравнений смешанного типа с одной линией изменения типа в прямоугольной области в работах [3, 4]. При изучении задачи Дирихле для уравнения Лаврентьева-Бицадзе с двумя линиями изменения типа Lu ≡ (sign x)uxx + (sign y)uyy = 0 в прямоугольной области D = {(x, y) ∈ R2 | -1 < x < 1, -α < y < β}, α, β > 0, возникает следующая спектральная задача. Задача. Найти значения λ = µ2 ∈ C и соответствующие функции X(x), удовлетворяющие условиям: (sign x)X + λX = 0, x ∈ (-1, 0) ∪ (0, 1), X(0 + 0) = X(0 - 0), X (0 + 0) = X (0 - 0), X(1) = X(-1) = 0. (1) (2) В работе [5] изучена похожая задача, найдена система собственных функций и исследована на полноту, только коэффициент при старшей производной в дифференциальном уравнении был кусочно-постоянным с положительными значениями. Ранее в работе [6] доказана полнота и базисность в L2 (0, 1) одной системы разрывных собственных функций для оператора второго порядка с постоянным коэффициентом при старшей производной, но с нелокальными условиями. Уравнение (1) можно записать в виде X + λ(sign x)X = 0, то есть имеем задачу с условиями сопряжения во внутренней точке для уравнения со знакопеременной весовой функцией. В работе [7] изучались спектральные задачи для обыкновенных дифференциальных операторов второго и четвёртого порядка с условиями сопряжения во внутренней точке и с кусочно-постоянным весовым коэффициентом, но система собственных функций не исследована на полноту. В работе [8] рассмотрены спектральные задачи с незнакоопределенной весовой функцией для самосопряжённого эллиптического оператора, приведены примеры из математической физики, иллюстрирующие возникновение таких задач. В нашей работе будет построена система собственных функций, соответствующая ей биортогональная система и проведено её исследование на полноту. Решениями уравнения (1), удовлетворяющими условиям (2), являются функции C1 cos µx + C2 sin µx, x > 0, X(x) = C1 ch µx + C2 sh µx, x < 0, где C1 , C2 - произвольные постоянные, µ является решением уравнения tg µ = - th µ. (3) Лемма 1. Уравнение tg(az) = - th(bz), 8 a, b ∈ R, a, b > 0, (4) О полноте одной пары биортогонально сопряженных систем функций имеет счётное множество корней, состоящее из нуля, простых попарно противоположных действительных и попарно противоположных чисто мнимых корней, для которых справедливо асимптотическое представление π π + k + O e-2πkb/a , 4a a π π = ±i - + k + O e-2πka/b , k ∈ N. 4b b (1),(2) zk (3),(4) zk =± - Д о к а з а т е л ь с т в о. Очевидно, z = 0 является корнем уравнения (4). Пусть далее z = 0, z = x + iy, x, y ∈ R. 1. Пусть y = 0. Найдём корни уравнения tg(ax) = - th(bx). (5) Рассмотрим x > 0, т. к., очевидно, корни попарно противоположны. Из графиков функций tg(ax) и - th(bx) видно, что уравнение имеет ровно по одному корню в каждом из интервалов - π π π + k < xk < k, 2a a a k = 1, 2, . . . . Рассмотрим tg a xk - - π π + k 2a a = - ctg(axk ) = тогда axk + поэтому π π - πk → , 2 4 π π + k 4a a xk → - 1 → 1 при k → ∞, th(bxk ) при k → ∞. Пусть π π + k + ε(k), 4a a где limk→∞ ε(k) = 0. Подставим их в уравнение (5): xk = - tg - π πb πbk + πk + aε = - th - + + bε . 4 4a a Обозначим πb πbk + = s, 4a a тогда последнее равенство приводится к виду - 1 - tg(aε) 1 + th s · th(bε) = 1 + tg(aε) th s + th(bε) . Используя асимптотические равенства tg x = x + o(x), th x = x + o(x) при x → 0, 9 Г и м а л т д и н о в а А. А., К у р м а н К. В. th s = 1 - e-2s = 1 - 2e-2s + o(e-2s ) при s → +∞, 1 + e-2s после преобразований получим ε(k) = 1 b(-2πk+π/2)/a e + o(e-2πkb/a ). a Тогда π 1 π + k + eb(-2πk+π/2)/a + o(e-2πkb/a ) 4a a a или π π xk = - + k + O(e-2πkb/a ). 4a a 2. При x = 0 получим tg(aiy) = - th(biy) или th(ay) = - tg(by), откуда найдём π π yk = - + k + O(e-2πka/b ). 4b b 3. Докажем, что исходное уравнение не имеет других корней. Пусть z = = x + iy, x = 0, y = 0. Используя формулы xk = - tg(x + iy) = sin 2x + i sh 2y , cos 2x + ch 2y th(x + iy) = sh 2x + i sin 2y , ch 2x + cos 2y из (4) получим     sh 2bx sin 2ax =- , cos 2ax + ch 2ay ch 2bx + cos 2by sh 2ay sin 2by   =- .  cos 2ax + ch 2ay ch 2bx + cos 2by Очевидно, x = πn/(2a), y = πm/(2b), n, m ∈ Z, тогда из последней системы получим уравнение sh(2bx) sin(2by) = . (6) sin 2ax sh 2ay Пусть 2ax = t, 2ay = z, b/a = k, рассмотрим уравнение sh(kt) sin(kz) = . k sin t k sh z Докажем, что для функции f (t) = sh(kt) k sin t неравенство |f (t)| > 1 справедливо для всех t ∈ R\{πn}. 1. Пусть t ∈ (0, π), тогда sin t > 0. Для функции f1 (t) = sh(kt) - k sin t имеем f1 (t) = k(ch kt - cos t) > 0, т. е. f1 (t) > f1 (0) = 0, поэтому sh(kt) > k sin t 10 или sh(kt) > 1. k sin t О полноте одной пары биортогонально сопряженных систем функций 2. Пусть t ∈ (π, 2π), тогда sin t < 0. Для функции f2 (t) = sh(kt) + k sin t справедливо f2 (t) = k(ch kt + cos t) > 0, т. е. f2 (t) > f2 (π) = sh πk, поэтому sh(kt) > -k sin t + sh πk > -k sin t или sh(kt) > 1. -k sin t Аналогично можно показать выполнение неравенства |f (t)| > 1 на всех промежутках (πn, (n + 1)π), n 2, а в силу чётности функции f (t) оно справедливо и при отрицательных t. С другой стороны, для функции g(z) = sin(kz) k sh z справедливо |g(z)| < 1 при y ∈ R\{0}, что доказывается аналогично. Таким образом, уравнение (6) не имеет корней. В силу леммы 1 уравнение (3) имеет счётное множество отличных от нуля корней µk и iµk , причём для положительных µk справедливо асимптотическое представление π µk = - + πk + O(e-2πk ), k ∈ N. 4 Тогда постоянная λ может принимать значения λk = µ2 > 0 и λk = -µ2 < 0, k k и решениями задачи (1), (2) будут соответственно функции    sin[µk (x - 1)]  sh[µk (x - 1)]   , x > 0, , x > 0,   cos µk ch µk (1) (2) Xk (x) = Xk (x) =  sh[µk (x + 1)]  sin[µk (x + 1)]     , x < 0, , x < 0. ch µk cos µk (1) (2) Легко убедиться, что система Xk (x), Xk (x) неортогональна в пространстве L2 [-1, 1]. Поэтому рассмотрим сопряжённую задачу: sgn x · Z + d · Z = 0, Z(0 - 0) = -Z(0 + 0), Z (0 - 0) = -Z (0 + 0), Её решениями являются функции   sin[µk (x - 1)]  - , x > 0,  cos µk (1) Zk (x) =  sh[µk (x + 1)]   , x < 0, ch µk Система (1) Xk ; (1) (2) Zk ; Zk x ∈ (-1, 0) ∪ (0, 1), Z(-1) = Z(1) = 0.   sh[µk (x - 1)]  - , x > 0,  ch µk (2) Zk (x) =   sin[µk (x + 1)] , x < 0.  cos µk является биортогонально сопряжённой к системе (2) Xk , в чём можно убедиться по определению, вычислив соответствующие интегралы. Лемма 2. Система (1) (2) Zk , Z k полна в пространстве L2 [-1, 1]. 11 Г и м а л т д и н о в а А. А., К у р м а н К. В. Д о к а з а т е л ь с т в о проводится аналогично работе [5] на основании работы [9]. Рассмотрим оператор L, порождённый дифференциальными операциями ˜ ˜ ˜ ˜ lX = -X при x ∈ (-1, 0) и lX = X при x ∈ (0, 1) на множестве функций, абсолютно непрерывных вместе со своей первой производной на [-1, 0), (0, 1] и удовлетворяющих условиям (2). Рассмотрим оператор L-λI = L-µ2 I, где λ ∈ C не является собственным значением оператора L, и обратим его. ˜ Пусть функция X ∈ D(L) почти всюду на G = (-1, 1) является решением уравнения ˜ ˜ lX - µ2 X = f (x), f ∈ L2 (G). (7) Найдём фундаментальную систему решений однородного уравнения, соответствующего (7): ˜ ˜ X1 (x) = exp(iµx), X2 (x) = exp(-iµx), ˜ ˜ X3 (x) = exp(µx), X4 (x) = exp(-µx), x ∈ (-1, 0), x ∈ (0, 1). Используя метод вариации произвольных постоянных, получим общее решение уравнения (7) в виде x ˜ ˜ ˜ X(x) = C1 X1 (x) + C2 X2 (x) + f (ξ) -1 = C1 exp(iµx) + C2 exp(-iµx) + x 1 µ f (ξ) sin µ(x - ξ)dξ, x ∈ [-1, 0], -1 1 ˜ ˜ ˜ X(x) = C3 X3 (x) + C4 X4 (x) + ˜ ˜ ˜ ˜ X1 (x)X2 (ξ) - X1 (ξ)X2 (x) dξ = ˜ ˜ ˜ ˜ X1 (ξ)X2 (ξ) - X1 (ξ)X2 (ξ) f (ξ) x ˜ ˜ ˜ ˜ X3 (ξ)X4 (x) - X3 (x)X4 (ξ) dξ = ˜ ˜ ˜ ˜ X3 (ξ)X4 (ξ) - X3 (ξ)X4 (ξ) 1 µ = C3 exp(µx) + C4 exp(-µx) + 1 f (ξ) sh µ(ξ - x)dξ, x ∈ [0, 1], x где C1 , C2 , C3 , C4 - произвольные постоянные. Подставляя найденные функции в условия (2), получим систему уравнений C1 + C2 - 0 1 µ f (ξ) sin(µξ)dξ = C3 + C4 + -1 1 µ 1 f (ξ) sh(µξ)dξ, 0 0 C1 iµ - C2 iµ + 1 f (ξ) cos(µξ)dξ = C3 µ - C4 µ - -1 µ f (ξ) ch µξdξ, 0 C3 e + C4 e-µ = 0, C1 e-iµ + C2 eiµ = 0, которая имеет следующее решение: C2 = 1 - e2µ µA 0 1 f (ξ) cos(µξ)dξ + -1 + 12 1 + e2µ µA f (ξ) ch(µξ)dξ + 0 0 1 f (ξ) sin(µξ)dξ + -1 f (ξ) sh(µξ)dξ , 0 О полноте одной пары биортогонально сопряженных систем функций C3 = 1 0 1 - e2iµ µA f (ξ) ch(µξ)dξ - f (ξ) cos(µξ)dξ + -1 0 0 i(1 + e2µ ) µA - 1 f (ξ) sin(µξ)dξ + f (ξ) sh(µξ)dξ , -1 0 C4 = -C3 e2µ , C1 = -C2 e2iµ , где A = (1 + e2µ )(1 - e2iµ ) + i(1 + e2iµ )(1 - e2µ ). Тогда решение для x ∈ [-1, 0] имеет вид ˜ µX(x) = + 1 - e2µ A 1 + e2µ A 0 1 f (ξ) cos(µξ)dξ + e-iµx - e2iµ+iµx + f (ξ) ch(µξ)dξ -1 0 1 0 f (ξ) sin(µξ)dξ + -1 e-iµx - e2iµ+iµx + f (ξ) sh(µξ)dξ 0 x f (ξ) sin(µ(x - ξ))dξ (8) + -1 и для x ∈ [0, 1] соответственно, ˜ µX(x) = - i(1 + e2iµ) A 1 0 1 - e2iµ A f (ξ) cos(µξ)dξ + eµx - e2µ-µx - f (ξ) ch(µξ)dξ -1 0 0 1 f (ξ) sin(µξ)dξ + -1 eµx - e2µ-µx + f (ξ) sh(µξ)dξ 0 1 f (ξ) sh(µ(ξ - x))dξ. (9) + x Преобразуем (8) следующим образом: ˜ µX(x) = + 1 e-iµx - e2iµ+iµx A f (ξ) sin(µ(x - ξ))dξ+ -1 0 0 0 f (ξ) cos µξdξ + (1 + e2µ ) -1 f (ξ) sin µξdξ = -1 1 x f (ξ)(eµξ - e2µ-µξ )dξ + f (ξ) sin(µ(x - ξ))dξ+ -1 0 e-iµx - e2iµ+iµx (1 - e2µ ) A + x f (ξ)(eµξ - e2µ-µξ )dξ + e-iµx - e2iµ+iµx (1 - e2µ ) A = + e-iµx - e2iµ+iµx A x x f (ξ) cos µξdξ + (1 + e2µ ) e-iµx - e2iµ+iµx (1 - e2µ ) A -1 0 f (ξ) sin µξdξ + -1 0 f (ξ) cos µξdξ + (1 + e2µ ) x f (ξ) sin µξdξ . x Сгруппируем в последней сумме слагаемые с интегралами от -1 до x, тогда получим ˜ µX(x) = e-iµx - e2iµ+iµx A 1 f (ξ)(eµξ - e2µ-µξ )dξ+ 0 13 Г и м а л т д и н о в а А. А., К у р м а н К. В. (1 - e2µ )(eiµx + e-iµx ) - i(1 + e2µ )(eiµx - e-iµx ) 2A + e-iµx - e2iµ+iµx + (1 - e2µ ) A x f (ξ)(e-iµξ -e2iµ+iµξ )dξ+ -1 0 f (ξ) cos µξdξ+ x 0 +(1 + e2µ ) f (ξ) sin µξdξ , x ∈ [-1,0]. (10) x ˜ Найдём оценку решения µX(x) в полуплоскости Imµ < 0. Пусть µ = µ1 + + iµ2 , µ1 , µ2 ∈ R. Оценим модули выражений из (10) при µ2 < 0. В таблице ниже приведены оценки роста указанных величин для µ1 > 0 и µ1 < 0. № 1 2 3 Выражение e-iµx - e2iµ+iµx , µ1 > 0, µ2 < 0 µ1 < 0, µ2 < 0 Ce-µ2 (2+x) Ce2µ1 -2µ2 Ceµ1 (2-ξ) Ce-µ2 (2+x) Ce-2µ2 Ceµ1 ξ Ce2µ1 C Ce2µ1 Ceµ2 ξ Ce2µ1 Ceµ2 ξ Ceµ2 x Ceµ2 x Ce-µ2 (2+ξ) Ce-µ2 (2+ξ) Ce-µ2 (2+x) Ce-µ2 (2+x) Ceµ2 x Ceµ2 x x<0 A eµξ - e2µ-µξ , ξ > 0 1 f (ξ)(eµξ - e2µ-µξ )dξ 4 5 6 0 e2µ cos µξ, sin µξ, ξ < 0 0 0 7 f (ξ) cos(µξ)dξ, 8 f (ξ) sin(µξ)dξ e-iµξ - e2iµ+iµξ , ξ x x x 9 0 f (ξ)(e-iµξ - e2iµ+iµξ )dξ -1 10 eiµx ± e-iµx , -1 x 0 С учётом полученных оценок можно убедиться, что все слагаемые, входящие в (10), ограничены, более того, являются убывающими. Поэтому для решения (10) справедлива оценка ˜ |µX(x)| C = const, (11) равномерная по µ при µ2 < 0 и x ∈ [-1, 0], Аналогично преобразуем (9) к виду ˜ µX(x) = eµx - e2µ-µx A 0 f (ξ)(e-iµξ - e2iµ+iµξ )dξ+ -1 (1 - e2iµ )(eµx + e-µx ) - i(1 + e2iµ )(eµx - e-µx ) 1 + f (ξ)(eµξ - e2µ-µξ )dξ+ 2A x x eµx - e2µ-µx + (1 - e2iµ ) f (ξ) ch µξdξ- A 0 x - i(1 + e2iµ ) f (ξ) sh µξdξ , x ∈ [0, 1]. (12) 0 Аналогично найдём оценку решения (12). В следующей ниже таблице приведены оценки роста модулей выражений, входящих в (12), при µ2 < 0 (µ1 > 0 14 О полноте одной пары биортогонально сопряженных систем функций и µ1 < 0). Таким образом, справедлива оценка (11), равномерная по µ при µ2 < 0 и x ∈ [0, 1]. № 1 2 3 Выражение eµx - µ1 > 0, µ2 < 0 0 Ceµ1 x Ce-2µ2 Ce-µ2 (2+ξ) Ce-2µ2 Ce-2µ2 Ce-2µ2 Ceµ1 ξ Ce-2µ2 Ce-µ1 ξ Ceµ1 x Ce-µ1 x Ceµ1 (2-ξ) Ceµ1 ξ Ceµ1 (2-x) Ceµ1 x Ceµ1 x Ce-µ1 x f (ξ)(e-iµξ - e2iµ+iµξ )dξ -1 2iµ e ch µξ, sh µξ, ξ > 0 0 x f (ξ) ch(µξ)dξ, 7 8 Ce2µ1 -2µ2 Ce-µ2 (2+ξ) x>0 µ1 < 0, µ2 < 0 Ceµ1 (2-x) A e-iµξ - e2iµ+iµξ , ξ < 0 4 5 6 e2µ-µx , x eµξ f (ξ) sh(µξ)dξ 0 - e2µ-µξ , ξ 0 1 f (ξ)(eµξ - e2µ-µξ )dξ 9 x 10 eµx ± e-µx , 0 x 1 Итак, для решения уравнения (7), удовлетворяющего условиям (2), справедлива оценка (11), равномерная по µ при µ2 < 0 и x ∈ [-1, 1]. Аналогично работе [9] можно установить, что в окрестности каждого соб˜ ственного значения ν оператора L для функции X(x) справедливо представление ˜ X(x) = - 1 X(x) λ-ν 1 f (ξ)Z(ξ)dξ + R(x, λ), (13) -1 где X(x), Z(x) - собственные функции операторов L и L∗ , отвечающие собственному значению ν, а R(x, λ) - аналитическая по λ в окрестности точки ν функция. Пусть f (x) - функция из L2 (G), ортогональная всем собственным функциям {Z(x)} оператора L∗ . Согласно (13), главная часть резольвенты опе˜ ратора L - λI обратится в нуль и функция X(x) будет аналитической на всей комплексной плоскости. Но тогда по теореме Фрагмена-Линделефа [10] оценка (11) верна на всей комплексной плоскости (λ), поэтому в силу анали˜ ˜ ¯ тичности X(x) будем иметь тождество X(x) ≡ 0, x ∈ G. Тогда из (7) получим, ¯ что f (x) = 0 на G. (1) (2) Таким образом, система Zk , Zk полна в пространстве L2 [-1, 1]. (1) (2) Замечание. Из полноты системы {Zk , Zk } в L2 [-1, 1] следует замкну(1) (2) тость системы Xk , Xk в L2 [-1, 1].

About the authors

Alfira A Gimaltdinova

Samara State Academy of Social and Humanities

Email: alfiragimaltdinova@mail.ru
65/67, M. Gorky st., Samara, 443099, Russian Federation
(Cand. Phys. & Math. Sci.; alfiragimaltdinova@mail.ru; Corresponding Author), Doctoral Candidate, Dept. of Mathematics and methods of teaching

Ksenija V Kurman

Sterlitamak Branch of Bashkir State University

Email: kseniakurman@yandex.ru
47 a, Lenin st., Sterlitamak, 453103, Russian Federation
Postgraduate Student, Dept. of Mathematical Analysis

References

  1. Гималтдинова А. А., Курман К. В. О полноте одной пары биортогонально сопряженных систем функций / Четвертая международная конференция «Математическая физика и ее приложения»: материалы конф.; ред. чл.-корр. РАН И. В. Волович; д.ф.м.н., проф. В. П. Радченко. Самара: СамГТУ, 2014. С. 122-123.
  2. Ильин В. А. О разрешимости смешанных задач для гиперболического и параболического уравнений // УМН, 1960. Т. 15, № 2(92). С. 97-154.
  3. Сабитов К. Б. Задача Дирихле для уравнений смешанного типа в прямоугольной области // Докл. РАН, 2007. Т. 413, № 1. С. 23-26.
  4. Сабитов К. Б., Мелишева Е. П. Задача Дирихле для нагруженного уравнения смешанного типа в прямоугольной области // Изв. вузов. Матем., 2013. № 7. С. 62-76.
  5. Ломов И. С. Негладкие собственные функции в задачах математической физики // Диффер. уравн. Т. 47, № 3. С. 358-365.
  6. Ломов И. С. Пример разрывного оператора, имеющего разрывный сопряженный. Свойство базисности / Задачи математической физики и спектральная теория операторов: Сб. ст. / Научные труды/ Московский энергетический ин-т, Т. 215. М.: МЭИ, 1989.С. 46-50.
  7. Митрохин С. И. Спектральная теория операторов: гладкие, разрывные суммируемые коэффициенты. М.: Интуит, 2009. 364 с.
  8. Егоров И. Е. Пятков С. Г., Попов С. В. Неклассические дифференциально-операторные уравнения. Новосибирск: Наука, 2000. 336 с.
  9. Келдыш М. В. О полноте собственных функций некоторых классов несамосопряженных линейных операторов // УМН, 1971. Т. 26, № 4(160). С. 15-41.
  10. Гельфанд И. М., Шилов Г. Е. Пространства основных и обобщенных функций. М.: Наука, 1958. 308 с.

Statistics

Views

Abstract - 11

PDF (Russian) - 3

Cited-By


PlumX

Dimensions

Refbacks

  • There are currently no refbacks.

Copyright (c) 2015 Samara State Technical University

Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License.

This website uses cookies

You consent to our cookies if you continue to use our website.

About Cookies