On the Dirichlet problem for an elliptic equation

Full Text

Настоящая статья представляет собой расширенный вариант доклада [1], сделанного автором на Четвёртой международной конференции «Математическая физика и её приложения» (Россия, Самара, 25 августа - 1 сентября 2014). 19 Г у щ и н А. К. 7 июля 2014 года ушел из жизни известный математик, мой учитель и друг, Валентин Петрович Михайлов. Его памяти посвящается эта работа. Математические интересы Валентина Петровича были весьма разнообразны. Его идеи являются основополагающими во многих областях теории дифференциальных уравнений в частных производных. Содержание статьи относится к одной из таких областей, в которой результаты Михайлова явились источником нового направления, интенсивно развивающегося и в настоящее время. Последние, в том числе и новые результаты в этом направлении являются основным содержанием настоящей работы. Хорошо известно, что естественно возникающее из вариационных принципов и удобное в применении понятие обобщённого решения из соболевского 1 пространства W2 задачи Дирихле для эллиптического уравнения второго порядка не является в буквальном смысле обобщением понятия классического решения: не любая непрерывная на границе области функция является сле1 дом функции из W2 . Обобщение обоих этих понятий было предложено в 1976 году Валентином Петровичем Михайловым, см. [2]; он назвал его решением 1 из W2,loc . В определении В. П. Михайлова граничное значение решения берется из L2 ; естественно обобщается это понятие и на случай граничной функции из Lp , p > 1. Впоследствии автором настоящей работы было доказано, см. [3], что при выполнении не слишком обременительных условий решения 1 из W2,loc обладают свойством (n - 1)-мерной непрерывности. Это свойство очень похоже на классическое определение равномерной непрерывности, но вместо значения функции в точке следует рассматривать её следы на носителях мер (далее будем говорить «на мерах») из специального класса (немного более узкого, чем класс мер Карлесона; по поводу мер Карлесона см. [4-8]). След функции на мере является элементом пространства Lp по этой мере. (n - 1)-мерная непрерывность предполагает, что следы на мерах (из взятого класса) близки, если близки эти меры. Определение близости мер учитывает близость (в специальном смысле) их носителей, а расстояние между следами (они элементы различных пространств) вводится с помощью погружения в пространство функций удвоенного числа переменных; строгое определение этих понятий будет приведено далее. Свойство (n - 1)-мерной непрерывности позволило дать другое, немного более узкое, но весьма близкое к классическому определение решения. Такое решение называется (n - 1)-мерно непре¯ рывным решением, или решением из пространства Cn-1 (Q). 20 О задаче Дирихле для эллиптического уравнения В отличие от случаев классического и обобщенного решений задача Ди1 ¯ рихле с решением из W2,loc , и тем более из Cn-1 (Q), исследована недостаточно полно. Прежде всего это относится к условиям на правую часть уравнения, при которых задача Дирихле разрешима. В работе приведён ряд новых результатов в этом направлении. Обсуждаются условия на коэффициенты уравнения, границу ограниченной области, в которой рассматривается задача, и граничное значение решения. При этом результаты о разрешимости и о граничном поведении решений сравниваются с аналогичными теоремами, относящимися к случаю классического и обобщенного решений. Будут обсуждаться некоторые возникающие при таком сравнении нерешенные задачи. 1. Классическое решение. Прежде всего, напомним хорошо известные свойства классического решения, его определение и обсудим условия на коэффициенты уравнения и его правую часть, границу области и граничное значение, при которых такое решение существует. Начнем обсуждение с простейшего случая - случая уравнения Пуассона. Пусть D - ограниченная область n-мерного пространства Rn , а ∂D - её граница. В этой области рассмотрим задачу Дирихле для уравнения Пуассона u(x) = -f (x), x ∈ D, u(x) = u0 (x), x ∈ ∂D. (1) (2) ¯ Определение 1. Определённая в замыкании D области D функция u называется классическим решением задачи Дирихле (1), (2), если - функция u непрерывна в D вместе со своими производными до второго порядка включительно (u ∈ C 2 (D)) и для всех точек x этой области значение u(x) оператора Лапласа от u в x совпадает со значением f (x) в этой точке правой части уравнения f ; ¯ ¯ - функция u непрерывна в замыкании D области D (u ∈ C(D)) и для каждой точки границы ∂D значение в ней функции u равно значению в этой точке заданной функции u0 . Поскольку единственность решения немедленно следует из вытекающего из теоремы о среднем принципа максимума, предметом обсуждения будет вопрос о существовании решения. Отметим, что необходимыми условиями разрешимости задачи являются, очевидно, требования непрерывности u0 на ∂D и f в D. Остановимся сначала на случае однородного уравнения. Задача Дирихле для уравнения Лапласа была впервые сформулирована К. Гауссом в 1828 году. Первые исследования в направлении разрешимости этой задачи принадлежат П. Дирихле, который, по словам Б. Римана, на своих лекциях (до 1957 года) доказывал теорему существования решения (принцип Дирихле). Задача сводилась к отысканию функции, на которой интеграл Дирихле | v(x)|2 dx D достигает наименьшего значения. Эта глубокая идея получила широкое развитие в теории краевых задач для уравнений с частными производными. Но считать приведенное им рассуждение доказательством существования решения мешает отсутствие четкого описания множества, на котором ищется минимум этого функционала, и обоснования его достижимости. 21 Г у щ и н А. К. Впервые решение обсуждаемой проблемы было получено в 1870 г. К. Нейманом (мы говорим сейчас о случае трех независимых переменных, n = 3; при произвольном n ситуация совершенно аналогична). С помощью представления решений потенциалами К. Нейман доказал существование решений задачи Дирихле и «основной задачи гидродинамики», которую сейчас принято называть задачей Неймана. При этом было получено аналитическое выражение решений этих задач в виде сумм функциональных рядов. Однако метод Неймана (метод последовательных приближений) давал требуемый результат только в случае выпуклых областей (с дважды гладкой границей) и использовал в то время недоказанное и в общем случае неверное утверждение о существовании и совпадении предельных значений изнутри и извне производных по нормали потенциала двойного слоя. Достаточное для справедливости этого утверждения условие было установлено А. М. Ляпуновым только в 1898 году в работе [9] (им же были аккуратно доказаны другие необходимые для применения использованного метода свойства потенциалов простого и двойного слоев). Использование этого результата Ляпунова в доказательстве Неймана привело бы к весьма жестким ограничениям на граничную функцию; не гарантирует выполнение этого свойства даже её непрерывная дифференцируемость. Первая попытка распространить метод Неймана на случай невыпуклых областей была предпринята в 1896 году А. Пуанкаре [10]. Доказательство Пуанкаре использовало предложенный им ранее (H. Poincar´, American Journal, e XII, (1889)) специальный метод, названный им “m´thode du balayage”, и осe новывалось на допущении, что потенциал двойного слоя имеет правильные нормальные производные на ∂D. Как уже отмечалось выше, это свойство в то время не было доказано и без весьма жестких ограничений на рассматриваемые граничные функции неверно. Кроме того, доказательство Пуанкаре опиралось на утверждение (теорема Пуанкаре), в обосновании которого имелся пробел. В 1899 году А. Корн [11] ликвидировал его в случае звездной области D. В том же году В. А. Стеклов в работе [12], см. также [13], обосновывает справедливость теорем о разрешимости для областей, для которых справедливо обсуждаемое утверждение (теорема Пуанкаре). А в 1901 году С. Заремба [14] доказал справедливость аналогичного теореме Пуанкаре (но более слабого) утверждения для любой области, граница которой является поверхностью Ляпунова. Впоследствии В. А. Стеклов дал независимое доказательство теоремы о существовании решения задачи Дирихле для уравнения Лапласа в области с ляпуновской границей и получил теорему Пуанкаре как следствие теоремы о разрешимости, подробнее по этому поводу см. [15]. При этом от граничной функции u0 требовалась только непрерывность. Таким образом, необходимое для существования решения условие u0 ∈ C(∂D) является и достаточным. Не столь изящной является теорема о разрешимости для неоднородного уравнения. Несложно убедиться, что необходимое условие непрерывности правой части не является достаточным. Достаточное для существования решения задачи Дирихле для уравнения Пуассона условие было установлено в 1882 году О. Гёльдером в его диссертации “Beitr¨ge zur Potentialtheorie” [16]. a Им было введено условие на гладкость функции (сейчас оно называется условием Гёльдера и широко используется в различных областях математики) и было доказано, что если правая часть f удовлетворяет этому условию 22 О задаче Дирихле для эллиптического уравнения (f ∈ C α (D) с некоторым положительным показателем α) и ограничена в D, то объёмный потенциал с плотностью f является решением в области D уравнения Пуассона (1). Условие на f близко к точному. Условие Гёльдера можно ослабить, заменив условием Дини, см., например, монографию [17]. Но отказаться от него, как отмечалось выше, нельзя. Кроме того, имеются аргументы (о них мы поговорим позже), которые делают условие Гёльдера более предпочтительным. Итак, условия на граничную функцию в теореме Стеклова о разрешимости задачи Дирихле неулучшаемы, условия не правую часть близки к точным. Естественно возникает вопрос об условиях на гладкость границы. Как показал в 1907 году А. Лебег, см. [18], не в любой области существует классическое решение. Насколько можно ослабить условие ляпуновской границы, при котором В. А. Стекловым была доказана теорема о разрешимости? Некоторое ослабление возможно, см., например, [19], но, как легко видеть, существенного ослабления этого условия при использовании потенциалов добиться нельзя. Для дальнейшего продвижения в этом направлении необходимы другие методы и идеи. Окончательный ответ на обсуждаемый вопрос дается в терминах решения Перрона и регулярности граничной точки. Предложенный в 1923 году в работе О. Перрона [20] метод построения решения задачи Дирихле для уравнения Лапласа отделяет задачу существования решения от изучения его граничного поведения. Он элементарен и опирается только на принцип максимума и доказанную еще Г. Шварцем разрешимость задачи Дирихле в шаре. Идея метода принадлежит А. Пуанкаре (см. отмечавшуюся выше его работу 1889 года); И. Г. Петровский называл его методом Пуанкаре-Перрона, см. [21]. Пусть D - произвольная ограниченная область, а u0 - заданная на её границе ∂D непрерывная функция. Напомним определение субгармонической функции. Непрерывная в D функция v называется субгармонической в D, ¯ если для любого шара B, B ⊂ D, и любого решения u задачи Дирихле в B с u(x) v(x) на ∂B справедливо неравенство u(x) v(x) во всем шаре B. ¯ Функция, значение которой в каждой точке D равны точной верхней грани значений в этой точке непрерывных в замыкании области D субгармонических функций v, удовлетворяющих на границе неравенству v(x) u0 (x), называется решением Перрона. Доказывается, см., например, [21], что оно является гармонической в D функцией. Кроме того, если решение (классическое) задачи Дирихле существует, то оно, как легко видеть, будет решением Перрона. Поэтому для существования решения необходимо и достаточно, чтобы решение Перрона было непрерывным во всех точках границы (чтобы все точки границы были регулярными). Можно привести достаточные условия регулярности граничной точки. В частности, в случае двух независимых переменных (n = 2) точка x0 регу¯ лярна, если она является концом лежащей вне D\x0 кривой (непрерывной), см., например, [21]. При n = 3 достаточным условием регулярности точки является возможность коснуться её извне конусом, получающимся вращением вокруг оси x1 кривой x2 = xk с некоторым показателем k > 0. Как следует из 1 работы А. Лебега [18], заменить степенной порядок касания в вершине конуса экспоненциальным нельзя. Необходимое и достаточное условие регулярности граничной точки формулируется в терминах емкости множества. Оно было получено в 1924 году Н. Винером в работе [22]. С дальнейшим развитием этой 23 Г у щ и н А. К. тематики можно ознакомиться в работе М. В. Келдыша [23], см. также [17]. Отметим ещё одно важное свойство классических решений. Как отмечалось выше, непрерывность правой части уравнения не гарантирует существование решения задачи Дирихле для уравнения Пуассона; нужны более жёсткие условия. Достаточно потребовать выполнение условия Гёльдера. В этом случае, как доказано в 1909 году А. Корном, см. [24], производные второго порядка решения задачи Дирихле для уравнения Пуассона также удовлетворяют условию Гёльдера, причем с тем же показателем. Аналогичный результат имеет место и для уравнения с достаточно гладкими (непрерывными по Гёльдеру) переменными коэффициентами n Lu = aij (x) i,j=1 ∂2u = -f (x), ∂xi ∂xj x ∈ D. (3) В книге О. А. Ладыженской и Н. Н. Уральцевой [25] он справедливо назван «безупречным во всех отношениях». Для простоты мы ограничились случаем уравнения без младших членов. Все результаты справедливы и для общего уравнения при условии неположительности коэффициента при свободном члене. Если этот коэффициент принимает и положительные значения, то накладываются условия малости области. Теорема о единственности решения задачи (3), (2) немедленно следует из принципа максимума. Сильный принцип максимума для решений такого уравнения был доказан в 1927 году в работе Э. Хопфа [26]. Доказательство существования решения базируется на принадлежащей Корну, см. [27], идее замораживания коэффициентов: уравнения с гладкими коэффициентами можно локально рассматривать как возмущения уравнений с постоянными коэффициентами. Проблема существования и основные свойства решений задачи Дирихле были исследованы в 1929-1932 годах Г. Жиро методом интегральных уравнений, связанным с представлением решения в виде потенциалов, см. [28-30]. Другой метод исследования задачи Дирихле был предложен в тридцатых годах прошлого века Ю. Шаудером в работах [31] и [32]. Основой этого ¯ метода являются априорные оценки решений в C 2+α (D) и разрешимость задачи Дирихле для уравнения Пуассона в этом пространстве. Этим методом - было доказано, что для любой правой части из C α (D) существует решение - из C 2+α (D). Таким образом, рассматриваемый дифференциальный оператор осуществляет изоморфизм указанных пространств. Возникающее при этом ¯ условие u0 ∈ C 2+α (D) не является существенным. От него можно отказаться (конечно, граничная функция должна быть непрерывной на ∂D), рассматривая весовые (внутренние) гёльдеровы нормы; подробнее по этому поводу см., например, [17]. Непосредственное, не использующее теорему существования доказательство результата о непрерывности по Гёльдеру вторых производных решения (из C 2 (D)) было получено в 1932 году Хопфом в работе [33]. Его метод, основанный на идее Корна возмущения уравнения с постоянными коэффициентами, предвосхищает некоторые важные аспекты теории Шаудера. Наличие принципа максимума и разрешимость задачи Дирихле в шаре позволяют распространить метод Перрона на уравнения с переменными коэффициентами и отказаться от условия гладкости границы. При этом точная 24 О задаче Дирихле для эллиптического уравнения верхняя грань субрешений не только будет решением уравнения, но и будет принадлежать C 2+α (D). Этот метод позволяет получить теорему существования для произвольной непрерывной граничной функции (например, для областей, удовлетворяющих во всех граничных точках условию внешней сферы). Необходимые и достаточные условия на границу области, при которых справедливы теоремы о классической разрешимости, дает доказанная в работе О. А. Олейник [34] теорема об эквивалентности регулярности граничной точки относительно оператора L и ее регулярности относительно оператора Лапласа. Ссылки на дальнейшие результаты в этом направлении можно найти, например, в [17]. 2. Обобщённое решение. Введенные С. Л. Соболевым пространства дифференцируемых в обобщенном смысле функций и доказанные им теоремы вложения, см. работы [35-37] и книгу [38], оказались мощным аппаратом исследования краевых задач для дифференциальных уравнений. Пространства Соболева идеально приспособлены, см. [36] и [38], к исследованию смешанных задач и задачи Коши для гиперболических уравнений, для которых в классической постановке требования к гладкости начальных функций растут с увеличением числа независимых переменных. Они оказались весьма удобным аппаратом и в теории уравнений эллиптического типа, см. [38]. Расширение класса дифференцируемых функций и ослабление требований на гладкость решения позволило, в частности, с новых позиций взглянуть на задачу Дирихле для линейного эллиптического уравнения второго порядка и получить совсем простое и прозрачное доказательство её однозначной разрешимости. Именно в таких пространствах удобно рассматривать функционал энергии, на отыскании экстремума которого базируется принцип Дирихле. Отметим, что вариационный подход к задаче Дирихле для уравнения Лапласа в сочетании с методом гильбертова пространства был использован еще в работах Д. Гильберта [39] и А. Лебега [18]. Далее мы ограничимся рассмотрением уравнения в самосопряженной форме без младших членов n i,j=1 ∂ ∂xi aij (x) ∂u ∂xj = -f (x). (4) Здесь (aij (x)), x ∈ D - заданная симметрическая, равномерно по x ∈ D положительно определенная матрица с измеримыми и ограниченными элементами. В основе построения пространств Соболева лежит обобщение понятия производной, которое сохраняет следующее важное свойство: производная по некоторой переменной может быть равной нулю в области только в том случае, когда функция не зависит от этой переменной. Пусть D - произвольная область Rn . Функция vxi ∈ L1,loc (D) называется обобщенной производной функции v ∈ L1,loc (D) по переменной xi (i = 1, 2, . . . , n), если для любой ∞ бесконечно дифференцируемой и финитной в D функции η (η ∈ C0 (D)) справедливо равенство vxi (x)η(x)dx = - D v(x) D ∂η (x)dx. ∂xi Это определение допускает распространение на обобщенные функции. По этому поводу см., например, книги В. С. Владимирова [40] и [41]; там же 25 Г у щ и н А. К. имеются приложения теории обобщенных функций к уравнениям математической физики. Множество функций из L2 (D), у которых существуют принадлежащие L2 (D) обобщенные производные по всем xi , i = 1, 2, . . . , n, называется про1 странством W2 (D). Оно является гильбертовым пространством со скалярным произведением (v, w)W2 (D) = 1 [( v(x), w(x)) + v(x)w(x)] dx. (5) D Если граница рассматриваемой ограниченной области является гладкой, ¯ то множество сужений на D бесконечно дифференцируемых в Rn функций 1 (D); по поводу областей с негладкими границами см., например, плотно в W2 1 ∞ книги [17, 25, 42] и [43]. Замыкание в W2 (D) множества C0 (D) обозначается ◦1 ◦1 через W 2 (D). В силу оценки нормы в L2 (D) функции из W 2 (D) через её интеграл Дирихле билинейная форма (v, w) ◦ 1 = W 2 (D) ( v(x), w(x))dx (6) D ◦1 является эквивалентным скалярным произведением на W 2 (D). Для любой гладкой поверхности Γ определяется след v|Γ на Γ функ1 ции v из W2 (D) - предел в L2 (Γ) последовательности сужений на Γ чле1 нов сходящейся к v в W2 (D) последовательности гладких функций. Множе1 ство следов на Γ всех функций из W2 (D) образует гильбертово пространство 1/2 W2 (Γ) ⊂ L2 (Γ). Оператор вложения, ставящий в соответствие функции v 1 1 из W2 (D) ее след на Γ, является вполне непрерывным оператором из W2 (D) в L2 (Γ). Если граница ∂D ограниченной области D является гладкой поверхностью, то справедлив следующий критерий: для принадлежности функции ◦1 1 v ∈ W2 (D) подпространству W 2 (D) необходимо и достаточно, чтобы ее след на ∂D был равен нулю, см., например, [44]. Вариационный подход немедленно приводит к обобщенной постановке задачи Дирихле для уравнения (4). В случае области (ограниченной) с гладкой границей минимум функционала энергии n D i,j=1 ∂v(x) ∂v(x) aij (x) - 2f (x)v(x) dx ∂xi ∂xj (7) 1 ищется на множестве функций из W2 (D), след которых на границе совпадает с заданной граничной функцией u0 ; здесь f ∈ L2 (D). Конечно, при этом 1/2 необходимо требовать, чтобы u0 ∈ W2 (∂D). Возьмем некоторое продолжение граничной функции на D и будем обозначать его тем же символом u0 , 1 u0 ∈ W2 (D). Тогда множество функций, на котором ищется экстремум функционала (7), можно записать в виде ◦1 1 {v ∈ W2 (D) : v - u0 ∈ W 2 (D)}. 26 О задаче Дирихле для эллиптического уравнения При такой записи отпадает необходимость в условии гладкости границы; при этом функцию u0 следует считать заданной на всей области D и принадлежа1/2 1 щей пространству W2 (D); в этом случае также будем писать u0 ∈ W2 (∂D). Легко видеть, что необходимым условием достижения на функции u экстремума функционала энергии является выполнение следующего интегрального тождества n D i,j=1 ∂η ∂u aij (x) dx = ∂xi ∂xj ◦1 f ηdx для всех η ∈ W 2 (D). (8) D Так как множество бесконечно дифференцируемых и финитных в D функ◦1 ций плотно в W 2 (D), то (8) эквивалентно уравнению (4), понимаемому как равенство обобщённых функций. 1 Определение 2. Функция u из W2 (D), удовлетворяющая тождеству (8) и ◦1 условию u - u0 ∈ W 2 (D), называется обобщенным решением задачи Дирихле для уравнения (4) с граничным условием (2). Можно расширить и множество правых частей f уравнения (4): в качестве f можно брать произвольный линейный ограниченный функционал на ◦1 1 пространстве W 2 (D) или его продолжение на W2 (D); в обоих случаях бу-1 дем писать f ∈ W2 (D). В силу теоремы Ф. Рисса об общем виде линейного ◦1 функционала произвольный линейный непрерывный функционал на W 2 (D) задается равенством f, η = - (F, η)dx, ◦1 η ∈ W 2 (D) D с некоторым векторным полем F ∈ (L2 (D))n ; f = div F . Если вместо скалярного произведения (6) взять эквивалентное ему скалярное произведение (5), то получим представление f, η = - [(G, η) + gη] dx, ◦1 η ∈ W 2 (D), D (D))n , G ∈ (L2 g ∈ L2 (D), которое даёт продолжение функционала f на 1 W2 (D). Более подробную информацию по этому поводу можно найти, например, в [45]. Так как определенный равенством n f0 , η = D i,j=1 ∂u0 ∂η aij (x) dx ∂xi ∂xj ◦1 функционал f0 является ограниченным функционалом на W 2 (D) (принад-1 лежит пространству W2 (D)), задача (4), (2) немедленно сводится к случаю равной нулю граничной функции (и правой части f - f0 ). Но тогда искомое ◦1 решение (u - u0 ) принадлежит пространству W 2 (D), а левая часть интегрального тождества является эквивалентным скалярным произведением в 27 Г у щ и н А. К. ◦1 W 2 (D). Однозначная разрешимость задачи и естественная оценка решения немедленно следуют из теоремы Ф. Рисса об общем виде линейного ограниченного функционала. Таким образом, и для обобщенных решений имеет место теорема об изоморфизме. В случае общего эллиптического уравнения второго порядка задача немед◦1 ленно сводится к операторному уравнению в пространстве W 2 (D). В силу 1 компактности оператора вложения W2 (D) в L2 (D), см. [46] и [47], оператор в этом уравнении вполне непрерывен и по теореме Фредгольма существование решения следует из утверждения о его единственности. Если потребовать более жестких условий на гладкость коэффициентов и правую часть уравнения, то и обобщенное решение будет более гладким. А с помощью теорем вложения Соболева можно добиться, чтобы оно стало классическим (конечно, для этого нужны дополнительные условия и на граничную функцию). Подробнее по этому поводу см., например, [44]. Мы не будем останавливаться на многочисленных результатах, относящихся к исследованию свойств обобщенных решений эллиптических уравнений. Отметим только известные работы Э. де Джорджи [48] и Дж. Нэша [49], см. также [50], в которых без дополнительных условий на коэффициенты (они только измеримы и ограничены) был получен неожиданный результат о непрерывности по Гёльдеру внутри рассматриваемой области обобщенного решения однородного (с f = 0) уравнения (4). В работе автора [51] «интегральное» свойство 1 1 принадлежности решений пространству W2,loc (D) (пространству W2 на любом лежащем в D компакте) и «точечное» свойство его внутренней непрерывности по Гёльдеру были объединены в терминах принадлежности специальному функциональному пространству, определяемому в терминах конечности интегралов от квадрата разности значений функции в различных точках по специальному классу мер. Причем эта теорема не является чисто интерполяционной: среди полученных таким образом промежуточных свойств имеются и свойства, которые не следуют из крайних. Отметим, что теорема де Джорджи не может быть получена из теорем вложения: без дополнительных условий на коэффициенты уравнения решение не обязано принадлежать 1 пространству Wp,loc (D) с p > 2. Для однозначной разрешимости задачи Ди1 рихле в Wp (D) необходимы, кроме того, и условия на область. По поводу за1 дачи Дирихре в Wp (D) см. работы В. А. Кондратьева и Ю. А. Алхутова [52] и [53]; там же имеются и соответствующие примеры. Более полное изложение результатов о свойствах решений эллиптических уравнений (в том числе теоремы о гёльдеровой непрерывности вплоть до границы и доказательство этого свойства для решений общего эллиптического уравнения) можно найти в книгах [25] и [17], см. также работу [54]. Таким образом, теорема об однозначной разрешимости задачи Дирихле для эллиптического уравнения (4) справедлива для любой ограниченной об1/2 -1 ласти, произвольных u0 ∈ W2 (∂D) и f ∈ W2 (D). Существенно, что от коэффициентов достаточно требовать только измеримость и ограниченность. Это позволяет переносить некоторые свойства линейных уравнений на квазилинейные, см., например, [25] и [17]. 28 О задаче Дирихле для эллиптического уравнения 1 3. Решение из W2,loc (D). Как уже отмечалось в начале статьи, понятие обобщенного решения имеет один довольно существенный недостаток. Оно не является в буквальном смысле обобщением понятия классического решения: не любая непрерывная на границе функция является следом функции 1/2 1 из W2 (D) (пространство C(∂D) не содержится в W2 (∂D)). В связи с этим возникает потребность в новом определении решения, в расширении класса граничных функций. Естественным пространством, содержащем C(∂D) и 1/2 W2 (∂D), является пространство L2 (∂D). Как было показано в 1960 году И. Нечасом, см. [55], оператор, ставящий в соответствие граничной функции u0 решение u задачи Дирихле (для простоты ограничимся сейчас случаем однородного уравнения) и рассматриваемый как оператор из L2 (∂D) в L2 (D), является ограниченным оператором. Следовательно, его замыкание определено на всем L2 (∂D). Недостатком такой схемы является, прежде всего, отсутствие явного определения решения. Чтобы проверить, является ли рассматриваемая функция решением задачи, нужно определить, является ли она пределом обобщенных решений. Кроме того, пространство L2 (D), в котором находится область значений этого оператора, слишком широкое. Явное описание получаемой при таком расширении постановки задачи Дирихле и вариационный метод требуют существования у решения производных (обобщённых). В случае дважды гладкой границы такое определение решения было предложено В. П. Михайловым в работе [2]. 1 Определение 3. Принадлежащая пространству W2,loc (D) функция u на1 зывается решением задачи Дирихле из W2,loc (D), если она удовлетворяет тождеству (8) для всех бесконечно дифференцируемых и финитных в D функций η (является решением уравнения (4) в пространстве обобщенных функций D (D)) и граничному условию (2) в следующем смысле: (u(x - δν(x)) - u0 (x))2 ds → 0 при δ → +0; (9) ∂D здесь и далее ν(x) - единичный вектор внешней нормали к ∂D в точке x ∈ ∂D. Очевидно, что и классическое и обобщенное решения являются решениями 1 из W2,loc (D). 1 Отметим, что для обобщённого решения (из W2 (D)) левая часть (9) является o(δ) при δ → 0. Такое требование принятия граничного значения с заданным порядком представляется излишним. Ведь мы не требуем в определении классического решения, чтобы оно принадлежало пространству Гёльдера C 1/2 в замыкании области. ¯ При условии гладкости коэффициентов aij (aij ∈ C 1 (D)) в [2] доказано следующее утверждение. Теорема Михайлова. Для любой u0 из L2 (∂D) и любой f ∈ L2,loc (D), удовлетворяющей условию rθ (x)f 2 (x)dx < ∞, D в котором r(x) = dist(x, ∂D) - расстояние от точки x ∈ D до границы рассматриваемой области, а θ < 3, задача Дирихле (4), (2) однозначно разре29 Г у щ и н А. К. шима и для ее решения u справедлива оценка r(x)| u|2 dx + sup D u2 (x - δν(x))ds δ∈(0,δ0 ) ∂D const u0 2 L2 (∂D) rθ (x)f 2 (x)dx + D с достаточно малым δ0 > 0. Для общего уравнения второго порядка (с непрерывными коэффициентами при младших членах) теорема о разрешимости имеет такой же вид, как и 1 для задачи в W2 (D): собственные значения и соответствующие им собственные подпространства совпадают (см. [2]). Отметим, что обсуждаемая теорема о разрешимости задачи Дирихле тесно связана (и идейно, и по используемой в доказательстве технике) с результатами о граничном поведении решений уравнения, см. работу [56] и приведенную в ней литературу. Истоки этого направления лежат в классических результатах Ф. Рисса, [57], и Литтлвуда-Пэли, [58-60], о граничном поведении аналитических функций. Обеспечивающее взаимную однозначность (при всех достаточно малых положительных значениях параметра δ) отображения x ↔ x - δν(x) ∈ D из (9) условие ∂D ∈ C 2 можно ослабить. Достаточно потребовать, чтобы ∂D ∈ C 1 и нормаль ν удовлетворяла условию Гёльдера, см. [61], или она была непрерывна по Дини: ν(x) - ν(y) ω( x - y ), x ∈ ∂Q, y ∈ ∂Q (10) с такой монотонной функцией ω, для которой 0 ω(t) dt < ∞, t см. [3]. При этом принятие решением своего граничного значения (будем говорить о принятии граничного значения в Lp , p > 1; конечно, при этом и граничная функция u0 берётся из Lp ) следует формулировать в локальных терминах: для каждой точки x0 ∈ ∂D найдётся такая окрестность Vx0 ⊂ ∂D, что u(x - δν(x0 )) - u0 (x) p ds → 0 при δ → +0. (11) Vx 0 Обсуждать точность условия (10) вряд ли имеет смысл. По-видимому, ситуация аналогична случаю классического решения, в котором мы понимали бы граничное значение как предел решения по нормали. Для серьёзного исследования этого вопроса нужны новые идеи. Но сначала нужно изменить определение принятия граничного значения; без существования нормали к границе условие (11) нельзя сформулировать. Мы вернёмся ещё к этому вопросу в последнем параграфе. В работе автора [3] были ослаблены (при p = 2) и условия на коэффициенты уравнения. Достаточно предполагать, что они измеримы и ограничены 30 О задаче Дирихле для эллиптического уравнения в D и непрерывны по Дини на границе. То есть их значения можно так изменить на множестве меры нуль, что будет выполняться неравенство ai,j (x) - ai,j (y)| ω( x - y ), i, j = 1, . . . , n, x ∈ ∂Q, y ∈ Q; (12) не ограничивая общность, функцию ω можно считать такой же, как и в (10). По-видимому, условие (12) не является точным. Но совсем отказаться от дополнительного (к измеримости и ограниченности) условия на коэффициенты уравнения нельзя; не будет справедлива теорема о единственности, соответствующий пример приведен в [3]. Ослабление требований к принятию граничного значения приводит к ужесточению условий на коэффициенты на границе. Но каковы точные условия на коэффициенты - неизвестно. Условия (10) и (12) мы всюду далее будем считать выполненными. Обсудим теперь условия на правую часть уравнения. Они более слабые, 1 чем для задачи в W2 (D); допускается более сильный рост правой части вблизи границы. Прежде всего приведем определение решения в случае u0 ∈ Lp (∂D). Функцию u будем называть решением задачи Дирихле (4), (2) с граничным зна1 чением из Lp , если она принадлежит W2,loc (D), удовлетворяет тождеству (8) для всех бесконечно дифференцируемых и финитных в D функций η (уравнения (4) выполняются в смысле равенства обобщенных функций), её следы на любой лежащей в D замкнутой гладкой (n - 1)-мерной поверхности Γ принадлежат Lp (Γ) и выполнено граничное условие (2) в смысле (11). Конечно, условие принадлежности следов Lp нужно только при больших значениях p. Чтобы избежать этого дополнительного условия, естественно было бы в определении решения вместо принадлежности решения пространству 1 1 W2,loc (D) требовать его принадлежности Wp,loc (D). Но это потребовало бы дополнительных условий на коэффициенты уравнения. При сделанных предположениях в случае p > 2 решение может не существовать, а для p ∈ (1, 2) не верно утверждение о единственности. Не помогает и условие гладкости коэффициентов на границе, см. [62]. 1 Так как искомое решение u ∈ W2,loc (D), правая часть уравнения должна -1 принадлежать W2,loc (D). Следовательно, она представляется в виде f = g - div G, где G ∈ (L2,loc (D))n , g ∈ L2,loc (D). Остановимся сначала на случае G = 0 (то есть f = g). Будем предполагать, что f ∈ Lp,loc (D) и найдется такая монотонно неубывающая, удовлетвоω(t) ряющая условию Дини функция ω dt < ∞ , что 0 t D r(x)2p-1 |f (x)|p dx < ∞. [ω(r(x))]p-1 (13) Справедливо следующее утверждение. Теорема 1. Пусть выполнены условия (10) и (12). Тогда для любой граничной функции u0 из ∈ Lp (∂D) и любой правой части f из L2,loc (D) ∩ 31 Г у щ и н А. К. Lp,loc (D), удовлетворяющей условию (13), существует решение задачи Дирихле. Это решение единственно и для него справедлива естественная оценка sup ξ>0 1 ξ |u(x)|p dx {x∈D:ξ 1 единственность решения и его существование для f ∈ L2 (D) ∩ Lp (D) было доказано в работе [62]. В общем случае этот результат является новым. Оценка (14) теоремы 1 позволяет расширить при p ∈ (1, 2) класс правых частей, для которых можно гарантировать существование решения задачи Дирихле и отказаться от условия f ∈ L2,loc (D). Но это приведет к отказу от 1 требования u ∈ W2,loc (D) в определении решения, без которого неверна теорема единственности. Естественно возникает задача отыскания более широкого класса единственности, содержащего все решения задачи Дирихле для уравнений вида (4) с правыми частями из Lp,loc (D), удовлетворяющими условию (13). Рассмотрим теперь общий случай f = g - div G, G ∈ (L2,loc (D))n , g ∈ L2,loc (D). Будем предполагать, что функция g удовлетворяет условию D r(x)2p-1 |g(x)|p dx < ∞, [ω(r(x))]p-1 а векторное поле G - условию D r(x) |G(x)|2 dx < ∞ при 1 < p ω(r(x)) 2 и условию D r(x) ω(r(x)) p-1 |G(x)|p dx < ∞ при p > 2. Теорема 2. Пусть выполнены условия (10) и (12). Тогда для любой граничной функции u0 из ∈ Lp (∂D) и любой правой части f = g - div G, где g и G удовлетворяют приведённым условиям, существует решение задачи Дирихле (4), (2). Решение этой задачи единственно. Для решения справедлива аналогичная (14) оценка; в её правую часть следует добавить соответствующее G слагаемое. В случае p = 2 теорема 2 была доказана в работе [56]. Её доказательство в общем случае p > 1 будет опубликовано в следующей работе автора. Можно и далее ослаблять требования гладкости в определении решения: s рассматривать решения из W2 (D) с s 1 или даже из D . Но это неизбежно приводит к более ограничительным условиям на коэффициенты уравнения 32 О задаче Дирихле для эллиптического уравнения (чем менее гладким является решение, тем более гладкой должна быть функция, на которую умножается его производная). Если коэффициенты уравнения (4) только измеримы и ограничены внутри области D, то необходимо предполагать существование обобщённых производных решения. Более того, и использованный выше показатель суммирования производных (p = 2) является в следующем смысле оптимальным. Как отмечалось выше, при 1 u ∈ Wp,loc (D) с p > 2 решения не существует, а при p < 2 нет теоремы единственности. Возможны различные обобщения и определения принятия решением своего граничного значения. Например, следуя И. И. Привалову, см. [63], можно потребовать, чтобы для почти всех точек границы существовал предел решения по некасательным направлениям и он совпадал со значением граничной функции. В этом случае, как легко видеть, без дополнительного условия на решение не справедлива теорема единственности. Как показано в [63], классом единственности такой задачи для уравнения Лапласа (такой же результат cправедлив и для уравнения (4)) является пространство L∞ (D). Но тогда и граничная функция должна быть ограниченной. Нетрудно показать, что в этом случае решение будет принадлежать и пространству (n - 1)-мерно ¯ непрерывных функций Cn-1 (D), о котором мы будем говорить в следующем параграфе. Но тогда оно будет и решением в обсуждаемом в этом параграфе смысле и мы не получим ничего нового. Можно существенно расширить класс допустимых граничных функций, считая, что граничное значение является пределом в смысле обобщенных функций, см., например, [64]. Но тогда и граница должна быть бесконечно дифференцируемой. 4. (n - 1)-мерно непрерывное решение. Основным результатом работы автора [3] является доказательство свойства (n-1)-мерной непрерывности решения задачи Дирихле. В нем, как и в классическом определении непрерывности, все направления равноправны. С помощью этого свойства можно дать 1 другое, более близкое к классическому определение решения из W2,loc (D). В этом определении роль пространства непрерывных функций играет про¯ странство (n - 1)-мерно непрерывных функций Cn-1 (Q), в котором вместо значений функции в точках рассматриваются её следы на мерах из специального класса. ¯ Рассмотрим неотрицательные борелевские меры µ в Rn с носителем в D, удовлетворяющие следующему условию: существует такая постоянная C = ¯ = C(µ), что для всех x0 ∈ D и всех r > 0 выполняется неравенство µ(Bx0 (r)) Crn-1 , (15) в котором Bx0 (r) - шар с центром в точке x0 радиуса r. Наименьшую из постоянных C, с которыми выполнено условие (15), будем называть нормой меры µ и обозначать µ . Заметим, что условие (15) близко к определению меры Карлесона, см. [4-6], но не совпадает с ним (класс мер Карлесона шире). Пусть µ и υ - удовлетворяющие (15) единичные меры ( µ < ∞, υ < ∞). И пусть φ - мера в R2n , проекция которой на пространство первых n переменных совпадает с µ, а на пространство остальных n переменных совпадает с υ: φ(G × Rn ) = µ(G), φ(Rn × G) = υ(G) 33 Г у щ и н А. К. для всех борелевских множеств G ⊂ Rn ; будем говорить, что φ соединяет меры µ и υ. Зафиксируем некоторое число p > 1. Принадлежащую пространствам ¯ Lp (D; µ) для всех мер µ из рассматриваемого класса функцию v будем называть (n - 1)-мерно непрерывной функцией со значениями в Lp (или просто (n - 1)-мерно непрерывной функцией), если для любого ε > 0 существует такое δ > 0, что для всех мер µ и υ из рассматриваемого класса и любой соединяющей их меры φ, удовлетворяющих условию |x - y|dφ(x, y) < δ R2n (расстояние между мерами µ и υ вдоль φ меньше δ), выполняется оценка 1 µ + υ |v(x) - v(y)|p dφ(x, y) < ε ¯ ¯ D×D (значения функции v на µ и υ вдоль φ отличаются меньше, чем на ε1/p ). Множество всех (n - 1)-мерно непрерывных функций со значениями в Lp ¯ будем обозначать через Cn-1,p (D). Оно является банаховым пространством с нормой 1 v 2 n-1 (D) = sup |v(x)|p dµ (16) ¯ C µ D ¯ µ и множество гладких функций плотно в нем. (n - 1)-мерно непрерывные функции имеют следы v|Γ на любом множестве положительной (n-1)-мерной меры Хаусдорфа. А множество их следов на гладкой (n - 1)-мерной поверхности Γ (на мере Лебега на этой поверхности) совпадает с Lp (Γ). Понятие (n - 1)-мерно непрерывных функций было введено в работе автора [3]. Там же приведены другие определения (n-1)-мерной непрерывности, доказана их эквивалентность и установлены свойства (в том числе и приведенные выше) таких функций. Определение 4. Функция u называется (n - 1)-мерно непрерывным решением задачи Дирихле (4), (2) (с u0 ∈ Lp (∂D)), если 1 - u ∈ W2,loc (D) и удовлетворяет (в D ) уравнению (4); ¯ - u ∈ Cn-1,p (D) и ее след на ∂D равен u0 . Отметим, что само определение (n - 1)-мерно непрерывного решения не требует выполнения жёстких условий на границу области. Для того чтобы все входящие в него понятия были определены, нужно только существова¯ ние следа на ∂D функции из Cn-1,p (D). Но и от этого требования можно отказаться. Для этого, как и в случае определения обобщённого реше◦ ¯ ния, следует определить подпространство C n-1,p (D), являющееся замыкани¯ ем в Cn-1,p (D) (с нормой (16)) множества непрерывных и финитных в D функций. Граничную функцию u0 следует считать заданной во всей обла¯ сти D (u0 ∈ Cn-1,p (D)) и в определении решения требовать принадлежности ◦ ¯ u-u0 подпространству C n-1,p (D). Однако разрешимость задачи Дирихле доказана только для случая гладкой границы, предполагается выполнение условия (10). Таким образом, ситуация похожа на случай классического решения: 34 О задаче Дирихле для эллиптического уравнения если искать решение методом потенциалов, то нужны требования к гладкости границы. Освободиться от них можно, привлекая принципиально другой ¯ метод - метод Перрона. По-видимому, и в случае решения из Cn-1,p (D) возможно значительное расширение класса рассматриваемых областей, но для этого нужны новые идеи. Этот вопрос требует серьёзного изучения. Обсудим теперь вопрос о разрешимости задачи Дирихле в приведённой постановке. Как и ранее, будем предполагать, что коэффициенты уравнения непрерывны по Дини на границе - удовлетворяют условию (12). Без этого условия решение не обязано быть единственным даже в «гильбертовом» случае p = 2, соответствующий пример имеется в [3]; не помогает и дополнительное (по сравнению с определением 3) требование к поведению решения вблизи границы. Утверждение о единственности такого решения для p = 2 было доказано ещё в [3], а в общем случае p > 1 немедленно следует из доказанного автором в работе [65] значительно более сильного и сложного утверждения, являющегося распространением на рассматриваемую ситуацию теоремы Л. Карлесона об Lp -оценках аналитических функций, см. [4] и [5]. Для гармонических функций такая теорема была доказана Л. Хёрмандером, см. [6]. Теорема 3. Пусть выполнены условия (10) и (12), u - решение задачи Дирихле для однородного уравнения (4) (с f = 0) и пусть µ - мера в Rn ¯ с носителем в D. Тогда для того чтобы оценка |u|p dµ Q |u0 |p dS const (17) ∂Q была справедлива для всех граничных функций u0 из Lp (∂Q), необходимо и достаточно, чтобы мера µ удовлетворяла следующему условию: существует такая постоянная C = C(µ), что для всех x0 ∈ ∂D и всех r > 0 выполняется неравенство µ(Bx0 (r)) Crn-1 . Отметим, что условие справедливости оценки (17) не зависит ни от p, ни от эллиптического уравнения вида (4). В частности, для её справедливости для рассматриваемого уравнения и взятого p необходимо и достаточно, чтобы она была справедлива для всех гармонических функций с граничными значениями из L2 (∂Q). Последняя теорема содержит в себе, в частности, свойство непрерывности внутри области решений однородного уравнения. В близких терминах можно 1 объединить принадлежность решения W2,loc (D) и установленную Э. де Джорджи и Дж. Нэшем внутреннюю непрерывность решения по Гёльдеру и усилить эти свойства. По этому поводу см. [51] и [66]. ¯ Из теоремы 3 легко следует существование решения из Cn-1,p (D) для однородного уравнения. Случай неоднородного уравнения более или менее полно исследован только для p = 2. Теорема 4. Пусть выполнены условия (10) и (12). Тогда для любой u0 ∈ L2 (∂D) и любой f = g - div G с такими G ∈ (L2,loc (D))n и g ∈ L2,loc (D), что r3/2 (x)| ln r(x)|3/4 |g(x)| ∈ L2 (D), r1/2 (x)| ln r(x)|3/4 |G(x)| ∈ L2 (D), существует решение задачи Дирихле (4), (2). Это решение единственно и для него 35 Г у щ и н А. К. справедлива оценка r(x)| u|2 dx + v D const 2 ¯ Cn-1 (D) u0 2 L2 (∂D) + r3/2 (x)| ln r(x)|3/4 g(x) L2 (D) + + r1/2 (x)| ln r(x)|3/4 |G(x)| L2 (D) . Доказательство этой теоремы можно найти в совместной работе В. П. Михайлова и автора [56]. Для общего эллиптического уравнения второго порядка разрешимость задачи Дирихле в обсуждаемой постановке была исследована В. Ж. Думаняном, см. [67] и [68].

About the authors

Anatolii K Gushchin

Steklov Mathematical Institute, Russian Academy of Sciences

Email: akg@mi.ras.ru
(Dr. Phys. & Math. Sci.; akg@mi.ras.ru), Leading Researcher, Dept. of Mathematical Physics 8, Gubkina st., Moscow, 119991, Russian Federation

References

Supplementary files