The multiple interpolation de la Vallée Poussin problem

Full Text

Введение. Многоточечная задача Валле Пуссена [2] - задача отыскания решения обыкновенного дифференциального уравнения n-ного порядка y (n) = f (x, y, y , . . . , y (n-1) ), x ∈ [a, b], которое в заданных точках принимает заданные значения y(xi ) = ci , i = 1, 2, . . . , n; xi ∈ [a, b]. Считается, что узлы интерполяции занумерованы в порядке возрастания: x1 < x2 < . . . < xn . Задача Валле Пуссена (ее также называют многоточечной краевой задачей) для обыкновенных дифференциальных уравнений для конечного числа нулей интенсивно изучалась, например, Ш.-Ж. Валле Пуссеном, Дж. Сансоне, Ю. В. Покорным, А. Ю. Левиным, Е. С. Чичкиным, И. Т. Кигурадзе, В. Я. Дерр и другими [2, 4-11]. Многоточечная задача Валле Пуссена для оператора свертки в случае бесконечного числа узлов интерполяции рассмотрена в работах В. В. Напалкова и его учеников: А. А. Нуятова, К. Р. Зименс, С. Г. Мерзлякова, С. В. Попенова [12-19]. В данной статье рассматривается оператор обобщенной свертки, порожденный оператором обобщенного дифференцирования, который существенно отличается от классического оператора дифференцирования [14, 15, 19]. Пусть H(C) - пространство целых функций с топологией равномерной сходимости на компактах, H ∗ (C) - пространство линейных непрерывных функционалов. В работе [12] рассматривалось обобщенное пространство Баргмана-Фока Fα,β = f ∈ H(C) : f 2 = α2/β 2 2 πβΓ β β |f (z)|2 e-α|z| dµ < ∞ , C где dµ - мера Лебега на плоскости, а β > 0 характеризует порядок функций этого пространства, α > 0 - тип. Главную роль при доказательстве основного результата сыграло введение оператора свертки в пространстве целых функций произвольного положительного порядка β и конечного типа. В работе [12] мы ввели оператор обобщенного сдвига следующим образом: для любой целой функции f (z) ∈ H(C) оператором обобщенного сдвига по t 64 Кратная интерполяционная задача Валле Пуссена называется оператор ∞ St f (z) = f (z) + n=1 Dn f (z) tn . m1 m2 . . . mn Рассмотрим в пространстве H(C) оператор обобщенной свертки [12, c. 206], порожденный функционалом F , с характеристической функцией F (z) = ϕ(z): Mϕ [f ](z) = (Ft , St f (z)), где f ∈ H(C), F , S ∈ H ∗ (C). В работе [12] рассматривался оператор обобщенной свертки, и задача Валле Пуссена была решена для случая простых нулей характеристической функции оператора. Рассмотрим кратную интерполяционную задачу. Пусть задана целая функция ψ(z) с нулями {µi }∞ на положительной оси, пронумерованныi=1 ми в порядке возрастания с соответствующими кратностями ni . Рассмотрим произвольную последовательность комплексных чисел aj , i = 1, 2, . . .; i j = 0, 1, . . . , ni - 1. Задача Валле Пуссена для оператора обобщенной свертки ставится следующим образом: найти решение уравнения Mϕ [f ](z) = 0 такое, что f (j) (µi ) = aj , i i = 1, 2, . . . , j = 0, 1, 2, . . . , ni - 1. 1. Решение задачи Валле Пуссена. Введем множество Pβ = ϕ(λ) ∈ H(C) : |ϕ(λ)| B1 (ϕ)eB2 (ϕ)|λ| β/2 , B1 (ϕ), B2 (ϕ) = const < ∞ зависят от ϕ - для каждого ϕ свои константы. Рассмотрим нормированные весовые пространства Bn = f (z) ∈ Pβ : f n = sup |f (z)|e-n|z| β/2 <∞ , n ∈ N. z∈C Очевидно, что Pβ = Bn . n∈N Введем в пространстве Pβ топологию индуктивного предела (см. [20, c. 402; 21, c. 424]) Pβ = lim ind Bn . n→∞ Отметим важное свойство этой топологии: счетная последовательность функций fm (z), m = 1, 2, . . . , из Pβ стремится к нулю при m → ∞ в топологии 65 Н а п а л к о в В. В., М у л л а б а е в а А. У. пространства Pβ тогда и только тогда, когда найдутся числа σ > 0 и M > 0 такие, что |fm (z)| M eσ|z| β/2 , ∀m ∈ N, ∀z ∈ C, и для любого компакта KC fm (z) 0, m → ∞ на KC . Здесь Pβ - пространство целых функций порядка не выше β/2, β > 0 и конечного типа [12, 13]. Определение 1 [22]. Пара функций (ϕ(z), ψ(z)) называется парой Фишера, если пространство H(C) можно представить в виде H(C) = ker Mϕ ⊕ ψ · H(C). (1) В этом случае равенство (1) называется разложением Фишера. Если H(C) представимо в виде H(C) = ker Mϕ + ψ · H(C), (2) то равенство (2) называется представлением Фишера. В этом случае любая целая функция представима в виде f (z) = f1 (z) + f2 (z), f1 (z) ∈ ker Mϕ , f2 (z) ∈ ψ · H(C), вообще говоря, не единственным образом. Пусть последовательность Nϕ = {λk }∞ нулей функции ϕ(z) ∈ Pβ полоk=1 жительна и пронумерована в порядке возрастания: λk < λk+1 . Пусть последовательность Nψ = {µi }∞ нулей функции ψ(z) ∈ H(C) поi=1 ложительна и пронумерована в порядке возрастания: µi < µi+1 . Предполагаем, что µi - корень кратности ni . Отметим, что равенство (2) позволяет решать многоточечную задачу Валле Пуссена в классе ker Mϕ , а именно верна следующая теорема. Теорема 1. Следующие утверждения эквивалентны: 1. Многоточечная задача Валле Пуссена для Mϕ с данными на Nψ разрешима. 2. Имеет место представление Фишера. Д о к а з а т е л ь с т в о аналогично [19, c. 166]. Наряду с оператором Mϕ [f ](z) введем линейный и непрерывный оператор H(C) → H(C). Mϕ [ψ(z)y(z)] : (3) Лемма 1 [6, Лемма 5]. Равенство (2) эквивалентно сюръективности оператора (3). Рассмотрим линейный непрерывный оператор обобщенной свертки Kψ [l]: Pβ → Pβ с характеристической функцией ψ(z), действующий по правилу Kψ [ϕ](z) = 66 1 2πi ψ(ξ)y(zξ)gF (ξ)dξ, C (4) Кратная интерполяционная задача Валле Пуссена где gF (ξ) - функция, ассоциированная по Борелю с ϕ(z), C - замкнутый контур, охватывающий все особые точки gF (ξ). Пусть E = ker Kψ [l] - конечная линейная комбинация собственных функций и ее производных [13, теорема 2]. Как отмечалось выше, оператор Mϕ [ψ·] линейно и непрерывно действует ∗ из пространства H(C) в H(C), тогда сопряженный оператор Mϕ [ψ·] действует ∗ (C) в H ∗ (C) линейно и непрерывно. Поскольку пространства H ∗ (C) и из H ∗ Pβ топологически изоморфны [12], то оператор Mϕ [ψ·] порождает линейный ∗ и непрерывный оператор Mϕ [ψ·]: Pβ → Pβ . Нетрудно видеть, что оператор ∗ Mϕ [ψ·] действует по правилу: ∗ если G(z) ∈ Pβ , то Mϕ [ψ · G](λ) = Kψ [ϕ(z)G(z)](λ), где Kψ - оператор вида (4). Информацию об операторе Mϕ [ψ·] можно найти в работах [19, c. 166; 23]. Так как H(C) - пространство Фреше, то в силу теоремы Дьедонне-Шварца [24] получаем следующий результат. Теорема 2. Справедливы следующие утверждения: 1. Замкнутость im Mϕ [ψ·] в H(C) эквивалентна замкнутости im Kψ [ϕ·] в Pβ . 2. Инъективность Kψ [ϕ·] эквивалентна всюду плотности образа оператора Mϕ [ψ·] в H(C). Введем понятие секвенциальной достаточности множества L ⊂ C в некотором подпространстве Q пространства Pβ с индуцированной из Pβ топологией. Определение 2. Будем говорить, что L - секвенциально достаточное множество в Q, если из выполнения следующих условий: 1) для любой последовательности функций qk (z) ∈ Q найдутся числа σ > 0 и M > 0 такие, что β |qk (z)| M eσ|z| 2 , ∀k ∈ N, ∀z ∈ L; 2) для любого компакта KL ⊂ L: qk (z) 0, k → ∞ на KL вытекает сходимость этой последовательности на пространстве Q. Теорема 3. Если Nϕ - секвенциально достаточное множество в пространстве E, то оператор Kψ [ϕ·] инъективен и im Kψ [ϕ·] замкнут в Pβ . Д о к а з а т е л ь с т в о такое же, как и в [19]. Из приведенных выше теорем лемм, получаем следующий результат. Теорема 4. Пусть ϕ ∈ Pβ - характеристическая функция оператора Mϕ , ψ ∈ H(C) и Nϕ является секвенциально достаточным множеством в E, тогда разрешима многоточечная задача Валле Пуссена для Mϕ с данными на Nψ . Покажем, что справедливо условие секвенциальной достаточности. 2. Вспомогательные леммы. При доказательстве того, что множество Nϕ - секвенциально достаточное, нам понадобятся следующие леммы. 67 Н а п а л к о в В. В., М у л л а б а е в а А. У. Лемма 2. Предел отношения производных собственных функций оператора обобщенного дифференцирования вдоль вещественной оси равен y (r) (µx) = 0 при r < n. x→∞ y (n) (µx) lim Д о к а з а т е л ь с т в о. Для любого сколь угодно малого ε > 0 существует число L(ε), начиная с которого µn-r < ε. (l - r + 1) . . . (l - n + 2) Рассмотрим отношение y (r) (µx)/y (n) (µx). Разложение в ряд n-ной производной имеет вид: ∞ (n) yµ (µx) = xn k=n k(k - 1) . . . (k - n + 1) (µx)k-n . m1 m2 . . . mk Зафиксируем некоторое целое число l > L(ε) и выделим из числителя и знаменателя многочлены (l - 1)-й степени: Ql-1 (µx) + y (r) (µx) = y (n) (µx) Pl-1 (µx) + ∞ k(k-1)...(k-r+1) k-r k µ x k=l m1 m2 ...mk . ∞ k(k-1)...(k-n+1) k-n k µ x k=l m1 m2 ...mk Обозначим для краткости записи через Σ1 ряд в числителе и через Σ2 - ряд в знаменателе. Для любого ε существует число X1 (ε) такое, что при x > X1 (ε) выполняется оценка Ql-1 < ε, Pl-1 + Σ2 и число X2 (ε) такое, что при x > X2 (ε) верно следующее неравенство: Pl-1 < ε. Σ1 Возьмем в качестве X(ε) = max{X1 (ε), X2 (ε)}; для x > X(ε) последнее выражение имеет оценку y (r) (µx) y (n) (µx) ε+ Σ1 Pl (µx) + Σ2 ε+ 1 Σ1 <ε+ . ε + Σ2 /Σ1 Σ2 Рассмотрим отношение рядов. Вынесем множители при первом слагаемом из числителя и знаменателя: y (r) (µx) µn-r <ε+ · (l - r) . . . (l - n + 1) y (n) (µx) 68 ∞ k(k-1)...(k-r+1) µ k xk k=l l(l-1)...(l-r+1) m1 m2 ...mk ∞ k(k-1)...(k-n+1) µ k xk k=l l(l-1)...(l-n+1) m1 m2 ...mk . Кратная интерполяционная задача Валле Пуссена Сравним коэффициенты при одинаковых степенях x: a1 k = a2 k k(k-1)...(k-r+1) 1 l(l-1)...(l-r+1) k(k-1)...(k-r+1) (k-r)...(k-n+1) l(l-1)...(l-r+1) (l-r)...(l-n+1) = (l - r) (l - n + 1) ... . (k - r) (k - n + 1) Поскольку k l, получаем, что a1 /a2 < 1 и сумма ряда в числителе k k меньше, чем в знаменателе. Заменим ряд в числителе рядом в знаменателе, тогда y (r) (µx) µn-r <ε+ < 2ε. (l - r) . . . (l - n + 1) y (n) (µx) Поскольку ε выбирается произвольным образом, при X(ε) → ∞ последнее отношение y (r) (µx)/y (n) (µx) → 0. Таким образом, лемма доказана. Лемма 3. Предел отношения производных собственных функций оператора обобщенного дифференцирования с различными µk вдоль вещественной оси y (r) (µk x) = 0, µk < µk+1 , ∀r, s. lim (s) x→∞ y (µk+1 x) Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим сначала отношение производной к собственной функции при различных µk . Аналогично лемме 2, для любого сколь угодно малого ε > 0 существует число L(ε), начиная с которого µk µk+1 l-r l(l - 1) . . . (l - r + 1) < ε. (µk+1 )r Зафиксируем некоторое целое число l > L(ε) и выделим из числителя и знаменателя многочлены (l - 1)-й степени: i-r Ql-1 (µk x) + ∞ i(i-1)...(i-r+1) µk xi y (r) (µk x) i=l m1 m2 ...mi = . (µk+1 x)i y(µk+1 x) Pl-1 (µk+1 x) + ∞ (5) i=l m1 m2 ...mi Обозначим для краткости записи через Σ1 ряд в числителе и через Σ2 - ряд в знаменателе. Для любого ε существует число X1 (ε) такое, что при x > X1 (ε) выполняется оценка Ql-1 < ε, Pl-1 + Σ2 и число X2 (ε) такое, что при x > X2 (ε) верно следующее неравенство: Pl-1 < ε. Σ1 Возьмем в качестве X(ε) = max{X1 (ε), X2 (ε)}; для x > X(ε) последнее выражение имеет оценку y (r) (µx) Σ1 <ε+ . (n) (µx) Σ2 y 69 Н а п а л к о в В. В., М у л л а б а е в а А. У. Вынесем общий множитель в числителе и в знаменателе, получим µN xN (l+N )...(l+N -r+1) ∞ k N =0 m1 m2 ...ml+N l...(l-r+1) (µk+1 x)N ∞ N =0 m1 m2 ...ml+N l . . . (l - r + 1)µl-r xl y (r) (µk x) k <ε+ · y(µk+1 x) (µk+1 x)l . Для того чтобы можно было сравнить эти два ряда, каждый член ряда числителя умножим и поделим на µk+1 . Рассмотрим общий член ряда в числителе: u1 = N xN µN µk k+1 m1 m2 . . . ml+N µk+1 N 1+ N l 1+ N N ... 1 + , l-1 l-r+1 N = 0, 1, 2, . . . . Найдем максимальный член ряда и оценим им ряд в числителе. Обозначим µk /µk+1 = η, η < 1, тогда q(N ) = η N 1 + N l 1+ N N ... 1 + . l-1 l-r+1 Для q(N ) может быть получена следующая оценка сверху: q(N ) < η N 1 + ϑ (N ) = (η)N 1 + N l-r+1 N l-r+1 r r ln η + = ϑ(N ), r = 0. l+N -r+1 Откуда находим, что максимум достигается при N = -(l-r +1+r/ln η). Обозначим наибольшее значение функции ϑ(N ) через T . Следовательно, q(N ) < T . С учетом последней оценки сумма ряда в числителе равна сумме ряда в знаменателе. Отношение (5) имеет оценку y (r) (µk x) µk <ε+ y(µk+1 x) µk+1 l-r l(l - 1) . . . (l - r + 1) T. (µk+1 )r При l > L(ε) получаем y (r) (µk x) < 2ε. y(µk+1 x) Итак, поскольку ε выбирается произвольным образом, при x > X(ε) отношение собственной функции к любой производной собственной функции с большим значением µk будет сколь угодно малой величиной. Согласно лемме 2, отношение y(µk+1 x) → 0 при x → ∞, y (s) (µk+1 x) откуда легко установить справедливость данной леммы. 70 Кратная интерполяционная задача Валле Пуссена 3. Nϕ - множество единственности и секвенциальной достаточности. Теорема 5. Nϕ - секвенциально достаточное множество в E. Д о к а з а т е л ь с т в о. Покажем, что если последовательность rn (z) ∈ E стремится к нулю на любом компакте K из множества Nϕ , то эта последовательность стремится к нулю на любом компакте QC в C. Учитывая дискретность множества Nϕ , условие сходимости к нулю на любом компакте K множества Nϕ можно записать следующим образом: последовательность функций из E rn (z) → 0 при n → ∞ на любом компакте K множества Nϕ тогда и только тогда, когда найдутся числа σ > 0 и M > 0 такие, что β/2 ∀n ∈ N, ∀k ∈ Z, |rn (λk )| M eσλk rn (λk ) → 0, n → ∞ на компакте K. (6) (7) В работе [12, стр. 208] было показано, что любой элемент r(z) ∈ E записывается в виде Q ni -1 cij z j y (j) (µi z), r(z) = i=1 j=0 где µi - нули кратности ni характеристической функции ψ(z) оператора Kψ [l], и лишь конечное число коэффициентов cij отлично от нуля. Итак, пусть последовательность Qn ni -1 cn z j y (j) (µi z) ij rn (z) = (8) i=1 j=0 стремится к нулю на каждом компакте K из множества Nϕ . Нам нужно показать, что rn → 0 равномерно на любом компакте QC из плоскости C. 1. В представлении (8) участвует конечное число слагаемых. В силу оценки (6) число членов в каждой последовательности rn ограничено. В представлении (8) слагаемые расположены в порядке возрастания, согласно доказанным выше леммам 2 и 3. Пусть последний член, который удовлетворяет оценке (6), - это собственная функция или ее производная с числом µk . Следующий член со значением µk+1 превышает оценку (6), и поэтому включим его в представление (8) с нулевым коэффициентом. Таким образом, если в представление (8), удовлетворяющей оценке (6), вошли слагаемые с показателями µ1 , µ2 , . . ., µk , µk+1 с кратностями соответственно n1 , n2 , . . ., nk , 1, то количество членов не больше числа n1 + n2 + . . . + nk + 1. 2. Докажем дальше, что если последовательность rn (z) стремится к нулю на любом компакте K из множества Nϕ , то коэффициенты cn стремятся ij к нулю при n → ∞. Мы показали, что в представлении (8) участвуют лишь те y (j) (µi z) с отличными от нуля коэффициентами с показателями µi , которые удовлетворяют оценке (6). После перенумеровывания можно считать, что для некоторого t tn ni -1 cn z j y (j) (µi z) + 0 · y(µk+1 z), ij rn (z) = n = 1, 2, . . . . (9) i=1 j=0 71 Н а п а л к о в В. В., М у л л а б а е в а А. У. Если набор из p нулей λkl выбрать так, что определитель матрицы A = λj l y (j) (µi λkl ) k i,l , l = 1, 2, . . . , p, i = 1, 2, . . . , k, j = 0, 1, . . . , ni - 1 отличен от нуля, то коэффициенты cn являются решениями системы уравij нений tn ni -1 cn λj l y (j) (µi λkl ) + 0 · y(µk+1 λkl ) = rn (λkl ), ij k l = 1, 2, . . . , p. i=1 j=0 Построение определителя происходит по той же схеме, что и в работе [12, теорема 5]. Напомним, что λk - это последовательность нулей функции ϕ(z), расположенных на вещественной положительной оси в порядке возрастания. Согласно лемме 2, λkl можно выбрать таким образом, что y (r) (µλkl ) <ε y (n) (µλkl ) при r < n (в лемме 2 в качестве x нужно взять λkl ). Для доказательства секвенциальной достаточности множества Nϕ выбираем подпоследовательность λkj ∈ R+ и, следовательно, главные миноры ∆t = λj l y (j) (µ1 λkl ) k i,l , i, l = 1, 2, . . . , n1 - 1 отличны от нуля. Для упрощения записи опустим пока µ1 . В главном миноре второго порядка y(λk1 ) λk1 y (λk1 ) ∆2 = y(λk2 ) λk2 y (λk2 ) λk2 может быть выбран настолько большим, что ∆2 = λk2 y (λk2 ) y(λk1 ) - y(λk2 ) λk y (λk1 ) > 0. λk2 y (λk2 ) 1 Аналогичным образом доказывается, что ∆3 > 0, . . ., ∆t > 0. Для этого разложим определитель ∆t , где t n1 - 1, по последней строке: y(λk1 ) . . . λt-2 y (t-2) (λk1 ) k1 ... ... ... ∆t = λt-1 y (t-1) (λkt ) + ...+ kt t-2 y(λkt-1 ) . . . λkt-1 y (t-2) (λkt-1 ) + t-1 (-1)t+1 λk1 y (t-1) (λk1 ) y(λk2 ) . . . λt-2 y (t-2) (λk2 ) k2 ... ... ... . t-2 (t-2) y(λkt ) . . . λkt y (λkt ) Поскольку ∆t-1 > 0, первое слагаемое в разложении определителя ∆t отлично от нуля, при этом, выбирая λkt большим, можно достичь того, что ∆t будет больше нуля. 72 Кратная интерполяционная задача Валле Пуссена Построение определителя для остальных µi , удовлетворяющих оценке (6), происходит по той же схеме. В главном миноре второго порядка ∆2 = y(µ1 λk2 ) y(µ1 λk1 ) y(µ2 λk1 ) = y(µ2 λk2 ) y(µ1 λk1 ) - y(µ2 λk1 ) , y(µ1 λk2 ) y(µ2 λk2 ) y(µ2 λk2 ) согласно [13, лемма 1], λk2 можно выбирать таким образом, чтобы ∆2 > 0. Построение определителя завершается выбором λkp , при котором следующий определитель отличен от нуля: y(µ1 λk1 ) y(µ1 λk2 ) ∆p = y(µ1 λk3 ) ... y(µ1 λkp ) ... ... ... ... ... 1 λn1 -1 y (n1 -1) (µ1 λk1 ) k 1 λn2 -1 y (n1 -1) (µ1 λk2 ) k n1 -1 (n1 -1) λk3 y (µ1 λk3 ) ... 1 λnp -1 y (n1 -1) (µ1 λkp ) k ... ... ... ... ... y(µk+1 λk1 ) y(µk+1 λk2 ) y(µk+1 λk3 ) , ... y(µk+1 λkp ) где n1 + n2 + . . . + nk + 1 = p. По лемме 3, выбирая λkp очень большим, можно достичь того, что ∆p будет больше нуля. По правилу Крамера ∆i , cn = ij ∆p где ∆i - определитель матрицы, полученной из ∆p заменой i-того столбца столбцом свободных членов. Согласно условию (7), при n → ∞ столбец свободных членов стремится к нулю, а следовательно, и все ∆i → 0 при n → ∞. Тем самым получаем, что cn → 0 при n → ∞. ij Мы доказали, что cn → 0 при любом i. Поэтому для любого компакта QC ij функция z j y (j) (µi z) ограничена на этом компакте, коэффициенты стремятся к нулю, тогда и вся линейная комбинация (9) стремится к нулю при n → ∞. Из этого следует, что rn (z) → 0 в для всех точек z ∈ QC . Таким образом, Nϕ является секвенциально достаточным множеством в E. Теорема доказана. Из этой теоремы вытекает следующий результат: множество Nϕ - множество единственности в E.

About the authors

Valentin V Napalkov

Institute of Mathematics with Computing Centre, Ufa Science Centre, Russian Academy of Sciences

Email: shaig@anrb.ru
(Dr. Phys. & Math. Sci., Corresponding member of RAS; shaig@anrb.ru), Director of Institute 112, Chernyshevskiy st., Ufa, 450077, Russian Federation

Aigul U Mullabaeva

Bashkir State University

Email: mullabaeva.87@mail.ru
Postgraduate Student, Dept. of Theory of Functions and Functional Analysis 32, Zaki Validi st., Ufa, 450074, Russian Federation

References

Supplementary files