Nonlocal problem for partial differential equations of fractional order

Full Text

1. Постановка задачи. Рассмотрим уравнение α uxx - D0+,y u = 0 (y > 0, 0 < α < 1), 2m u y + y uyy + λ uy = 0 (y < 0), xx (1) α где D0+,y - частная дробная производная Римана-Лиувилля порядка α от функции u(x, y) по второй переменной [1, с. 341]: α (D0+,y u)(x, y) = 1 ∂ ∂y Γ(1 - α) y 0 u(x, t)dt (y - t)α (0 < α < 1, y > 0), © 2015 Самарский государственный технический университет. Образец для цитирования Р е п и н О. А., Т а р а с е н к о А. В. Нелокальная задача для уравнения с частной производной дробного порядка // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2015. T. 19, № 1. С. 78-86. doi: 10.14498/vsgtu1398. 78 Нелокальная задача для уравнения с частной производной дробного порядка m - натуральное число, λ = const, (1 - 2m)/2 λ < 1 в конечной области Ω, ограниченной отрезками AA0 , BB0 , A0 B0 прямых x = 0, x = 1, y = 1 соответственно и характеристиками уравнения (1) при y < 0: AC : x - 2m+1 2 (-y) 2 = 0, 2m + 1 BC : x + 2m+1 2 (-y) 2 = 1 2m + 1 Пусть Ω+ = Ω ∩ (y > 0), Ω- = Ω ∩ (y < 0), I ≡ AB - единичный интервал 0 < x < 1 прямой y = 0. Задача.Найти решение u(x, y) уравнения (1) в области Ω, удовлетворяющее краевым условиям u(0, y) = ϕ1 (y), u(1, y) = ϕ2 (y), 0 < y < 1, (2) α1 α2 a(x) I0+,β1 ,η1 δ(t)u[Θ0 (t)] (x) + b(x) I1-,β2 ,η2 w(t)u[Θ1 (t)] (x)+ + c(x)u(x, 0) + d(x) lim (-y)λ uy (x, y) = γ(x), y→0-0 x ∈ I (3) и условиям сопряжения lim y→0+0 lim y→0+0 y 1-α u(x, y) = lim u(x, y), y→0-0 y 1-α y 1-α u(x, y) y x ∈ I, = lim (-y)λ uy (x, y), y→0-0 (4) x ∈ I. (5) Здесь ϕi (y) (i = 1, 2), a(x), b(x), c(x), d(x), γ(x), δ(x), w(x) - заданные функции, причем a2 (x) + b2 (x) + c2 (x) + d2 (x) = 0, b(0) = 0, a(x), b(x), c(x), d(x), γ(x) ∈ C 1 (I) ∩ C 3 (I), y 1-α ϕ1 (y), y 1-α ϕ2 (y) ∈ C(I), ϕ1 (0) = ϕ2 (0) = 0; Θ0 (x) и Θ1 (x) - точки пересечения характеристик уравнения (1), выходящих из точки (x, 0) ∈ I, с характеристиками AC и BC соответственно; α,β,η α,β,η (I0+ f )(x), (I1- f )(x) - обобщённые операторы дробного интегро-дифференцирования с гипергеометрической функцией Гаусса F (a, b; c; z), введённые в работе [2] (см. также [1, с. 326, 327] [3, с. 14]) и имеющие при действительных α, β, η и x > 0 следующий вид : α,β,η (I0+ f )(x) =  -α-β  x     Γ(α)        d dx n x (x - t)α-1 F α + β, -η; α; 1 - 0 α+n,β-n,η-n I0+ f (t) t f (t) dt x (α > 0), (x) (α 0, n = [-α] + 1); 79 Р е п и н О. А., Т а р а с е н к о А. В. α,β,η (I1- f )(x) =  -α-β  (1 - x)    Γ(α)   d - dx       в частности n 1 (t - x)α-1 F α + β, -η; α; x t-x f (t) dt 1-x (α > 0), α+n,β-n,η-n I1- f (t) (x) (α 0,0,η (I0+ f )(x) = f (x), 0, n = [-α] + 1), 0,0,η (I1- f )(x) = f (x). А. Н. Кочубей [4] назвал уравнение (1) при y > 0 уравнением диффузии дробного порядка. При y < 0 уравнение (1) является моделью гиперболических уравнений второго порядка, тип и порядок которых вырождаются на одном и том же (n - 1)-мерном континууме [5, с. 274]. Будем искать решение поставленной задачи в классе дважды дифференцируемых в области Ω функций u(x, y), таких, что y 1-α u(x, y) ∈ C(Ω+ ), u(x, y) ∈ C(Ω- ), y 1-α (y 1-α uy )y ∈ C(Ω+ ∪ {(x, y) : 0 < x < 1, y = 0}), uxx ∈ C(Ω+ ∪ Ω- ), uyy ∈ C(Ω- ). 2. Единственность решения задачи. Пусть существует решение исследуемой задачи. Введём следующие обозначения: lim y 1-α u(x, y) = τ1 (x), lim u(x, y) = τ2 (x), y→0+0 y→0-0 lim y 1-α (y 1-α u(x, y))y = ν1 (x), y→0+0 τ1 (x) = τ2 (x) = τ (x), lim (-y)λ uy (x, y) = ν2 (x), y→0-0 ν1 (x) = ν2 (x) = ν(x). Теорема 1.В области Ω не может существовать более одного решения задачи (1)-(5), если 0 < α < 1, (1 - 2m)/2 < λ < 1 и если α1 = α2 = β - 1, (6) и либо β1 = β2 = 1 - 2β, η1 = η2 = 0, δ(x) = w(x) = 1, (7) либо β1 = β2 = 0, η1 = η2 = 1 - 2β, δ(x) = x2β-1 , w(x) = (1 - x)2β-1 , (8) и выполнении условий µ(x) = k0 a(x) + b(x) - a(1) µ(1) 80 0, b(0) µ(0) 0, a(x) µ(x) Γ(β) d(x) = 0 Γ(2β) 0, b(x) µ(x) ∀x ∈ I, 0, k0 = - c(x) µ(x) 0 k2 , k1 (9) ∀x ∈ I (10) Нелокальная задача для уравнения с частной производной дробного порядка или α1 = α2 = -β, (11) и либо β1 = β2 = 0, η1 = η2 = 2β - 1, δ(x) = w(x) = 1, (12) либо β1 = β2 = 2β - 1, δ(x) = x2β-1 , η1 = η2 = 0, w(x) = (1 - x)2β-1 , (13) ∀x ∈ I, (14) и выполнении условий E(x) = k1 (a(x) + b(x)) + c(x) = 0 a(1) b(0) + E(1) E(0) a(x) E(x) 0, b(x) E(x) 0, 0, d(x) E(x) 0 ∀x ∈ I, (15) где k1 = Γ(2β) , Γ(β) k2 = - Γ(1 - 2β) 2m + 1 , 2Γ(1 - β) 4 β= 2m - 1 + 2λ , 2(2m + 1) 1 0<β< . 2 Д о к а з а т е л ь с т в о. Известно [6, 7], что функциональное соотношение между τ (x) и ν(x), принесённое из параболической области Ω+ на линию y = 0, имеет вид 1 ν(x) = τ (x). (16) Γ(1 + α) Рассмотрим интеграл 1 I∗ = τ (x)ν(x)dx. 0 Подставим ν(x) из (16) в I ∗ . Учитывая, что τ (0) = ϕ1 (0) = τ (1) = ϕ2 (0) = 0, получим 1 1 I∗ = - [τ (x)]2 dx 0. (17) Γ(1 + α) 0 Далее на основании результатов работы [8] выпишем функциональное соотношение между τ (x) и ν(x), принесённое на I из гиперболической части Ω- смешанной области Ω в двух случаях. Первый случай. Пусть выполняются условия (6)-(10) теоремы 1. Тогда Γ(β) γ(x), Γ(2β)µ(x) (18) 1-2β 1-2β где (D0+ f )(x) и (D1- f )(x) - операторы дробного дифференцирования Римана-Лиувилля [1, с. 44]; 1-2β 1-2β ν(x) = A1 (x)(D0+ τ )(x) + B1 (x)(D1- τ )(x) + C1 (x)τ (x) - A1 (x) = a(x) , µ(x) B1 (x) = b(x) , µ(x) C1 (x) = Γ(β)c(x) . Γ(2β)µ(x) 81 Р е п и н О. А., Т а р а с е н к о А. В. Второй случай. Пусть выполняются условия (11)-(15) теоремы 1. Тогда 1-2β 1-2β τ (x) = a1 (x)(I0+ ν)(x) + b1 (x)(I1- ν)(x) + c1 (x)ν(x) + γ1 (x), (19) 1-2β 1-2β где (I0+ f )(x) и (I1- f )(x) - дробные интегралы Римана-Лиувилля [1, с. 42]; a1 (x) = -k2 a(x) , E(x) b1 (x) = -k2 b(x) , E(x) c1 (x) = d(x) , E(x) γ1 = γ(x) . k1 E(x) В работе [8] с учетом функционального соотношения (18) или (19) доказано, что I ∗ 0. А тогда, учитывая (17), имеем I ∗ = 0. Далее схема доказательства тождества u(x, y) ≡ 0 аналогична [8, 9]. Теорема 2.В области Ω не может существовать более одного решения задачи (1)-(5), если 0 < α < 1, λ = (1 - 2m)/2 (β = 0), E1 (x) = 2d(x) - a(x) - b(x) = 0 b(x) - a(x) E1 (x) 0, c(x) E1 (x) ∀x ∈ I, ∀x ∈ I. 0 Д о к а з а т е л ь с т в о теоремы 2 непосредственно следует из равенства I ∗ = 0 с учётом соотношения [10] ν(x) = A2 (x)τ (x) + B2 (x)τ (x) + γ2 (x), (20) где A2 (x) = b(x) - a(x) , E1 (x) B2 (x) = - 2c(x) , E1 (x) γ2 (x) = 2γ(x) . E1 (x) 3. Существование решения задачи. Интегрируя (16) дважды от 0 до x и учитывая условия (2), получим x 1 (x - ξ)ν(ξ)dξ - x τ (x) = Γ(1 + α) 0 (1 - ξ)ν(ξ)dξ . (21) 0 Рассмотрим вначале случай (1 - 2m)/2 < λ < 1. Исключив ν(x) из (18) и (21), будем иметь 1 ξ d τ (t)dt Γ(1 + α) x (1 - ξ) A1 (ξ) - Γ(2β) dξ 0 (ξ - t)1-2β 0 1 d τ (t)dt Γ(β)γ(ξ) - B1 (ξ) + Γ(2β)C1 (ξ)τ (ξ) - dξ - 1-2β dξ ξ (t - ξ) µ(ξ) τ (x) + Γ(1 + α) Γ(2β) d - B1 (ξ) dξ x - 82 0 1 ξ τ (t)dt (t - ξ)1-2β d dξ ξ τ (t)dt - 1-2β 0 (ξ - t) Γ(β)γ(ξ) + Γ(2β)C1 (ξ)τ (ξ) - dξ . µ(ξ) (x - ξ) A1 (ξ) Нелокальная задача для уравнения с частной производной дробного порядка Проинтегрировав в полученном выражении двойные интегралы по частям, а затем поменяв порядок интегрирования, получим 1 K(x, t)τ (t)dt = f (x), τ (x) + (22) 0 где K1 (x, t), t K2 (x, t), t K(x, t) = x, x, x Γ(1 + α) [(1 - ξ)A1 (ξ)] dξ x + Γ(2β) (ξ - t)1-2β t 1 t [(1 - ξ)B1 (ξ)] dξ [(1 - ξ)B1 (ξ)] dξ + + + (ξ - t)1-2β (t - ξ)1-2β x 0 x [(x - ξ)A (ξ)] dξ t [(x - ξ)B (ξ)] dξ 1 1 Γ(1 + α) ξ ξ + + + 1-2β Γ(2β) (ξ - t) (t - ξ)1-2β t 0 + Γ(1 + α)ξ(x - 1)c1 (ξ); K1 (x, t) = - K2 (x, t) = - f (x) = 1 Γ(1 + α) [(1 - ξ)A1 (ξ)] dξ x - Γ(2β) (ξ - t)1-2β t x 1 [(1 - ξ)B1 (ξ)] dξ [(1 - ξ)B1 (ξ)] dξ - - + 1-2β (t - ξ) (t - ξ)1-2β 0 x Γ(1 + α) x [(x - ξ)B1 (ξ)]ξ dξ + + Γ(1 + α)x(1 - ξ)c1 (ξ); Γ(2β) 0 (t - ξ)1-2β 1 Γ(β)Γ(1 + α) x Γ(2β) 0 (1 - ξ)γ(ξ) dξ - µ(ξ) x 0 (x - ξ)γ(ξ) dξ . µ(ξ) В силу сделанных предположений относительно гладкости известных функций можно заключить, что K(x, t) ∈ C(I × I) ∩ C 3 (I × I), f (x) ∈ C 1 (I) ∩ C 3 (I). Таким образом, уравнение (22) есть уравнение Фредгольма второго рода относительно τ (x), безусловная разрешимость которого в требуемом классе функций следует из единственности решения задачи. При выполнении условий (11)-(15) теоремы 1, используя функциональные соотношения (19) и (21), существование решения задачи (1)-(5) также сведем к разрешимости интегрального уравнения Фредгольма второго рода. Пусть теперь λ = (1 - 2m)/2, β = 0. Исключив ν(x) из соотношений (20) и (21), после несложных вычислений придём к уравнению 1 τ (x) + K3 (x, ξ)τ (ξ)dξ = F (x), (23) 0 83 Р е п и н О. А., Т а р а с е н к о А. В. где K3 (x, ξ) = K4 (x, ξ), K5 (x, ξ), ξ ξ x, x, K4 (x, ξ) = Γ(1 + α)[(x - 1)(A2 (ξ) + ξA2 (ξ)) + ξ(1 - x)B2 (ξ)], K5 (x, ξ) = Γ(1 + α)x[(1 - ξ)(A2 (ξ) + B2 (ξ)) - A2 (ξ)], x 1 (x - ξ)γ2 (ξ)dξ - x F (x) = Γ(1 + α) 0 (1 - ξ)γ2 (ξ)dξ . 0 В силу сделанных ранее предположений относительно гладкости известных функций можно заключить, что K3 (x, ξ) ∈ C(I × I) ∩ C 3 (I × I), F (x) ∈ C 1 (I) ∩ C 3 (I). Следовательно, уравнение (23) есть уравнение Фредгольма второго рода относительно τ (x), безусловная разрешимость которого в требуемом классе функций следует из единственности решения задачи (1)-(5).

About the authors

Oleg A Repin

Samara State Economic University

Email: matstat@mail.ru
(Dr. Phys. & Math. Sci., Professor; matstat@mail.ru; Corresponding Author), Head of Department, Dept. of Mathematical Statistics and Econometrics 141, Sovetskoy Armii st., Samara, 443090, Russian Federation; 244, Molodogvardeyskaya st., Samara, 443100, Russian Federation

Anna V Tarasenko

Samara State University of Architecture and Civil Engineering

Email: tarasenko.a.v@mail.ru
(Cand. Phys. & Math. Sci.; tarasenko.a.v@mail.ru), Associate Professor, Dept. of Higher Mathematics 194, Molodogvardeyskaya st., Samara, 443001, Russian Federation

References

Supplementary files