# Abstract

This article is concerned with the solving of multiple interpolation de La Vallée Poussin problem for generalized convolution operator. Particular ate tention is paid to the proving of the sequential sufficiency of the set of solutions of the generalized convolution operator characteristic equation. In the generalized Bargmann-Fock space the adjoint operator of multiplication by the variable $z$ is the generalized differential operator. Using this operator we introduce the generalized shift and generalized convolution operators. Applying the chain of equivalent assertions we obtain the fact that the multiple interpolation de La Vallée Poussin problem is solvable if and only if the composition of generalized convolution operator with multiplication by the ﬁxed entire function $\psi(z)$ is surjective. Zeros of the function $\psi(z)$ are the nodes of interpolation. The surjectivity of composition of the generalized convolution operator with the multiplication comes down to the proof of the sequential sufficiency of the set of zeros of a generalized convolution operator characteristic function in the set of solutions of the generalized convolution operator with the characteristic function $\psi(z)$. In the proof of the sequential sufficiency it became necessary to consider the relation of eigenfunctions for different values of $\mu_i$. The eigenfunction with great value of µi tends to inﬁnity faster than eigenfunction with a lower value for $z$ tends to inﬁnity.The derivative of the eigenfunction of higher order tends to inﬁnity faster than lower-order derivatives with the same values of $\mu_i$. A signiﬁcant role is played by the fact that the kernel of the generalized convolution operator with characteristic function $\psi(z)$ is a ﬁnite sum of its eigenfunction and its derivatives. Using the Fischer representation, Dieudonne-Schwartz theorem and Michael's theorem on the existence of a continuous right inverse we obtain that if the zeros of the characteristic function of a generalized convolution operator are located on the positive real axis in order of increasing then multiple interpolation de La Vallée Poussin problem is solvable in the interpolation nodes.

# Full Text

Введение. Многоточечная задача Валле Пуссена [2] - задача отыскания решения обыкновенного дифференциального уравнения n-ного порядка y (n) = f (x, y, y , . . . , y (n-1) ), x ∈ [a, b], которое в заданных точках принимает заданные значения y(xi ) = ci , i = 1, 2, . . . , n; xi ∈ [a, b]. Считается, что узлы интерполяции занумерованы в порядке возрастания: x1 < x2 < . . . < xn . Задача Валле Пуссена (ее также называют многоточечной краевой задачей) для обыкновенных дифференциальных уравнений для конечного числа нулей интенсивно изучалась, например, Ш.-Ж. Валле Пуссеном, Дж. Сансоне, Ю. В. Покорным, А. Ю. Левиным, Е. С. Чичкиным, И. Т. Кигурадзе, В. Я. Дерр и другими [2, 4-11]. Многоточечная задача Валле Пуссена для оператора свертки в случае бесконечного числа узлов интерполяции рассмотрена в работах В. В. Напалкова и его учеников: А. А. Нуятова, К. Р. Зименс, С. Г. Мерзлякова, С. В. Попенова [12-19]. В данной статье рассматривается оператор обобщенной свертки, порожденный оператором обобщенного дифференцирования, который существенно отличается от классического оператора дифференцирования [14, 15, 19]. Пусть H(C) - пространство целых функций с топологией равномерной сходимости на компактах, H ∗ (C) - пространство линейных непрерывных функционалов. В работе [12] рассматривалось обобщенное пространство Баргмана-Фока Fα,β = f ∈ H(C) : f 2 = α2/β 2 2 πβΓ β β |f (z)|2 e-α|z| dµ < ∞ , C где dµ - мера Лебега на плоскости, а β > 0 характеризует порядок функций этого пространства, α > 0 - тип. Главную роль при доказательстве основного результата сыграло введение оператора свертки в пространстве целых функций произвольного положительного порядка β и конечного типа. В работе [12] мы ввели оператор обобщенного сдвига следующим образом: для любой целой функции f (z) ∈ H(C) оператором обобщенного сдвига по t 64 Кратная интерполяционная задача Валле Пуссена называется оператор ∞ St f (z) = f (z) + n=1 Dn f (z) tn . m1 m2 . . . mn Рассмотрим в пространстве H(C) оператор обобщенной свертки [12, c. 206], порожденный функционалом F , с характеристической функцией F (z) = ϕ(z): Mϕ [f ](z) = (Ft , St f (z)), где f ∈ H(C), F , S ∈ H ∗ (C). В работе [12] рассматривался оператор обобщенной свертки, и задача Валле Пуссена была решена для случая простых нулей характеристической функции оператора. Рассмотрим кратную интерполяционную задачу. Пусть задана целая функция ψ(z) с нулями {µi }∞ на положительной оси, пронумерованныi=1 ми в порядке возрастания с соответствующими кратностями ni . Рассмотрим произвольную последовательность комплексных чисел aj , i = 1, 2, . . .; i j = 0, 1, . . . , ni - 1. Задача Валле Пуссена для оператора обобщенной свертки ставится следующим образом: найти решение уравнения Mϕ [f ](z) = 0 такое, что f (j) (µi ) = aj , i i = 1, 2, . . . , j = 0, 1, 2, . . . , ni - 1. 1. Решение задачи Валле Пуссена. Введем множество Pβ = ϕ(λ) ∈ H(C) : |ϕ(λ)| B1 (ϕ)eB2 (ϕ)|λ| β/2 , B1 (ϕ), B2 (ϕ) = const < ∞ зависят от ϕ - для каждого ϕ свои константы. Рассмотрим нормированные весовые пространства Bn = f (z) ∈ Pβ : f n = sup |f (z)|e-n|z| β/2 <∞ , n ∈ N. z∈C Очевидно, что Pβ = Bn . n∈N Введем в пространстве Pβ топологию индуктивного предела (см. [20, c. 402; 21, c. 424]) Pβ = lim ind Bn . n→∞ Отметим важное свойство этой топологии: счетная последовательность функций fm (z), m = 1, 2, . . . , из Pβ стремится к нулю при m → ∞ в топологии 65 Н а п а л к о в В. В., М у л л а б а е в а А. У. пространства Pβ тогда и только тогда, когда найдутся числа σ > 0 и M > 0 такие, что |fm (z)| M eσ|z| β/2 , ∀m ∈ N, ∀z ∈ C, и для любого компакта KC fm (z) 0, m → ∞ на KC . Здесь Pβ - пространство целых функций порядка не выше β/2, β > 0 и конечного типа [12, 13]. Определение 1 [22]. Пара функций (ϕ(z), ψ(z)) называется парой Фишера, если пространство H(C) можно представить в виде H(C) = ker Mϕ ⊕ ψ · H(C). (1) В этом случае равенство (1) называется разложением Фишера. Если H(C) представимо в виде H(C) = ker Mϕ + ψ · H(C), (2) то равенство (2) называется представлением Фишера. В этом случае любая целая функция представима в виде f (z) = f1 (z) + f2 (z), f1 (z) ∈ ker Mϕ , f2 (z) ∈ ψ · H(C), вообще говоря, не единственным образом. Пусть последовательность Nϕ = {λk }∞ нулей функции ϕ(z) ∈ Pβ полоk=1 жительна и пронумерована в порядке возрастания: λk < λk+1 . Пусть последовательность Nψ = {µi }∞ нулей функции ψ(z) ∈ H(C) поi=1 ложительна и пронумерована в порядке возрастания: µi < µi+1 . Предполагаем, что µi - корень кратности ni . Отметим, что равенство (2) позволяет решать многоточечную задачу Валле Пуссена в классе ker Mϕ , а именно верна следующая теорема. Теорема 1. Следующие утверждения эквивалентны: 1. Многоточечная задача Валле Пуссена для Mϕ с данными на Nψ разрешима. 2. Имеет место представление Фишера. Д о к а з а т е л ь с т в о аналогично [19, c. 166]. Наряду с оператором Mϕ [f ](z) введем линейный и непрерывный оператор H(C) → H(C). Mϕ [ψ(z)y(z)] : (3) Лемма 1 [6, Лемма 5]. Равенство (2) эквивалентно сюръективности оператора (3). Рассмотрим линейный непрерывный оператор обобщенной свертки Kψ [l]: Pβ → Pβ с характеристической функцией ψ(z), действующий по правилу Kψ [ϕ](z) = 66 1 2πi ψ(ξ)y(zξ)gF (ξ)dξ, C (4) Кратная интерполяционная задача Валле Пуссена где gF (ξ) - функция, ассоциированная по Борелю с ϕ(z), C - замкнутый контур, охватывающий все особые точки gF (ξ). Пусть E = ker Kψ [l] - конечная линейная комбинация собственных функций и ее производных [13, теорема 2]. Как отмечалось выше, оператор Mϕ [ψ·] линейно и непрерывно действует ∗ из пространства H(C) в H(C), тогда сопряженный оператор Mϕ [ψ·] действует ∗ (C) в H ∗ (C) линейно и непрерывно. Поскольку пространства H ∗ (C) и из H ∗ Pβ топологически изоморфны [12], то оператор Mϕ [ψ·] порождает линейный ∗ и непрерывный оператор Mϕ [ψ·]: Pβ → Pβ . Нетрудно видеть, что оператор ∗ Mϕ [ψ·] действует по правилу: ∗ если G(z) ∈ Pβ , то Mϕ [ψ · G](λ) = Kψ [ϕ(z)G(z)](λ), где Kψ - оператор вида (4). Информацию об операторе Mϕ [ψ·] можно найти в работах [19, c. 166; 23]. Так как H(C) - пространство Фреше, то в силу теоремы Дьедонне-Шварца [24] получаем следующий результат. Теорема 2. Справедливы следующие утверждения: 1. Замкнутость im Mϕ [ψ·] в H(C) эквивалентна замкнутости im Kψ [ϕ·] в Pβ . 2. Инъективность Kψ [ϕ·] эквивалентна всюду плотности образа оператора Mϕ [ψ·] в H(C). Введем понятие секвенциальной достаточности множества L ⊂ C в некотором подпространстве Q пространства Pβ с индуцированной из Pβ топологией. Определение 2. Будем говорить, что L - секвенциально достаточное множество в Q, если из выполнения следующих условий: 1) для любой последовательности функций qk (z) ∈ Q найдутся числа σ > 0 и M > 0 такие, что β |qk (z)| M eσ|z| 2 , ∀k ∈ N, ∀z ∈ L; 2) для любого компакта KL ⊂ L: qk (z) 0, k → ∞ на KL вытекает сходимость этой последовательности на пространстве Q. Теорема 3. Если Nϕ - секвенциально достаточное множество в пространстве E, то оператор Kψ [ϕ·] инъективен и im Kψ [ϕ·] замкнут в Pβ . Д о к а з а т е л ь с т в о такое же, как и в [19]. Из приведенных выше теорем лемм, получаем следующий результат. Теорема 4. Пусть ϕ ∈ Pβ - характеристическая функция оператора Mϕ , ψ ∈ H(C) и Nϕ является секвенциально достаточным множеством в E, тогда разрешима многоточечная задача Валле Пуссена для Mϕ с данными на Nψ . Покажем, что справедливо условие секвенциальной достаточности. 2. Вспомогательные леммы. При доказательстве того, что множество Nϕ - секвенциально достаточное, нам понадобятся следующие леммы. 67 Н а п а л к о в В. В., М у л л а б а е в а А. У. Лемма 2. Предел отношения производных собственных функций оператора обобщенного дифференцирования вдоль вещественной оси равен y (r) (µx) = 0 при r < n. x→∞ y (n) (µx) lim Д о к а з а т е л ь с т в о. Для любого сколь угодно малого ε > 0 существует число L(ε), начиная с которого µn-r < ε. (l - r + 1) . . . (l - n + 2) Рассмотрим отношение y (r) (µx)/y (n) (µx). Разложение в ряд n-ной производной имеет вид: ∞ (n) yµ (µx) = xn k=n k(k - 1) . . . (k - n + 1) (µx)k-n . m1 m2 . . . mk Зафиксируем некоторое целое число l > L(ε) и выделим из числителя и знаменателя многочлены (l - 1)-й степени: Ql-1 (µx) + y (r) (µx) = y (n) (µx) Pl-1 (µx) + ∞ k(k-1)...(k-r+1) k-r k µ x k=l m1 m2 ...mk . ∞ k(k-1)...(k-n+1) k-n k µ x k=l m1 m2 ...mk Обозначим для краткости записи через Σ1 ряд в числителе и через Σ2 - ряд в знаменателе. Для любого ε существует число X1 (ε) такое, что при x > X1 (ε) выполняется оценка Ql-1 < ε, Pl-1 + Σ2 и число X2 (ε) такое, что при x > X2 (ε) верно следующее неравенство: Pl-1 < ε. Σ1 Возьмем в качестве X(ε) = max{X1 (ε), X2 (ε)}; для x > X(ε) последнее выражение имеет оценку y (r) (µx) y (n) (µx) ε+ Σ1 Pl (µx) + Σ2 ε+ 1 Σ1 <ε+ . ε + Σ2 /Σ1 Σ2 Рассмотрим отношение рядов. Вынесем множители при первом слагаемом из числителя и знаменателя: y (r) (µx) µn-r <ε+ · (l - r) . . . (l - n + 1) y (n) (µx) 68 ∞ k(k-1)...(k-r+1) µ k xk k=l l(l-1)...(l-r+1) m1 m2 ...mk ∞ k(k-1)...(k-n+1) µ k xk k=l l(l-1)...(l-n+1) m1 m2 ...mk . Кратная интерполяционная задача Валле Пуссена Сравним коэффициенты при одинаковых степенях x: a1 k = a2 k k(k-1)...(k-r+1) 1 l(l-1)...(l-r+1) k(k-1)...(k-r+1) (k-r)...(k-n+1) l(l-1)...(l-r+1) (l-r)...(l-n+1) = (l - r) (l - n + 1) ... . (k - r) (k - n + 1) Поскольку k l, получаем, что a1 /a2 < 1 и сумма ряда в числителе k k меньше, чем в знаменателе. Заменим ряд в числителе рядом в знаменателе, тогда y (r) (µx) µn-r <ε+ < 2ε. (l - r) . . . (l - n + 1) y (n) (µx) Поскольку ε выбирается произвольным образом, при X(ε) → ∞ последнее отношение y (r) (µx)/y (n) (µx) → 0. Таким образом, лемма доказана. Лемма 3. Предел отношения производных собственных функций оператора обобщенного дифференцирования с различными µk вдоль вещественной оси y (r) (µk x) = 0, µk < µk+1 , ∀r, s. lim (s) x→∞ y (µk+1 x) Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим сначала отношение производной к собственной функции при различных µk . Аналогично лемме 2, для любого сколь угодно малого ε > 0 существует число L(ε), начиная с которого µk µk+1 l-r l(l - 1) . . . (l - r + 1) < ε. (µk+1 )r Зафиксируем некоторое целое число l > L(ε) и выделим из числителя и знаменателя многочлены (l - 1)-й степени: i-r Ql-1 (µk x) + ∞ i(i-1)...(i-r+1) µk xi y (r) (µk x) i=l m1 m2 ...mi = . (µk+1 x)i y(µk+1 x) Pl-1 (µk+1 x) + ∞ (5) i=l m1 m2 ...mi Обозначим для краткости записи через Σ1 ряд в числителе и через Σ2 - ряд в знаменателе. Для любого ε существует число X1 (ε) такое, что при x > X1 (ε) выполняется оценка Ql-1 < ε, Pl-1 + Σ2 и число X2 (ε) такое, что при x > X2 (ε) верно следующее неравенство: Pl-1 < ε. Σ1 Возьмем в качестве X(ε) = max{X1 (ε), X2 (ε)}; для x > X(ε) последнее выражение имеет оценку y (r) (µx) Σ1 <ε+ . (n) (µx) Σ2 y 69 Н а п а л к о в В. В., М у л л а б а е в а А. У. Вынесем общий множитель в числителе и в знаменателе, получим µN xN (l+N )...(l+N -r+1) ∞ k N =0 m1 m2 ...ml+N l...(l-r+1) (µk+1 x)N ∞ N =0 m1 m2 ...ml+N l . . . (l - r + 1)µl-r xl y (r) (µk x) k <ε+ · y(µk+1 x) (µk+1 x)l . Для того чтобы можно было сравнить эти два ряда, каждый член ряда числителя умножим и поделим на µk+1 . Рассмотрим общий член ряда в числителе: u1 = N xN µN µk k+1 m1 m2 . . . ml+N µk+1 N 1+ N l 1+ N N ... 1 + , l-1 l-r+1 N = 0, 1, 2, . . . . Найдем максимальный член ряда и оценим им ряд в числителе. Обозначим µk /µk+1 = η, η < 1, тогда q(N ) = η N 1 + N l 1+ N N ... 1 + . l-1 l-r+1 Для q(N ) может быть получена следующая оценка сверху: q(N ) < η N 1 + ϑ (N ) = (η)N 1 + N l-r+1 N l-r+1 r r ln η + = ϑ(N ), r = 0. l+N -r+1 Откуда находим, что максимум достигается при N = -(l-r +1+r/ln η). Обозначим наибольшее значение функции ϑ(N ) через T . Следовательно, q(N ) < T . С учетом последней оценки сумма ряда в числителе равна сумме ряда в знаменателе. Отношение (5) имеет оценку y (r) (µk x) µk <ε+ y(µk+1 x) µk+1 l-r l(l - 1) . . . (l - r + 1) T. (µk+1 )r При l > L(ε) получаем y (r) (µk x) < 2ε. y(µk+1 x) Итак, поскольку ε выбирается произвольным образом, при x > X(ε) отношение собственной функции к любой производной собственной функции с большим значением µk будет сколь угодно малой величиной. Согласно лемме 2, отношение y(µk+1 x) → 0 при x → ∞, y (s) (µk+1 x) откуда легко установить справедливость данной леммы. 70 Кратная интерполяционная задача Валле Пуссена 3. Nϕ - множество единственности и секвенциальной достаточности. Теорема 5. Nϕ - секвенциально достаточное множество в E. Д о к а з а т е л ь с т в о. Покажем, что если последовательность rn (z) ∈ E стремится к нулю на любом компакте K из множества Nϕ , то эта последовательность стремится к нулю на любом компакте QC в C. Учитывая дискретность множества Nϕ , условие сходимости к нулю на любом компакте K множества Nϕ можно записать следующим образом: последовательность функций из E rn (z) → 0 при n → ∞ на любом компакте K множества Nϕ тогда и только тогда, когда найдутся числа σ > 0 и M > 0 такие, что β/2 ∀n ∈ N, ∀k ∈ Z, |rn (λk )| M eσλk rn (λk ) → 0, n → ∞ на компакте K. (6) (7) В работе [12, стр. 208] было показано, что любой элемент r(z) ∈ E записывается в виде Q ni -1 cij z j y (j) (µi z), r(z) = i=1 j=0 где µi - нули кратности ni характеристической функции ψ(z) оператора Kψ [l], и лишь конечное число коэффициентов cij отлично от нуля. Итак, пусть последовательность Qn ni -1 cn z j y (j) (µi z) ij rn (z) = (8) i=1 j=0 стремится к нулю на каждом компакте K из множества Nϕ . Нам нужно показать, что rn → 0 равномерно на любом компакте QC из плоскости C. 1. В представлении (8) участвует конечное число слагаемых. В силу оценки (6) число членов в каждой последовательности rn ограничено. В представлении (8) слагаемые расположены в порядке возрастания, согласно доказанным выше леммам 2 и 3. Пусть последний член, который удовлетворяет оценке (6), - это собственная функция или ее производная с числом µk . Следующий член со значением µk+1 превышает оценку (6), и поэтому включим его в представление (8) с нулевым коэффициентом. Таким образом, если в представление (8), удовлетворяющей оценке (6), вошли слагаемые с показателями µ1 , µ2 , . . ., µk , µk+1 с кратностями соответственно n1 , n2 , . . ., nk , 1, то количество членов не больше числа n1 + n2 + . . . + nk + 1. 2. Докажем дальше, что если последовательность rn (z) стремится к нулю на любом компакте K из множества Nϕ , то коэффициенты cn стремятся ij к нулю при n → ∞. Мы показали, что в представлении (8) участвуют лишь те y (j) (µi z) с отличными от нуля коэффициентами с показателями µi , которые удовлетворяют оценке (6). После перенумеровывания можно считать, что для некоторого t tn ni -1 cn z j y (j) (µi z) + 0 · y(µk+1 z), ij rn (z) = n = 1, 2, . . . . (9) i=1 j=0 71 Н а п а л к о в В. В., М у л л а б а е в а А. У. Если набор из p нулей λkl выбрать так, что определитель матрицы A = λj l y (j) (µi λkl ) k i,l , l = 1, 2, . . . , p, i = 1, 2, . . . , k, j = 0, 1, . . . , ni - 1 отличен от нуля, то коэффициенты cn являются решениями системы уравij нений tn ni -1 cn λj l y (j) (µi λkl ) + 0 · y(µk+1 λkl ) = rn (λkl ), ij k l = 1, 2, . . . , p. i=1 j=0 Построение определителя происходит по той же схеме, что и в работе [12, теорема 5]. Напомним, что λk - это последовательность нулей функции ϕ(z), расположенных на вещественной положительной оси в порядке возрастания. Согласно лемме 2, λkl можно выбрать таким образом, что y (r) (µλkl ) <ε y (n) (µλkl ) при r < n (в лемме 2 в качестве x нужно взять λkl ). Для доказательства секвенциальной достаточности множества Nϕ выбираем подпоследовательность λkj ∈ R+ и, следовательно, главные миноры ∆t = λj l y (j) (µ1 λkl ) k i,l , i, l = 1, 2, . . . , n1 - 1 отличны от нуля. Для упрощения записи опустим пока µ1 . В главном миноре второго порядка y(λk1 ) λk1 y (λk1 ) ∆2 = y(λk2 ) λk2 y (λk2 ) λk2 может быть выбран настолько большим, что ∆2 = λk2 y (λk2 ) y(λk1 ) - y(λk2 ) λk y (λk1 ) > 0. λk2 y (λk2 ) 1 Аналогичным образом доказывается, что ∆3 > 0, . . ., ∆t > 0. Для этого разложим определитель ∆t , где t n1 - 1, по последней строке: y(λk1 ) . . . λt-2 y (t-2) (λk1 ) k1 ... ... ... ∆t = λt-1 y (t-1) (λkt ) + ...+ kt t-2 y(λkt-1 ) . . . λkt-1 y (t-2) (λkt-1 ) + t-1 (-1)t+1 λk1 y (t-1) (λk1 ) y(λk2 ) . . . λt-2 y (t-2) (λk2 ) k2 ... ... ... . t-2 (t-2) y(λkt ) . . . λkt y (λkt ) Поскольку ∆t-1 > 0, первое слагаемое в разложении определителя ∆t отлично от нуля, при этом, выбирая λkt большим, можно достичь того, что ∆t будет больше нуля. 72 Кратная интерполяционная задача Валле Пуссена Построение определителя для остальных µi , удовлетворяющих оценке (6), происходит по той же схеме. В главном миноре второго порядка ∆2 = y(µ1 λk2 ) y(µ1 λk1 ) y(µ2 λk1 ) = y(µ2 λk2 ) y(µ1 λk1 ) - y(µ2 λk1 ) , y(µ1 λk2 ) y(µ2 λk2 ) y(µ2 λk2 ) согласно [13, лемма 1], λk2 можно выбирать таким образом, чтобы ∆2 > 0. Построение определителя завершается выбором λkp , при котором следующий определитель отличен от нуля: y(µ1 λk1 ) y(µ1 λk2 ) ∆p = y(µ1 λk3 ) ... y(µ1 λkp ) ... ... ... ... ... 1 λn1 -1 y (n1 -1) (µ1 λk1 ) k 1 λn2 -1 y (n1 -1) (µ1 λk2 ) k n1 -1 (n1 -1) λk3 y (µ1 λk3 ) ... 1 λnp -1 y (n1 -1) (µ1 λkp ) k ... ... ... ... ... y(µk+1 λk1 ) y(µk+1 λk2 ) y(µk+1 λk3 ) , ... y(µk+1 λkp ) где n1 + n2 + . . . + nk + 1 = p. По лемме 3, выбирая λkp очень большим, можно достичь того, что ∆p будет больше нуля. По правилу Крамера ∆i , cn = ij ∆p где ∆i - определитель матрицы, полученной из ∆p заменой i-того столбца столбцом свободных членов. Согласно условию (7), при n → ∞ столбец свободных членов стремится к нулю, а следовательно, и все ∆i → 0 при n → ∞. Тем самым получаем, что cn → 0 при n → ∞. ij Мы доказали, что cn → 0 при любом i. Поэтому для любого компакта QC ij функция z j y (j) (µi z) ограничена на этом компакте, коэффициенты стремятся к нулю, тогда и вся линейная комбинация (9) стремится к нулю при n → ∞. Из этого следует, что rn (z) → 0 в для всех точек z ∈ QC . Таким образом, Nϕ является секвенциально достаточным множеством в E. Теорема доказана. Из этой теоремы вытекает следующий результат: множество Nϕ - множество единственности в E.

### Valentin V Napalkov

Institute of Mathematics with Computing Centre, Ufa Science Centre, Russian Academy of Sciences

Email: shaig@anrb.ru
112, Chernyshevskiy st., Ufa, 450077, Russian Federation
(Dr. Phys. & Math. Sci., Corresponding member of RAS; shaig@anrb.ru), Director of Institute

### Aigul U Mullabaeva

Bashkir State University

Email: mullabaeva.87@mail.ru
32, Zaki Validi st., Ufa, 450074, Russian Federation
Postgraduate Student, Dept. of Theory of Functions and Functional Analysis

# References

1. Муллабаева А. У., Напалков В. В. Кратная интерполяционная задача Валле Пуссена / Четвертая международная конференция «Математическая физика и ее приложения»: материалы конф.; ред. чл.-корр. РАН И. В. Волович; д.ф.-м.н., проф. В. П. Радченко. Самара: СамГТУ, 2014. С. 259-260.
2. de La Vallée Poussin Ch. J. Sur l'equation differentielle lineaire du second ordre. Deteremination d'une integrale par deux valeurs assignees. Extension aux equation d'ordre n // J. Math. pures et appl., 1929. vol. 8, no. 2. pp. 125-144 (In French).
3. Сансоне Дж. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Ин. лит., 1953. 345 с.
4. Покорный Ю. В. О нулях функции Грина задачи Валле Пуссена // Матем. сб., 2008. Т. 199, № 6. С. 105-136. doi: 10.4213/sm3860.
5. Кигурадзе И. Т. Об условиях неосцилляционности сингулярных линейных дифференциальных уравнений второго порядка // Матем. заметки, 1969. Т. 6, № 5. С. 633-639.
6. Чичкин Е. С. К вопросу о неосцилляции для линейных уравнений четвертого порядка // Изв. вузов. Матем., 1958. № 3. С. 248-250.
7. Чичкин Е. С. О неосцилляции решений нелинейных дифференциальных уравнений 3го и 4-го порядков // Изв. вузов. Матем., 1959. № 5. С. 219-221.
8. Левин А. Ю. Неосцилляция решений уравнения x(n) + p1 (t)x(n-1) + · · · + pn (t)x = 0 // УМН, 1969. Т. 24, № 2(146). С. 43-96.
9. Покорный Ю. В. О неклассической задаче Валле-Пуссена // Диффер. уравн., 1978. Т. 14, № 6. С. 1018-1027.
10. Дерр В. Я. К обобщенной задаче Валле-Пуссена // Диффер. уравн., 1987. Т. 23, № 11. С. 1861-1872.
11. Дерр В. Я Неосцилляция решений линейного квазидифференциального уравнения // Известия института математики и информатики Удмуртского государственного университета, 1999. № 1(16). С. 3-105.
12. Напалков В. В., Муллабаева А. У. Об одном классе дифференциальных операторов и их применении / Тр. ИММ УрО РАН, Т. 20, 2014. С. 201-214.
13. Напалков В. В., Муллабаева А. У. Интерполяционная задача в ядре оператора, порожденного обобщеными пространствами Баргмана-Фока // ДАН, 2014. Т. 454, № 2. С. 149-151.
14. Напалков В. В., Попенов С. В. Голоморфная задача Коши для оператора свертки в аналитически равномерных пространствах и разложения Фишера // ДАН, 2001. Т. 2, № 381. С. 164-166.
15. Напалков В. В., Нуятов А. А. Многоточечная задача Валле Пуссена для операторов свертки // Матем. сб., 2012. Т. 203, № 2. С. 77-86. doi: 10.4213/sm7763.
16. Напалков В. В., Забирова К. Р. Операторы свертки Данкла и их свойства // ДАН, 2013. Т. 449, № 6. С. 632-634.
17. Забирова К. Р., Напалков В. В. Операторы свёртки Данкла и многоточечная задача Валле-Пуссена // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2013. № 1(30). С. 70-81. doi: 10.14498/vsgtu1139.
18. Мерзляков С. Г., Попенов С. В. Кратная интерполяция рядами экспонент в H(C) с узлами на вещественной оси // Уфимск. матем. журн., 2013. Т. 5, № 3. С. 130-143.
19. Напалков В. В. Комплексный анализ и задача Коши для операторов свертки / Аналитические и геометрические вопросы комплексного анализа: Сборник статей. К 70-летию со дня рождения академика Анатолия Георгиевича Витушкина / Тр. МИАН, Т. 235. М.: Наука, 2001. С. 165-168.
20. Канторович Л. В., Акилов Г. П. Функциональный анализ в нормированых пространствах. М.: Физматгиз, 1959. 684 с.
21. Ткаченко В. А. Спектральная теория в пространствах аналитических функционалов для операторов, порождаемых умножением на независимую переменную // Матем. сб., 1980. Т. 112(154), № 3(7). С. 421-466.
22. Shapiro H. S. An Algebraic Theorem of E. Fischer, and the Holomorphic Goursat Problem // Bull. London Math. Soc., 1989. vol. 21, no. 6. pp. 513-537. doi: 10.1112/blms/21.6.513.
23. Meril A., Struppa D. C. Equivalence of Cauchy Problems for Entire and Exponential Type Functions // Bull. London Math. Soc., 1985. vol. 17, no. 5. pp. 469-473. doi: 10.1112/blms/17.5.469.
24. Dieudonné J., Schwartz L. La dualité dans les espaces (F ) et (L F ) // Ann. Inst. Fourier Grenoble, 1949. vol. 1. pp. 61-101 (In French).

# Statistics

#### Views

Abstract - 30

PDF (Russian) - 13

### Refbacks

• There are currently no refbacks.

Copyright (c) 2015 Samara State Technical University