On solutions of elliptic equations with nonpower nonlinearities in unbounded domains

Full Text

Настоящая статья представляет собой расширенный вариант доклада [1], сделанного автором на Четвёртой международной конференции «Математическая физика и её приложения» (Россия, Самара, 25 августа - 1 сентября 2014). 44 О решениях эллиптических уравнений с нестепенными нелинейностями . . . Введение. Пусть Ω - произвольная неограниченная область пространства Rn = {x = (x1 , x2 , . . . , xn )}, Ω ⊂ Rn , n 2. Для анизотропного квазилинейного эллиптического уравнения второго порядка рассматривается задача Дирихле n (aα (x, u, u))xα - a0 (x, u, u) = 0, x ∈ Ω; (1) α=1 u ∂Ω = 0. (2) Предполагается, что функции aα (x, p0 , p), α = 0, . . . , n, измеримы по x ∈ Ω для p = (p0 , p) = (p0 , p1 , . . . , pn ) ∈ Rn+1 , непрерывны по p ∈ Rn+1 для почти всех x ∈ Ω. Ограничения на нелинейные функции aα (x, p0 , p), α = 0, . . . , n, формулируются в терминах N -функций, они будут приведены ниже. В работе исследуются вопросы существования, ограниченности и убывания на бесконечности решений задачи (1), (2) в неограниченных областях Ω. Существование решений для уравнений вида (1) в ограниченных областях изучалось в работах [2-5]. В нашей работе на каратеодориевы функции, входящие в уравнение, наряду с условием монотонности наложены требования, которые позволяют установить существование единственного обобщённого решения задачи (1), (2) в произвольной неограниченной области Ω ⊂ Rn . После нового доказательства теоремы Э. де Джорджи [6] при помощи итерационной техники, данного Ю. Мозером в работе [7], вопросы ограниченности и непрерывности по Гёльдеру обобщённых решений различных классов линейных и квазилинейных эллиптических уравнений с изотропными степенными нелинейностями исследовались в работах С. Н. Кружкова [8], Дж. Серрина [9], Е. М. Ландиса [10] и других авторов. И. М. Колодий [11] установил ограниченность решений некоторого класса анизотропных эллиптических уравнений со степенными нелинейностями в ограниченных областях. При этом требование ограниченности области является существенным условием в его доказательстве. Для неограниченных областей этот результат был получен в работе [12]. Попытка А. Г. Королёва [13] осуществить дальнейшее распространение техники Мозера на эллиптические дифференциальные уравнения с анизотропными нестепеными нелинейностями содержит досадную ошибку. Развивая метод априорных оценок для срезок [14, гл. II, § 5, лемма 5.1], В. С. Климов в работе [15] для некоторого вида изотропных эллиптических уравнений с нестепенными нелинейностями доказал глобальную ограниченность решений в ограниченных областях. А. Г. Королёв [16] получил интегральный вариант теоремы вложения для функций из пространства Соболева-Орлича, на его основе он доказал ограниченность решений для некоторого класса анизотропных эллиптических уравнений с нестепенными нелинейностями в ограниченных областях. Авторы настоящей статьи наложили требования на структуру уравнения, позволившие установить ограниченность решений в неограниченных областях. Изучению поведения на бесконечности решений линейных эллиптических уравнений в неограниченных областях посвящены работы О. А. Олейник, Г. А. Иосифьяна [17], Е. М. Ландиса, Г. П. Панасенко, В. А. Кондратьева, И. Копачека, Д. М. Леквеишвили, О. А. Олейник [18], Л. М. Кожевнико45 К о ж е в н и к о в а Л. М., Х а д ж и А. А. вой [19], Ф. Х. Мукминова, В. Ф. Гилимшиной [20] и других авторов. В работе [21] Л. М. Кожевниковой, Р. Х. Каримовым для решений квазилинейных эллиптических уравнений второго порядка установлены оценки сверху и доказана их точность. Л. М. Кожевниковой, А. А. Хаджи [22] этот результат обобщён на некоторый класс анизотропных эллиптических уравнений второго порядка. Для уравнений с нестепенными нелинейностями исследование скорости убывания решений на бесконечности в неограниченных областях ранее не проводилось. 1. Пространства Соболева-Орлича. Приведём необходимые сведения из теории N -функций и пространств Соболева-Орлича [23]. Неотрицательная непрерывная выпуклая вниз функция M (z), z ∈ R1 называется N -функцией, если она чётна и M (z) M (z) lim = 0, lim = ∞. z→∞ z→0 z z Отметим, что M (εu) εM (u) при 0 < ε 1. Для N -функции M (z) имеет место интегральное представление |z| M (z) = m(t)dt, 0 где m(t) - положительная при t > 0, не убывающая и непрерывная справа функция при t 0 такая, что m(0) = 0, lim m(t) = ∞. t→∞ N -функция M (z) = sup(y|z| - M (y)) y 0 называется дополнительной к N -функции M (z). Известно следующее неравенство Юнга: (3) |zy| M (z) + M (y), z, y ∈ R. Кроме того, имеет место равенство |z|m(|z|) = M (m(|z|)) + M (z), z z0 Для N -функций P (z), M (z) записывают P (z) числа l > 0, z0 0 такие, что P (z) z ∈ R. (4) M (z), если существуют M (lz). N -функции P (z), M (z) называются сравнимыми, если имеет место одно из соотношений: P (z) M (z) или M (z) P (z). N -функции P (z) и M (z) называются эквивалентными, если P (z) M (z) и M (z) P (z). N -функция M (z) удовлетворяет ∆2 -условию при больших значениях z, если существуют такие числа c > 0, z0 0, что M (2z) cM (z) для любых z z0 . ∆2 -условие эквивалентно выполнению неравенства M (lz) 46 c(l)M (z), z z0 , (5) О решениях эллиптических уравнений с нестепенными нелинейностями . . . где l - любое число, большее единицы, c(l) > 0. N -функция M (z) удовлетворяет ∆2 -условию тогда и только тогда, когда существуют положительные числа c > 1, z0 0 такие, что при z z0 справедливо неравенство zm(z) < cM (z). (6) В каждом классе эквивалентных N -функций, подчиняющихся ∆2 -условию, имеются N -функции, удовлетворяющие неравенству (5) при всех z 0. В дальнейшем в работе предполагается, что ∆2 -условие для рассматриваемых N -функций выполняется при всех значениях z 0 (т. е. z0 = 0). Для N -функции M (z) ввиду выпуклости и неравенства (5) существует c > 0 такое, что справедливо неравенство M (y + z) cM (z) + cM (y), z, y 0. (7) Пусть Q ⊂ Rn . Классом Орлича KM (Q), соответствующем N -функции M (z), называется множество измеримых в Q функций v таких, что M (v(x))dx < ∞. Q Пространством Орлича LM (Q) называется линейная оболочка KM (Q) с нормой Люксембурга v LM (Q) = v M,Q = inf k 0 M Q v(x) dx k 1 . При Q = Ω будем использовать обозначение · M,Ω = · M . Класс Орлича KM (Q) совпадает с пространством Орлича LM (Q) тогда и только тогда, когда M (z) удовлетворяет ∆2 -условию. Для функций v ∈ LM (Q), u ∈ LM (Q) имеют место неравенство Гёльдера u(x)v(x)dx 2 v u M,Q Q (8) M ,Q и неравенство v M (v)dx + 1. M,Q (9) Q Кроме того, если N -функция M (z) удовлетворяет ∆2 -условию, то для v ∈ LM (Q) справедливы неравенства M (v)dx = Q M v v M,Q Q c(l) M Q v dx M,Q v v M Q dx = c(l), l v v dx M,Q l = max ( v M,Q , 1) . (10) M,Q Лемма 1. Если N -функция M (z) удовлетворяет ∆2 -условию, v(x), v i (x) ∈ LM (Q), i = 1, 2, . . . , v i (x) → v(x) в LM (Q), то M (v i )dx → Q M (v)dx, i → ∞. (11) Q 47 К о ж е в н и к о в а Л. М., Х а д ж и А. А. Д о к а з а т е л ь с т в о. Ввиду справедливости ∆2 -условия сходимость по норме равносильна сходимости в среднем [23, гл. II, § 9, теорема 9.4], следовательно, для любого ε > 0 существует номер i0 такой, что M (v i - v)dx < ε, i i0 . (12) Q Сходимость v i (x) → v(x) в LM (Q) влечёт ограниченность множества v i M,Q , i = 1, 2, . . .. В свою очередь, из неравенства (10) следует существование числа C1 > 0 такого, что M (v i ) C1 , i = 1, 2, . . . . (13) Далее, пользуясь формулой Лагранжа, неравенствами (3), (5), для любого ε ∈ (0, 1] и фиксированного θ ∈ [0, 1] выводим (M (v i ) - M (v))dx |v i - v|m(|θv i + (1 - θ)v|)dx Q Q Q 1 M (v i - v) + M εm(|θv i + (1 - θ)v|) ε dx C2 M (v i - v) + εM m(|θv i + (1 - θ)v|) dx. (14) Q Применяя (4), (6), (7), устанавливаем цепочку неравенств M m(|θv i + (1 - θ)v|) |θv i + (1 - θ)v|m(|θv i + (1 - θ)v|) cM (θv i + (1 - θ)v) Соединяя (14), (15), (13), (12), при i M (v i ) - M (v) dx i0 получаем неравенства M (v i - v)dx + εC3 C2 Q Q C3 (M (v i ) + M (v)). (15) (M (v i ) + M (v))dx C4 ε. Q Таким образом, сходимость (11) доказана. Пусть B1 (z), . . . , Bn (z) - N -функции, определим пространство Соболева- ◦ ∞ Орлича H 1 (Q) как пополнение C0 (Q) по норме B n v ◦ H 1 (Q) B = Положим v xα Bα ,Q . α=1 n 1 -n 1/n -1 Bα (t) h(t) = t α=1 и будем предполагать, что 1 0 48 t-1 h(t)dt < ∞. О решениях эллиптических уравнений с нестепенными нелинейностями . . . Тогда можно определить N -функцию B ∗ (z) по формуле |z| (B ∗ )-1 (z) = t-1 h(t)dt. 0 ◦ Теоремы вложения для пространства H 1 (Q) установлены в [15, 24]. ПривеB дем теорему вложения А. Г. Королёва [24], доказанную для ограниченных областей Q. ◦ Лемма 2. Пусть v ∈H 1 (Q). B 1) Если ∞ t-1 h(t)dt = ∞, (16) 1 то n v A1 B ∗ ,Q v xα Bα ,Q ; (17) α=1 2) если ∞ t-1 h(t)dt < ∞, (18) 1 то n sup |v| A2 Q Здесь A1 = v xα Bα ,Q . (19) α=1 n-1 , n ∞ A2 = 0 h(t) dt. t Замечание 1. Лемма 2 справедлива также и для произвольных неог◦ раниченных областей Ω ⊂ Rn . Действительно, пусть v(x) ∈H 1 (Ω), тогда B ∞ существует последовательность v i (x) ∈ C0 (Ω) такая, что v i (x) → v(x) в ◦ H 1 (Ω). Записывая неравенства (17), (19) для функций v i и выполняя преB ◦ дельный переход при i → ∞, установим их и для функции v ∈H 1 (Ω). B Пример 1. Возьмём n = 2, B1 (z) = z [5/4,3/2] , B2 (z) = z [5/3,2] . Здесь использовано обозначение z [a,b] = za, zb, z 1, z > 1. Поскольку 1 h(t) = t[1/5,1/12] , ∞ t-1 h(t)dt < ∞, 0 t-1 h(t)dt = ∞, 1 можно определить функции |z| [1/5,1/12] t (B ∗ )-1 (z) = 0 t dt = 5|z|1/5 , z 1 12|z|1/12 - 7, z > 1, 49 К о ж е в н и к о в а Л. М., Х а д ж и А. А. (z/5)5 , z 5, 12 , z > 5. ((z + 7)/12) B ∗ (z) = При этом справедливо неравенство (17). Пример 2. Положим n = 3, B1 (z) = z [3/2,7/2] , B2 (z) = z [3, 7] , B3 (z) = z [3,7/3] . Поскольку ∞ h(t) = t[1/9,-1/21] , t-1 h(t)dt < ∞, 0 справедливо неравенство (19). Если N -функция B ∗ (z) удовлетворяет ∆2 -условию, то из (5) следует, что определена и конечна функция Λ(z) = sup t>0 B ∗ (zt) B ∗ (t) и при всех значениях t, z ∈ R справедливы неравенства B ∗ (tz) B ∗ (t)Λ(z), Λ(zt) Λ(z)Λ(t). Приведём еще одну теорему вложения А. Г. Королёва [16], доказанную также для ограниченных областей Q. ◦ Лемма 3. Пусть v ∈H 1 (Q), выполнено условие (16) и функции Bα (z), B α = 1, 2, . . . , n, B ∗ (z) удовлетворяют ∆2 -условию, тогда справедливо неравенство n ∗ B (v(x))dx χ A3 Bα (vxα )dx . (20) α=1 Q Q Здесь A3 зависит от n, χ(z) = zΛ(z 1/n ), z 0. Замечание 2. Лемма 3 справедлива также и для произвольных неогра◦ ниченных областей Ω ⊂ Rn . Действительно, пусть v(x) ∈H 1 (Ω), тогда сущеB ◦ ∞ ствует последовательность v i (x) ∈ C0 (Ω) такая, что v i (x) → v(x) в H 1 (Ω). B Применяя лемму 1, имеем Ω Bα (ui α )dx → x Bα (uxα )dx, B ∗ (ui )dx → Ω α = 1, . . . , n, Ω B ∗ (u)dx, i → ∞. Ω Записывая неравенство (20) для функций ui , пользуясь непрерывностью функции χ(z), выполняя предельный переход при i → ∞, устанавливаем его и для ◦ функции u ∈H 1 (Ω). B 2. Формулировка основных результатов. Пусть существуют неотрицательные функции ψ1 (x), ψ(x) ∈ L1 (Ω), ϕ-1 (x), ϕ(x), ϕ1 (x) ∈ L∞ (Ω) такие, что для 50 О решениях эллиптических уравнений с нестепенными нелинейностями . . . п. в. x ∈ Ω, p = (p0 , p), q = (q0 , q) ∈ Rn+1 , p = q, справедливы следующие неравенства: n n aα (x, p0 , p)pα Bα (pα ) - ψ(x); ϕ(x) α=0 n (21) α=0 n B α (aα (x, p0 , p)) ϕ1 (x) α=0 Bα (pα ) + ψ1 (x); (22) α=0 n (aα (x, p0 , p) - aα (x, q0 , q))(pα - qα ) > 0. (23) α=0 Здесь B0 (z), B1 (z), . . . , Bn (z) - N -функции, удовлетворяющие ∆2 -условию. В случае выполнения условия (16) будем считать B ∗ (z), B0 (z) а при выполнении (18) B0 (z) - произвольная N -функция. ◦ ∞ Определим пространство Соболева-Орлича W 1 (Ω) как пополнение C0 (Ω) B по норме u ◦1 = u B0 + u ◦ 1 . W B (Ω) ◦ Определим оператор B : W 1 (Ω) B H B (Ω) → L1 (Ω) формулой n B(v) = B0 (v) + ◦ v ∈W Bα (vxα ), 1 B (Ω). α=1 ◦ Пусть Q ⊆ Ω (Q может совпадать c Ω), для v ∈W 1 (Ω) определим функционал B ◦ A(u) u ∈W 1 (Ω) равенством B n (A(u), v)Q = aα (x, u, u)vxα + a0 (x, u, u)v dx. Q (24) α=1 Если Q = Ω, то будем писать (A(u), v)Ω = (A(u), v). Через · m,Q будем обозначать норму в пространстве Lm (Q), 1 m ∞, при Q = Ω индекс Q будет опускаться. Определение 1. Обобщённым решением задачи (1), (2) назовём функцию ◦ u(x) ∈W 1 (Ω), удовлетворяющую интегральному тождеству B (A(u), v) = 0 (25) ◦ для любой функции v(x) ∈W 1 (Ω). B Пусть N -функции |z| Bα (z) = bα (t)dt 0 51 К о ж е в н и к о в а Л. М., Х а д ж и А. А. кроме ∆2 -условия удовлетворяют требованию lim inf λ→∞ z>0 bα (λz) = ∞, bα (z) α = 0, 1, . . . , n. (26) Пример 3. Легко проверить, что функция B(u) = |u|a (| ln |u|| + 1), a > 1, удовлетворяет ∆2 -условию и (26). Теорема 1. Пусть выполнены условия (21)-(23), (26), тогда существует единственное решение u(x) задачи (1), (2) и M1 > 0 такое, что справедлива оценка B(u) 1 M1 ψ 1 . (27) При дополнительном требовании, согласно которому n aα (x, p0 , p)pα функция α=1 монотонно не убывает при p0 0, монотонно не возрастает при p0 < 0 , (28) доказана ограниченность решения задачи (1), (2). Теорема 2. Пусть выполнены условия (21)-(23), (28), (26), (16), N -функция B ∗ (z) удовлетворяет ∆2 -условию и ψ ∈ Ll/(l-1) (Ω), l 1, (29) где l такое, что t1/l-1 Λ(t1/(ln) ) → 0 при t → 0. Тогда для обобщённого решения задачи (1), (2) u(x) существует M2 > 0 такое, что справедлива оценка sup |u| M2 . (30) Ω Замечание 3. В случае выполнения условия (18) ограниченность решения задачи (1), (2) следует из неравенств (19), (27). Далее приведём результат для областей, расположенных вдоль выделенной оси Oxs , s ∈ {1, 2, . . . , n} (область Ω лежит в полупространстве xs > 0, сечение γr = {x ∈ Ω | xs = r} не пусто, связно и ограничено при любом r > 0). Ниже будет использовано следующее обозначение: Ωd [s] = {x ∈ Ω | c < xs < d}, c при этом значения c = 0, d = ∞ опускаются. C целью изучения поведения решения задачи (1), (2) при xs → ∞ определим функции νi (r) = 52 inf ∞ v∈C0 (Ω) sup z Bi (zv)dxs γr Bi (vxi )dxs , γr (31) О решениях эллиптических уравнений с нестепенными нелинейностями . . . ν s (x) = min νi (x), i=1,n,i=s где xs = {x1 , x2 , . . . , xs-1 , xs+1 , . . . , xn }. Пусть существуют числа βi 0, i = 1, . . . , n, i = s, 0 < z ∗ ∞ такие, что n Bs (z) βi Bi (z), 0 z∗. z (32) i=1,i=s Предположим, что supp ψ1 , ψ ⊂ {x ∈ Rn | xs < R0 }, R0 > 0. (33) В следующей теореме установлена оценка, характеризующая скорость убывания решения при xs → ∞. Теорема 3. Пусть область Ω расположена вдоль оси Oxs , s ∈ {1, 2, . . . , n} и выполнены условия (21)-(23), (26), (32), (33). Если z ∗ = ∞, то решение задачи (1)-(2) предполагается ограниченным. Тогда существуют положительные числа κ, M такие, что при всех r 2R0 справедлива оценка B(u) 1,Ωr M exp -κ r ν ∗ (ρ)dρ , s (34) 2R0 где ν ∗ (ρ) = min{ν s (ρ), z ∗ }. s 3. Существование и единственность обобщённого решения. Обозначим ϕ ∞ = a, 1/ϕ ∞ = 1/a, ϕ1 ∞ = a1 . Покажем, что определение обобщённого решения задачи (1), (2) корректно. Из условия (22) и неравенства (9) следует оценка n aα (x, u, u) Bα α=0 n B α (aα (x, u, u))dx + n + 1 a1 B(u) 1 + ψ1 1 + n + 1. (35) α=0 Ω Используя неравенство Гёльдера (8) и оценку (35), для функций u(x), ◦ v(x) ∈ W 1 (Ω) выводим B n |(A(u), v)| |aα (x, u, u)||vxα | + |a0 (x, u, u)||v| dx Ω α=1 n 2 aα (x, u, u) Bα v xα Bα + 2 a0 (x, u, u) B0 v B0 α=1 C1 v ◦ W 1 (Ω) B < ∞. (36) Таким образом, интегралы, входящие в (25), конечны. 53 К о ж е в н и к о в а Л. М., Х а д ж и А. А. Замечание 4. Из условий (26) следует существование λ0 > 0 такого, что для любых λ λ0 и любых z 0 справедливы неравенства bα (λz) 2bα (z), α = 0, 1, . . . , n. Последние неравенства обеспечивают выполнение для любых z ∈ R условий 1 Bα (λz), 2λ Bα (z) λ λ0 , α = 0, 1, . . . , n. Тогда, согласно [23, I, § 4, теорема 4.2], N -функции B α (z), α = 0, 1, . . . , n, удовлетворяют ∆2 -условию. Д о к а з а т е л ь с т в о т е о р е м ы 1. Единственность следует из условия строгой монотонности (23). Полагая в равенстве (25) v = u, применяя (21), получаем неравенство (27). Точно так же выводится неравенство a B(u) ψ 1 1 + (A(u), u). ◦ (37) ◦ По элементу u ∈W 1 (Ω) определим элемент A(u) ∈ W 1 (Ω) равенством B B (24). Оператор A определён (см. (36)), проверим условия теоремы Ж. Л. Лионса [25, гл. II, § 2, теорема 2.1]. 1) Из неравенств (36), (35), согласно (9), следует слабая ограниченность ◦ множества {A(u), u ∈ Θ} на ограниченном множестве Θ ⊂W ◦ 1 (Ω). B Тогда {A(u), u ∈ Θ} ограничено в W 1 (Ω) , т. е. оператор A ограничен. B 2) Монотонность оператора A обеспечивается условием (23). 3) Докажем коэрцитивность оператора A. Пользуясь (37), выводим 1 (A(u), u) u ◦1 u WB (Ω) = (a B(u) ◦ - ψ 1) = n 1 u 1 W1 (Ω) B ◦ H 1 (Ω) B + u Bα (uxα ) + B0 (u) dx - C2 a B0 Ω . (38) α=1 Далее из условий (26) следует, что для любого R > 0 найдётся λ0 > 0 такое, что при достаточно больших u B0 > λ0 , uxα Bα > λ0 , α = 1, . . . , n, справедливы неравенства |u| , u B0 b0 (|u|) > Rb0 Пусть ui ◦ W1 (Ω) B ui 1 x B1 bα (|uxα |) > Rbα |uxα | , α = 1, . . . , n. uxα Bα (39) → ∞ при i → ∞, можно считать, что + . . . + ui n x Bn + ui B0 > (n + 1)λ0 , i i0 . При каждом i i0 найдётся хотя бы одно слагаемое больше λ0 . Пусть для определённости при фиксированном i i0 наибольшим является первое слагаемое: ui 1 B1 > λ0 . x 54 О решениях эллиптических уравнений с нестепенными нелинейностями . . . Соединяя (38), (6), получаем (A(ui ), ui ) ui ◦ 1 1 a c (n + 1) ui 1 x WB (Ω) B1 Ω |ui 1 |b1 (|ui 1 |)dx - x x C2 . (n + 1)λ0 Далее, применяя (39), выводим (A(ui ), ui ) uk ◦ 1 R WB (Ω) C3 ui 1 x B1 Ω |ui 1 |b1 x |ui 1 | x dx - C4 ui 1 B1 x RC3 B1 Q ui 1 x dx - C4 = RC3 - C4 . ui 1 B1 x Таким образом, ввиду произвольности R и i, i i0 , установлена коэрцетивность оператора A. 4) Семинепрерывность оператора A вытекает из непрерывности функций aα (x, p0 , p), α = 0, 1, . . . , n, по (p0 , p) ∈ Rn и теоремы Лебега. Согласно теореме Ж. Л. Лионса [25, гл. II, § 2, теорема 2.1] существует ◦ ◦ u ∈W 1 (Ω) такая, что A(u) = 0. Таким образом, для любого v ∈W 1 (Ω) B B справедливо тождество (25). 4. Ограниченность решения. Доказательство теоремы 2 основано на применении следующей леммы [16]. Лемма 4. Пусть N -функция B ∗ (z) удовлетворяет ∆2 -условию, µ(t) - неотрицательная невозрастающая функция на [a, ∞) такая, что µ(h) где g0 (t), t cg0 (µ(k))/B ∗ (h - k), h > k > a, 0 - функция, удовлетворяющая условиям g0 (zt) g0 (z)g0 (t), t/g0 (t) → ∞ при t → 0. Тогда существует число > 0 такое, что µ(a + ) = 0. Д о к а з а т е л ь с т в о т е о р е м ы 2. Для k > 0 определим функцию u(k) = sign u max(|u| - k, 0). ◦ ◦ Из принадлежности u ∈W 1 (Ω) следует принадлежность u(k) ∈W 1 (Ω), кроме B B (k) того, uxα = uxα на множестве Ek = {x ∈ Ω | |u(x)| k}. Пользуясь (27), выводим mes Ek B0 (k) B0 (u)dx Ek B0 (u)dx C1 , Ω откуда следует mes Ek C1 . B0 (k) Из определения множества Ek имеем u(k) (x) = 0 в Rn \Ek . В (25) положим v = u(k) , тогда получим (A(u), u(k) )Ek = 0. 55 К о ж е в н и к о в а Л. М., Х а д ж и А. А. Из условия (23) следует неравенство (a0 (x, u, u) - a0 (x, u(k) , u(k) ))(u - u(k) ) для x ∈ Ek , 0 из которого несложно установить a0 (x, u, u)u(k) a0 (x, u(k) , u(k) )u(k) . Кроме того, из (28) вытекает n n aα (x, u, u(k) )u(k) xα aα (x, u(k) , α=1 (k) u(k) )uxα . α=1 Таким образом, справедливо неравенство (A(u(k) ), u(k) )Ek 0. Далее, применяя (21), выводим соотношение a B(u(k) ) 1,Ek ψ 1,Ek , из которого, согласно (29), получаем n Ek α=1 (k) Bα (uxα )dx B(u(k) ) 1,Ek C2 ψ 1/l l/(l-1) (mes Ek ) = C3 (mes Ek )1/l . (40) Имеет место следующая цепочка неравенств: ∀h > k Eh ⊂ Ek и B ∗ (h - k) mes Eh B ∗ (| u | -k)dx = Eh B ∗ (u(k) )dx Eh B ∗ (u(k) )dx. Ek Тогда из (40), применяя (20), выводим B ∗ (h - k) mes Eh χ(C4 (mes Ek )1/l ) C5 χ((mes Ek )1/l ). Утверждение теоремы вытекает из леммы 4, применённой к функциям µ(t) = = mes Et и g0 (t) = χ(t1/l ) = t1/l Λ(t1/(ln) ). 5. Убывание решения. Далее будем предполагать, что область Ω располо◦ жена вдоль выделенной оси Oxs , s ∈ {1, 2, . . . , n}. Для функций v(x) ∈H имеет место аналог неравенства Фридрихса: Bs Ωr v(x) dx r (см. [26, неравенство (57)]). 56 Ωr Bs (vxs (x))dx, r > 0, 1 (Ω) B (41) О решениях эллиптических уравнений с нестепенными нелинейностями . . . Д о к а з а т е л ь с т в о т е о р е м ы 3. Пусть θ+ (x), x > 0 - абсолютно непрерывная функция, равная единице при x r, нулю при x R0 , линейная при x ∈ [R0 , 2R0 ] и удовлетворяющая уравнению θ+ (x) = δν ∗ (x)θ+ (x), s x ∈ (2R0 , r), (42) (постоянную δ определим позднее). Решая это уравнение, находим r θ+ (x) = exp -δ ν ∗ (ρ)dρ , s x ∈ (2R0 , r), x тогда имеем θ+ (x) = θ+ (2R0 ) 1 = exp -δ R0 R0 r ν ∗ (ρ)dρ , s x ∈ (R0 ,2R0 ). (43) 2R0 Подставив в (25) v = uθ+ (xs ), получим n aα (x, u, u)uxα + a0 (x, u, u)u θ+ (xs )+ Ω α=1 + as (x,u, u)uθ+ (xs ) dx = 0. Используя (21), (42), (43), (33) и учитывая, что носители функций θ и ψ, ψ1 не пересекаются, получим a θ+ (xs )B(u)dx Ω Ωr 2R0 |u||as (x, u, u)|δν ∗ (xs )θ+ (xs )dx+ s + 2R ΩR 0 0 |u| |as (x, u, u)| θ+ (2R0 ) dx = I1 + I2 . (44) R0 Далее, пользуясь неравенством ν ∗ (xs ) z ∗ и ограниченностью функции u(x) s (см. (30)), при помощи (22), (32) в предположении δ M2 1 оценим первый ε интеграл: I1 Ωr 2R0 θ+ (xs ) B s (εas (x, u, u)) + Bs uν ∗ (xs ) s δ ε dx n Ωr 2R θ+ (xs ) εa1 B(u) + 0 βi Bi uνi (xs ) i=1,i=s δ ε dx. Выберем теперь ε = a/(4a1 ), а также δ так, чтобы δ ε -1 max{1, M2 }, δ max βi ε i=1,n,i=s a . 4 57 К о ж е в н и к о в а Л. М., Х а д ж и А. А. Тогда, воспользовавшись определением (31) функций νi , получим I1 a 4 n Ωr 2R a 4 θ+ (xs ) B(u) + Bi (uνi ) dx i=1,i=s n 0 Ωr 2R0 θ+ (xs ) B(u) + Bi (uxi ) dx i=1,i=s a 2 Ωr 2R θ+ (xs )B(u)dx. 0 Теперь, используя условие (22) и неравенства (41), (5), выводим I2 θ+ (2R0 ) 2R ΩR 0 0 θ+ (2R0 ) Bs Ω2R0 u + B s (as (x, u, u)) dx R0 Bs (2uxs ) + a1 B(u) dx θ+ (2R0 )C1 B(u) 1,Ω2R0 . Подставляя в (44) оценки для I1 , I2 и применяя (27), выводим (34).

About the authors

Larisa M Kozhevnikova

Sterlitamak Branch of Bashkir State University

Email: kosul@gmail.ru
(Dr. Phys. & Math. Sci.; kosul@gmail.ru; Corresponding Author), Professor, Dept. of Mathematical Analysis 47 a, Lenin st., Sterlitamak, 453103, Russian Federation

Anna A Khadzhi

Sterlitamak Branch of Bashkir State University

Email: anna_5955@mail.ru
Senior Teacher, Dept. of Scientific Disciplines 47 a, Lenin st., Sterlitamak, 453103, Russian Federation

References

Supplementary files